XIIJ

la Grange a fait à Paris; il était parti de Turin au commencement de novembre 1763 et y est retourné dans le courant de juin 1764. Il manque ici une ou deux Lettres que M. d'Alembert lui avait écrites après son retour à Turin, et qui ont été prêtées et perdues. Dans l'une d'elles il lui disait : « J'ai lu votre pièce sur la libralion de la Lune (elle avait remporté le prix de l'Académie des Sciences en 1764; M. d'Alembert n'avait pas pu être un des juges à cause du vovage qu'il avait fait en Prusse dans l'automne de 1763) et j'ai dit comme saint Jean-Baptiste : Oportet illiim crescere, me autem minui. )>

A Turin, le jo mai 1764.

Mon cher et respectable ami, j'ai passé par Genève comme je me l'étais proposé, et, à la favetir de votre recommandation, j'ai eu l'honneur de dîner chez M. de Voltaire (^), qui m'a fait un très-gracieux accueil. Il était ce jour-là en humeur de rire, et ses plaisanteries tombaient toujours, comme de coutume, sur la religion, ce qui amusa beaucoup toute la compagnie. C'est, en vérité, un original qui mérite d'être vu.

J'ai été assez bien reçu ici du Roi (") et des ministres; on m'a donné de belles espérances, mais je n'y fais pas grand fond. Vos Lettres ont fait beaucoup d'impression à la cour et à la ville ; tout le monde en est encore rempli, et je puis bien vous assurer que vous êtes aussi connu ici qu'ailleurs. On ne cesse de me questionner sur votre sujet; on est fort empressé surtout de savoir si vous viendrez en Italie quelque jour; on brûle de vous connaître personnellement.

Je n'ai pas encore repris mon assiette ordinaire; j'ai pourtant déjà barbouillé quelques pages sur les cordes vibrantes; si je trouve

(') Voltaire habitait alors sa campagne des Délices, près Genève. On ne trouve rien dans sa Correspondance sur cette visite de Lagrange. (2) Charles-Emmanuel \".

quelque chose qui ne me paraisse pas indigne d'être soumis à votre jugement, j'aurai l'honneur de vous en faire part. Je vous entretiendrai aussi, si vous me le permettez, de quelques idées qui me sont venues touchant les autres matières dont nous avons causé à Paris. Adieu, mon cher Monsieur, portez-vous bien et conservez-moi votre précieuse amitié, que je regarde comme le principal avantage que mon voyage de France m'ait procuré. Je vous aime autant que je vous estime, et c'est dans ces sentiments que je serai toujours.

Monsieur, Votre très-humble et très-obéissant serviteur,

De la Grange.

P. -S. — Je suis impatient de voir votre Ouvrage sur l'Optique.

J Monsieur d'Alemhert, à Paris, rue Michel-le-Comte.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce 6 août 1764-

Vous recevrez, mon cher et illustre ami, par la première occasion qui pourra se trouver, le troisième Volume de mes Opuscules. Je l'ai fait remettre à l'Intendant de M. l'Ambassadeur de Sardaigne ('). Gomme il fourmille de fautes d'impression, j'en ai corrigé la plupart de ma main pour vous en épargner la peine, mais je ne doute pas qu'il n'en reste encore un grand nombre. Vous trouverez dans cet Ouvrage peu de chose qui puisse vous intéresser, mais la matière ne comporte pas mieux, à ce que je crois du moins. J'aimerais mieux vous entrete-

( M Le bailli Solar de la Breille, ambassadeur de Sardaigne en France de 1758 à 1765.

iiir sur d'autres questions, mais depuis deux mois mon estomac est si délabré, que je ne puis presque pas me livrer au travail. Les remèdes que j'ai voulu faire n'ont servi qu'à l'affaiblir encore. Enfin, j'ai pris le parti de n'en plus faire du tout et de m'en tenir au régime. C'est par là que j'espère me guérir. Vous voyez bien qu'en cet état il n'est pas possible que je songe au voyage d'Italie; il y a même à parier que, si cela continue, je finirai par un grand voyage dont je ne reviendrai pas si tôt. Je prends tout cela fort en patience, et je tâcherai de traîner le moins douloureusement que faire se pourra ce qui me reste de temps à vivre. Adieu, mon cher ami, je n'ai pas la force de vous en écrire plus long, étant, actuellement même, obligé de quitter à chaque instant pour une indigestion considérable, quoique depuis quinze jours je ne mange plus de viande. Heureusement cela se passe sans douleur, et c'est la manière la moins pénible et la moins triste. Je vous embrasse de tout mon cœur et serai jusqu'à ma fin (prochaine ou éloignée) avec les sentiments d'estime, d'attachement et d'intérêt que vous m'avez inspirés.

A Monsieur de la Grange, (le la Société rojrile des Sciences de Turin, à Turin.

LAGRANGE A D'xVLEMBERT.

A Turin, ce i" septembre 176).

Voilà, mon cher et illustre ami, trois de vos Lettres que j'ai reçues en assez peu de temps; on m'en a apporté deux de la poste, et la troisième m'a été remise par M. V/atelet, qui a passé ici il y a quelques jours. Je dois à celle-ci l'honneur d'avoir connu un des plus beaux génies de la France, et, ce qui me touche bien plus, un de vos meil-

leurs amis. Je regrettais, en le voyant, que vous ne l'eussiez pas accompagné, sans songer que cela m'aurait empêché de vous voir à Paris; mais laissons cela et parlons un peu de votre santé, dont vous vous plaignez si fort dans votre dernière Lettre. Je ne puis vous dire, mon cher ami, combien cette nouvelle m'a affligé; je voudrais, pour fout au monde, être encore à Paris et pouvoir vous rendre tous les soins que mon amitié exigerait de moi; mais, dans l'impuissance où je suis de remplir moi-môme ces tendres devoirs, je ne puis qu'ajouter mes vœux à ceux de tous les savants de l'Europe pour le rétablissement de votre santé. Au nom de Dieu, ne songez plus qu'à cela, et surtout donnez-vous du repos. Je crois que le régime et la cessation de toute sorte de travail sont les seules choses qui puissent vous remettre.

Vous voulez savoir ce que je pense des cordes vibrantes; je viens d'achever un calcul qui me paraît jeter une grande lumière sur cette question. J'ai trouvé moyen de construire, d'une manière générale, la formule de l'article 27 de mes premières Recherches sur le son ('), et cette construction est telle, qu'elle dégénère en celle de M. Euler lorsque le nombre des corps mobiles devient infini, pourvu que dans la courbe

génératrice il ne se trouve point de -j^ ■> -j^i j-^' '" finies, ce qui exclut seulement les cas où la courbure de la corde initiale fait des sauts ou qu'elle n'est pas nulle aux extrémités. Au reste, le calcul montre que la détermination du mouvement de la corde est impossible dans ces cas, car la valeur de y renferme alors plusieurs termes infinis.

J'ai fait aussi des recherches sur un autre sujet, peut-être plus important que celui-ci, qui est l'intégration de l'équation différentielle du problème des trois corps. J'ai trouvé pour cela une assez jolie méthode, laquelle me donne tout d'un coup la valeur du rayon vecteur, aussi approchée que je veux, sans que je sois obligé de substituer à chaque approximation la valeur trouvée par l'approximation

(') P^oirla note 2 delà page 3.

li CORRESPONDANCE

précédente; aussi cette méthode donne exactement, suivant le degré

de l'approximation, le mouvement de l'apogée et la valeur des autres

équations. Je vous en entretiendrai une autre fois, si vous le souhaitez;

en attendant, je vais vous remercier par avance du présent que vous

m'avez annoncé ('). Je l'attends avec impatience, car c'est une matière

dans laquelle je suis tout à fait étranger, et je vous promets bien d'en

faire mon profit. Je suis charmé que mes Recherches sur la lihration de

la Lune aient pu mériter votre approbation; je la regarde comme la

plus grande récompense de mes travaux. Je verrai avec tout le plaisir

et toute la déférence possibles les remarques que vous y avez faites;

mais je ne veux point que vous m'en fassiez part que votre santé ne

soit bien rétablie. La mienne est toujours bonne, quoique j'aie un peu

maigri depuis que je suis ici. J'attends toujours l'effet des promesses

du Roi, mais il n'en est pas comme César était : Ad pœnas lentus, ad

prœmia velox. Adieu, mon cher et illustre ami; je serai toute ma vie,

avec les sentiments d'estime, d'amitié et de reconnaissance que vous

m'avez inspirés.

Votre

De la Grange.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce 16 octobre 1764.

Ma santé, mon clier et illustre ami, est beaucoup meilleure, grâce au régime que j'observe et aux remèdes que je ne fais point. Je me regarde même comme guéri, mais j'observe encore beaucoup de régime jusque dans l'étude ; c'est ce qui fait que j'ai tardé si longtemps à vous

f ■ ) Le troisième Volume des Opuscules mathématiques.

répondre. M. Watelet m'a dit do vos nouvelles et est bien sensible à toutes vos attentions. Je viens maintenant à votre Lettre.

1° Ce que vous me mandez sur les cordes vibrantes semble me donner gain de cause absolument. En effet, j'ai prouvé dans mes Opuscules (p. 27, Tome I), et il résulte d'ailleurs de votre théorème que, si lorsque x est infiniment petite, la valeur dey en œ contient un terme

• cl (Jy* n

de cette forme ±pxx [p est très-petit), -~ fera un saut à l'origine

^ ddr p . . , , ddr ddr f. . .^

et -j^ y sera iinie, en sorte qu on n aura pas -j—, = -j—- Or, si cette

valeur de j renferme un terme zhpx", n étant pair et positif, alors,

faisant . , = z, on aura un terme ±px- dans la valeur de z; donc

^^ ou -1—7=7 sera finie. Donc la valeur de y à l'origine ne doit contenir que des puissances impaires positives (non négatives, parce que -poserait infinie h l'origine; non fractionnaires, parce qu'il y aurait quelque valeur -j—;^ qui serait finie à l'origine : par exemple, si n

était m -\- -, ce serait — ,-^ ; or, comme on peut placer aux deux

extrémités indifféremment l'origine de la courbe, il est clair qu'en ces deux points on aura j = Aa? -t-B^' + C^^H- . . . , d'où il est aisé de conclure que la courbe aura trois branches alternatives égales et semblables au-dessus et au-dessous de l'axe, celle du milieu au-dessus; donc, comme je l'ai prouvé dans mes Opuscules, elle aura pour lors des branches alternatives à l'infini; donc le problème ne pourra se résoudre que quand les branches alternatives seront assujetties à la loi de continuité. Au reste, je crois avoir aussi trouvé (à ma manière), depuis votre Lettre reçue, une démonstration de votre théorème, qui est très-beau.

2° Ce que vous me mandez sur l'équation du problème des trois corps me persuade, ce que j'ai toujours pensé, de l'imperfection des méthodes connues jusqu'ici. Je suis même résolu, dès que j'aurai le temps (car j'ai bien d'autres choses en tête), de chercher une meilleure

méthode, surtout pour le mouvement de l'apogée, et d'après les remarques que je vous ai dit avoir faites à ce sujet. A propos de cela, avez-vous vu dans le Journal encyclopédique une Lettre que j'y ai mise sur notre programme (*), qui n'a pas le sens commun? Je ne sais pas quand j'aurai le temps de travailler à l'équation du problème des trois corps. En attendant, ne me mandez pas ce que vous avez fait; je veux m'y essayer à loisir.

3° Voici mes remarques sur le problème de la précession des équinoxes :

I. Toutes les solutions qu'on en a données, à commencer par la mienne, sont fautives, non dans le résultat, mais dans la méthode. Ces solutions ne me donnent ni ch — o ni û^tt = o lorsque ^ — o, c'està-dire au commencement du mouvement; cependant, en prenant les deux équations de ma précession des équinoxes

'\idr-=z d[dz cost:-) + k'drd{sinT:)

et

dd-r = Y dr-— de- s'in-K cost: -h li'didrcos-p:,

il est aisé de prouver que si l'axe n'a pas reçu d'impulsion primitive lorsque t ~ o, c'est-à-dire si la rotation se fait autour de l'axe, indépendamment de l'action des planètes, alors ^ et ^-p doivent être = o lorsque t = o. Cela se tire aisément des deux équations ci-dessus.

(') L'Académie des Sciences avait proposé pour sujet de prix à décerner en 17G6 la question suivante : Quelles sont les inégalités gui doive/2t s'' observer dans le mouvement des (juatre satellites de Jupiter, à cause de leurs attractions mutuelles? la loi et les périodes de ces inégalités, surtout au temps de leurs éclipses, et la quantité de ces inégalités suivant les meilleures observations ? Les changements qui paraissent avoir lieu dans les inclinaisons des orbites des deuxième et troisième satellites doivent surtout être compris dans l'examen de leurs inégalités.

D'Alembert, comme il le dit ici, inséra, au sujet de cette question, une Lettre dans le numéro du i5 août 1764 (p. 124-128) du Journal encyclopédique , et c'est probal)lcment par suite de cette Lettre que l'Académie, postérieurement à la publication de son programme, fit insérer dans les papiers publics une Note où elle déclarait qnelle n'entendait point exclure r examen des inégalités que l'action du Soleil peut produire dans le mouvement des satellites de Jupiter. Voir le Recueil de l'Académie, Histoiue, année 1766, p. iGj.

II. Soit à présent, en général, ^^ = [j. et -.^ = v lorsque t — o; intégrant la première équation et tirant de là la valeur de dz pour la mettre dans la seconde, on fera iz = 7:' ^ol; on trouvera (en négligeant les termes très-petits) une équation de cette forme

ddc/. + c(.k"-dz- f'\)dz^k'u.Q,Oir.dz'- — Vdz-=o,

cosu -J ^ r j ^

qu'il faudra intégrer de manière que 77=^ lorsque t=o, ce qui

donnera une équation de plusieurs termes, où les seuls termes sensibles, si [X et V sont supposés très-petits, sont ceux qu'on trouve par le résultat des anciennes méthodes, lequel se trouve heureusement confirmé par là, quoiqu'on y soit parvenu par une route fort sujette à caution.

m. Dans votre belle et très-belle preuve sur la libration, vous trouvez que la valeur de - renferme quatre arcs de cercle si N n'est pas = o; or, vous ne pouvez supposer N rigoureusement = o, à moins que la Lune n'ait eu au commencement une certaine situation déterminée, ce qui serait aussi incommode à supposer que l'égalité parfaite entre le mouvement primitif de rotation et le mouvement de translation périodique. Si vous supposez N très-petit, en sorte que Nr ne soit sensible qu'après bien des siècles, on pourra dire aussi que la libration en longitude n'est qu'apparente (comme la libration en latitude) et que, dans plusieurs siècles, la Lune nous montrera son autre face. D'ailleurs, comme les valeurs de - et de s renferment les termes sin'C — 3 et cos"C — t, et que s renferme outre cela un terme Mz, il est aisé de prouver que, quand même N serait = o, en substituant pour £ sa valeur en Me et cos'C — M:;, sin'C — Me, il viendra dans celle de - un terme (à la vérité très-petit) qui renferniera des arcs de cercle; or, il me semble qu'il ne doit point y en avoir si l'on veut expliquer d'une manière satisfaisante la libration de la Lune, qui paraît devoir être en latitude comme en longitude. J'ai donc cherché à expliquer cette libration en supposant la Lune un solide de XIII. 3

révolution, ce qui ne donne plus d'arcs de cercle dans la valeur de ^, et j'ai trouvé qu'on le pouvait en cette sorte : puisque

d[dP -h de sinr) = o

lorsque la Lune est un solide de révolution, donc, faisant

-dV = dz — de -T- de

(et supposant, pour abréger, le mouvement de la Lune autour de la Terre uniforme), on aura

dd9 z- d[dî[i — sin-)];

donc

~ dO= de{i — sin - ) -^ pdz,

P étant une constante indéterminée. Soit, de plus,

de = 'Cdz — gdz, sin?: — sin-' — cr,

il faudra, à cause de 6 = o lorsque z = o, que

P = — Ç(i — sin;:); donc, lorsque z = o, on aura

de , . , , .

dz ^ ' '

Soit, lorsque s = o,

dt , , ,.

-r; = [j., c esl-a-dire C -^ q ■= ^j.,

alors, comme t. est = o lorsque r = o, on aura

quantité qui n'est nulle que dans le cas où sin::' serait exactement = i ;

à l'égard de -j^ = ^, il sera tout ce qu'on voudra, quoique très-petit,

et l'axe de rotation primitive ne sera pas l'axe de figure, ce qui n'en est que mieux pour la généralité de la solution.

IV. J'oublie de vous dire que, si r. contient des arcs de cercle, alors, en ayant égard aux termes négligés dans l'équation de la libration, où l'on a supposé cos:: = o et sin- = i, vous trouverez qu'il y aura dans cette équation des termes de cette forme Xzdz- (A étant à la vérité très-petit); mais, en ce cas, la libration ne serait pas réelle et cesserait au bout de plusieurs siècles.

V. Si - renferme des arcs de cercle par quelque cause que ce soit, par exemple si dans la Terre l'obliquité de l'écliptique diminue continuellement, comme on le prétend aujourd'hui, en ce cas z n'en renfermera pas, car, comme on a d'c^= \dzQ,os-, en mettant pour - sa valeur -'^cz, on aura

dz = A(/s(cos7:'cosc5 — sinTr'sinc^),

dont l'intégrale ne contient plus d'arcs de cercle. Ainsi, il n'y aurait pas réellement de mouvement rétrograde continuel dans les points équinoxiaux. .

VI. Dans le cas où la Lune aurait son axe exactement perpendiculaire à l'écliptique et où il n'y aurait point d'inclinaison dans son orbite, et où même elle serait fort allongée dans la direction de l'orbite

de la Terre, je trouve que y- pourrait être considérable lorsque t = o,

sans néanmoins qu'il y eût autre chose qu'une libration dans la Lune, en sorte qu'il pourrait toujours y avoir une partie de sa surface qui

nous serait cachée. Je détermine même les limites de -j- pour que la

d'j Lune n'ait qu'une libration, comme aussi la valeur que y- doit avoir

pour que la Lune nous montre successivement toute sa surface.

Pardon, mon cher et illustre ami, de ce griffonnage et de ce verbiage. Pensez à cela tout à votre aise et dites-m'en votre avis à loisir. Ayez surtout bien soin de votre santé : res prorsus substantialis. Je ne

vous répète point ce que je vous ai dit et les offres que je vous ai faites.

Je suis toujours à votre service et vous n'aurez qu'à parler. J'ai reçu du

roi de Prusse une Lettre admirable, pleine de sens et de philosophie (')

Elle devrait être au chevet de tous les rois. Adieu, adieu encore une

fois, je vous embrasse de tout mon cd'ur.

Tuus

D'Alemdeiit.

P. -S. — Je pense que vous aurez enfin reçu mon Livre. A^ous n'y trouverez pas des recherches bien profondes, mais, ce me semble, plus de vues et de choses nouvelles que dans ce qui a été donné jus- (ju'ici à ce sujet.

A Turin, ce i3 novembre i7('4-

Je ne saurais vous exprimer, mon cher et illustre ami, la joie que j'ai ressentie en apprenant le rétablissement de votre santé. Je vous assure que cette nouvelle était bien nécessaire à mon repos, car, depuis que je vous ai su malade, j'ai toujours été dans des craintes et des inquiétudes qui ne se peuvent représenter. Enfin, vous voilà donc hors d'affaire. 3Iais, au nom de Dieu, ne quittez point le régime que votre estomac n'ait repris toute sa vigueur; surtout trêve de calculs.

J'ai reçu depuis peu votre bel Ouvrage sur l'Optique ("); je le lis et le relis avec la plus grande avidité et avec une extrême satisfaction; j'admire comment vous avez pu vous livrer à un travail si énorme.

(1) C'est probablement la Lettre d'août 1764, insérée dans le tome XXIV, p. 38'2, des OEuvres de Frédéric H (Berlin, i8i6-i83G, 3o vol. in-8).

(2) Il s'agit du troisième volume ùi^^ Opuscules malhématiqiics, \>\\h\\(i en 1761. et (]ui contient cinq Mémoires sur l'Optique.

mais j'admire encore davantage comment vous avez su rendre pour ainsi dire neuve une matière qui était déjà bien usée. Vos Recherches sur la réfraction (*) sont aussi ingénieuses qu'intéressantes; il me semble que vous avez toucbô le vrai joint de la question sur la proportion de réfrangibilité entre les différentes couleurs. Il est singulier • qu'on ait pu s'occuper pendant si longtemps d'une dispute que l'expérience seule pouvait décider.

Je pense comme vous sur les difficultés que présente le sujet proposé par l'Académie, mais elles ne me paraissent pas insurmontables, d'autant qu'il ne s'agit que des principales inégalités qui ont lieu dans le temps des éclipses; au reste, je vous serai infiniment obligé de me faire savoir l'explication que l'Académie a donnée de son programme (^). Je viens maintenant à votre Lettre.

Vous avez raison de dire que mon théorème sur les cordes vibrantes vous donne gain de cause par rapport à la continuité des branches de la courbe génératrice lorsque la courbe initiale est assujettie à une équation. En effet, il n'est pas difficile de prouver qu'il y ait une

équation entre x et y telle que r, -^5 ^5 . . . soient = o lorsque

x = o, sans qu'elle donne pour les x négatifs des valeurs de y égales et de signe contraire à celles qui répondent aux x positifs; d'où il s'ensuit qu'aucune courbe algébrique ni transcendante ne saurait être admise, pour représenter la figure initiale de la corde, qu'elle n'ait les conditions que vous y exigez, et je puis vous assurer que je ne suis pas peu content de m'être rapproché de vous sur ce point. Au reste, ma solution n'exigeant pas que la courbe initiale puisse s'exprimer par une équation, elle aura toujours lieu quelle que puisse être cette courbe, pourvu que les conditions dont je vous ai parlé s'y trouvent remplies. Ce que vous dites sur l'imperfection de la méthode, dont vous avez résolu les équations de la précession des équinoxes, me parait tout à fait fondé; mais il me semble qu'elle peut être justifiée

(1) C'est le sujet du cinquième Mémoire (p. 3}i). [-) Foi?'\A\ii l'.aut, p. 16, note 1.

par rapport au cas dont il s'agit, même sans considérer le résultat. A l'éqard de ma théorie de la libration, je vous avoue franchement que je la crois encore assez imparfaite; c'est du moins l'idée que j'en avais lorsque je l'envoyai à l'Académie, car, n'en ayant gardé aucun exemplaire, il m'est à présent impossible d'en juger. Votre manière d'expliquer la libration ne me paraît pas exempte de difficultés, car : 1° Vous substituez dans l'équation

f/(c/P -H f/ssiiiTr) = o

(l^ 4 ch -+- d^ au lieu de — d?, c'est-à-dire que vous supposez

dP ^ch = — dz — (10-,

mais, autant que j'en puis juger par quelques lambeaux de ma pièce que j'ai retrouvés ici, il me semble que l'on a, en négligeant les autres termes peu considérables,

f/P + dt sinr = — </9 — dz sinr.

2" Pour que la quantité 6 ne contienne point d'arcs de cercle, il faut

que la valeur de -r ne renferme aucun terme constant, ce qui ne peut

avoir lieu qu'en supposant une certaine équation entre les constantes du calcul ; et cela serait aussi incommode à supposer que l'égalité parfaite entre le mouvement circulaire et celui de rotation.

J'ai trouvé, par une méthode directe, mais assez singulière, la valeur de 9(ir), qui résulte de cette équation

o{x -^X sj— I ) — 9 ( ^ — / y'— - 1 ) = 2 M v'— 1 ,

lorsque / — /+ ^*^- Cette valeur est

A et B étant deux constantes arbitraires, [j. un nombre quelconque

entier, t, le rapport de la circonférenee au diamètre, et 0 un nombre tel que tangO- = h.

Si l'on fait A = — i, on aura le cas de l'article V du quatrième Mémoire de vos Opuscules ('). Cela me fait croire que, quelle que soit l'équation entre x et y, on pourra toujours avoir la valeur de 9(0;) par la condition dont il s'agit; au moins ce ne sera qu'une affaire de calcul.

Je vous remercie de tout mon cœur des offres que vous me faites; il est vrai que je ne suis encore attaché à ma patrie que par des espérances, et Dieu sait quand elles se réaliseront! Mais il me semble que Berlin ne me convient point tandis qu'il y a M. Euler. Au reste, je me remets là-dessus entièrement à vous.

Vale et me ama.

Deditissimus

De la Grange.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce \i janvier 1765.

Depuis votre Lettre du i3 novembre, mon cher et illustre ami, ma santé, quoique beaucoup meilleure qu'elle n'était l'été dernier, a eu encore des alternatives de bien et de mal qui m'ont forcé de me ménager sur le travail et qui m'ont empêché de vous faire réponse plus tôt. Je ne pourrai même vous répondre que d'une manière imparfaite sur les différents points de votre Lettre; mais, enfin, je ne veux pas tarder plus longtemps, ne fût-ce que pour vous engager à me donner de vos nouvelles et de celles de vos travaux. La déclara-

(') Ce Mémoire est intitulé : Réflexions sur les lois du mouvemeiil des fluides. Voir Opuscules mathématiques, t. f, p. 140.

tion que l'Académie a faite au sujet du programme consistait à dire qu'elle ne prétendait point exclure l'action du Soleil des causes des dérangements des satellites, surtout en tant que cette action doit produire dans les noeuds un mouvement rétrograde qui doit être combiné avec celui que l'action des satellites peut occasionner. Je voulais qu'elle donnât un autre programme, ayant démontré, dans un 3îémoire que j'y ai fait lire, que celui-là n'avait pas trop le sens commun; mais elle n'a pas voulu, per la cUgnità, avouer si pleinement sa sottise.

Nous voilà donc d'accord sur les courbes vibrantes, au moins quand la courbe initiale est exprimée par une équation. Il me semble qu'à plus forte raison nous devons l'être quand cette courbe n'a pas d'équation; car : i" si elle est tracée au basard, comment s'assurera-t-on que,

dans cette courbe, -j— ne fait de sauts en aucun endi'oit?La solution

dx"

serait donc alors illusoire, puis(|u'on ne pourrait jamais assurer qu'elle

cl ^ V

serait bonne. 2" Pour que y^ ne fasse de sauts nulle part, il faut, ce me semble, que la courbe ait pour équation

yz^ ax -- hx- -1- cx'^ ~ ex'* ~ . . . ,

en prenant l'origine en un point quelconque, et que, en la prenant au point où ^ = o, on ait

)' 1= ax -- ex'^ ~' f-

Or, si la courbe doit être regardée comme une suite d'arcs de cercle infiniment petits (supposition toujours légitime), et que ces arcs de cercle ne soient reliés entre eux par aucune équation continue, il me paraît évident qu'alors l'équation

y = ax -t- hx- -f- cx"^ h- ex'' -;

n'aura pas lieu et que -^-^ fera quelque saut,

Il est bien vrai que ma méthode pour intégrer les équations de la précession des équinoxes peut être justifiée; mais il me semble que, pour avoir le cœur bien net sur cela, il faut s'y prendre, comme je vous l'ai indiqué, par une intégration rigoureuse et générale, sans quoi on ne peut être sûr de ce qu'on fait. Cette discussion peut faire la matière d'un Mémoire intéressant, qui aura sa place, à ce que j'espère, dans mon quatrième Volume.

A l'égard de mes idées pour expliquer la libration, voici ce que je puis vous en dire à bâtons rompus : i° Je n'y ai eu recours que parce qu'il me semble que votre méthode, quoique très-ingénieuse et trèsbelle, ne sauve point les arcs de cercle et, par conséquent, n'empêche point qu'à la longue la Lune ne dût nous présenter toutes ses faces. 2^ 11 est vrai qu'elle suppose (ma méthode) une équation entre les constantes du calcul, c'est-à-dire que, la position du premier axe de rotation étant donnée, il faut supposer une certaine vitesse de rotation dépendante de cette position. Mais il y a au moins cet avantage que la position est arbitraire dans le premier axe de rotation, pourvu qu'elle diffère peu de celle de l'axe de figure et que, d'ailleurs, on ne peut ni ne doit supposer dans ce cas que l'équateur soit une ellipse, mais seulement un cercle. 3° A l'égard de ce que vous ajoutez que je n'ai pas dû supposer dV ^ — dz — dt — dh, mais dV = : — dz —- dt) sin- — dH, je pense que ma supposition est au moins aussi légitime que la vôtre. Car, en premier lieu, supposons dt^=oetdfi = o: il faut que, quand la planète aura fait une révolution entière, c'est-à-dire quand :; sera = 36o, elle représente la même face au spectateur; or, pour cela, il faut que dp = — dz, et non pas dP = — dz sïn~. En second lieu, si sin- = o, vous auriez dP = o, ce qui n'est pas nécessaire, car alors, quel que soit dP, la planète présenterait toujours la même face, en supposant au moins — dz —- di =^ o. Il est vrai que, dans ce cas de sin:: = o, il est impossible d'empêcher que la planète ne montre toutes ses faces, au moins si di ~ o, c'est-à-dire si l'axe demeure toujours parallèle à lui-même et sur le plan de l'orbite. Mais c'est un inconvénient commun à toutes les solutions.