XIII

Votre théorème sur

est charmant; j'ai trouvé moyen, ce me semble, de le généraliser beaucoup par les considérations suivantes :

I" Soit

on aura

r' log \/ 1 -T- h/i -^ x' [m ± 1 n~) = ± pr:.

j'Iogv'i -i- fih — x'Im^t.u-] —zh(77: ( ' ),

to étant le plus petit des angles qui ont h pour sinus et i pour cosinus, et pour rayon \/i + hh, n ein des nombres entiers quelconques, et p, g des nombres entiers tous deux pairs ou tous deux impairs. SijK= o, alors n = n' , ce qui revient à votre cas; et pour lors p = — ^7, et p peut être tel nombre entier qu'on voudra. Je tire ce théorème de ma méthode pour trouver la valeur de {a-{-b\'— ,)"'^"v-i^ donnée dans mon Traité des vents [-) et ailleurs.

2° De là je conclus aisément que, au lieu de votre terme (/+ /i^y , je puis mettre

x' et y ayant les conditions susdites. Je puis même metti'c

>> étant x' -hy'sj— i,p un entier positif ou négatif, et /• une constante quelconque. Je puis même encore, à ce qu'il me semble, mettre

[k-^A'{f+hx)']p,

pourvu que/)! = a^'+j'y — I, ce' et y' ayant les propriétés susdites. '5"" Je pourrai aussi mettre tant de termes qu'on voudra de cette

{ ' ) Il y a dans ces formules une inadvertance qu'il ne nous a point paru nécessaire de corriger.

(^) Réflexions sur la cause générale des vents, ly^y. in-4".

forme

[/r 4- A (/-H hxyy 4- [/, ' H- A'(/+ fia:y''y +...,

k, k étant des constantes quelconques et /A, /;')/ ayant les conditions susdites.

4° Au lieu de ces termes je pourrai mettre c ( nombre dont le log = i ) élevé à des puissances dont ces termes sont les exposants.

S*' Je pourrai de même former une quantité où tous ces termes, exponentiels ou non, seront ajoutés, soustraits, multipliés, divisés les unspar les autres comme on voudra. Dans tous ces cas, j'aurai la formule

G*' Pour avoii' maintenant le cas où le deuxième membre est 2M\/— i , je n'ai qu'à prendre tant de termes que je voudrai,

alog^ ^ \ i-t>lo" ^

que je ferai égaux à ^My— i, ce qui donne

ma [ f,) =b Cl /îtt] -\-nb[ oj dz i n'-) H- . . . = 2 M . . . ,

et ainsi du reste. Je ne doute pas même que cette métbode ne puisse être encore poussée plus loin, et je vois clairement qu'on résoudrait aussi le problème si l'on avait

a o{bx -+- cy\l — i) -\-f(^{cx -h gj'sj — 0 = "iM v' — 1 ,

et, en général,

ao[bx -V- cy^) -\- fc^icx -^ gj') = 7.M,

a, h, c, f, g, M étant quelconques, réels ou imaginaires.

Je ne suis point éloigné de penser, comme vous, que le problème de

o{x -\- y\J — I ) — 9 ( ^ — ysj — I ) = 2 M v' — •

peut se résoudre en général; on peut même en donner une espèce de démonstration en supposant ox = ^ et remarquant que l'équation devient alors

dx i.'àdx^ ' ' ' '

qui est une série infinie, etc., d'où l'on peut tirer la valeur de q en série. Mais il est bon de remarquer aussi que la solution est illusoire si X fini et = o donne 7= o en quelque point, comme il arrive dans le cas de7=/-4- hx et dans mille autres, car vous trouverez aisément que dans ce cas M sera = o pour toutes les courbes. Donc, alors, ou le problème serait indéterminé, ou les particules du fluide décriraient des courbes semblables à la courbe des parois. Or vous verrez aisément que cela est impossible. La solution est donc illusoire, quoique bonne géométriquement.

Quoique j'aie peu pensé au problème des trois corps, j'ai aussi trouvé une méthode assez simple pour intégrer l'équation sans être obligé de substituer à chaque opération la valeur précédente du rayon vecteur. En voici un essai sur l'équation

ddt + ^-tdr'--+- btcosprdr-— o.

Je remarque que chaque termeMcos^-s de / doit donner dans l'intégrale

AM coskzztpz />McosNz

~ T" K^-[k±py^ ^ N^-(/f'±/>)^'

c'est pourquoi, ayant le premier terme HcosNs de t, je mets d'abord à droite et à gauche

bU cosN^ + pz bUcosNz — pz

et au-dessous de HcosN^ les deux termes

ôHcosNz iHcosNz

Ensuite, à droite et à gauche de chacun de ces nouveaux termes, j'en mets deux autres qui sont égaux à ces nouveaux termes multipliés

par — - et divisés par N-- k'-; k, étant = à l'angle précédent augmenté de ±pz, doit aussi être ajouté à l'angle après le signe cos. Les termes qui donneraient N- — N-au dénominateur, je les mets à

part, et j'ajoute le numérateur à N- dans le terme Wtdz-, après avoir divisé ce numérateur par le coefficient de cosNs dans l'intégrale déjà trouvée.

Voilà, mon cher et illustre ami, une longue Lettre et des idées bien informes. Telles qu'elles sont, je vous prie de les regarder comme une marque du plaisir que j'ai à m'entretenir avec vous. Il ne me reste de papier que pour vous embrasser de tout mon cœur en vous demandant la continuation de votre amitié.

A Turin, ce 26 janvier 1765.

Votre long silence, mon cher et illustre ami, m'avait bien alarmé; je craignais qu'un nouveau dérangement de votre santé n'en fût la cause, et je vois en effet, par votre Lettre, que mes craintes n'étaient que trop justes. Mais êtes-vous bien rétabli à présent? Vous ne m'en dites rien; cela me rend fort inquiet. Il me semble que le voyage d'Italie vous ferait grand bien ; quand la santé est une fois dérangée, il n'y a qu'une forte secousse qui puisse la rétablir; j'en parle d'après ma propre expérience.

Je suis sans doute d'accord avec vous sur les cordes vibrantes quand la courbe initiale peut être représentée par une équation ; mais il me semble que cette condition n'est pas nécessaire pour que l'on ait

— ^ = o aux deux extrémités de la corde, et que cette quantité ne fasse

de saut en aucun endroit, ce qui est la seule condition que ma théorie exige dans la courbe initiale. Il est vrai que je ne vois pas trop comment on pourrait s'assurer que cette condition fût observée dans une courbe tracée au hasard; mais il suffît que la chose soit possible pour

qu'elle puisse avoir lieu dans la nature, et il me semble qu'il serait sans cela presque impossible de rendre raison des phénomènes des cordes sonores, qui sont d'ailleurs si bien d'accord avec la théorie. Au reste, j'ai trouvé, par une méthode tout à fait directe, que la condition dont nous parlons ne peut avoir lieu dans une courbe à équation, à moins qu'elle ne soit représentée par

T" OC O^Tv OC

r = a siii v- S sin h . . . .

L'équation

rfP =[—dz — de) sin- — d9,

que je vous ai objectée, n'est pas chez moi une simple hypothèse, mais une conséquence de mes calculs; d'ailleurs cette équation n'est qu'approchée, et elle suppose - presque droit; ainsi votre difficulté tombe d'elle-même. Au reste, si mes calculs donnent des arcs de cercle, je crois que c'est moins un vice particulier de ma théorie qu'une imperfection commune à ces sortes de solutions par approximation ; mais, au moyen de ma nouvelle méthode, j'espère pouvoir traiter ce sujet d'une manière plus exacte que je ne l'ai fait. Votre théorème sur

et les conséquences que vous en tirez m'ont enchanté; ce que je vous ai envoyé là-dessus n'est qu'un cas particulier d'une solution générale par laquelle on peut trouver o(^) dans cette équation,

«9 (^' -î- aj) -h 69 ( ;c + [3j) + . . . 3= X,

X étant une fonction quelconque de x, et j = A -h B^; et cette solution elle-même n'est aussi qu'un cas particulier d'une méthode d'intégration par laquelle je tire la valeur complète dejde cette équation du degré m,

(P, Q, . . . , X étant des fonctions quelconques de x), en supposant que

je connaisse m ou au moins m — i, valeurs particulières de y dans l'équation

Ceci fera la matière d'un Mémoire que j'insérerai dans le troisième Volume de nos Mélanges. Votre méthode pour intégrer l'équation du problème des trois corps est extrêmement simple et commode; je vous enverrai la mienne, qui en est totalement difTérente, dès que vous me paraîtrez le souhaiter; je puis me flatter d'avance qu'elle ne vous déplaira pas.

Notre Société se prépare à faire imprimer un nouveau Volume ; voudriez-vous lui faire l'honneur de décorer cet Ouvrage de votre nom? Cela ferait assurément ici un grand effet, et je ne doute pas qu'il ne hâte beaucoup son établissement. Envoyez-nous quelques-uns de vos papiers; je les mettrai en ordre et je les ferai imprimer avec tout le soin possible.

Je ne sais si vous savez qu'on doit donner ici une édition de tous les Ouvrages du célèbre Leibnitz(^); on m'a chargé de la partie mathématique, soit pour l'arrangement des pièces, soit pour les éclaircissements qui paraîtront nécessaires. On voudrait aussi que j'y ajoutasse deux mots en forme de préface (-) sur la nature et l'invention des nouveaux calculs ; mais je n'ai ni le talent ni l'exercice nécessaires pour ces sortes de choses. Si je ne craignais de faire une indiscrétion, je vous

(1) Cette édition, dédiée à Georges III d'Angleterre, fut publiée à Genève en 17G8, en 6 vol. in-4. Dans la préface générale placée en tête du premier Volume par l'éditeur Dutens, on lit ce qui suit (p. iv) : « Ludovicn etiam de lnGrano;e plaçait in partem curarum mccum vcnire, in iis prœscrtim, qnce ad Mathesin pertinebant. Utinam ei, gravissimis aliis occupation i bus districto, nwjorem mihi operam prœstare licuissetl Sunima rerte , et rjuaiitdm maximam Respuhlica literaria optare potuisset, ex prœstantissinn nuithcniatici lucubraiionibus jacta juisset ad hoc opus accessio. »

Louis Dutens, né à Tours de parents protestants, le iG janvier lyjo, mort à Londres le 23 mai 18 J2.

(2) Dutens s'excuse, dans la préface du troisième Volume, consacré aux Œuvres mathématiques de Leibnitz, de ne pas pouvoir donner une préface rédigée par Lagrange, comme il l'avait promis aux lecteurs; mais les occupations de celui-ci Font empêché de se livrer à ce travail.

prierais de vouloir bien vous en charger; il est certain que personne au monde n'y réussirait mieux que vous, et la mémoire du célèbre Leibnitz mériterait bien un pareil témoignage de reconnaissance de la part de l'un des premiers géomètres de notre siècle.

Adieu, mon cher et illustre ami, portez-vous bien et conservez-moi votre précieuse amitié.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce i mars 1765.

Mon cher et illustre ami, ma santé est beaucoup meilleure, mais elle a encore éprouvé des alternatives, depuis deux mois, qui m'obligent à observer un grand régime, surtout par rapport au travail. Je suis comme sûr de la rétablir, au moyen de ce que j'ai renoncé non-seulement aux remèdes des médecins, mais encore au genre de vie qu'ils m'avaient conseillé et qui ne valait pas mieux. Il faut avouer que la Médecine est une belle chose; je la regarde comme au-dessous de la Théologie.

J'ai bien de la peine à croire qu'une courbe tracée au hasard et sans

d" T aucune équation possible soit telle que -y-^ n'y soit jamais fini ni

infini à l'origine et n'y fasse jamais de saut nulle part. Il suffit d'ailleurs qu'il soit impossible de démontrer le contraire pour que la solution soit illusoire dans ce cas-là; et, à l'égard de ce que vous ajoutez qu'il n'y a pas moyen d'expliquer autrement que par cette supposition les phénomènes des cordes sonores qui s'accordent avec la théorie, je vous répondrai ce que j'ai déjà dit ailleurs : que, pour l'ordinaire, la première figure de la corde vibrante est un triangle, qui est exclu par vous-même de la solution. A cette occasion, je vous invite à lire les notes que Daniel Bernoulli a mises contre vous (et un peu contre

moi) dans notre Volume de 1762 ( ' ), qui vient de paraître. Elles soni un peu impertinentes, mais il vous donne beau jeu et à moi aussi, et j'espère bien, pour ma part, lui en dire deux mots quelque jour. Il me semble que l'équation

dP -= — dz — de) sinr — dO

ne résulte point de votre théorie; j'y trouve bien l'équation

lang((o -+■ 6) = cosn (lange — s)

à laquelle vous parvenez dans votre excellente pièce et <jui résulte aussi de mes formules; mais l'équation

dP =^ [— dz — de) s'mr, -- d9

ne résulte pas de celle-là, et il me semble qu'il est nécessaire que sin- ne se trouve point dans cette équation pour que la Lune nous tourne toujours à peu près la même face; car, quand même sin- différerait peu de l'unité, P serait fort différent de — :; — s au bout d'un grand nombre de révolutions.

J'ai donné, dans la première édition de mon Traité de Dynamique (-), une méthode pour intégrer l'équation

ddy -T- M^dz- 4- Vdz- =-- o,

qui me fournit un moyen très-simple d'intégrer l'équation

lorsqu'on a 7/2 — i valeurs de j en a? dans le cas de X = o. Soit j = vz, z étant une de ces valeurs et p une indéterminée variable; j'aurai

dx dx-

et, substituant, il me viendra une équation du degré m qui n'aura

( 1 ) Foir le Mémoire de Bernoulli intitulé : Recherches physiques, mécaniques et analytiques sur le son et sur le tan des tuyaux (Vorgues différemment construits, dans les Mémoires de F Académie des Sciences de 1762. Les notes auxquelles d'Alembert fait allusion se trouvent aux pages 432, 437 et 441 .

(2) La première édition de ce Traité est de 1743. 11 a été réimprimé en 1758 et 1796.

xm. 5

34 COKUESPONDANCE

d'inconnue que v et point de terme où soit V; donc, faisant -j^^q, j'aurai une équation du degré m ~ i où j'aurai m— 2 valeurs de q

dans le cas de X = o, puisque (^ ou - a m— 2 valeurs connues (hyp.)

^ dv , . .....

et par conséquent ^ ou </; donc, en continuant ainsi, j arriverai a une

équation de cette forme

(Ir -4- Z idz -+- Çf/s = o,

qui est évidemment intégrable.'

Je voudrais fort pouvoir faire ce que vous désirez par rapport à la Préface des OEuvres de Leibnitz; mais, sur l'invention et la nature du Calcul différentiel, je ne pourrais guère que répéter ce que j'ai dit au mot Différentiel de V Encyclopédie. Vous m'avez dit, ce me semble, avoir sur cela des vues dont vous aurez occasion de faire part au public dans cette Préface. D'ailleurs, le régime que je suis obligé d'observer ne me permet pas ce surcroit d'occupations, d'autant que j'ai plusieurs choses de différent genre sur le métier, auxquelles je donne tous les moments dont je puis disposer. Vous recevrez, à ce que j'espère, bientôt VHistoire de la destruction des Jésuites (M, que j'ai fait imprimer à Genève, non pas celle que je vous ai lue, mais le même fond avec beaucoup d'adoucissements. J'ai tâché d'y mettre en finesse ce que j'avais mis en force dans l'autre, et je crois que le diable et la Société, et tous les fanatiques, jansénistes, molinistes, augustinistes, congruistes et autres fous en istes, n'y perdront rien.

A l'égard de ce que vous me proposez, mon cher et illustre ami, d'insérer un Ouvrage de ma façon dans vos Mémoires, c'est un honneur auquel je suis très-sensible et auquel je désire fort de pouvoir répondre. Mais comme je veux éviter les tracasseries avec l'Académie, où je ne donne point de Mémoires par les raisons que je vous ai dites, et même avec l'Académie de Berlin , où depuis longtemps je n'en envoie pas

(•) Le Livre est intitulé : Si(r la deslrnclinii des Jésidtes en France, par un aiiloiir désintcressé. Sans lieu d'impression, MDCCLXV; in-iv..

jm: la grange avec d'alembekt. 35

non plus, voici ce que je pourrais faire : ce serait de vous écrire une grande Lettre où je traiterais fort sommairement difTcrentes matières et où (ce qui est plus important et plus clier pour moi) j'aurais occasion de vous rendre, sans avoir aucun air de flatterie, la justice que vous méritez. Vous pourriez donner à cet écrit le titre {['Extrait de différentes Lettres de M. d' Alemberl à M. de la Grange ('); ce serait comme une espèce d'analyse des principales choses que je dois traiter dans le quatrième Volume de mes Opuscules. Voyez si cela vous convient, et, en ce cas, dites-moi dans quel temps il faudra que cela soit prêt. Vous })0uvez compter sur ma parole, pourvu que j'aie du temps devant moi, car je ne veux ni ne puis me presser; ma santé ne me permettant pas un long travail de suite sur la même matière.

J'oublie de vous dire que j'ai trouvé dans mes paperasses une vieille Lettre de Leibnitz à Varignon, bien authentique et signée de sa main. Elle ne vaut pas grand'chose, mais je vous l'envoie pour en faire l'usage que vous jugerez convenable [-). Encore une fois je voudrais fort vous faire le plaisir que vous me demandez au sujet de la Préface ; mais cette besogne me rit peu, surtout dans un moment où j'ai beaucoup de choses commencées et peu de temps pour les finir. Adieu, mon très-cher et très-digne ami; vous avez bien raison de dire qu'un voyage (et surtout en Italie) serait peut-être le plus sûr et le plus prompt moyen de me rétablir; mais il faudrait pour cela être assez à mon aise pour faire le voyage tout seul, car je ne veux point de compagnon. M. Watelet seul me convenait, et je n'en retrouverais pas aisément un autre. Or, il s'en faut beaucoup que je sois en état de voyager sans me gêner. C'est tout ce que je puis faire, avec les charges que j'ai, d'attraper le bout de l'année en vivant avec beaucoup d'économie; je ne m'en plains pas, car vous êtes encore plus maltraité dans votre pays que je ne le suis dans le mien. 11 faut s'en consoler.

( 1 ) C'est en effel le litre qui fut adopté par Lagrange.

(-) Cette Lettre sur les Inclinations centrales est insérée dans le Tome IJl de l'édition de Leibnitz, de Dutens, page 4o4, avec la mention suivante : Communi<iuéc h l'éditeur pnr M. d'AUinbert.

A Turin, ce ao mars ijGS.

Mon cher et illustre ami, je vous remercie de votre Lettre du 2; elle est toute pleine d'amitié et de confiance, et calme un peu mes inquiétudes sur votre santé; je crois que vous avez bien fait de renoncer aux remèdes des médecins; votre estomac, délabré par le travail, ne veut pas être tracassé, et il ne lui faut, à mon avis, que du l'égime et du repos.

Je brûle de voir votre Histoire de la destruction des Jésuites. Il n'y en a encore ici qu'un exemplaire, que je sache; il est entre les mains du cardinal délie Lanze (' ;: mais nos libraires ne seront pas longtemps sans en recevoir, pourvu néanmoins qu'ils ne tombent pas entre les griffes d'une certaine bête qui guette toujours avec une extrême vigilance tous les Livres nouveaux, et surtout ceux qui viennent de delà les monts. Au reste, comme cet Ouvrage est plutôt contre que pour les Jésuites, il est à espérer qu'il trouvera grâce devant nos fous en istes (") et qu'ainsi on le laissera passer librement.

Je recevrai avec le plus grand plaisir le Mémoire dont vous voulez bien honorer notre troisième Volume (^). La forme que vous croyez devoir lui donner, pour éviter toutes tracasseries, n'en est que plus honorable pour moi et peut-être aussi plus convenable à l'état présent de notre Société. Vous pouvez prendre pour cela autant de temps que vous voudrez; nous ne sommes nullement pressés.

Je vous remercie de la Lettre de Leibnitz que vous avez eu la bonté de m'envoycr; je l'ai déjà mise à sa place dans le recueil des pièces

(,1) Cliarlos-Viclor-Amédée délie Lanze, de Turin, créé cardinal en 17 17.

(2) Voir plus haut, p. S-J.

(3) Voir plus haut, p. 3.{.

mathématiques de l'auteur, que j'ai entre les mains. Je souhaitais fort que vous voulussiez vous charger d'y faire une Préface, car il risque de n'en avoir aucune, ou bien, ce qui serait encore pis, (h n'en avoir qu'une mauvaise; mais les excuses que vous alléguez sont Irès-bonnes, et je n'ai garde de m'y opposer.

.T'ai lu le Mémoire de M. Daniel Bernoulli sur la théorie des tuyaux d'orgues ('); il n'a fait que délayer dans un long verbiage ce que j'avais mis, dans quelques formules algébriques, dans mes deux Mémoires sur le son; encore ne l'a-t-il fait qu'imparfaitement et dans le seul cas particulier de l'isochronisme des vibrations. Cependant il a le front de dire qu'il n'a trouvé dans aucun Traité les vibrations de l'air exactement décrites; mais je lui donnerai bien sur les doigts.

Votre méthode pour intégrer l'équation

dx dx-

est très-belle; la mienne en est totalement diff^ente et elle a l'avantage de donner tout d'un coup la valeur de y, moyennant quoi l'on peut aussi l'appliquer aux équations infinies.

Quant à ce que vous m'objectez à l'égard de l'équation

c?P = (— dz — f/£ ) sin 7: - d^,

je n'insisterai pas davantage sur ma prétention; outre que je n'ai point de copie de ma pièce sur la libration, j'ai si bien oublié tout ce que j'ai écrit sur ce sujet, que je ne me souviens presque plus de l'avoir traité; mais j'espère y revenir quelque jour, et je remets à ce temps-là notre discussion. A l'égard de celle qui roule sur les cordes vibrantes, elle est maintenant réduite à un point qui échappe, ce me semble, à l'analyse. Au reste, j'ai trouvé par une voie tout à fait directe qu'en admettant dans la figure initiale les conditions que vous y exigez, la solution se réduit à celle de M. Bernoulli, savoir :