XIII. a

souhaite que vous en soyez content. Cet Ouvrage a plus le mérite de l'utilité que celui de la difficulté vaincue.

L'auteur de la Lettre sur les Jésuites que vous avez lue me charge de vous dire qu'il est très-flatté de votre suffrage; il vient de faire faire une nouvelle édition de la première et de la seconde Partie, avec un Appendice sur l'expulsion des Jésuites de Naples et d'Espagne, et il vous enverra ce Volume le plus tôt qu'il pourra.

Adieu encore une fois, mon cher et illustre ami; portez-vous bien et aimez-moi toujours, et parlez-moi un peu de ce qui vous occupe. C'est presque la seule consolation qui me reste d'entendre parler de Géométrie, comme aux gourmands qui ont un mauvais estomac de voir manger aux autres ce qu'ils craignent de ne pas digérer. Vale, vale. J'attends avec impatience le Volume de l'Académie que M. Bitaubé doit m'envoyer. Je vous écrirai plus au long quand je ne serai plus obligé d'écrire aux lumières, qui fatiguent beaucoup ma vue.

A Berlin, ce 5 mars 1768.

Mon cher et illustre ami, j'ai lu avec autant de satisfaction que de fruit votre nouveau Mémoire sur les verres optiques, et j'en attends la suite avec la plus grande impatience. J'ai vu surtout avec beaucoup de plaisir comment vous parvenez aux dimensions des deux objectifs que vous aviez déjà proposés dans le troisième Volume des Mélanges de Turin, et je ne doute pas que ces deux objectifs, étant bien exécutés, ne fassent un effet surprenant, pourvu néanmoins que les rapports de réfraction et de dispersion soient tels que vous les supposez. C'est pourquoi je voudrais que quelqu'un de vos plus habiles artistes entreprît de les exécuter, pour qu'on ne puisse pas dire, au préjudice de la

Géométrie, que, tandis que les Français, les Allemands et les Italiens calculent, les Anglais font seuls, et sans calcul, d'excellentes lunettes. Au reste, vos recherches ont pour moi et doivent avoir nécessairement pour tous les géomètres un mérite indépendant du succès de l'expérience, car, quand même toute cette matière ne serait que de pure curiosité géométrique, elle vaudrait autant la peine d'être approfondie qu'une autre, et il n'y aurait pas moins de gloire, à mon avis, pour celui qui y réussirait le mieux.

Je suis très-flatté de l'empressement que vous me témoignez de voir mon petit Mémoire sur les tautochrones, mais je le serai bien davantage de votre approbation, s'il peut la mériter. Je ne sais si M. Bitaubé a trouvé une occasion pour vous faire parvenir le Volume où il a été inséré avec le vôtre sur la même matière. Elles sont très-rares, parce que nos marchands ne font guère d'envois à Paris; c'est pourquoi je voudrais vous proposer de me permettre de vous envoyer dorénavant nos Volumes par la poste à mesure qu'ils paraîtront, ce qui est, ce me semble, le seul moyen de vous les faire tenir avec exactitude. Je les affranchirai jusqu'à Strasbourg, et vous n'aurez plus qu'à payer le port de Strasbourg à Paris, ce qui ne saurait jamais monter à grand'chose, surtout en prenant la voie du coche. M. Métra pourrait vous donner des lumières là-dessus, et, en tout cas, si la dépense était considérable, je tâcherais de m'arranger avec M. Michelet pour que vous les receviez tout à fait francs de port.

Je m'occupe depuis quelque temps du problème des trois corps, et je ne désespère pas de pouvoir concourir pour le prix de votre Académie si elle le remet à l'année 1770, comme vous m'en assurez. La nôtre proposera aussi un prix de Mathématique dans la prochaine assemblée publique du 3o mai. Si vous saviez quelque sujet qui méritât particulièrement l'attention de savants, je vous serais très-obligé de m'en faire part. Qu'est-ce que c'est qu'une Histoire impartiale de la Société jésuitique depuis son commencement jusqu à sa destruction (') qui

(') L'Ouvrage est de Linguet. Voici son titre exact : Histoire impartiale des Jésuites de-

a paru depuis peu en France? Serait-ce celle que je connais déjà en partie et dont j'attends la suite avec impatience? Adieu, mon cher et illustre ami ; ayez soin de votre santé et surtout ménagez vos yeux. J'attends une Lettre d'Euler, mais je sais qu'il se porte bien et sa famille aussi, et qu'il est aussi content de son nouveau sort que je le suis du mien. Je vous embrasse de tout mon cœur et je suis à vous pour îa vie.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce 21 mars 17G8.

Mon cher et illustre ami, je suis fort aise que vous ayez été content de mon Mémoire sur les verres. J'espère vous en envoyer bientôt un second, auquel je joindrai deux exemplaires de l'Ouvrage de M. de Condorcet ( '), que vous n'avez point reçu; il y en a un pour vous et un pour l'Académie. Vous aurez aussi bientôt le quatrième Volume de mes Opuscules, qu'on achève d'imprimer, mais où vous trouverez peu de choses qui puissent vous intéresser et que vous ne connussiez pas déjà. J'ai déjà mis sous presse le cinquième, qui paraîtra dans cinq ou six mois, et c'est à peu près toute mon occupation que de corriger les épreuves; encore cette besogne me fatigue-t-elle beaucoup, car ma pauvre tête n'est guère capable d'application. Je dors si mal depuis quelque temps, que je ne me lève presque jamais avec des idées nettes, et il faut que, pour quelque temps au moins, je me résolve à végéter.

Vous pouvez être assuré que le prix de la Lune sera remis à l'année

l>iiis leur ctciblisscnieiit jusqu'à leur première expulsion , Madrid (Paris), 1768, iii-8". Simon-Nicolas-Henri Lingiiet, avocat et publiciste, né à Reims le 14 juillet ijSG, mort sur lY'chafaud à Paris le 27 juin 1794.

(^) Essais d'Analyse, 1768, in-4''.

prochaine, et je serai fort aise que vous vouliez y concourir. Je n'ai point encore reçu le Volume de 1765 de vos Mémoires, quelque impatience que j'aie de le lire. Faites-moi le plaisir de savoii' de M. Bitaubé s'il n'a point encore trouvé d'occasion pour me le faire parvenir, et, en cas qu'il n'en ait pas trouvé, j'accepte l'offre que vous voulez bien me faire de m'envoyer directement les Volumes à mesure qu'ils paraîtront. Il me manque Gi, 62, 63 et 65, car j'ai 64. Ayez la bonté de vous adresser pour cela à M. Miclielet et de le prier de les adresser à M. de Catt, ou par quelque occasion, ou, s'il n'en trouve pas de prochaine, par la voie publique la moins coûteuse qu'il pourra. M. de Catt, à qui j'en ai parlé, m'a dit qu'il pourrait les envoyer à Strasbourg à quelqu'un qui les adresserait ensuite à M. de Catt par le coche. Si M. Michelet connaît quelque autre moyen moins coûteux, il pourrait s'en servir; mais je crois que celui-là ne l'est pas beaucoup, et je préférerais un moyen un peu plus cher, mais un peu plus prompt. En un mot, mon cher ami, arrangez tout avec M. Michelet pour le mieux, mais il n'est pas juste que vous payiez les frais du port de Berlin à Strasbourg; je ne le- veux pas absolument, et vous pouvez aisément vous en dispenser en remettant le paquet à M. Michelet, à qui je tiendrai compte de ses déboursés, que je remettrai à M. de Catt. Je vous serai bien obligé de vous servir de cette voie pour me faire parvenir vos Mémoires à mesure qu'ils paraîtront, et même ce qui pourra paraître d'intéressant chez vous en Mathématique.

V Histoire impartiale des Jésuites est un Ouvrage assez bon et en effet assez impartial, mais trop long, trop plein de choses étrangères au sujet, et qui d'ailleurs ne va que jusqu'en 1095 et n'ira pas plus loin, car notre illustre Parlement vient de la brûler ('). Je tâcherai, si je puis en avoir un exemplaire, de vous envoyer une seconde édition du mien avec les Suppléments que j'y ai faits. Adieu, mon cher et illustre

(1) « Avant-hier on a brûlé au pied du grand escalier (du Palais) un Livre intitulé VHistoire impartiale des Jésuites. L'arrêt du Parlement, rendu le 19 janvier et publié aujourd'hui, le condamne comme contenant des maximes dangereuses, des principes erronés et une déclamation indécente contre tous les monastiques. » [Mémoii-es seci-ets de la Répiibli(jue des Lettres, année 1768, i''"' février.)

ami; portez-vous bien et aimez-moi. M. Fontaine et M. de Borda (') viennent de nous lire chacun un Mémoire sur les isopérimètres; ils prétendent que votre méthode sur cet objet n'est pas complète. Je n'ai pas la tête assez capable de travail pour vous dire s'ils ont raison; mais en tout cas vous êtes bon pour leur répondre, et je n'en suis pas embarrassé. Iterum vale et me ama.

A Monsieur de la Grange, directeur de la Classe mathématique de l'Jcadémie des Sciences, à Berlin.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce 29 avril 1768.

Mon cher et illustre ami, le quatrième Volume de mes Opuscules vient enfin de paraître, et j'ai remis à M. Métra un paquet adressé à l'Académie des Sciences, qui renferme un exemplaire de cet Ouvrage pour vous et un pour l'Académie. Outre cela, il y a encore dans ce même paquet un exemplaire du second Ouvrage de M. de Condorcet, qui vous est destiné, un exemplaire de mon second Mémoire sur les lunettes achromatiques et un exemplaire de Xça Destruction des Jésuites, nouvelle édition avec les Suppléments. Ayez soin de vous fiire remettre ces Livres par M. Formey. Il y a d'ailleurs dans le paquet un petit mémoire de la destination de chaque exemplaire ou Volume. Je vous recommande, si vous prenez la peine de relire la Destruction des Jésuites, de faire auparavant les corrections indiquées dans V Errata, car l'Ouvrage est plein de fautes grossières.

(1) J.-C, clievalier de Borda, marin, géomètre, astronome, adjoint-géomètre (i "56), puis associé (1768) de l'Académie des Sciences, né à Dax le 4 mai 1733, mort à Paris le 20 février 1799.

DE LAGRANGE AVEC D'ALEMIîERT. m

Vous ne trouverez guère dans mon quatrième Volume que des choses que vous connaissiez déjà pour la plupart. Daniel Bernoulli y est assez malmené (*); nous verrons ce qu'il dira. Vous y verrez, sur le Calcul des probabilités, des réflexions qui pourront mériter votre attention ; je suis convaincu que tout ce Calcul a des fondements bien peu solides. J'ai parlé de vous dans ma Préface comme je le dois à tous égards, ;i l'occasion de notre controverse sur les vibrations des cordes (-).

Le cinquième Volume s'imprime actuellement et sera fini dans cinq ou six mois au plus tard. Je n'ai point encore reçu le Volume de 1765 (^); je ne sais môme s'il est parti. Je vous serai très-obligé de m'envoyer les Volumes à mesure qu'ils paraîtront; pourvu que les frais de port ne soient pas excessifs, je les payerai volontiers, plutôt que d'attendre si longtemps ce qui vient de vous. M. Miclielet vous procurera sûrement avec plaisir plusieurs moyens de me les faire parvenir, ou par quelque occasion, ou par les voitures publiques, h des frais modiques.

Le prix de la théorie de la Lune a été remis, et je compte que nous aurons sur ce sujet quelque chose de vous. Voilà un petit papier que

(1) En voici quelques exemples tirés du premier Supplément au Mémoire Sur les vibrations des cordes sonores [Opuscules nuithëniatiques,{. IV) : « Un célèbre géomètre, qui n'est ni M. de la Grange ni M. Euler, prétend prouver par un singulier raisonnement... » (p. i56). « Il ne s'agit pas de conjecturer, mais de démontrer, et il serait dangereux (quoiqu'à la vérité ce malheur soit peu à craindre) qu'un genre de démonstration si singulier s'introduisît en Géométrie. Ce qui pourra seulement paraître surprenant, c'est que de pareils raisonnements soient employés comme démonstratifs par un mathématicien célèbre... » (p. iS-). Foir encore p. 176 et 177.

("-) D'Alembert, en effet, commence ainsi le Mémoire cité dans la note précédente : « Dans le premier Volume de mes Opuscules, j'ai fait sur cette matière différentes réflexions, dont une partie avait pour objet la savante solution du problème des cordes vibrantes donnée par M. de la Grange dans le premier Volume des Mémoires de r Académie des Sciences de Turin, solution par laquelle ce grand géomètre prétendait prouver contre moi que ce problème pouvait toujours se résoudre, quelle que fût la figure initiale de la corde. Ce célèbre mathématicien a fait une savante réponse à mes réflexions dans le second Volume des mêmes Mémoires ; c'est cette réponse que je me propose de discuter encore, non pour prolonger cette controverse avec un savant pour lequel je suis rempli de la plus grande estime et qui d'ailleurs paraît aujourd'hui s'être presque entièrement rapproché de mon avis, mais parce que cette discussion épineuse et délicate en recevra de nouveaux éclaircissements qui pourront être utiles dans d'autres occasions. » [Opuscules, t. lY, p. 128. )

(^) Des Mémoires de V Académie de Berlin.

M. Bailly me donna hier à l'Académie et sur lequel il vous prie de lui faire un mot de réponse.

On m'écrit qu'on désirerait fort de me voir à Berlin cette année, mais ma santé est trop chancelante et m'oblige à un trop grand régime pour entreprendre un voyage. Je ne désespère pourtant pas de le pouvoir faire encore une fois, mais il faut pour cela que je ne craigne pas de rester en chemin au pied de quelque arbre. Un de mes plus grands plaisirs sera sûrement de vous embrasser et de vous dire combien je vous aime et vous estime. Vale et me ama.

A Monsieur de la Grange, de l'J codé mie royale des Sciences de Prusse, à Berlin.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce i6 juin 1768.

Mon cher et illustre ami, j'ai enfin reçu les deux Volumes de vos Mémoires de 1765 et 1761. Je n'ai encore eu le temps, vu le peu de force de ma tête, que de parcourir votre ÎMémoire sur les tautochrones. Il me semble que votre méthode est très-belle et très-directe, et je n'ai pas trop compris ce que M. Fontaine prétend y objecter, d'autant plus que vous avez ajouté à votre Mémoire un Appendice qui donne une solution infiniment simple (et beaucoup plus simple que la sienne) et qui s'accorde avec le résultat que j'ai trouvé aussi. J'espère, si ma santé me le permet, vous envoyer quelques rogatons vers la fin de cette année. Vous avez grand tort de croire que les raisons qui m'empêchent d'aller vous embrasser soient des défaites ('). Il est certain que j'ai besoin, pour n'être pas sur les dents, de mener la vie du monde la plus réglée

(1) Ceci répond à une Lettre de Lagrange que nous n'avons pas.

et la plus uniforme, et que je dois (soit dit entre nous) le dérangement de ma santé depuis cinq ans à mon voyage de Berlin, et surtout au séjour de Potsdam, dont Tair humide et marécageux m'a été fort nuisible. Je ne désespère cependant pas d'aller encore une fois vous embrasser, et je présume que ce pourra être en 1 770, mais je vous demande le secret là-dessus; il me serait difficile de m'absenter l'année prochaine, parce que je serai directeur de l'Académie, et que j'aurai plusieurs raisons pour ne pas m'éloigner et m'exempter des fonctions de cet emploi. M. Bailly vous remercie du papier que vous lui avez envoyé, et il vous écrira à ce sujet quand il en aura fait usage.

Je suis bien aise que vous ayez choisi les lunettes achromatiques pour sujet de pi'ix; l'article des oculaires surtout a besoin d'être approfondi. Je vous enverrai incessamment un carton que j'ai fait à mon dernier Mémoire, et qui concerne cet objet. Je ne puis vous répondre de m'en occuper pour concourir; j'ai une répugnance presque invincible pour les calculs arithmétiques que ce sujet exigerait, et je ne veux plus faire de la Géométrie que pour m'amuser et tuer le temps.

A propos, vous me mandez que M. Métra m'a dû remettre les deux Volumes de l'Académie francs de port : je n'entends nullement que les frais soient sur votre compte; j'ai déjà payé 7*10^ à M. Métra, qui me les a demandés, et je l'ai prié de rembourser à M. Michelet, qui vous le remettra, ce qu'il peut lui en avoir coûté, ou plutôt à vous. Vous sentez, mon cher ami, que cela ne doit pas être autrement; sans quoi, vous m'ôteriez la liberté d'en user avec vous comme je fais en vous priant de m'envoyer vos Mémoires dès qu'ils paraîtront. Par une suite de cette même liberté, je vous prie d'adresser de nouveau vos Lettres à M. de Catt, afin que je les reçoive franches de port. Mille pardons, mon cher ami, de ces détails; portez-vous bien, continuez à travailler pour l'avancement des Sciences : je ne suis plus guère en état de courir dans la lice, mais je vous y verrai avec grand plaisir faire des pas de géant. Je vous invite à ne pas oublier la théorie de la Lune, et je contribuerai avec grand plaisir à vous faire donner 5ooo livres. Vale et me ama.

XIIL i5

lli CORRESPONDANCE

Voici (en cas que vous ne l'ayez pas présent) l'énoncé du sujet : Perfectionner les méthodes sur lesquelles est fondée la théorie de la Lune, fixer par ce moyen celles des équations de cette planète qui sont encore incertaines, et examiner en particulier si l'on peut rendre raison, par cette théorie, de l'équation séculaire du mouvement moyen de la Lune.

Du i8 juin.

P. -S. — Je viens de recevoir le carton dont je vous ai parlé dans cette Lettre, et je vous en envoie un exemplaire pour vous et un pour M. de Castillon, à qui je vous prie de le faii'e remettre. M. Métra, qui part ces jours-ci, veut bien se charger de vous remettre ma Lettre et mon petit rogaton.

Dites-moi, je vous prie, que signifient les élections que vous avez laites depuis quelque temps : M. d'Avila (*), M. de Sozzi (-), M. Élie de Beaumont (^), tous fort honnêtes gens sans doute, mais, ce me semble, très-peu académiques? Quand pourrai-je proposer l'abbé Bossut? J'en ai parlé deux fois au roi, qui ne m'a point fait de l'éponse à ce sujet. Adieu, mon cher ami. J^ale et labora.

Di .

A Berlin, ce i5 août 1768.

]Mon cher et illustre ami, j'ai reçu depuis quelque temps deux de vos Lettres, l'une par]\LM. Girard Michelet et G'*", et l'autre par M. Métra,

(1) /'o/V-plus haut, }). io3, note i.

(2) Louis-François Sozzi, avocat, littérateur, né à Paris le 4 octobre 1706. 11 fut nommé membre externe de l'Académie de Berlin le 1 4 avril 1 768 .

( 3 ) J.-B. -Jacques Élie de Beaumont , jurisconsulte qui se rendit célèbre par son Ménwirc pour les Calas [\-{^x)^ né à Carentan en octobre i7'3a, élu membre externe de l'Académie de Berlin, le '.^8 avril 1768, mort à Paris le 10 janvier 1786.

(jui vous rendra celle-ci. J'ai reçu aussi tous les Livres que vous avez eu la bonté de m'envoyer, à l'exception seulement de la Destruction des' Jésuites qu'on m'a dit avoir été confisquée à Strasbourg, ^[ais M.Bitaubé, qui en a un exemplaire, m'a promis de me le prêter, et je ne manquerai pas d'en profiter. Si ma reconnaissance pouvait encore être augmentée, elle le serait infiniment par les présents que vous venez de me faire, et surtout par la manière extrêmement honorable dont vous avez bien voulu parler de moi dans vos nouveaux Opuscules ('), d'autant plus que je ne puis la regarder que comme un pur effet de votre amitié.

Je n'ai pas pu lire encore votre dernier Mémoire sur les verres optiques, parce que JM. Beguelin, à qui je l'ai d'abord prêté parce qu'il s'occupe fort de ces matières, ne me l'a pas encore rendu; mais, en revanche, j'ai bien lu et relu vos Opuscules, et j'ai même fait par-ci par-là différentes remarques que je vais soumettre à votre jugement.

J'ai été enchanté de votre solution du mouvement d'un corps quelconque; j'en ai aussi donné une dans un Mémoire que j'ai lu l'année passée à l'Académie, mais la vôtre a sur la mienne et sur celle de M. Euler l'avantage de l'élégance et de la simplicité du calcul. Quant à la manière de déterminer les axes principaux, je trouve aussi la vôtre préférable à celle de M. Euler; pour moi, j'en ai fait abstraction, et ma solution est indépendante non-seulement de cette considération, mais aussi de celle de la rotation du corps autour d'un ou de plusieurs axes. Au reste, j'ai peine à vous accorder la proposition que vous avancez dans l'article 80 du vingt et unième Mémoire (p. 29); au moins il ne me paraît pas que le calcul sur lequel vous l'appuyez soit tout à fait concluant. Cette proposition est, ce me semble, dans le même cas que celles des pages 18 r et 190 du troisième Volume de vos Recherches sur le système du monde (^), et dont nous avons beaucoup causé autrefois. Il me paraît évident que ces propositions ne sont vraies qu'à peu près, c'est-à-dire aux quantités du second ordre et des ordres ultérieurs près,

(1) Voir la note 3 de la page 2.

(2) Recherches sur différents points imporlnnis du système du monde. Paris, 1704- 17 56. 3 vol. in-'i".

qu'on néglige dans le calcul. Or vous sentez bien que, si les forces qui résultent de la rotation du corps ne se détruisent pas entièrement et rigoureusement, les forces restantes, quelque petites qu'elles soient, doivent nécessairement produire quelque changement dans l'axe de rotation et dans la vitesse. A l'égard des cordes vibrantes, je n'ai rien à ajouter à ce que j'en ai dit dans le troisième Volume des Mémoires de Turin, d'autant plus qu'il me semble que nous sommes à présent presque entièrement d'accord sur cette matière; je ne saurais cependant me rendre aux raisons avec lesquelles vous combattez l'analyse de la page 221 de ce Volume. Je conviens que le développement de la fonc-

tion o{t-i-a) en o{t^ ^ ^~^t ' P^^*^ donner des séries divergentes; mais cet inconvénient n'intlue point, ce me semble, sur le résultat de mon calcul, résultat qui ne dépend nullement de la somme de la série dont il s'agit.

L'exemple que vous apportez à la page 345 pour fortifier votre objection ne me paraît pas décisif, car : i" je trouve qu'il est possible de

réduire j' à cette forme

a — [3 cos>' -i- •/ cosa r — . . . . En effet,

y = sinj -T- a sin^j— b sin-'j - . . . ;= smy^[a' — b' cosiy -f- c' cos4;' -f- . . . ;

donc

I — ces'- >' ,,,,,, , „ , >

j-=: [a -r- b C0S1)- ~ c cos-j j'-i- . • • j

=3 a'" 4- b'" cos 2j- "- c'" cos4j^- -^ . . . ; donc, extrayant de part et d'autre la racine cubique, on aura

j'' = a -f- y cosTij-f- ôcos4^'

2*" En faisant x - sino; — j et i — cos^ — ::, j'ai cos^=i — z, smx=z^iz — z

donc

X ^= y -\- \J 1 z — z-, et, par conséquent,

/>. z — z- ^= sin ( r -:- \Jiz — z- ),

d'où il est aisé de tirer :; par approximation. Or, supposant d'abord z tort petit, on aura

v/'2S=:sin7-i-cos/v'2 2;

donc

, — sinr . I — cos^r i|cosr

y/az =z el iz= — = ■- ,

l — COSJ (l — COS^j- 1 — cosj^-

expression qui se réduit évidemment à cette forme : a + j3 cosy -{- y cosiy + . . . .

Votre démonstration du principe de la force d'inertie est très-belle et très-ingénieuse; il serait seulement à souhaiter qu'on pût la rendre un peu plus simple et plus courte, ce qui ne me paraît pas impossible.

Au reste, celui de tous les Mémoires qui composent votre quatrième Volume que j'estime le plus, et qui doit selon moi mériter le plus l'attention des géomètres, c'est celui qui roule sur le Calcul intégral ('). Je l'ai déjà bien étudié et je me propose de l'étudier encore pour profiter des vues ingénieuses et nouvelles que vous y donnez, et à l'aide desquelles je ne doute pas qu'on ne puisse aller bien loin dans cette matière.

Vous me demandez, mon cher ami, qu'est-ce que signifient les deux dernières élections que notre Académie a faites (car, pour celle de M. d'Avila, je vous en ai rendu compte dans le temps, si je ne me trompe); je vous réponds que je n'en sais rien et que nous n'avons fait que nous conformer aux ordres du roi, qui s'est réservé depuis quelques années non-seulement la nomination, mais même la présen-

(') Recherches de Calcul uitégral, p. 22 5-28>..

talion de nos associés. En vérité, mon cher ami, nous sentons de plus en plus le besoin de vous avoir à la tête de notre Compagnie, et il me semble que, quand vous n'auriez d'autre raison d'accepter la place que le roi vous a destinée que celle de pouvoir contribuer au maintien d'une des principales Académies de l'Europe, cette raison devrait être plus que suffisante pour vous déterminer, aux dépens même de votre tranquillité philosophique. Je souhaite que vous ne changiez point de résolution d'ici à l'année 1770, à laquelle vous avez renvoyé votre voyage à Berlin. 3îalgré tout ce que vous me dites, je ne puis me persuader que les voyages soient nuisibles à votre santé. Je ne puis rien dire de l'air de Potsdam, n'y ayant séjourné que trois jours; mais je puis bien vous assurer, d'après ma propre expérience, que celui de Berlin est très-sain et très-bon pour les géomètres.

Je me suis plaint à ^I. Métra de ce qu'il vous a fait payer le port des deux derniers Volumes de l'Académie. Il en a rejeté la faute sur ses commis, et il m'a promis d'avoir soin dorénavant que tout ce qui vous sera adressé de ma part vous soit remis franc de port. Ainsi, j'exige de votre amitié que vous acquiesciez à cet arrangement et que vous ne donniez jamais le moindre argent pour cela, quand même on vous en demanderait.

Tous n'avez pas besoin de m'encourager à travailler pour le prix de la Lune; j'ai déjà bien des matériaux tout prêts et j'ai même déjà lu à l'Académie deux Mémoires sur le problème des trois corps, lesquels contiennent différentes vues nouvelles dont je compte faire usage dans la théorie de la Lune. Je me suis occupé, ces jours passés, pour diversifier un peu mes études, de quelques problèmes d'Arithmétique, et je vous assure que j'y ai trouvé beaucoup plus de difficultés que je ne croyais. En voici un, par exemple, dont je ne suis venu à bout qu'avec beaucoup de peine : Un nombre quelconque entier, posilif et non carré n étant donné, trouver un nombre entier et carré x- tel que nx- -\- i soit un carré. Ce problème est d'une grande importance dans la théorie des quantités carrées qui font le principal objet de l'analyse de Diophante. Les géomètres du siècle passé s'y sont fort appliqués; mais

nous n'avons, que je sache, que la solution de Wallis ('), qui est d'ailleurs fort imparfaite et qui ne consiste que dans une espèce de tâtonnement. Au reste, j'ai trouvé à cette occasion de très-beaux théorèmes d'Arithmétique, dont je vous ferai part une autre fois, si vous le souhaitez.

Je suis charmé que vous ayez goûté ma solution des tautochrones. Je suis curieux de voir les objections de M. Fontaine tant contre cette solution que contre celle des isopérimètres que j'ai donnée dans le deuxième Volume de Turin et que 31. Euler vient de redonner dans le dixième Volume de Pétersbourg. On m'a dit que le chevalier de Borda a aussi attaqué cette dernière. Si j'ai tort, je ne manquerai pas de leur rendre justice. J'ai appris que M. Camus (-) est mort. A qui a-t-on donné sa place? N'est-il point question encore du marquis de Condorcet?

Adieu, mon cher et illustre ami; j'ai honte d'avoir si fort abusé de votre patience et je vous en demande mille pardons. Portez-vous bien, et croyez que personne au monde ne vous aime ni ne vous estime plus que moi. Je vous embrasse de tout mon cœur.

P. -S. — Je joins ici un exemplaire du dernier programme de notre Académie; je souhaiterais fort que vous engageassiez quelques-uns de vos amis à travailler sur les lunettes d'après les principes et les vues que vous avez déjà données sur cette matière.

(1) Jean Wallis, géomètre, né le 23 novembre i6i6 à Ashford, mort à Londres le 28 octobre 1703.

(2) Cliarles-Étienne-Louis Camus, géomètre et astronome, membre de l'Académie des Sciences, né à Crécy (Seine-et-Marne) le 25 août 1699, mort le 2 février 1768.

D'ALEIVIBERT A LAGRANGE.

A Paris, ce 20 novembre 1768.

M. le comte de Redern (') veut bien se charger, mon cher et illustre ami, de vous remettre ces deux Volumes (-), un pour vous et un autre pour l'Académie, à qui je vous prie de faire agréer mon respect. Cet Ouvrage sera peut-être le dernier que je publierai hors des Mémoires de l'Académie, car ma santé ne me permet pas un travail tant soit peu assidu; j'ai même essayé depuis un mois de ne rien faire du tout, et ma machine s'en trouve si bien, que je suis fort tenté de continuer.

Je souhaite que vous trouviez dans cette nouvelle production mathématique quelques objets dignes de votre attention, et je suis charmé que le précédent Volume ne vous ait pas déplu. J'ai grande envie de voir votre solution du problème sur le mouvement d'un corps de figure quelconque; vous verrez dans ce A^olume-ci, pages 49B et 499» quelques vues que je crois utiles pour intégrer ces sortes d'équations. A l'égard de votre objection sur l'article 80 de mon vingt et unième Mémoire ('), j'ai tâché d'y répondre à la page 5oi de ce Volume. Je crois avoir répondu aussi, page 5ii, h votre objection sur la manière de réduire y'^ en série. Vous en jugerez. Je ne doute pas que ma démonstration du principe de la force d'inertie ne puisse être rendue plus courte et plus simple; mais je n'ai pas travaillé beaucoup à en chercher une, parce qu'il m'a semblé que le mérite principal de cette démonstration était dans l'idée sur laquelle elle est fondée, et qui, ce

(1) Sigismond Elirenreich, comte de Redern, grand chambellan de la reine douairière de Prusse, l'un des curateurs de l'Université de Berlin, membre de l'Académie de Berlin, né en 1719 dans la Marche de Brandebourg, mort le 1"' juillet 1789.

(2) Le cinquième Volume des Opuscules.

(3) Ce vingt et unième Mémoire, le premier du Tome IV des Opuscules, est intitulé : Reclierclics sur les axes de rotation d'un corps de figure quelconcjue qui n^est animé par aucune force accélératrice (p. i-3i).

DE LA(i RANGE AVEC D'ALEMBEUT. 121

me semble, est assez singulière et nouvelle. Si jamais je puis me dégoûter (\wfar nienlCy que je trouve si merveilleux. en ce moment, je pourrai m'occuper de simplifier celle démonstration. J'ai bien aussi différentes vues dans la tête sur le Calcul intégral; mais, encore un coup, je ne veux, d'ici à plusieurs mois, m'occuper de rien que de ma santé et de la vie animale. Je puis dire de la Géométrie ce qu'lloi'ace dit des vers :

.... feream maie, si non Optinunn erat : venim neqiieo dormire..., (').

Vous me faites grand plaisir de m'annoncer que vous travaillez au prix de la Lune; j'espère trouver dans vos nouvelles recbercbes beaucoup à profiter. Je voudrais savoir ce que vous pensez de mes réflexions sur ce problème et des méprises que je reproche à Clairaut, et qui me semblent très-réelles.

Il y a bien des années que je me suis un peu exercé aux problèmes de Diophante ; je crois cette matière d'autant plus intéressante que le Calcul intégral pourrait en tirer de grands avantages, si je ne me trompe; mais je me souviens de l'avoir trouvée plus difficile qu'elle ne paraît d'abord, et je n'ai garde, par les raisons susdites, de m'occuper en ce moment du problème dont vous me parlez. N'y en a-t-il pas une espèce de solution dans le sixième Volume des anciens Mémoires de Pétersbourg? Je n'ai point assez examiné cet endroit pour n'être pas tenté de m'en occuper. Vous pouvez, je crois, être tranquille sur les objections de M. Fontaine contre votre solution des tautochrones. Je n'avais point encore lu cette solution quand il a lu son Mémoire, et il me semble que ses objections portent à faux. Il n'a soufflé mot de la mienne; je n'ai rien dit, mais, en cas qu'il en eût ouvert la bouche, j'avais dans ma poche quatre lignes toutes prêtes pour le confondre.

A l'égard de votre méthode sur les maxima, je ne la connais pas assez pour juger de la solidité des objections, mais je m'en fie plus à vous qu'à vos adversaires.

(') Satires, liv. II, vers 7 et 8.