XIIJ

On a donné la place de Camus h. l'abbé Bossut. Le marquis de Condorcet l'aurait eue sans difficulté s'il résidait à Paris, et d'ailleurs sa famille ne veut pas qu'il soit adjoint de l'Académie. Nous avons pourtant ççrand besoin de géomètres. Je voudrais bien que nous pussions l'acquérir, d'autant qu'il nous vaque encore une place par la mort de M. Déparcieux (';. C'était un de ces bommes qu'il est bon d'avoir dans les Académies, afin que les gens en place soient persuadés qu'elles sont bonnes à quelque chose.

Je souhaite que vous ayez de bonnes pièces sur les verres achromatiques; j'ai donné des formules pour les oculaires, mais les calculs arithmétiques m'ennuient et me fatiguent si fort, que je n'y penserai pas si tôt. J'ai encore un troisième 31émoire à vous envoyer sur ce sujet. Il est actuellement sous presse. Si je puis en avoir un exemplaire avant le départ de 31. de Redern, je le prierai de s'en charger; sinon, ce sera pour une autre occasion. A propos, j'oublie de vous dire qu'il est ridicule que vous vouliez payer le port des Mémoires de l' Académie qu'on m'envoie. Cela n'est ni juste ni convenable. J'attends avec impatience les Volumes de 1762 et 1766, que je n'ai pas encore, et qui, selon mon calcul, doivent paraître à présent. Adieu, mon cher ami; portez-vous bien et soutenez, comme vous faites, l'honneur de la Géométrie, qui est encore votre maîtresse et qui n'est plus que ma vieille femme.

D'ALEIMBERT A LAGRANGE.

A Paris, ce 29 novembre 1768.

11 y a environ huit jours, mon cher et illustre ami, que je remis à

(') Antoine Déparcieux, géomètre, ingénieur, membre de l'Académie des Sciences (1748), né à Cessoux (Gard) le iS octobre 1703, mort à l\iris le 2 septembre 1768.

M. le comte de Redern un paquet qui contenait une Lettre pour vous. Le délai de son départ me permet de vous adresser encore celui-ci. Vous y trouverez deux exemplaires de mon troisième Mémoire sur les verres optiques, un pour vous et un pour M. de Castillon, que je vous prie de lui faire remettre de ma part. Vous y trouverez aussi deux exemplaires d'un nouvel Ouvrage de 31. de Condorcet, un pour vous, (ju'il me charge de vous faire parvenir, et l'autre pour l'Académie, à laquelle il vous prie de le présenter.

Je me trouve toujours assez bien du régime que je suis et dont je vous ai parlé dans ma Lettre du 20 au 21 de ce mois-ci, qui est dans l'autre paquet; je dors et digère mieux; cependant j'ai eu, il y a quelques jours, un assez violent débordement de bile qui heureusement n'a point eu de suite. Adieu, mon cher ami; M. Mettra m'a annoncé un paquet de vous que j'attends avec grande impatience. Dites, je vous prie, à M. Bitaubé que je lui écrirai au premier jour, si je ne l'ai pas encore fait quand vous recevrez cette Lettre. Itenan raie et me ama. Mes compliments à MM. Thiébault, Formey, etc., et à tous ceux qui veulent bien se souvenir de moi.

A Monsieur de la Grans;e, à Berlin.

A Berlin, ce 6 décembre 1768.

Mon cher et illustre ami, j'ai remis à M. Mettra une longue Lettre pour vous, que je ne doute pas qu'il ne vous ait rendue à son arrivée à Paris; cependant, comme il y a près de six mois que je n'ai reçu de vos nouvelles et que je ne sais à quoi attribuer un si long silence, je

i2ï CORRESPONDANCE

ne puis m'empêcher de vous écrire de nouveau pour vous prier de me tirer d'inquiétude : deux mots de votre part me suffiront. Dès que je saurai que vous vous portez bien et que vous n'êtes point indisposé contre moi, je serai tranquille.

M. Euler le père a écrit depuis peu à l'Académie une Lettre que je joins ici, parce que je ne doute pas que vous ne soyez bien aise d'être informé de ce qu'elle contient. Je vous avoue que le succès des travaux d'un liomme tel que lui dans la théorie de la Lune, dont il s'est occupé si longtemps, devrait naturellement me décourager de concourir pour le prix; mais, comme il semble insinuer qu'il a dessein de publier ses recherches avant le jugement de l'Académie, je ne me départirai pas de la résolution que j'ai prise d'envoyer quelque chose pour le concours. M. Michelet s'est chargé de vous faire parvenir le Volume de 17G6 de notre Académie, tout à fait franc de port; j'insiste sur cette condition, parce qu'il serait indécent que vous dussiez acheter un tribut que l'Académie croit devoir vous payer; au reste, j'espère que l'ambassadeur de France (' ), qui doit, dit-on, arriver dans peu, ne refusera pas de se charger des envois que j'aurai occasion de vous faire à l'avenir. Il s'imprime actuellement le Volume de 1762, où il n'y aura rien de moi, parce que la Classe de Mathématiques est déjà surchargée de plusieurs ^lémoires d'Euler; cependant vous y trouverez un IMémoire de M. Beguelin sur les objectifs achromatiques, qu'il s'est empressé de faire paraître parce qu'il contient des remarques sur les dimensions qu'on a proposées jusqu'ici. Il tiouve a posteriori, c'est-à-dire en cherchant la quantité d'aberration qui a lieu dans chaque objectif pour une ouverture donnée, il trouve, dis-je, que les lentilles que vous avez proposées comme les meilleures de toutes sont encore sujettes à une aberration considérable, aussi bien que celles que M. Clairaut a données dans le A'olume de 1762. Je n'ai pas vérifié ses calculs, qui ne sont que numériques, mais il ne serait pas impossible, ce me semble, que vous vous fussiez trompé dans les vôtres, surtout si vous ne les avez fait

(1) Le marquis de Valory.

DE LAG RANGE AVEC D'ALEMBERT. 12o

revoir par personne; au reste, comme cela n'influe en rien sur vos méthodes, que j'ai trouvées aussi ingénieuses et élégantes qu'il soit possible, je vous avoue que je n'y ai pas fait beaucoup d'attention, d'autant plus que, quand il a lu ce iMémoire, j'étais occupé de matières toutes différentes.

Quant à mes travaux, ils ne sont pas bien considérables. J'ai lu en dernier lieu à l'Académie un très-long Mémoire sur la solution des problèmes indéterminés qui conduisent à des équations du second degré à deux inconnues, lorsqu'il s'agit de déterminer ces inconnues en sorte qu'elles soient exprimées par des quantités rationnelles ou même par des nombres entiers. J'ai trouvé des méthodes directes et générales pour résoudre ces sortes d'équations, soit que les inconnues puissent être des nombres rationnels quelconques, soit qu'elles doivent être des nombres entiers; mes méthodes donnent toutes les solutions possibles dans l'un et l'autre cas, de sorte que je crois avoir entièrement épuisé cette matière, sur laquelle M. Euler paraît s'être vainement exercé [voir t. IX, Nouveaux Commentaires de Pétersbourg).

Si vous voyez M. le marquis de Condorcet, je vous prie de lui dire que j'ai reçu son Ouvrage sur le problème des trois corps, et que j'attends la Lettre qu'il vous a adressée sur le Calcul intégral et le système du monde ; dès que je l'aurai reçue, je ne manquerai pas de lui écrire et de le féliciter de ses succès, auxquels je prends et je prendrai toujours toute la part possible.

Adieu, mon cher et illustre ami; soyez persuadé que personne ne vous aime ni ne vous estime autant et pour plus de raisons que moi. Je vous embrasse de tout mon cœur.

D'ALEi\IBERT A LAGRANGE.

A Paris, le 19 décembre 1768.

Je me sers d'un secrétaire, mon cher et illustre ami, parce que mes yeux fatiguent beaucoup aux lumières. Il y a plus d'un mois que j'ai répondu à la Lettre que M. Mettra m'a remise au bout de six semaines de date; cette réponse est assez longue et jointe à un paquet de Livres que je vous envoie. M. le comte de Redern, qui, depuis un mois, est toujours au moment de partir, s'est chargé du tout, et j'espère qu'il vous le remettra incessamment. Ce paquet contient mon nouveau Volume et celui de M. de Condorcet; quand j'écrirai à ce dernier, je m'acquitterai de vos commissions pour lui.

M. Euler a écrit à notre Académie la même Lettre que vous m'envoyez. J'ai grande impatience de voir les Ouvrages qu'il annonce, et surtout sa théorie de la Lune; mais, malgré toute mon estime pour lui, je vous avoue que je doute un peu de toute l'étendue de ce qu'il promet, et je vous exhorte fort à ne point abandonner vos travaux sur cette matière, dont, à vous dire le vrai, j'ai aussi bonne opinion que des siens.

J'ai bien de la peine à croire qu'il reste une aberration sensible dans mes objectifs, dont j'ai fait le calcul avec beaucoup de soin ; cependant je serai fort aise de voir les remarques de M. Beguelin sur ce sujet quand elles paraîtront. Quant à présent, j'ai fait trêve avec tout travail depuis l'impression de mon cinquième Volume, et je m'en trouve à merveille. Je suis fort curieux de voir vos recherches sur les équations indéterminées du second degré; je me suis autrefois un peu occupé de cette matière, qui m'a paru très-difficile. Quant à présent, je ne veux rien faire, de six mois au moins, qui exige de moi une forte application. Adieu, mon cher et illustre ami ; je me réfère pour le reste à la Lettre

et aux Livres que M. de Redern vous remettra. Je vous souhaite une bonne année et vous embrasse de tout mon cœur.

D'Alembert.

P. -S. — Je i-eeois en ce moment le Volume de ijGG. J'en ai payé le port h M. Mettra ; il n'y a pas l'ombre de raison à vouloir que cela soit autrement. Je n'ai pas encore eu le temps de le lire, et vous croyez bien que je commencerai par votre Mémoire sur le passage de Vénus.

À Monsieur de la Grange, de l'Académie royale des Sciences et directeur de la Classe mathématique, à Berlin.

A Berlin, ce 28 février 1769.

J'ai reçu, mon cher et illustre ami, il y a près d'un mois, les paquets que vous avez remis au comte de Redern; j'ai envoyé d'abord à M. de Castillon un exemplaire de votre Mémoire sur les verres optiques, et j'ai ensuite présenté à l'Académie votre cinquième Volume, ainsi que le nouvel Ouvrage de M. de Condorcet. Elle m'a chargé de vous en témoigner sa reconnaissance, et je vous prie en même temps de recevoir aussi mes très-humbles et très-sincères remercîments des présents dont vous m'avez honoré, et dont je suis d'autant plus flatté que je les regarde comme une marque de la continuation de votre estime et de votre précieuse amitié. Je vous demande pardon d'avoir tardé à m'acquitter de ce devoir; une indisposition, qui m'a duré quelques jours, m'en a empêché; d'ailleurs, je voulais me mettre auparavant un peu au fait des matières que vous venez de traiter, pour être en état d'en

causer un peu avec vous; mais, ayant dû achever quelques Mémoires pour notre Académie, oii mon tour à lire revient au moins une fois par mois, je n'ai encore eu le temps que de parcourir vos nouveaux Mémoires, dont quelques-uns, surtout ceux qui roulent sur les fluides et sur la précession des équinoxes, exigent de moi une lecture bien attentive et suivie, parce que ce sont des matières que j'ai entièrement perdues de vue depuis que je suis ici. Vos remarques sur le problème des trois corps m'ont paru aussi ingénieuses que justes, et la méprise que vous relevez dans la théorie de Ciairaut me semble très-réelle. Je me souviens même d'y avoir fait attention il y a longtemps, à l'occasion de votre contestation avec lui; mais je ne poussai pas alors plus loin cette remarque, et je trouve que vous avez très-bien fait d'entrer dans quelque détail sur ce sujet pour l'instruction de ceux qui pourraient, dans la suite, se servir encore de cette même théorie.

Le problème dont je vous ai parlé m'a occupé beaucoup plus que je ne le pensais d'abord; enfin, j'en suis venu heureusement à bout, et je crois n'avoir presque rien laissé à désirer sur le sujet des équations du second degré à deux inconnues. Je connais le Mémoire de M. Eu- 1er qui se trouve dans le sixième Volume des anciens Mémoires de Pétersbourg, ainsi qu'un autre plus récent, imprimé dans le neuvième Volume des y oiweaux Commentaires ; mais dans l'un et dans l'autre de ces Mémoires on suppose toujours que l'on connaisse déjà une solution, et la diftîculté est de trouver cette première solution. D'ailleurs, M. Euler n'y considère que le cas où les inconnues doivent être des nombres entiers; or, si l'on ne demande que des nombres rationnels, il peut arriver très-souvent que le problème soit soluble, quoiqu'il ne le soit pas en nombres entiers; enfin je puis dire que ce que l'on avait sur cette matière, par les recherches de Diophante, de Fermât, de Wallis, d'Euler et d'autres, était encore très-peu de chose. Mon Mémoire sur ce sujet est très-long, parce que j'y ai traité aussi d'autres sujets analogues; cependant je tâcherai de le faire imprimer tout entier dans le Volume de l'année 1763, que l'on va mettre sous presse à Pâques. Celui qu'on imprime actuellement regarde l'an-

née 17G2 et ne contient que de vieux Mémoires d'Euler, avec le Mémoire de M. Beguelin dont je vous ai parlé. Je ne manquerai pas de vous le faire parvenir dès qu'il paraîtra. Je vous serai toujours fort obligé de m'envoyer les Mémoires que vous donnerez à votre Académie, parce que, outre que j'aime à avoir tous vos Ouvrages ensemble, je suis bien aise de pouvoir me dispenser d'acbeter les Volumes de l'Académie, dont les neuf dixièmes roulent sur des matières qui me sont ou étrangères ou indifférentes. 11 parait actuellement le Calcul intégral d'Euler; l'avez-vous déjà? Sinon, je pourrai vous l'envoyer. En général, comme je suis plus à portée que vous de recevoir ce qui vient de Pétersbourg, je me cbargerai volontiers de vous envoyer les Volumes de l'Académie à mesure qu'ils paraîtront, ainsi que tout ce qu'Euler publiera , n'ayant rien tant à cœur que de pouvoir vous donner au moins quelques faibles marques des sentiments que je vous dois et avec lesquels je serai toute ma vie.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, le 10 a\ril 17G9.

Mon cher et illustre ami, je suis fort aise que vous ne soyez pas mécontent du peu que vous avez encore pu lire de mon nouveau Volume; j'ai grande envie de savoir votre avis sur le reste. L'erreur de Clairaut sur l'orbite de la Lune ne me paraît pas douteuse; cependant je suis charmé qu'elle vous paraisse réelle ainsi qu'à moi, cai' je ne conçois pas comment elle a pu lui échapper; il était pour l'ordinaire fort exact, et c'est une raison de plus pour remarquer cette méprise.

Je suis si peu capable d'un travail suivi, que je n'ai pas grande nou-

xm. ,7

velle à vous apprendre de mes travaux. J'ai développé, dans un Mémoire que j'ai lu il n'y a pas longtemps à l'Académie, ce que j'ai dit h la fin de mon cinquième Volume d'Opuscules sur la libration de la Lune. Je ne sais quand il sera imprimé; je ne manquerai pas de vous l'envoyer aussitôt. J'ai fait aussi quelques recherches de Calcul intégral; mais tout cela est assez peu de chose.

J'ai grande envie de lire vos recherches sur les problèmes de Diophante, et je compte bien en faire mon profit, si pourtant ma tête me permet de les suivre. Vous me marquez qu'on imprime l'année 1762 de vos Mémoires? Est-ce que l'on n'imprime pas aussi 1767, ou est-ce que cette année a déjà paru? Je n'ai encore que 1766 et j'attends 1767 avec d'autant plus d'impatience, que j'espère y trouver bien des choses de vous.

Que dites-vous dé M. Euler, qui, tout aveugle qu'il est, fait imprimer trois Volumes de Dioptrique, un sur la Lune et deux de Calcul intégral? Briasson (') doit recevoir incessamment ce dernier Ouvrage et m'en a promis un exemplaire; c'est pour cela que je ne vous prie point de me l'envoyer. S'il paraît chez vous quelque nouveauté intéressante, je vous prie de me la faire parvenir; comme le roi a présentement un ministre en France, les envois seront peut-être plus faciles et moins dispendieux. Vous avez peut-être appris par les gazettes que nous avons enfin reçu M. de Condorcet (-), la famille ayant jugé à propos de ne plus mettre d'obstacle à ce qu'il fût de l'Académie, car beaucoup de nos gentilshommes croient que le titre et le métier de savant dérogent à la noblesse.

Je vous prie de demander à M. Beguelin (^) si j'ai eu l'honneur de répondre à la Lettre qu'il m'a fait l'honneur de m'écrire au sujet des verres optiques. J'ai idée d'avoir rempli ce devoir, mais je n'en suis pas

(•) Antoine-Claude Briasson. lil)raire à Paris dès i-aî. était, depuis le 1 5 juin 1768, syndic de sa corporation.

(■-) Condorcet fut élu adjoint-mécanicien le 8 mars 1769 et associé le 22 décembre 1770.

(3) Nicolas de Beguelin, physicien, membre (1747) de rAcadémie de Berlin, dans le Bccueil de laquelle il a inséré de nombreux travaux, né en Suisse en 1711, mort à Berlin le 3 janvier 1789.

sûr, et, en ce cas, je le prie d'excuser mon défaut de mémoire, qui me fait souvent faux bond depuis que ma tête est affaiblie. Je vous prie de lui dire que je lirai son ^Mémoire avec grande attention et que je profiterai des vues utiles qu'il contiendra sans doute. Adieu, mon cher ami; ayez bien soin de votre santé, res prorsus suhstantialis, comme Newton disait du repos. Je vous embrasse de tout mon cœur. Mes respects à M. le comte de Redern.

A Monsieur de la Grange, directeur de la Classe de Mathématiques de l'Académie royale des Sciences, à Berlin.

LAGRANGE A D'ALE:\IBERT.

A Berlin, ce i juin 1769.

Mon cher et illustre ami, la maladie que j'ai eue ces jours passés, et dont il me reste encore beaucoup de faiblesse, a tout à fait dérangé le plan de mes travaux, de sorte que je suis en doute si je pourrai concourir pour le prix de la Lune comme je me l'étais proposé. Ce n'est pas que je n'aie les matériaux tout prêts, mais ils demandent du temps pour être mis en œuvre, et j'ai déjà perdu plus d'un mois de celui que j'y destinais; le pis est que ma tête ne me permet pas encore une application un peu soutenue. J'ai eu tort, je l'avoue, de n'avoir pas mieux profité de tout le temps que j'avais; mais il faut que vous sachiez que, comme je suis presque seul dans ma Classe (les autres membres étant MM. Bernoulli et de Castillon, dont l'un est absent depuis six mois et l'autre est âgé et infirme), je suis obligé de lire à l'Académie au moins un Mémoire par mois, parce que, chez nous, chacune des quatre Classes lit un Mémoire à tour de rôle, avec cette différence que les Classes de

Physique et de Mathématiques lisent deux fois pendant que les deux autres ne lisent chacune qu'une fois. Au reste, je suis bien éloigné de me plaindre de cet arrangement ; mais il en résulte que je n'ai pas beaucoup de temps de reste, d'autant plus qu'il arrive souvent que les sujets que j'entreprends de traiter m'entraînent plus loin que je ne voudrais : c'est ce qui m'est arrivé surtout à l'égard du problème dont je vous ai parlé, et qui m'a beaucoup plus occupé que je ne croyais d'abord. D'ailleurs, j'ai une mauvaise habitude dont il m'est impossible de me défaire : c'est que je refais souvent mes Mémoires, même plusieurs fois, jusqu'à ce que j'en sois passablement content.

Il s'imprime actuellement le Volume de 17G7, dans lequel il y aura deux Mémoires de moi, l'un, très-long, sur la résolution des équations du second degré à deux inconnues, et l'autre sur la résolution des équations numériques d'un degré quelconque ( ' ). Ce sont deux sujets élémentaires, comme vous voyez, mais je puis vous assurer qu'ils m'ont donné plus de peine que toutes mes autres recherches; au reste, je me flatte d'avoir traité ces deux matières d'une manière qui ne laisse presque rien à désirer; si vous en jugez de même, je ne regretterai pas le temps que j'ai consumé à ces sortes de recherches.

Les Ouvrages que M. Euler publie à Pétersbourg étaient faits depuis longtemps et n'étaient restés en manuscrit que faute de libraire qui voulût s'en charger; il y en a même un qu'il n'aurait pas dû publier pour son honneur : ce sont ses Lettres à une princesse iV Allemagne ['-). Je ne sais si vous les connaissez; mais, si vous en étiez curieux, je pourrais vous en faire parvenir un exemplaire par la première occasion qui se présenterait.

Il a paru à Pâques un Volume de notre Académie ; c'est celui de l'année 1762, dans lequel il n'y a que de vieux Mémoires d'Euler sur la Dioptrique et un Mémoire de M. Beguelin sur le même sujet. Je ne vous

(1) Voir l. II do celle édition, p. 3-7 el 539.

(2) Lettres à une princesse (V Allemagne sur plusieurs sujets de Physique et de Philosophie. Sainl-Pélcrsbourg, 1768-1772, 3 vol. in-8"'; souvent réimprimées. Elles sont adressées à la princesse d'Anlialt-Dcssau, nièce de Frédéric II.

l'ai pas encore envoyé faute d'avoir trouvé une occasion convenal)le; elles se présentent très-rarement. M. Formey s'est chargé de voir si l'on pourrait profiter du canal du Bureau des Affaires étrangères; mais il ne m'a pas encore rendu réponse.

M. Beguelin, à qui j'ai fait votre commission, est très-sensihie ;t votre souvenir et n'a point, à la vérité, reçu de vos Lettres; mais il lui suffira que vous vouliez bien jeter les yeux sur ses Mémoires et lui en dire votre avis. C'est un homme très-estimable par sa science et par son caractère. Il a été précepteur de M^' le prince de Prusse ('); mais, s'étant trouvé en quelque sorte enveloppé dans la disgrâce du gouverneur du prince (-), il paraît avoir été un peu oublié du roi: c'est pourquoi il souhaiterait que vous voulussiez bien vous intéresser pour lui en temps et lieu. Au reste, il est beau-frère de M. de Catt, mais il ne paraît pas qu'il compte beaucoup sur la protection de ce dernier.

Je crois que le comte de Redern vous aura mis un peu au fait de l'état actuel de notre Académie : elle aurait c-rand besoin d'un chef; nos Règlements sont extrêmement imparfliits, et on ne les suit presque pas; il y a des membres qui ne pensent qu'à brouiller, dans l'espérance de pouvoir dominer; entin, à l'exception d'un très-petit nombre qui travaillent, les autres ne s'occupent que de brigues et de cabales.

Je lis actuellement votre cinquième Volume iV Opuscules et j'y trouve de très-excellentes choses; j'aurai peut-être l'honneur un jour de vous faire part des réflexions que cette lecture me fait faire, si, par un plus sérieux examen, je les trouve dignes d'être soumises à votre jugement.

Je vous embrasse de tout mon cœur et suis à vous pour la vie.

(') Ce prince était neveu de Frédéric II, qui le déclara prince royal en ijiiS, et auquel il succéda sous le nom de Frédéric-Guillaume II. Né le 25 septembre 1744 , il mourut le 16 décembre 1797.

(2) Le gouverneur du prince était le comte de Borck, que Frédéric II, en 1764, exila dans ses terres en Poméranie, en même temps qu'il renvoyait Beguelin à Berlin. « On a prétendu, dit Thiébault, que ce qui avait déterminé le roi à les renvoyer, c'est qu'un jour le comte de Borck, interrogé, chez le prince et pendant le dîner, sur la préférence à accorder en général à un roi guerrier ou à un roi pacifique, avait paru estimer ce dernier plus que l'autre. « {Mes soiive/iirs de inngt ans de séjour a Berlin, 1813, t. I, p. 3i5.)

d'ale:\ibert a lagrange.

A Paris, ce i6 juin ijGg.

Mon cher et illustre ami, je me disposais à vous envoyer le paquet ci-joint, et dont je vous parlerai dans un moment, lorsque j'ai reçu votre Lettre du i"" juin, par laquelle vous m'apprenez que vous avez été malade. Quoique vous n'entriez là-dessus dans aucun détail, je vois que cette maladie a été assez sérieuse, et ce que vous me dites de vos travaux me fait craindre que l'excès de l'application n'en soit la cause. Au nom de Dieu, mon cher ami, ménagez-vous; songez que vous avez la plus belle carrière à parcourir et que le moyen d'y courir longtemps c'est de ne pas vous essouffler à l'entrée. Que mon exemple vous soit utile: j'ai observé assez de régime dans le travail, et je suis cependant vieux à cinquante ans. J'espère que vous voudrez bien me donner de vos nouvelles, et je me flatte d'apprendre votre parfait rétablissement. Ne vous forcez point pour travailler à notre prix si votre santé ne vous le permet pas. Je doute d'abord qu'Euler concoure; il a fait demander à l'Académie s'il ne poui'rait pas lui envoyer son Ouvrage imprimé, et l'Académie a décidé, à la vérité contre mon avis et celui des meilleurs de nos géomètres, qu'elle s'en tiendrait à ses règles ordinaires; ainsi, je ne sais pas s'il nous enverra son manuscrit et s'il le pourra à temps. Nous n'aurons donc vraisemblablement que des Ouvrages qui nous détermineront h remettre encore le prix. Je souhaite pour vous que nous y soyons obligés.

Le Mémoire ci-joint contient quelques nouvelles recherches sur les cordes, dont je souhaite que vous soyez content; je vous en enverrai bientôt un autre. Vous les ferez imprimer quand et comme vous voudrez. Je serai bien charmé que vous me fassiez part de vos remarques sur mon cinquième Volume d'Opuscules. A propos de cela, je me sou-

viens que vous m'aviez promis, il y a longtemps, quelques réflexions sur le Calcul des probabilités. Je pense que cette matière est toute neuve et aurait besoin d'être traitée par un mathématicien tel que vous.

Je verrai avec grand plaisir vos recherches sur les équations; j'attends le Volume de 1762 et je vous piie de dire à jM. Beguelin que je lirai avec attention ses Mémoires sur la Dioptrique. Faites-lui, je vous prie, mille compliments de ma part; il ne doit point douter que je ne sois disposé à lui rendre auprès du roi tous les services qui pourront dépendre de moi, et certainement je parlerai en sa faveur en temps et lieu; mais malheureusement je n'ai pas autant de crédit qu'il se l'imagine.

Je ne doute pas que l'Académie n'ait grand besoin d'un président; pourquoi ne vous le ferait-on pas? Dites-moi si cela vous convient, et j'agirai. Je vais, en attendant, préparer les voies en écrivant de nouveau au roi tout le bien que je pense de vous. A propos de votre Académie, j'ai toujours oublié de vous demander ce que vous pensez de M. Lambert (*); ce que j'ai lu de lui jusqu'à présent ne me paraît pas de la première force : on dit pourtant que M. Euler en faisait grand cas. J'attends incessamment de Pétersbourg le Calcul intégral de ce dernier, et je ne serais même pas fâché de voir ses Lettres à une princesse cV Allemagne; suivant ce que vous m'en dites, c'est son Commentaire sur r Apocalypse (-;. Notre ami Euler est un grand analyste, mais un assez mauvais philosophe.

Je désire savoir votre avis sur mes nouvelles objections à Daniel Bernoulli; il me semble que je détruis assez bien les prétendues vibrations multiples. Le jeune Bernoulli a passé ici quinze jours; je lui ai fait beaucoup d'amitiés ; je lui ai dit un mot du peu d'honnêteté de son oncle à mon égard et je l'ai assuré, ce qui est très-vrai, que je n'en

(') Jean-Henri Lambert, l'un des savants les plus remarquables du xviii'' siècle, fils d'un réfugié français, né à Mulhouse le 29 août 1728, mort en 1771 à Berlin, où, depuis 1764, il était membre pensionnaire de l'Académie.

{-] Allusion à l'Ouvrage de Newton sur l'Apocalypse.

rendrais pas moins au neveu tous les services qui dépendraient de moi, parce que, en effet, il me paraît le mériter. Vous m'aviez promis de donner un peu sur les doigts à Daniel BernouUi, et vous ferez bien. Quant à moi, je trouve très-bon qu'on m'attaque et même qu'on me réfute, pourvu qu'on n'y procède pas, comme dit Montagne, d'une trogne trop impérieusement magistrale ('). Adieu, mon cher ami; je vous embrasse.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce 3o juin 1769.

]Mon cher et illustre ami, voilà un petit Supplément au second des deux Mémoires que vous avez dû recevoir il y a huit jours. Je me suis aperçu d'une méprise qui est corrigée, comme vous le verrez, dans ce Supplément. Cependant, comme la restriction n'a lieu que quand les deux suites en question sont finies, je crois qu'il n'y a nul inconvénient à imprimer les deux ^lémoires tels qu'ils sont; il faudra seulement avoir l'attention que la correction que je vous envoie se trouve dans le même Volume où sera le second Mémoire.

J'ai ajouté à celui-ci un \>e{it post-scn'ptum que je vous prie d'avoir soin de faire imprimer à la lin. Je croyais avoir fait le premier la remarque singulière et importante qui est à la fin de l'article XVIII sur les cas où, dans une équation différentielle, j est tout ce qu'on voudra, ûc étant zéro. A peine avais-je écrit le peu que je vous dis à ce sujet, que j'ai reçu le premier Volume du Calcul intégral d'En\er, et j'ai vu que ce diable d'homme avait déjà fait la même remarque. Cependant

(1) Voici la phrase de Montaigne : « Poiirveu qu'on n'y procède d'une Irongne trop impérieuse et magistrale, je preste l'espaule aux repréhensions cpic l'on faict en mes cscripts. » lissais, liv. III, chap. VIII. Paris, Didot, 1802, in-12, 1. IV, p. 3;.

je crois qu'il n'a pas tout dit; mais j'ai vu, avec quelque regret, qu'il m'avait enlevé la fleur des réflexions que j'avais faites sur ce sujet. Je pourrai vous en faire part une autre fois.

Ce Traité du Calcul intégral me parait plein d'excellentes choses; dites-moi, je vous prie, si le second Voluuie paraît ou si vous savez quand il paraîtra. Pour prévenir l'inconvénient où je viens de tomber, je fais parapher actuellement par le secrétaire de l'Académie l'énoncé de difl'érenls problèmes et théorèmes de Calcul intégral, afin de m'en conserver du moins la possession et de constater que je les ai trouvés de mon côté, si ce diable d'homme me prévient encore sur quelques-uns, ce qui pourrait bien être, car où ne fouille-t-il pas? Adieu, mon cher et illustre ami; je vous embrasse de tout mon cœur. Donnez-moi des nouvelles de votre santé et surtout ménagez-la, pour vous premièrement, et puis pour l'intérêt des sciences et pour la tranquillité de vos amis, h la tête desquels je me flatte que vous me placez. Iterum vale et me ama.

A Berlin, ce i5 juillet 17C9.

Mon cher et illustre ami, j'ai reçu successivement les deux paquets que vous m'avez fait l'honneur de m'envoyer et j'y ai trouvé trois Mémoires pour notre Académie, que je lui ai présentés jeudi passé et dont elle m'a chargé de vous témoigner sa reconnaissance. S'ils étaient venus un peu plus tôt, on aurait pu les faire paraître dans le Volume de 17C7, qui est actuellement sous presse, et j'en aurais volontiers supprimé un des miens pour leur faire place; mais à présent la Classe de Mathématiques est déjà presque tout imprimée, et, d'ailleurs, elle est déjà si chargée, que ce serait une espèce d'indiscrétion de XIII. 18

138 CORRESPONDxVNCE

vouloir hi grossir davantage, parce que ce ne pourrait être qu'aux dépens des deux suivantes. Ainsi, je réserverai vos Mémoires pour le Volume de 1768, qui sera mis sous presse à Pâques prochain, à moins que vous n'aimiez mieux les insérer dans le Volume de 1763 qu'on mettra sous presse à la Saint-Michel de cette année-ci; mais, comme je n'étais pas encore ici en 1763, ce serait, ce me semhle, un anachronisme trop grand de rapporter à cette année des Mémoires qui me sont adressés en forme de Lettres; du reste, je ferai là-dessus ce que vous voudrez.

Vos remarques sur la théorie des cordes vibrantes de M. Bernoulli me paraissent décisives. J'admire la constance avec laquelle vous êtes capable de poursuivre un même objet pendant un si long temps; pour moi j'ai ce malheur que, à force de remanier la même matière, j'en prends à la fin un si furieux dégoût, qu'il m'est comme impossible d'y revenir encore, et c'est précisément ce qui m'est arrivé à l'égard des cordes vibrantes; voilà pourquoi j'ai toujours négligé de répondre à M. Daniel Bernoulli, quoique je pusse le faire avec avantage. Je suis charmé que vous ayez reconnu que ma solution de l'équation de Riccati ( ' ) revient au même que celle de M. Euler, ce qui peut servir à confirmer la bonté de ma méthode; au reste, j'ai peine à croire que l'intégrale que donne ma méthode ne soit pas complète et générale, comme vous paraissez l'insinuer : c'est un point que je me propose d'examiner à loisir. Les restrictions que vous ajoutez à ma solution générale du problème des tautochrones sont très-légitimes. Lorsque je lus à l'Académie l'appendice qui contient cette solution, j'avais dessein de l'étendre et de la perfectionner dans un Mémoire particulier; mais, ayant vu ensuite que vous m'aviez déjà prévenu sur ce sujet, j'ai cru devoir l'abandonner entièrement, d'autant plus qu'il me semble que vous l'avez déjà presque épuisé.

Je vais maintenant, si vous me le permettez, m'entretenir un peu avec vous sur quelques points relatifs à votre cinquième Volume

(1 ) Le comte Jacopo Iliccati, matliémalicien, né en 1676 à Venise, mort à Tréviseen 1754. ( Voir, au siijrl de cette équation, Montucla, Part. V, Liv. I, t. III, p. i35.)

tV Opuscules. J'approuve entièrement les remarques que vous faites sur les lois (le l'équilibre des fluides (art. 18 et suiv. du IMémoire XXX); il y aurait peut-être quelque eliose à dire à l'égard de celle de l'article 20; ce serait une dispute analogue à celle que j'eus autrefois avec vous touchant l'attraction d'un point vers une surftice sphérique ; mais, comme ces sortes de discussions regardent plutôt la Métaphysique que le Calcul, je crois qu'il vaut encore mieux les laisser là. J(; suis presque convaincu qu'un fluide homogène et dont toutes les parties s'attirent mutuellement dans une raison quelconque dépendante de la distance ne saurait être en équilibre, à moins qu'il ne forme une masse sphérique ; cependant il me parait comme impossible d'en trouver une démonstration générale. Celle que vous proposez dans les articles 4-8 et suivants suppose que le rayon soit exprimé par une fonction rationnelle et entière de l'angle ; mais je ne vois aucun inconvénient à ce qu'il le soit par une fonction rationnelle et rompue du même angle. Il est vrai que dans ce cas on pourrait toujours réduire la fonction rompue en une fonction entière par le moyen des séries, mais il est clair qu'en admettant une série infinie il serait possible d'en déterminer tous les coefficients; au moins on ne voit point d'abord que la chose soit impossible. J'avais autrefois fait beaucoup de calculs sur ce sujet, dont j'ai retrouvé heureusement les brouillons; peut-être pourrai-je m'en occcuper encore si je vois jour à pouvoir me flatter de quelque succès. Au reste, je ne saurais être entièrement de votre avis par rapport à ce que vous dites à l'article 86 (p. 38); car, quoique l'équation de l'équilibre ait lieu à peu près lorsque a est très-petit, il ne s'ensuit pas, ce me semble, que la figure qui donnerait l'équilibre rigoureux ne difl'ère que d'une quantité de l'ordre a- de celle qui résulte de l'équation approchée de l'équilibre, à moins qu'on n'ait fait voir auparavant qu'il existe nécessairement une telle figure d'équilibre rigoureux; en eff'et, s'il arrivait que les termes de l'ordre de a- de l'équation ne pussent jamais se détruire qu'en supposant a = o, il est clair que la figure résultante de la destruction des termes de l'ordre a diff*érerait nécessairement de celle de l'équilibre rigoureux par des

quantités de l'ordre o'.. En général, il me semble que l'équilibre n'est qu'un état unique, et qu'un équilibre approché et même aussi approché qu'on voudra sera toujours un non-équilibre, de sorte que pour pouvoir tirer des conclusions exactes sur cette matière il faut absolument pouvoir résoudre lé problème en rigueur, ou au moins avoir égard successivement aux quantités des différents ordres, en sorte qu'on puisse s'assurer que l'équilibre rigoureux est possible. Par exemple, vous avez trouvé qu'en supposant ^ = | et 0 = 0 l'ellipticité a peut êtie tout ce qu'on voudra; or, s'il était démontré qu'un fluide homogène qui recouvre une sphère solide et homogène ne saurait être en équilibre en vertu de la simple attraction mutuelle, à moins qu'il n'ait aussi la figure sphérique, ce qui me paraît très-vraisemblable, on ne pourrait plus dire que a pourrait être tout ce qu'on voudrait; or il me parait très-possible que l'équation de l'équilibre soit telle qu'elle n'ait jamais lieu rigoureusement, à moins que y. ne soit =0, abstraction faite de la force centrifuge, et que cependant elle puisse avoir lieu à peu près, c'est-à-dire aux quantités de l'ordre y? près.

Vos remarques sur la convergence des séries (p. i, Mémoire XXXV) me paraissent très-justes et très-utiles; je me rappelle d'avoir lu quelque part celle qui regarde la convergence de la série qui exprime le sinus par l'angle, mais je vous avoue qu'elle ne me paraît pas aussi nécessaire qu'à vous pour la validité de la démonstration de M. Bernoulli, qui n'est fondée que sur la théorie des équations; au reste, le paradoxe que vous proposez sur la fin de l'article 32 de ce même § (p. i83) ne me paraît pas inexplicable. En considérant d'abord l'expression du sinus par l'arc, qu'on peut trouver directement de plusieurs manières, et supposant le sinus donné, on a une équation dont les racines sont les différents arcs qui répondent au même sinus; maintenant, si par la méthode du retour des suites on tire de cette équation la valeur de l'arc, on n'aura, par la nature même de cette méthode, que la plus petite des racines de l'équation, et, par conséquent, l'expression de l'arc par le sinus ne représentera jamais qu'un seul arc.

J'ai un peu médité sur le paradoxe qui concerne la l'ésistance des

fluides; il me semble que tout dépend de la supposition que les particules du fluide aient le même mouvement à la partie postérieure qu'à la partie antérieure; j'avoue que cette supposition est légitime analytiquement, mais il se peut qu'elle ne le soit pas pliysiquement.En efl^et, si l'on considère un fluide homogène et sans pesanteur (jui se meuve dans un tuyau infiniment étroit, si l'on veut, et évasé en haut et en bas, en sorte que ce tuyau ait la même figure de part et d'auti'e de la section de la plus petite largeur, il est clair qu'on peut supposer analvtiquement que le mouvement du fluide soit aussi le même des deux côtés de cette section; cependant il est facile de concevoir que le fluide doit nécessairement quitter les parois du vase et se mouvoir comme une masse solide continue, après avoir passé par la plus petite section; c'est aussi ce que vous avez remarqué dans votre Traité des fluides et ailleurs. Or, le cas qui donnerait la résistance nulle peut se réduire, si je ne me trompe, à celui dont je viens de parler, moyennant quoi on pourra expliquer le paradoxe proposé.

Voilà une partie des remarques que la lecture de vos derniers Ouvrages m'a fait faire; je les soumets entièrement à votie jugement, en vous priant de me pardonner la liberté que je prends de vous les communiquer et de ne la regarder que comme une marque du désir que j'ai de profiter de vos lumières.

Je suis infiniment sensible à la part que vous avez bien voulu prendre à ma maladie; je suis maintenant parfaitement rétabli. J'ai communiqué à M. Beguelin l'article de votre Lettre qui le regarde; il y a été fort sensible et m'a chargé de vous en témoigner sa reconnaissance. M. Lambert, sur qui vous souhaitez de savoir mon sentiment, est sans contredit un des meilleurs sujets de notre Académie ; il est très-laborieux et soutient presque seul notre Classe de Physique, Il possède assez bien l'Analyse, mais son fort est la Physique, sur laquelle il a donné un Ouvrage estimé, intitulé Photometria ('), c'est-à-dire de la mesure de

(') Pholomctiia^ sivc de mcnsura et gradibus laniinis^ colorin» et timbra'. Augustae Vindelicorum, 17G0, in -8".

liii CORRESPONDANCE

la lumière; il y a surtout un excellent Mémoire de lui sur l'aimant dans le Volume de 176G. Au reste, il a quelque chose de singulier dans son maintien et dans sa conversation qui déplaît au premier abord, et je ne suis pas surpris que le roi ne l'ait pas goûté, ayant eu moi-même de la peine à m'accommoder à ses manières. Il était ou du moins il me parut si plein de lui-même, lorsque j'arrivai ici, que je pris le parti de ne pas le fréquenter, mais en même temps de ne laisser échapper aucune occasion de le rabaisser; cela l'a rendu beaucoup plus traitable, et à présent nous sommes assez bons amis. Il n'a que oooécus de l'Académie, et, si l'occasion vous venait de lui procurer une augmentation, je vous assure que vous feriez une très-bonne œuvre, car il est certainement un de ceux à qui notre Académie doit le plus (' ).

Quant à moi, je suis toujours très-content de mon état et je n'en souhaite que la continuation. Je vous remercie du fond de mon cœur des offres que vous me faites touchant la place de président; mon amourpropre ne saurait m'aveugler au point de me laisser croire que cette place puisse me convenir, surtout dans les circonstances présentes, et quoique je sois intimement persuadé que l'Académie a grand besoin d'un chef, je ne le suis pas moins de mon insuffisance pour un pareil poste, n'ayant ni le talent ni les autres qualités nécessaires pour le remplir dignement et au gré du roi. D'ailleurs, ma situation actuelle est telle qu'elle ne me laisse rien à désirer; il est vrai que je suis marié, mais je

(1) Voici ce que, dans une Lettre sans date, mais probablement de janvier 17GJ, Frédéric II écrivait à d'AIembert :

« On m'a, pour ainsi dire, presque forcé de prendre la plus maussade créature qui soit dans l'univers pour la mettre dans notre Académie. Il se nomme Lambert, et, quoique je puisse attester qu'il n'a pas le sens commun, on prétend que c'est un des plus grands géomètres de l'Europe. Mais, comme cet homme ignore les langues des mortels et qu'il ne parle qu'écpialions et Algèbre, je ne me propose pas de sitôt d'avoir l'iionneur de m'entretenir avec lui. En revanche, je suis très-content de M. Toussaint, dont j'ai fait l'acquisition. Sa science est plus humaine que celle de l'autre. Toussaint est un habitant d'Athènes, et Lambert un Caraïbe ou quelque sauvage des côtes de la Cafrerie. Cependant, jusqu'à M. Euler, toute l'Académie est à genoux devant lui, et cet animal, tout crotté du bourbier de la plus crasse pédanterie, reçoit ces hommages comme Caligula recueillait ceux du peuple romain, chez lequel il voulait passer pour dieu. Je vous prie que ces petites anecdotes de notre Académie ne sortent l)as de vos mains. » OEuvrcs de Frédéric 11, t. XXIV, p. 392.)

n'ai point d'enfants et je ne souhaite pas d'en avoir; ma femme, qui est une de mes cousines et qui a même vécu assez longtemps dans ma famille, est très-bonne ménagère et n'a d'ailleurs aucune espèce de prétention, de sorte qu'à tout prendre mon mariage ne m'est pas une charge.

Vous recevrez bientôt ou peut-être vous aurez déjà reçu le Volume de notre Académie de l'année 1762, qui a paru à Pâques; IM. Thiébault s'est chargé de vous le faire parvenir par le moyen d'un de ses amis qui retourne à Paris; celui qui est actuellement sous presse, et qui appartient à l'année 1 7G7, paraîtra à la Saint-Michel, et je tâcherai de vous l'envoyer le plus tôt qu'il sera possible; cependant, comme mes Mémoires sont déjà imprimés, si avant la publication du Volume je trouve une occasion pour Paris, j'en profiterai pour vous envoyer un exemplaire de ces Mémoires, et j'y joindrai les Lettres de M. Euler à une princesse d'Allemagne, que vous souhaitez de voir et qui vous amuseront peut-être par les sorties que vous y trouverez contre les esprits forts.

Le deuxième Volume de son Calcul intégral i^'a pas encore paru, et l'on ne sait pas quand il paraîtra; il doit aussi y en avoir un troisième sur le Calcul des différences partielles. Je suis bien aise d'apprendre qu'il a dessein de concourir pour le prix; cela diminue beaucoup le regret que j'ai de ne pas concourir aussi; car, s'il est vrai que sa théorie soit telle qu'il l'a annoncée, il y aurait de la témérité et de la folie à vouloir entrer en concurrence avec lui. Mille pardons, mon cher et illustre ami, d'avoir abusé si fort de votre patience par une si énorme lettre; la multitude des choses que j'avais à vous dire et plus encore le plaisir de m'entretenir avec vous m'ont entraîné presque malgré moi, mais je vous promets d'être plus discret à l'avenir. Je vous embrasse de tout mon cœur.

l'ji CORRESPONDANCE

LAGRANGE A D'ALEMBERÏ.

A Berlin, ce 2 août 17G9.

Mon cher et illustre ami, depuis ma dernière Lettre, qui vous aura été remise par M. Mettra, on m'a procuré une occasion de vous faire parvenir, par le canal de M. Briasson, deux exemplaires de mes Mémoires sur les équations, qui doivent paraître dans le Volume de notre Académie pour l'année 1767 ( ' ). L'un de ces exemplaires est pour vous et l'autre est pour notre ami le marquis de Condorcet, à qui je vous prie de vouloir bien le faire remettre de ma part. Quoique les matières qui font le sujet de ces Mémoires ne soient peut-être pas tout à fait de votre goût, j'espère néanmoins que vous voudrez bien vous en occuper un peu à vos heures perdues et m'en dire ensuite votre avis. Je souhaite surtout de savoir votre jugement sur la méthode pour la résolution des équations numériques de tous les degrés. Si l'amour de mon Ouvrage ne me séduit point, je crois avoir résolu le problème d'une manière qui ne laisse rien à désirer. Si je n'ai pas fait mention de l'Ouvrage de M. Fontaine, c'est que j'ai pris une route tout à fait différente de la sienne. D'ailleurs son travail est, ce me semble, plus ingénieux qu'utile, n'y ayant pas d'apparence que personne veuille jamais continuer les Tables qu'il propose; outre cela, sa méthode n'est pas entièrement exempte de difficultés. Vous en avez proposé 'quelques-unes, dans l'article équation de y Encyclopédie, auxquelles il paraît n'avoir fait aucune attention en donnant le recueil de ses Œuvres (-), peut-être parce qu'il ne les a pas jugées assez fondées; mais je pourrais démontrer qu'elles le sont, surtout celle de la page 854, car je pourrais produire des équations qui, étant

(') Sur la résolution des équations numériques. — Addition au Mémoire sur la résolution des é<iuations numériques. Voir OEuvres, t. II, p. 539 et 'j8i.

(-) Mémoires recueillis et publiés avec quch/ues jtièces i/zéilites^ J7<j4j in-4"-

DE LAGUANGE AVEC D'ALEMBEKT. IVo

traitées par la niélliodi! de cet auteur, donneront des équations en o [voir p. 583 de ses 0^]uvres) telles, qu'en faisant 9 ^ o, i , 2, 3, . . . ii l'intini on aura toujours des résultats positifs.

Au reste, comme j'ai une grande aversion pour les disputes, el (jui; je serais fàelié de faire peut-être de la peine à un homme dont je respecte beaucoup les lumières et qui m'a même aulrefois honoré de son amilié, je me suis promis de ne jamais faire aucun usage des rcmarcjucs que j'ai faites sur son Ouvrage, à moins ([ue je n'y sois forcé en ({uelque façon pour ma propre défense.

J'avais compté de vous envoyer en même temps les Lettres (h; M. Euler, que vous souhaitez de voir; mais, comme elles auraient trop grossi le paquet, je les remets à une autre occasion, d'autant plus qu'elles n'ont d'autre mérite que d'être sorties de la plume d'un grand géomètre. Je serais fort curieux de savoir s'il a concouru pour le prix et si sa théorie est telle (|u'il l'a vantée; je ne puis excuser la démarche (ju'il a faite d'annoncer sa découverte longtemps avant de la donnei' au public qu'en supposant qu'il ait voulu par là découragei' ceux qui auraient pu concourir pour le prix, en quoi je ne doute pas qu'il n'ait parfaitement léussi; au reste, je souhaite fort qu'il puisse tenir tout ce qu'il a promis, et j'applaudirai de tout mon cœur à ses succès. Je vous embrasse très-tendrement et je vous suis de plus en plus dévoué.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce 7 aoHt 17G9.

Mon cher et illustre ami, je suis charmé que vous ne soyez pas mécontent de ce que je vous ai envoyé pour vos Mémoires; je serais trèstaché que vous forçassiez rien pour les faire entrer dans le Volume de 1767, ni même dans celui de 1763, encore plus que vous supprimassiez XIII. 19

Ii6 CORRESPONDANCE

poiii' cet objet aucun de vos Mémoires. Vous les ferez imprimer quand Aous voudrez et quand vous le pourrez. Cependant, si le Volume de 1 76^ n'était pas fort, il n'y aurait pas, je crois, grand inconvénient à les y mettre, avec leur date bien entendu, puisque je vois dans vos Volumes de 17G2 et autres des Mémoires lus à la fin de 1768 . Au reste, je m'en rapporte là-dessus entièrement à vous, et je trouverai bien tout ce que vous ferez.

Je crois qu'en eflet M. Bei'noulli n'aura rien à l'épondre à mes nouvelles remarques. Vous êtes étonné que j'aie la patience de revenir si souvent aux mêmes objets. Ce n'est que par ce moyen que j'ai pu faire en ma vie quelque chose de passable, car il n'est pas trop dans la nature de mon esprit de m'occuper de la même chose fort longtemps de suite; je la laisse bientôt, mais je la reprends ensuite autant de fois qu'il me vient en fantaisie, sans me rebuter, et, pour l'ordinaire, cette opiniâtreté éparpillée me réussit, lorsque souvent je n'aurais rien gagné, par une opiniâtreté trop longtemps continue. Je pourrai bien, par exemple, vous envoyer encore dans quehjue temps des remarques nouvelles sur le problème des tautochrones, supposé que je puisse tirer parti de quelques nouvelles vues que j'ai à ce sujet.

Je vous suis très-obligé des remarques que vous me communiquez sur mon cinquième Volume; elles me paraissent mériter attention; cependant, à vue de pays, je ne les crois pas sans réponse, au moins pour la plupart. 3Iais, comme je n'y ai pas encore pensé suifisamment, je vous en parlerai une autre fois.

Je ne me rappelle pas exactement ce que j'ai dit sur la formule

^ = Am'M- B^(''^' ^-. . .,

que vous assignez, dans les Mémoires de Turin de 17(32-1765, pour l'intégrale de l'équation

<i-x l , 7i \ dx

du- \ u] du

Cependant il me paraît, en effet, que cette formule n'est qu'une inté-

DE LAGUANGE AVEC D'ALEMBEUT. 147

grale particulière; mais il est vrai aussi que, daus l'eudroit cité, vous n'avez pas besoin de rinlégrale générale; ainsi, eett<» remarque ne touche point au fond de votre méthode.

J'ai reçu, il y a quelques jours, le A'olume de lyG::}. ïy ai trouvé le Mémoire de M. Beguelin, dont il m'avait déjà envoyé l'extrait, au moins pour ce qui me regarde. Je n'ai point encore eu le temps de le lire avec l'attention qu'il exige. Il se pouirait bien i'aire que ses calculs et les miens fussent également justes; mais je soupçonne (|ue les quantités négligées dans le calcul algébrique peuvent pi'oduire une al)erration beaucoup plus grande qu'on ne croit, et ce qui me le fait penser, c'est que les objectifs calculés par feu M. Clairaut donnent aussi, pour la plupart, selon M. Beguelin, de grandes aberrations. Je reprendrai cette matière quand j'en aurai le courage, car il n'y a qu'une chose qui me l'ebute pour y revenir : c'est la longueur des calculs qui m'ennuie et me fatigue à l'excès. Au reste, je vous prie de faire à M. Beguelin mes compliments et mes remerciments, et de lui dire que j'ai trouvé occasion de parler de lui avantageusement, à cette occasion même, dans la dernière Lettre que je viens d'écrire au Roi. J'ai dit aussi un mot de 31. Lambert, d'après le bien que vous m'en dites ( ' ); je désirerais beaucoup pouvoir améliorer le sort de l'un et de l'autre. Si la Photomélric (-) de M. Lambert était en latin, je vous serais obligé de m'indiquer où on la tiouve. Quant aux Lettres d'Euleià une princesse d' Allemagne, il est inutile de me les envoyer, à moins qu'elles ne soient déjà parties; en ce cas, je céderais mon exemplaire à quelque ami et je vous ferais remettre le prix du vôtre. Vous avez bien raison de dire qu'il n'eût pas dû faire imprimer cet Ouvrage pour son

(') Le même jour, en effet, 7 août, d'Alembert écrivait à Frédéric il : « Les Mémoires de votre Académie des Sciences sont un excellent Ouvrage et prouvent que c'est une des Sociétés savantes les mieux composées de l'Europe. Je ne parle pas seulement de M. de la Grange, dont le mérite est bien connu de Votre Majesté; je parle, entre autres, de MM. Lambert et Beguelin, qui donnent tous deux d'excellents Mémoires dans ce Recueil et qui me paraissent dignes des bontés dont Votre Majesté a toujours honoré le mérite. « ( OEuvrex de Frédéric 11^ t. XXIV, j). 160.) Frédéric lui répond le i î septembre; « Les trois sujets dont vous parlez sont, sans contredit, ce qu'il y a de mieux dans ce corps. » ( Tbid., p. 'Si.)

[-) Voir plus haut la note delà page i4i.

honneur. Il est incroyable qu'un aussi grand génie que lui sur la Géométrie et l'Analyse soit en Métaphysique si inférieur au plus petit écolier, pour ne pas dire si plat et si absurde, et c'est bien le cas de dire : Non omnia eidem Du cledere.

Je serai ravi de j'ecevoir le Volume de i 7G7, et surtout vos Mémoires. Si vous avez occasion de me les envoyer à part et le plus tôt que vous pourrez, j'en serai ravi, car j'ai grande impatience de les lire. Adieu, mon cher et illustre ami ; ménagez votre santé avant toutes choses, et souvenez-vous que c'est là res prorsus subslantialis . Ne me faites point d'excuse de la longueur de vos Lettres : je les trouve toujours trop courtes. Vale et me ama. Je vous embrasse de tout mon cœur.

À Monsieur de la Grange, directeur de la Classe wallu'matique de l'.îcadémie royale des Sciences, à Berlin.

A BtM'lin. ce ti :?eptembre i7()f).

Mon cher cl illustre ami, je compte que vous aurez déjà reçu mes Mémoires sur la l'ésolution des équations; ^I. Briasson, à qui j'en ai fait envoyer deux exemplaires, doit vous les remettre entièrement fi'ancs de port; l'un est pour vous, et l'autre, je vous prie de le faire parvenir de ma part à notre ami le marquis de Condorcet. Je serai plus que récompensé de mon travail si vous le jugez digne de quelque attention. Toute mon ambition est de pouvoir mériter votre suffrage. Depuis l'impression decesîMémoires, j'ai fait quelques nouvelles remarques sur ma méthode pour les résolutions numériques des équations, que j'ai déjà lues à l'Académie et que je pourrai vous communiquer si vous le souhaitez. Elles ont rapport surtout ;i la manière de reconnaître et de

DE LAGIIANCE AVEC D'A LEMIÎEKT. IW

trouver les racines imaginaires, dont je n'avais dil (prun mot dans le § 2 du second JMémoire.

A Dieu ne plaise que je désapprouve l'espèce d'opiniâtreté que vous mettez dans vos reciierclies ; je sais que c'est le moyen de réussir dans tout ce qu'on se propose, et je me rappelle toujours d'avoir ouï dire que Ne^vlon répondait i» ceux qui lui demandaient comment il avait })u trouver le système du monde que ce n'était (ju'à force d'y avoir pensé.

J'ai fait votre commission à M.Beguelin; il est exlrêmemenl sensible à l'intérêt que vous voulez bien prendre à ce qui le regarde. M. Lambert vous remercie aussi des bons olFices que vous voulez bien lui rendre auprès du Roi; il m'a remis deux de ses Ouvrages latins pour que je vous les fasse parvenir de sa part; un des amis de M. Tbiébaut s'en est cliargé, et je crois que vous ne tarderez pas à les recevoir. L'un de ces Ouvrages, c'est sa Photomelria, que vous avez paru désirer; l'autn-, c'est un petit Ti'aité sur l'oibite des comètes et des planètes ('), où il y a de très-beaux tbéorèmes, surtout celui de la page la'i, concernant le temps nécessaire pour parcourir un arc quelconque d'ellipse ou de parabole. Je ne doute pas que M. Bernoulli ne vous ait aussi engagé à vous intéresser pour lui; vous lui rendriez un service d'autant plus grand que j'apprends qu'il vient de se marier. Nous avons depuis bier un nouvel associé étranger: c'est IM, Messier(-), que vous connaissez sans doute, au moins de réputation. Comme j'ai eu quelque pai't à son élection, je suis bien aise de vous dire comment la ebose s'est passée. M. Messier a écrit au Roi pour lui donner part de la comète qu'il venait de découvrir, et, à cette occasion, il l'a prié de lui accorder une place d'associé étranger dans l'Académie. Sa Majesté s'est d'abord contentée de m'envoyer la Lettre de 31. ]Messier et de m'enjoindre de correspondre avec lui sur ce sujet. J'ai fait part de cette affaire à l'Académie, et elle m'a cbargé d'insinuer au Roi, dans ma réponse, qu'elle serait cbarmée de s'attacberM. ^lessier en qualité de membre étranger,

(1) Jnsigniorcs orhilœ inmctorum prriprictalca. AiigiisUB Yiridelicoriim. ijGi, in-8". (-) Charles Messier, astronome, numibre do FAcadémie des Sciences (1770), puis de l'Institut, né à Badonviller (Meurllie) le 2G juin 1730, mort à Paris le 12 avril 1817.

pour l'engager, par ce moyen, à lui faire part de ses observations, tant sur la comète f{ue sur d'autres sujets importants d'Astronomie; car, (juoique nous ayons un bon observatoire, et même assez bien fourni d'instruments, nous n'avons pour astronomes que M. Caslillon, qui n'y met presque jamais les pieds, et M.Bernoulli, qui ne fait que commencer. J'aprends que ma Lettre a eu tout l'effet qu'on pouvait souhaite)et que Sa Majesté a daigné ordonner à l'Académie de recevoir M. Messier académicien étranger: c'est à quoi on procédera jeudi prochain.

Il ne paraît encore rien d'Euler; mais, si vous voulez, je me charge de vous faire parvenir ses Ouvrages à mesure qu'ils paraîtront, par le même canal de M. Briasson, si je ne trouve pas d'autre occasion.

Je vous embrasse de tout mon cœur et je suis à vous pour la vie.

D'ALExAlBERT A LAGRANGE.

A Paris, ce 16 octobre 1769.

Mon cher et illustre ami, j'ai été faire à la campagne une retraite d'environ un mois, dont, par parenthèse, je ne me suis pas trop bien trouvé, et c'est en revenant à Paris, il y a dix ou douze jours, que j'ai trouvé votre Lettre du 12 septembre. J'ai envoyé sur-le-champ chez Briasson, qui n'avait pas encore reçu le paquet que vous m'annoncez et qui ne l'a pas reçu encore en ce moment. Je me fais un grand plaisir de lire vos Mémoires, mais je ne veux pas tarder plus longtemps à vous en remercier. Je remettrai au marquis de Condorcet l'exemplaire que vous lui destinez. Je serai charmé de voir la suite de vos recherches sur les racines ima^ginaires des équations; mais je ne puis approuver votre délicatesse au sujet de ^L Fontaine, qui vous a attaqué, comme vous le verrez incessamment, sur la méthode de maximis et minimis.

DE LA GRANGE AVEC D'ALEMBEHT. loi

IJ'aillt'urs, comint' il paraît avoir méprisé mes ol)j{!('tions, parce ({u'il est plus facile de mépriser que de répondre, je serai fort aise, je vous l'avoue, (le les voir ap[)uyées et démontrées par vous.

J'ai lu les Lcllies de .AI. Kuler aune princesse d'Allemagne, et je vous ai mandé ce que j'en pense. Vous désirez de savoir ce qu<' je pense de sa théorie de la Lune. 11 nous a en effet envoyé une pièce sur cet objet, écrite de la main de son fils(*). Je vous demande le secret, parce que je suis un des juges, et même (entre nous) le seul des cinq commissaires nommés qui puisse apprécier son travail (^). Cette théorie est au-dessous (oui au-dessous) de ce qui a été fait de bon jusqu'ici; je ne puis revenir de mon étonnement, qu'un homme tel que M. Euler ait annoncé avec tant d'emphase un Ouvrage aussi médiocre. Aucun point de la difficulté n'y est résolu, ni même touché, et je vous dis d'avance à l'oreille que mon avis sera de remettre le prix une troisième fois; ce sera ■jSoo livres à gagner, et j'espère que vous y aurez bonne part, car je vous garantis que vous ne devez pas hésiter à concourir.

Votre Académie de Turin me tourmente pour lui envoyer quelque chose. Je ramasse actuellement, pour la satisfaire, quelques broutilles (jue j'ai dans mes papiers. Dès que j'en serai quitte, je reverrai mes calculs sur les lunettes achromatiques, et j'espère découvrir en quoi ils s'écartent des résultats de M. Beguelin, à qui je vous prie de faire mille compliments de ma part. Je viens encore d'écrire en sa faveur au Roi, ainsi qu'en faveur de 31. Lambert ( '), dont je n'ai point encore reçu les deux Ouvrages que vous m'annoncez ; en atte^idant, je vous prie de lui en faire tous mes remercîments et de l'assurer de ma parfaite estime.

(') Euler eut trois fils : Jean-Albert-Léonard, né le -27 novembre 173 { à Saint-I\Hersbourg, où il mourut le 6 septembre 1800; Charles, né en 1740 à Saint-Pétersbourg, mort en 1800; Christophe, né à Berlin en 1743, mort vers i8o5.

(-) D'après les Registres manuscrits de l'Académie des Sciences, la Commission chargée de l'examen des pièces du concours pour le prix de 1768, remis à [770, était composée de d'Alembert, Cassini, de Mairan, Camus et Lemonnier. Camus, étant mort, fut, à la séance du G septembre 1769, remplacé par Maraldi.

(2) (' Les trois sujets dont Votre Majesté me fait l'honneur de me parler, écrit d'Alembert le I G octobre, MM. de la Grange, Beguelin et Lambert, sont en effet les meilleurs de l'Académie, et très-dignes à cet égard des bontés de Votre Majesté. J'espère que le jeune M. BernouUi marchera sur leurs traces. » [OEuvres de Frédéric II, t. XXIV. p. 4''>'^)

Vous avez très-bien fait de reeevoir dansrAcadéniie M. Messier, qui depuis longtemps devrait être dans la nôtre. C'est au moins un astronome observateur, et ceux que nous avons ne sont ni observateurs ni n-éomètres. On m'a dit que le second Volume du Calcul intégral d'Euler était imprimé. Si vous pouvez me l'envoyer, je vous en serai obligé, et je cliargerai M. Mettra devons en faire remettre le prix par Y\, .Alicbelet. Je compte aussi vous envoyer bientôt quelques théorèmes sur le Calcul intégral, avec le 3Iémoire de M. Fontaine ( ' ) contre vous, rt un Ouvrage du P. Frisi sur la Lune (-), qui est assez peu de chose, uiais qu'il me charge de vous faire parvenir. Adieu, mon cher ami; je poui'rai vous faire part une autre fois de quelques réflexions sur les endroits de mon cinquième Volume dont vous m'avez parlé et sur quelques autres objets. En altendanl, je vous embrasse de tout mon cœur et vous suis bien sincèreuient et bien tendrement attaché.

Au dos (le celte Lettre se trovne le bil'et siii\aut, probablement de M. de Cutt. à(|ui d'Aleiiibert envoyait les Lettres (ju'il adressait à I3erlin ;

'( \'oici une LeiUe, clier ami, (|ire je viens de recevoir. Comment est votre santé ? Ménagez-la bien, je vous prie. Mes amitiés à M.Rernoulli. Madame estelle contente du séjour de Berlin ? Nous avons ici un comte de Soiar. Bonjour. Pensez quelquefois à moi. Si j'avais eu plus de temps, je vous aurais écrit plus au long. (Ce cinquième dimanche.)

./ Monsieur de hi Grange,

(lirecieiir de la Classe malkéniallque de i' Jcadémie royale des Sciences

el Belles-Lettres, à Berlin.

(') Addition à l(t Méliuxtr p )iir Ici solulion des jjri)/jtèni('s de maximis et niiiiimis, dans les Mémoires de l\lc(idéinie de 17G7, p. 388.

(-) DdincUs Mcldiidii et Paidi Fiisii iiltcriits ad dhcruni de 'llworiii Liiine Comme ntdiii. Parme, ijGy.

LAGRANGE A D'ALEMBEHT.

A Berlin, ce 20 novembre 1769.

Mon cher et illustre ami, j'ai reçu votre Lettre du 16 octobre, laquelle m'a fait d'autant plus de plaisir que je commençais à être un peu inquiet de n'avoir pas de vos nouvelles. Je trouve que vous avez très-bien fait d'aller passer quelque temps à la campagne ; j'en ferais de même ici si je le pouvais; mais il n'y a autour de Berlin que des chaumières, où l'on ne peut être que très-mal logé et sans aucune sorte de commodité. 11 est singulier que vous n'ayez pas encore reçu le paquet que j'ai remis à notre libraire Bourdeau il y a près de quatre mois; je vous ai fait depuis encore trois autres envois: 1° j'ai remis à M. Thiébault deux Ouvrages de M. Lambert, savoir sa Photomélrie {') et un petit Traité Sur les orbites des comètes (-); 2*^ j'ai remis à M. le duc de la Rochefoucauld (') le Volume de notre Académie pour l'année 1767, où se trouvent les mêmes Mémoires que je vous avais déjà envoyés séparément; 3° enfin j'ai remis, il y a quelques jours, à M. Bitaubé, le deuxième Volume du Calcul intégral ô'Euhv, lequel s'est chargé de vous le faire parvenir par le canal de l'envoyé de France {''). Comme je suis plus à portée que vous d'avoir les Livres qui paraissent à Pétersbourg, je me charge, une fois pour toutes, de vous envoyer tout ce qu'Euler fera imprimer; j'y joindrai même, si vous le souhaitez, les Commentaires {'^) de Pétersbourg, dont je viens de recevoir le douzième Volume. 11 me semble que vous ne devez point faire de façons avec moi pour de

(') /?;//• plus haut, p. 141, noie 1.

[-) P^oir plus haut, p. 149, note 1.

(*) Louis-Alexandre, duc de la Kochefoucauld-d'Enville, membre de l'Académie des Sciences (1782), né le 1 1 juillet i7i3, massacré à Gisors le 14 septembre 1792. ['*] Adrien-Louis, comte de Guines.

( *' ) Les Mémoires de V Acadcmic de Sainl-Pélcrshnurg. Voir plus haut, p. gS, note 2.

XIH. 20

pareilles bagatelles, et je regarderai toujours comme une grâce trèsflatteuse de votre part de me procurer des occasions de vous servir. J'attends avec impatience les Mémoires que vous m'annoncez, et surtout celui de M. Fontaine contre ma méthode de maximis et minimis. Si ses objections étaient assez fondées pour la renverser (ce que je ne crois pas), je serais d'autant plus sensible à cette espèce de disgrâce, que la méthode dont je parle a été le premier fruit de mes études (n'ayant que dix-neuf ans lorsque je l'imaginai) et que je la regarde toujours comme ce que j'ai fait de mieux en Géométrie.

Je suis, en vérité, tombé des nues, lorsque j'ai lu l'endroit de votre Lettre où vous parlez du prix. S'il est encore remis, vous pouvez sûrement compter sur moi. MM. Lambert et Beguelin m'ont chargé de vous remercier des bons offices que vous leur avez rendus auprès du Roi; il leur est revenu que Sa Majesté avait déclaré, à cette occasion, qu'elle les regardait comme de très-habiles gens et qui faisaient honneur à l'Académie. M. Beguelin, en particulier, m'a dit que c'était là tout ce qu'il souhaitait pour le présent. Je crois qu'il vise à la place de directeur de sa Classe, qui est celle de Métaphysique, et qui est occupée actuellement par M. Heinius (*), qui est octogénaire. Ce qui rend ces places de quelque importance, c'est premièrement qu'il y a une pension de 200 écus d'attachée et ensuite qu'elles donnent un titre, chose dont les Allemands sont fort avides.

Les remarques que j'ai faites sur quelques endroits de votre cinquième Volume ne me paraissent guère assez importantes pour mériter beaucoup d'attention de votre part; aussi ne vous les ai-je communiquées que pour vous faire voir que je lisais vos Ouvrages. En voici encore une que j'ai faite depuis peu et comme par hasard ; elle regarde l'erreur que vous imputez à Simpson (p. 283). Étant tombé sur cet endroit de votre Ouvrage et ne voyant pas bien en quoi consistait la méprise de cet auteur, j'ai fait, pour m'en éclaircir, le calcul, que voici :

Un corps circidanL uniformément dans la circonférence d'un cercle,

(') Jean-lMiilii)i)C Heinius. li était, depuis le ig avril lyjo, membre de l'Académie de Bjrlin, où il a inséré divers Mémoires sur les philosophes de l'antiquité.

tandis que le plan du cercle tourne uniformément autour d'un de ses diamètres, on demande les forces nécessaires pour entretenir le mouvement de ce corps.

Soit le quart de cercle CDA, lequel, en tournant autour du diamètre DC, soit venu dans la position CDB, et soit P le corps qui se meut

sur la circonférence de cercle; nommons v le rayon CD ~ CP, 9 l'angle DCP et i l'angle ACB, en sorte que -~ soit la vitesse angulaire du corps dans le cercle et -.^ la vitesse angulaire du cercle autour

du diamètre de rotation CD, et, comme ces deux vitesses sont constantes (hypothèse), on aurad'ahord<:/-<p = o et f/-'| = o.Cela posé, qu'on abaisse du point P la perpendiculaire PQ sur GB et du point Q la perpendiculaire QR sur AC, et, faisant CR = .jr, RQ = j, QP=:i;, on aura pour l'orbite du corps P les trois coordonnées rectangles ^jj, :;, de sorte qu'il faudra que le corps soit sollicité suivant les directions -de ces coordonnées par trois forces représentées par — -? - — ? ,yj* J^ change d'abord les deux forces -j—- et -y—, qui agissent parallèlement au

plan ACB, en deux autres, l'une parallèle et l'autre perpendiculaire à CB, et, nommant L la première et P la seconde, je trouve

xd'-x + yd'-y

dt- sjx- -\- y-

xd'-r — yd'-x

dt- sjx- -v-y-

ensuite, combinant la force L et la force -7— qui agissent dans le

plan DCB, je les réduis à deux autres, l'une suivant la direction du rayon PC et l'autre suivant la tangente au point P ; et, nommant la première R et la seconde Q, je trouve

. cPz ^ ,-.; ,dH

de sorte que j'aurai les trois forces P, Q, R, dont la première est perpendiculaire au plan du cercle, la seconde tangentielle au cercle et la troisième dirigée vers le centre même du cercle. Or, il est facile de voir qu'on aura

z=^rQ0so, j = rsin9 siti'^, x = r sin© ces J^ ;

donc, substituant ces valeurs et faisant attention que r, ch et (l\ sont constants, on trouvera

P=.rcos9^-^, Q--=-rsm9COS9^, R = r^-^ -^ sin-o^ ) ,

de sorte que la force perpendiculaire P sera à la force centripète R

do d^ , do- . c dd^- ^1 dd) . . . ... .

comme 2C0SO 77 77 ^ "^ + ^^"^ 9 7^' ^t lorsque -^^ est tres-petit visà-vis de ^, comme 2coso-y^ à ^5 ce qui s'accorde avec le théorème dt ' dt clt ^

de Simpson.

Adieu, mon cher et illustre ami, il ne me reste de papier que pour vous embrasser et vous renouveler les assurances de mes sentiments les plus tendres et les plus respectueux.

P. S. — Vos deux Mémoires s'impriment dans le Volume de 1763, qui est actuellement sous presse et qui paraîtra à Pâques.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce i8 décembre 17G9.

Mon cher et illustre ami, je commence par vous envoyer quelques remarques que m'a fait naître la lecture du Mémoire de M. Beguelin ( ' ) ; vous pouvez, je crois, y trouver quelque chose d'utile, et vous verrez que d'ailleurs je rends justice au Mémoire qui les a occasionnées. Vous pourrez imprimer ces remarques dans tel Volume de vos Mémoires que vous jugerez à propos. Elles sont datées du temps où elles ont été écrites. Je vous les adresse par 31, de Catt.

De tous les Ouvrages que vous m'annoncez, je n'ai encore reçu que les deux Ouvrages de 31. Lambert sur la mesure de la lumière et sur les comètes; je lui en avais déjà fait d'avance mes remercîments. Ils me 'paraissent dignes d'être lus et étudiés. Quant au paquet de vos Mémoires que Briasson me devait remettre il y a quatre mois, je ne l'ai point encore, grâce à ses soins, et quoique je lui en parle tous les huit jours. Je ne sais quand je l'aurai; il me répond toujours qu'il est en route ou qu'il va pailir incessamment. J'en suis d'autant plus fâché, que vous connaissez mon juste empressement pour lire tout ce qui vient de vous. Je comptais au moins me dédommager par le Volume de 1767, que vous me dites avoir remis à M. le duc de la Rochefoucauld; admirez mon malheur : au lieu du A'olume de 1767, il m'a remis un gros paquet avec une adresse écrite de la main de M. Formey, et ce paquet contenait le A'olume de 176G, que j'ai déjà depuis plus d'un an, et point de 1767. A'oyez, mon cher ami, ce que je

( 1) Ces remarques furent insérées dans le Volume de 1769 (paru en 1771 ) des Mémoires de l'Académie de Berlin fp. a54 et suiv. ), sous le titre de : Extrait (Pane Lettre de M. tV Alemhert a M. de la Grange. Elles commencent ainsi : « J'ai lu avec beaucoup de satisfaction les excellentes recherches de M. Beguelin sur les lunettes achromatiques, dans le Tome XVIII de vos ilémoires. »

(lois faire de ce double Volume, dont je n'ai pas besoin, et s'il est possible de me faire parvenir 1767 par quelque autre occasion. Enfin, je n'ai point reçu non plus le deuxième Volume du Calcul intégral d'Euler; mais, comme déraison, je mande, en attendant, à M. Bitaubé, de vous en faire rembourser le prix par 31. Michelet. Je n'accepte qu'à cette condition les offres que vous me faites, et vous sentez bien qu'il serait déraisonnable d'insister pour que cela fût autrement. A cette condition dont, je vous serai obligé de m'envoyer ce qui paraîtra d'Euler et, en général, d'intéressant en Géométrie.

J'attends que M. de Borda m'ait remis un exemplaire de son Mémoire (' ), qu'il m'a promis de me donner incessamment, pour vous le faire parvenir avec celui de M. Fontaine. Je compte aussi vous envoyer bientôt une seconde édition de mon Traité des fluides; il n'y a que trèspeu d'augmentations, mais je vous prie de la recevoir comme un gage de mon amitié. J'y joindrai un exemplaire du même Ouvrage pour M. Lambert et un pour l'Académie; mais, comme le paquet sera un peu gros, je tâcherai de trouver quelque occasion pour vous l'envoyer sans frais.

Vous êtes très-sùr que je vous dis la vérité au sujet de la pièce d'Euler. Je suis bien fâché que vous ne soyez pas à portée d'en juger, et je gage bien que vous seriez de mon avis. J'en suis aussi surpris que vous, mais la chose n'en est pas moins vraie. Vous pouvez travailler en toute sûreté; car, quand même on donnerait le prix (ce que je ne crois pas), je suis comme assuré qu'on proposera encore le même sujet.

Voici ce que le Roi m'écrit du 25 novembre : « V approbation que vous donnez à quelques-uns des membres de notre Académie me les rend encore plus prc'cii ux {-). )) Vous pouvez assurer 301. Lambert et Beguelin que je ne négligerai aucune occasion de les faire valoir auprès du Roi ; cette manière de les servir vaut mieux, je crois, que si je demandais directe-

(') Ce travail, inséré (p. ôSg) dans les iMémoires de rjcadéiuie de ramiéc 1767 (publié en 1769), est intitulé Eclaircissement sur les méthodes de trotn'cr les coiti-besquijoidssent de quelque piopriété du maximum ou du minimum.

(2) (JEm'res de Frt-dêric II, t. XXIV, p. 4o4.

DE LAGUANGE AVEC D'ALEMBEHT. 159

ment quelque cliosc pour eux ; tependant je suis bien loin de le leur refuser; mais je crois que, quand ils désireront quelque chose, ils feront mieux d'écrire directement au Roi, et ils trouveront les choses aussi bien disposées de ma part qu'il sera possible. En général, il me semble que le Roi n'aime pas beaucoup à être sollicité; mais, quand il est averti du mérite d'un sujet qu'il n'est pas à portée de connaître par lui-même, je crois qu'il se porte volontiers à lui donner des marques de satisfaction.

Le calcul que vous m'envoyez sur la page 283 de mon cinquième Volume me paraît juste; mais la démonstration dé Simpson que j'attaque en cet endroit n'en vaut pas mieux; elle en devient même bien plus mauvaise, parce que, outre le paralogisme que j'ai relevé, il en a fait encore un autre auquel je n'avais pas pris garde (m'étant contenté d'en trouver un qui suffisait pour prouver le vice de sa théorie). Ce second paralogisme redresse la faute du premier, mais la théorie de Simpson n'en doit pas moins être rejetée, quoique le résultat de 22 secondes qu'il trouve pour la précession des équinoxes s'accorde avec le nôtre. Je vous parlerai de cela plus au long uue autre fois. Adieu, mon cher et illustre ami.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A faris, 0027 décembre 1769.

M. le baron de Goltz {*) veut bien se charger, mon cher et illustre ami, de vous remettre ce paquet. Vous y trouverez :

i" Un carton d'une feuille volante pour un endroit de mon troisième Mémoire sur les lunettes achromatiques : c'est le dernier Mémoire que

(') Le baron Bernard-Guillaume de Goltz, né vers 1730, mort le 6 février 179.5. Il fut ministre plénipotentiaire de la Prusse, en France, de 1772 à i79'2.

vous avez reçu. Le cartou a pour objet une faute de calcul que j'ai corrigée. L'erreur était peu importante, mais il vaut mieux être exact, quoique le philosophe de Lalande ait dit, dans la Préface de son Astronomie, que l'exactitude était le sublime des sots ( ' ) ; heureuse application d'un trait qui n'est pas de lui.

2" Vous trouverez les Mémoires de MM. Fontaine et de Borda (-). Vous y verrez que ce dernier vous traite avec beaucoup d'honnêteté ; il n'en est pas tout à fait de même de l'autre, que je vous exhorte fort à ne pas ménager sur la théorie des équations. Quant à l'affaire des isopérimètres, je ne l'ai pas assez examinée pour savoir si ces messieurs ont raison contie vous, d'autant plus que depuis quinze jours j'ai des insomnies et des maux de tête abominables. Ah! mon cher ami, ménagez-vous et ne soyez pas vieux, comme moi, à cinquante ans.

3° Vous trouverez enfin deux pièces sur la théorie de la Lune ('), (jue le P. Frisi m'a chargé, il y a déjà quelque temps, de vous envoyer. Je ne me suis pas pressé, parce que ces deux pièces, comme vous le verrez, sont peu de chose.

4" Vous trouverez enfin (et c'est même le second article, que j'avais oublié) l'énoncé de différents théorèmes sur le Calcul intégral que j'ai lus l'été dernier à l'Académie ('•), ne voulant pas être prévenu par

(') Voici la phrase de Lalande : « J'écris pour mon amusement, et j'y renoncerais si j'étais oljligc de mettre dans mes écrits cette rigoureuse exactitude si ennuyante pour un auteur et qui fait souvent, dit-on, tout le sublime des sots. » [ Jstrojiontie, 176^, 2 vol. in-î", t. I. Préface, page xv. )

(2) Addilion a la incthodc pour la solution des problèmes de maximis et minimis, p. 588 du Volume de l'année 1767 de l'Académie des Sciences. Il y parle ainsi du Mémoire de Lagrange :

« Je me mis à examiner le Mémoire de M. de la Grange; je trouvai qu'il s'était égaré dans la route nouvelle qu'il avait prise pour n'en avoir pas connu la vraie théorie. »

Borda, dans son Mémoire qui traite du même sujet, dit de son côté (vo/z-plus haut, p. i58, note i) : « La méthode (de M. Euler) n'ayant pas paru assez simple à M. de la Grange, cet auteur, qui s'était déjà fait en Géométrie une réputation aussi brillante cpie rapide, etc. » (P. 55i.)

(3) Voir plus haut, p. i52, note 2.

(^) On trouve (p. 573-587) dans le Volume des Mémoires de V Académie de 17G7 (publié en 1770) des Recherches sur le Calcul intégral qm ne contiennent que l'énoncé de quaranteneuf théorèmes dont les démonstrations furent lues par d'Alembert à l'Académie en juillet 176961 figurent (p. 73-146) dans le Volume de cette môme année (publié en 1772).

J)E LAGRANGE AVEC D'ALEMBEKT. IGl

le second Volume du Calcul intégral d'Eiilcv, qui ne paraissait pas encore. J'ai réservé pour le Volume de [769 les démonstrations de ces théorèmes, qui ne sont pas fort difficiles à trouver, avec plusieurs autres corollaires. Quelques-uns de ces théorèmes sont assez généraux, et la plupart peuvent souvent être utiles.

On imprime actuellement le Volume de 17G8, où il y aura deux Mémoires de moi sur la llbradon de la Lune ('). Je vous les enverrai dès qu'ils seront imprimés, mais ce ne sera guère que dans deux ou trois mois au plus tôt.

Vous avez dû recevoir un paquet dans lequel il y avait un assez long Mémoire sur les lunettes achromatiques, à l'occasion de celui de M.Beguelin. Si ma pauvre tête me le permet, je pourrai vous envoyer dans quelque temps d'autres broutilles, car je ne suis guère en état de suivre un long travail, et je ne fais guère que voltiger d'un objet à l'autre pour ne me point trop fatiguer; encore suis-je sujet à en perdre le sommeil, pour peu que l'objet demande quelque application. Comme je suis. Dieu merci, délivré du directorat de l'Académie, qui a exigé de moi plus de travail, je vais me ménager le plus que je pourrai l'année prochaine. Peut-être, en unissant le régime du travail au régime du manger et du reste, je pourrai faire encore quelque petite chose en Géométrie. Adieu, mon cher ami ; vous qui êtes destiné pour les grandes, ayez bien soin de votre santé, car, en vérité, il n'y a que ce bien de réel au monde. Je vous embrasse de tout mon cœur. Mille compliments à MM. Bitaubé, Lambert, Thiébault, Beguelin, et à tous ceux qui veulent bien se souvenir de moi.

N. B. — Je n'ai point encore reçu votre paquet de Briasson ; il faut (|ue le diable l'ait emporté.

(') Ils sont intitulés : Recherches sur les innuveinents de l'axe d'une planète quelconque dans l'hypothèse de la dissimilUude des niéridie/is (p. i-53 et p. 332-384).

xm.

A Berlin, ce 2 février 1770.

J'ai reçu, mon cher et illustre ami, vos deux paquets contenant, l'un des Recherches sur les lunettes achromatiques pour notre Académie, à laquelle j'aurai l'honneur de les présenter au premier jour, et l'autre les Mémoires de MM. Fontaine et de Borda sur la méthode de maximis etminimis, votre Mémoire sur différents théorèmes de Calcul intégral et l'Ouvrage du P. Frisi sur la théorie de la Lune; je vous en remercie de tout mon cœur, et je vous prie de vouloir bien aussi témoigner ma reconnaissance au P. Frisi et au chevalier de Borda. J'ai communiqué à iM3I. Lambert et Beguelin l'article de votre Lettre du 18 décembre qui les regarde; ils sont très-sensibles à vos bontés, et ils m'ont chai'gé de vous témoigner combien ils sont reconnaissants des bons oiBces que vous leur avez rendus auprès du Roi. Le dernier (M. Beguelin) me marque à ce sujet dans un de ses billets « que c'est tout ce qu'il avait à souhaiter, qu'il n'était question que de détruire des impressions étrangères qui pouvaient lui être peu favorables, que, cela fait, tout ce qu'on ajouterait serait suspect, à moins que l'occasion n'en fût trèsnaturelle et qu'on en profitîU bien sobrement ».

Comme -s os Recherches sur les lunettes l'intéressent particulièrement, j'ai cru devoir les lui communiquer; il m'a dit qu'il en était très-satisfait, et il a même fait par-ci par-là quelques remarques dont il pourra vous faire part si vous le souhaitez et s'il en trouve l'occasion. Il m'a remis en même temps un exemplaire imprimé de son second Mémoire sur la perfection des lunettes ('), pour que je vous le fasse parvenir

( 1 ) Remarques détachées sur la perfection réelle des lunettes diopti-icjucs, inséré dans les Mémoires de PJcadénne de Berlin de 1769 (p. 3-56 ). Le premier Mémoire [Nouvelles recherches pratiques sur les aberrations des rayons réfractes et sur la perfection des lunettes) avait paru dans le Volume de 1762 (p. 343-4 16 ).

de sa part; le Volume dont il fait partie ne devant paraître qu'après Pâques, je le joindrai au Volume de 1707, que vous n'avez point reçu par l'inadvertance de M. Formey, dont je suis très-fàché. M. Bitaubé s'est chargé de me procurer une occasion de vous faire ces envois par le moyen du secrétaire de l'envoyé de France, avec qui il est un peu lié. En attendant, M. Formey, à qui j'ai fait des plaintes de sa petite étourderie ( ' ), m'a dit qu'il vous serait très-obligé de demander à M. de la Condamine s'il a reçu le Volume que vous avez maintenant double, et de le lui remettre de sa part au cas que ce Volume lui manque; sinon vous pouvez le remettre à M. 3Iettra, pour qu'il le fasse parvenir à M. Formey par le premier envoi qu'il aura occasion de lui faire.

Je suis au désespoir que le paquet que j'ai fait adresser à M. Briasson ne vous ait pas encore été remis; j'en ai fait quelques reproches à M. Bourdeaux, qui s'est chargé de ce paquet, et il m'a fait voir une Lettre de M. Briasson dans laquelle il lui marque que le paquet en question est resté à Strasbourg, chez 3Iirille et Perin père et fils, faute d'occasion pour le faire parvenir à Paris. Je ne comprends rien à cela, d'autant plus que je m'étais engagé avec M. Bourdeaux à payer les frais jusqu'à Paris; au reste, je me flatte que vous l'aurez reçu à l'heure qu'il est, à moins que le diable ne l'ait effectivement emporté. J'espère aussi que vous aurez reçu le deuxième Volume du Calcul intégral d'Euler, dont l'envoyé de France a bien voulu se charger. J'aurai soin de vous envoyer les autres Ouvrages d'Euler à mesure qu'ils paraîtront et même les Commentaires de Pétersbourg, si vous le souhaitez. Je serais au désespoir que vous fissiez la moindre façon avec moi, et je vous demande comme la grâce la plus flatteuse de me procurer quelque occasion de vous servir.

Vos théorèmes de Calcul intégral me paraissent très-beaux, et je suis fort cupieux d'en voir les démonstrations; en attendant, j'essaye de les trouver moi-même, pour m'exercer sur cette matière aussi difficile qu'importante.

Il faut maintenant que je vous dise un mot du Mémoire de M. Fon-

(') Voii' plus haut, p. 107.

leV CORRESPONDANCE

laine sur la méthode de maximis et minimis. Je vous assure que ce Mémoire me paraît très-peu digne de lui, tant pour le fond que pour la forme. Je ne me plaindrais pas de la manière peu obligeante dont il nai'le de mon Ouvrage si te sien valait en effet beaucoup mieux ; mais je ne puis m'empêcber d'être, en quelque façon, indigné de voir qu'après m'avoir traité d'ignorant sur cette matière il s'approprie ma méthode même, en la tronquant et la défigurant seulement un peu, et c'est ce qu'il appelle ensuite sa seconde méthode. Quant à la première, elle n'est autre chose que celle dont Euler s était servi autrefois et que cet auteur a ensuite abandonnée pour adopter la mienne. Au l'CSte, ce ?Jémoire ne contient absolument rien de nouveau et ne me paraît remarquable que par son impertinence. Il n'en est pas de même de celui de M. le chevalier de Borda, à qui je vous prie de vouloir bien faire mes compliments, en lui témoignant de ma part combien je suis sensible à la manière flatteuse dont il a bien voulu parler de moi (' ). J'ai trouvé dans ce Mémoire des réflexions ingénieuses sur la matière dont il s'agit; mais il me seml)le que ses objections n'attaquent point le fond de ma méthode, et qu'elles ne touchent tout au plus qu'à l'analyse que M. Euler a donnée dans les Commentaires de Pétersbourg (t. X des i(Oiweaux) et non pas à la mienne. ^1. de Borda m'objecte que la ligne

sur laquelle un corps doit se mouvoir pour descendre d'une courbe donnée à une autre courbe donnée dans le moindre temps possil)le n'est pas celle des cycloïdes,qui couperait les deux courbes données à angles droits, comme je l'ai trouvé par ma méthode (article 4), et cela par la l'aison que le premier côté de la brachistochrone doit toujours être vertical. J'en conviens si l'on suppose que le corps parte du repos; mais

(') Fo//-plus liaul, p. iGo, note 'i.

mon analyse suppose évideninient que le corps au sommet C de la l)raehistochi'one CM, qui doit être terminée par les lignes données PC, RM, ait déjà la vitesse duc à la hauteur BC =x, AR étant l'axe des ordonnées horizontales r; et, dans ce cas, je dis que la ligne CM, sur laquelle le corps pourra arriver dans le moindre temps possible de la courbe PC à la coui'be RM, sera nécessairement celle des cycloïdes décrites sui' la base AR, qui coupera ces deux courbes à angles droits en C et en M.

Adieu, mon cher et illustre ami, je vous embrasse de tout mon cœur et je vous recommande, au nom de Dieu, de bien prendre soin de votre santé; la mienne est assez bonne, et jusqu'à présent je ne puis (ju'êtrc très-content de ma situation. Si jamais vous avez occasion de faire mention de moi dans vos Lettres au Roi, je vouspriede lui en parler sur ce pied; car, outre que c'est la pui'c vérité, je sais que c'est encore un grand mérite auprès des rois de n'avoir rien à leur demander.

A Berlin, ce :>.o février 1770.

Je suis charmé, mon cher et illustre ami, que vous ayez enfin reçu l'exemplaire de mes Mémoites que je vous avais destiné, et qui est resté en chemin beaucoup plus longtemps que je ne pensais, par la faute de ceux à qui je me suis adressé pour faire parvenir mon paquet à Paris. Je suis fort aise que vous ne soyez pas mécontent de ce que vous avez déjà lu, et j'ai grande envie de savoir votre avis sur le reste. Peut-être regarderez-vous le sujet de mon premier 3Iémoire (') comme peu intéressant et peu digne de vous occuper; mais je vous prie de considérer

(1) Fuir plus haut, p. 1 4 i, note 1 .

que c'est une matière qui est presque encore toute neuve et qui offre des difficultés d'un genre particulier et beaucoup plus difficiles à surmonter que celles de l'Analyse ordinaire.

Je n'ai pas encore reçu le quatrième Volume de Turin; je suis impatient de l'avoir pour y lire les 3Iémoires que vous y avez Mi insérer ( ' ), et que je ne doute pas qu'ils ne répondent à la haute opinion que j'ai de votre génie.

Si vous faites imprimer quelque chose dans les Mémoires de votre Académie, je vous aurais beaucoup d'obligation si vous vouliez avoir la bonté de m'en envoyer un exemplaire; je vous promets d'en user toujours de même envers vous pour tout ce que je publierai dans nos Mémoires. J'accepterais avec beaucoup de plaisir et de reconnaissance la proposition que vous me faites de m'envoyer un Mémoire de votre façon si je pouvais ensuite le faire paraître dans le Recueil de l'Académie; mais, suivant nos règlements, il n'y peut entrer que les Ouvrages des académiciens, et, quoique votre nom méritât qu'on fit une exception en votre faveur, cependant je n'oserais m'en charger, d'autant plus qu'il n'y a personne ici qui soit véritablement en état d'apprécier vos travaux. Le Roi s'est réservé depuis quelque temps la nomination des membres étrangers, et il a même défendu à l'Académie de lui en présenter, de sorte que tout ce que l'Académie peut faire à cet éfî^ard, c'est de faire connaître à Sa Majesté, lorsque l'occasion s'en présente, le mérite de ceux qui pourraient lui faire honneur, et vous jugez bien qu'il ne tiendra pas à moi qu'elle fasse une acquisition telle que la vôtre.

Je plains ^I. Fontaine et je crains très-fort qu'il ne perde son procès s'il n'est mieux fondé dans ses prétentions civiles qu'il ne l'est dans les littéraires. J'ai lu son Mémoire pour les maxima et miiiima, et j'en ai été très-scandalisé. Je pourrais bien (et peut-être le

( ' ) Il y en a cinq, savoir : Solution (V un problème li'AritJnnctiquc (p. î4 ); Suirinlégration de quelques équations (liffércntiellcs (p. fjS ) ; Sur- la méthode des variations [i^. i63); Recherches sur les mouvements d'un corps rpd est attiré vers deux centres fixes (deux Mémoires, p. 188 et 216). Voir OEuvres, t. 1. p. ^71 ; t. II, p. 5, 3;, G7.

ferais-jc un jour) lui donner bien du fil à l'elordre au sujet de sa théorie des équations, et je erois pouvoir dire et soutenir avec beaucoup plus (le fondement que lui « qu'il s'est égaré pour n'avoir pas connu la véritable théorie ». Je vous embrasse de tout mon cœur.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce 9 mars 1770.

J'ai depuis six semaines, mon cher et illustre ami, une faiblesse de tète qui me rend incapable d'application et qui m'empêchera même de vous écrire une longue Lettre. Je suis bien aise que vous ayez reçu tous mes paquets. J'ai aussi reçu votre double Mémoire sur les équations et sur les problèmes de Diophante; mais, dans l'état où je suis, je n'ai pu que les parcourir très-légèrement, et ce que j'en ai subodoré mç^ paraît excellent et me donne bien envie de le connaître mieux dès que je le pourrai, car j'ai pris le parti de renoncer pour deux mois ou six semaines au moins à toute espèce de travail. Je recevrai avec grand plaisir le Mémoire de M. Beguelin et les observations qu'il voudra bien me communiquer; je vous prie de le lui dire et de lui faire mes compliments, ainsi qu'à ^L Lambert.

Je vous exhorte fort à ne pas laisser impunie l'impertinence de Fontaine : c'est un homme qui mérite d'être humilié; je n'en connais pas de plus orgueilleux et de plus méchant. Je vous invite non-seulement à lui répondre sur la question de maximis et minimis, mais à faire voir aussi l'insuffisance de sa méthode pour les équations. Je suis d'ailleurs particulièrement intéressé à ce dernier objet, et je vous serai trèsobligé de vouloir bien lui prouver que mes objections sur cette méthode méritaient un peu plus d'attention de sa part. M. le chevalier de Borda

me charge de vous faire ses compliments. Je lui ai communiqué votre réponse à ses objections; il en a pris copie. J'ignore s'il a quelque réplique il y faire, mais du moins il est honnête et vous n'aurez point à vous plaindre de lui.

J'écris encore à M. Bitaubé de vous faire rembourser par M. Michelet le prix du deuxième Volume du Calcul intégi^al d'Euler. Si vous persistez dans les façons (ridicules entre amis) que vous faites à ce sujet, vous me priverez de l'avantage d'avoir beaucoup plus tôt par votre moyen ce (|ui pourra paraître d'intéressant, car je vous prierai de ne me plus rien envoyer.

Je compte avoir dans trois semaines ou un mois une occasion pour vous faire parvenir trois exemplaires de la nouvelle édition de mon Trailé des fluides, un pour vous, un pour 3Î. I^ambert et le troisième pour l'Académie.

J'attends le Volume de 17G7 et ceux qui auront pu paraître depuis, comme 1763. J'ai fait remettre à M. de la Condamine le Volume de \'-iô(\. Je n'ai pu savoir s'il le gardera, parce qu'il est à la campagne et n'en est pas encore revenu. En tout cas, j'aurai soin qu'il ne soit pas perdu. Adieu, mon cher et illustre ami ; (jue le dieu qui préside à la Géométrie vous conserve: pour moi, je n'existe plus.

.4 Monsieur de la Crange, directeur de la Classe matht'malique de V Académie royale des Sciences, à Berlin,

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A l'aris, ce 25 mars jtto.

Voilà, moucher et illustre ami, trois exemplaires de la nouvelle éditiou de Uion Traité des fluides, un pour vous, un pour l'Académie, (jue

je vous prie d'assurer de mon profond respect, et un pour M. Lambert, à qui vous voudrez bien le présenter de ma part comme une marque de mon estime et de ma reconnaissance. J'attends toujours les Volumes de 1767 et 1763. On m'a dit que le dernier Volume du Calcul intégral d'Euler paraissait, ainsi que le premier Volume de la Dioptriquc. Je ne les ai point encore vus. Ma pauvre tête va un peu mieux, mais je veux la laisser reposer longtemps, et je ne compte recommencer un peu de travail que dans le mois de mai ; encore irai-je fort doucement. Je vous embrasse de tout mon cœur et vous souhaite une meilleure santé qu'à moi.

A Monsieur de la Grange^ de l'Académie royale des Sciences, à Berlin.

LAGRANGE A D'ALE.AIBERT.

A Berlin, ce 26 mars 1770.

Votre Lettre, mon cher et illustre ami, me donne beaucoup de chagrin et d'inquiétude en m'apprenant le dérangement de votre santé; je vous exhorte et vous conjure, par le vif intérêt que je prends à votre conservation, de ne rien négliger de ce qui pourrait contribuer à vous rétablir. Je crois que le régime et surtout la cessation de foute sorte de travail sont les meilleurs remèdes dont vous puissiez user; mais il me semble que rien ne vous ferait autant de bien qu'un voyage : j'en parle d'après ma propre expérience. Le bruit court ici que vous devez nous venir voir cet été ; quoique vous ne m'en disiez rien dans votre Lettre, je suis cependant porté à le croire, non-seulement parce que je le souhaite beaucoup, mais parce que je me rappelle que vous m'en avez, en quelque manière, donné votre parole il y a deux ans; je vous prie de me dire ce que vous avez résolu à cet égard, et, si c'est un se-

xin. 22

cret, vous pouvez être assuré que je n'en laisserai rien transpirer. Je suis bien aise que vous ayez enfm reçu ce paquet, que je croyais déjà perdu.

J'ai vu, par une Lettre du marquis de Condorcet, que vous lui avez remis l'exemplaire de mes Mémoires que je lui avais destiné; je vous remercie de cette complaisance aussi bien que de celle que vous avez eue de faire remettre à M. delà Condamine le Volume de 1766. J'ai remis, il y a quelque temps, celui de 1767, avec un Mémoire imprimé de M. Begueîin sur les lunettes achromatiques et quelques remarques manuscrites de sa façon sur votre dernier Mémoire, au secrétaire de M. le comte de Czernichew, ci-devant ambassadeur de Russie à Londres, lequel est parti pour Paris et s'est chargé de vous remettre le tout avec la plus grande ponctualité possible. Le Volume de 1763, qui était le seul des arriérés qui manquait encore, est imprimé et va paraître dans peu; il ne contient rien de moi, parce que j'ai été obligé de faire place aux Mémoires de M. Euler qui restaient encore; cependant j'y ai fait insérer le vôtre, non pas le dernier, qui est arrivé trop tard, mais le précédent. Je vous enverrai ce Volume par la première occasion que je pourrai trouver. On va mettre incessamment sous presse le Volume de 1768, où je compte insérer deux Mémoires de ma façon, dont l'un contient des additions considérables à celui que j'ai donné sur les équations numériques, et dont l'autre renferme une nouvelle méthode pour la résolution des équations littérales par le moyen des séries, matière presque aussi rebattue que l'autre, mais que j'ai traitée d'une manière nouvelle et qui ne laisse presque rien à désirer. J'ai, outre cela, une douzaine de Mémoires qui ont déjà été tous lus à l'Académie, mais que je désespère de pouvoir faire imprimer dans les Volumes ordinaires, de sorte que je vais tâcher de m'arranger avec quelque libraire pour les publier séparément. Au reste, je ne manquerai pas, au risque de devoir laisser en arrière quelque chose de moi, de faire imprimer dans ce Volume votre dernier Mémoire cur les lunettes. Je vous prie de ne pas vous fâcher si j'ai refusé de prendre de M. Bitaubé le prix du Calcul intégral, qu'il a voulu me remettre de votre part; ce n'est pas

que je veuille insister davantage sur ce que je vous ai déjà dit à ce sujet; mais, puisque vous voulez à toute force me rembourser de ces sortes de bagatelles, j'aimerais mieux que vous m'envoyassiez à votre tour quelqu'un des Ouvrages de Géométrie qui peuvent paraître chez vous, comme de l'abbé Boussut ( ' ), ou de M. Bézout, ou d'autres. J'ai de ce dernier le Cours de Mathématiques jusqu'au second Volume de la Mécanique inclusivement; s'il avait paru quelque chose depuis, je ne serais pas fâché de l'avoir.

Adieu, moucher et illustre ami; j'avais encore bien des choses à vous dire, mais il ne me reste de papier que pour vous embrasser et me recommander à votre souvenir.

À Monsieur d'Alembert , de l'Académie française, des Académies royales des Sciences de Paris, de Berlin, etc., à Paris.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce lo avril 1770.

Mon cher et illustre ami, nous avons en effet, comme je vous l'avais fait espérer, proposé de nouveau le sujet de la Lune pour Vannée prochaine, 1 772 (") ; je dis prochaine, car ce prix ne peut se donner que tous

(') Lagrange a écrit Boussut, suivant sa prononciation italienne.

(- ) « L'Académie avait proposé pour le sujet du prix de 1768 de perfectionner les méthodes sur lesquelles est fondée la théorie de la Lune; de fixer par ce moyen celles des équations de cette planète qui sont encore incertaines, et cV examiner en particulier si P on peut rendre raison, par cette théorie, de l'équation séculaire du mouvement moyen de cette planète . N'ayant pas été satisfaite des recherches qu'elle avait reçues sur ce sujet, elle l'avait proposé de nouveau pour cette année 1770, avec un prix double. Quoique, dans le nombre des pièces envoyées, il s'en soit trouvé plusieurs remplies de recherches estimables, l'Académie n'a j)as cru la question suffisamment résolue; cependant, considérant la difficulté du pro-

les deux ans ; il devrait être triple, mais il ne sera que double, parce que, le prix étant déjà double cette année, nous avons cru devoir en donner la moitié à M. Euler pour plusieurs raisons : i** parce qu'il y a beaucoup de travail dans sa pièce, quoique assurément il n'ait pas fait un pas en avant; 2° parce que les autres pièces ne valent rien du tout et que, si M. Euler avait fait imprimer la sienne avant 1772 et que, par quelque raison de mauvaise santé, vous n'eussiez pas pu concourir, nous aurions pu être forcés de donner en 1772 le prix triple à une trèsmauvaise pièce, car le testament de M. de Meslay, qui a fondé le prix, nous oblige de ne pas le remettre plus de trois fois. Par l'arrangement que nous venons de prendre, et que je suis fort aise d'avoir imaginé, nous pourrons, si nous voulons, ne donner le prix qu'en 1774» en cas que nous n'eussions encore rien 4^ bon en 1772, ce qui vous donne beaucoup plus de temps et de facilité en cas que vous jugiez à propos de travailler. Quand vous ne seriez pas encore parfaitement content de ce que vous auriez fait en 1772, vous pourriez l'envoyer; notre pis aller sera de remettre le prix en 1 774, et pour lors il sera triple; je dis notre pis aller, car je doute beaucoup que d'autres que vous puissent nous envoyer quelque chose de bon.

J'ai reçu, il y a peu de jours, le Volume de 1767, et j'ai remis celui de 1766 à quelqu'un qui doit le reporter vers la fin de mai à M. Formey. J'ai reçu aussi le Mémoire de M. Beguelin, dont je vous prie de le remercier de ma part. Comme ma tête est toujours trèsfaible, je n'ai fait que parcourir ses remarques manuscrites; ainsi je n'en puis rien dire pour le présent, d'autant plus que je n'ai point de copie du Mémoire ou de la Lettre qui est l'objet de ces remarques. Cependant il me paraît en général que les calculs de M. Beguelin tendent

blcme, et ne voulant pas décourager les concurrents, elle a cru devoir récompenser le travail qui distingue surtout une des pièces, qui a pour devise : Erranicmque canit Lunain, et, en conséquence, elle lui a adjugé la moitié du prix double. Les auteurs de cette pièce sont, conjointement, MM. Léonard Euler, associé étranger de l'Académie et rhembre de celles de Berlin et Pélersbourg, et Jean-Albert Euler, son fils. L'autre moitié du prix double est réservée pour la joindre à celui de l'année 1772, qui sera, par ce moyen, de 45oo livres, et l'Académie propose de nouveau la môme question pour ce prix. » [Mémoires de T Académie des Sciences, année 1770, Histoire, ^p. 119-120.)

à confirmer ce que j'ai avancé, qu'il ne faut pas comparer l'aberration des télescopes avec celle des lunettes ordinaires, parce que les résultats ne s'accorderaient point.

Je vous adresse cette Lettre par la poste, «afin que vous sojez plus tôt instruit de ce qui concerne le prix. Je ne vous en dirai pas davantage quanta présent, étant abattu de tristesse de l'état où je suis. Portez-vous mieux que moi, et souvenez-vous quelquefois d'un ami qui vous chérit autant qu'il vous estime.

P. -S. — Vous recevrez dans peu trois exemplaires de mon Traité des fluides, un pour vous, un pour M. Lambert et le troisième pour l'Académie.

^ Monsieur de la Grange, directeur de la Classe mathén^atique de l'Académie royale des Sciences de Prusse, à Berlin.

A Berlin, ce 17 juin 1770.

Pardonnez-moi, mon cher et illustre ami, si je n'ai pas répondu plus tôt à votre dernière Lettre; j'ai eu une espèce de fièvre chaude qui m'a duré plusieurs jours et qui, par l'abattement où elle me mit d'abord, me donnait lieu de craindre que ce ne fût une fièvre maligne; mais, Dieu merci, j'en ai été quitte à assez bon marché, et je me porte actuellement très-bien. L'arrangement que vous avez pris par rapport au prix me paraît excellent ; je suis très-aise que M. Euler ait été au moins en partie récompensé de son travail et de sa bonne volonté. Il est vrai qu'il y a eu un peu de fanfaronnade dans la démarche qu'il a faite d'écrire des lettres-circulaires à toutes les Académies pour leur annon-

17i CORRESPONDANCE

cer sa prétendue solution du problème des trois corps; mais aussi la déclaration que vous faites dans votre programme, dont par parenthèse je vous suis très-obligé, doit lui servir d'admonition salutaire. Au reste, comme la déclaration deJVI. Euler n'a pu manquer de donner d'avance à tous les géomètres une grande idée de sa pièce, il conviendrait, ce me semble, que votre Académie se hâtât de la publier, pour mettre tout le monde en état d'en juger. Pour moi, je vous avoue que je serais fort curieux de voir en quoi consiste cette nouvelle manière de représenter le mouvement de la Lune sans sinus et cosinus, qu'Euler a tant vantée dans sa Lettre, et que l'Académie a jugée peu simple et peu accommodée aux calculs astronomiques. Ne pourriez-vous pas m'en donner une idée en gros, au cas que la pièce ne s'imprime pas? Quoique le peu de succès du travail de M. Euler dût plutôt me décourager de concourir que m'y inviter, cependant, comme j'ai des matériaux prêts depuis longtemps, j'espère que je pourrai au moins faire nombre parmi les concurrents, et je vous promets de vous envoyer quelque chose de ma façon, ne fût-ce que pour vous donner une marque de ma déférence. Je n'ai pas encore reçu votre nouveau Traité des fluides; je l'attends avec la plus grande impatience, tout ce qui vient de vous m'étant toujours infiniment précieux. Il n'a rien paru à la dernière foire de Leipzig qui puisse vous intéresser. Le troisième Volume du Calcul intégral d'Euler ne paraît pas encore, non plus que sa Dioptrique. Si vous avez occasion de voir le marquis de Condorcet, je vous prie de lui dire que je répondrai au premier jour à sa dernière Lettre et que je suis charmé qu'il n'ait pas été mécontent de mes Mémoires sur les problèmes indéterminés et sur la résolution numérique des équations. Il trouvera encore quelque chose sur les mêmes matières dans le Volume de 1768, qui est déjà sous presse et qui paraîtra à la Saint-Michel. Je souhaiterais bien d'en savoir aussi votre avis, dont vous savez combien je fais de cas, mais dans l'état où vous me marquez que votre esprit se trouve, je n'ose vous prier de vous mettre à examiner de pareilles matières, qui, quoique moins sublimes que d'autres, ne laissent cependant pas d'être très-abstruses. J'espère que la belle saison pourra contribuer

beaucoup à vous rétablir et que la Géométrie ne vous perdra pas sitôt; mais vous faites très-bien de vous ménager, surtout sur l'article de la Géométrie, et de laisser un peu reposer votre tête. Adieu, mon cher et illustre ami, je vous embrasse de tout mon cœur.

A Monsieur d'Alembert, de l'Académie française, des Académies dis Sciences de Paris sic), Berlin, elc, à Pan's.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce 1 3 juillet 1770.

Il serait difficile, mon cher et illustre ami, de publier la pièce d'Euler, parce que l'imprimeur ne voudrait pas, je crois, la vendre séparément; je verrai cependant ce qu'il sera possible de faire là-dessus,

mais en attendant je puis vous donner une idée de la pièce. Soient T la Terre et TL le rayon de l'orbite lunaire, rapportée à l'écliptique. M. Euler cherche d'abord l'équation différentielle de l'orbite par rap-

port à deux coordonnées TM, ML de position constante; il transforme ensuite ces deux coordonnées en deux autres TM', MT, TM' étant dirigée vers le Soleil; ensuite il tire Tm telle que l'angle mTW soit égal à l'élongation moyenne de la Lune à l'opposition du Soleil, et il a deux nouvelles coordonnées Tm, mL; il appelle Tm^a^i + x), a étant la distance moyenne de la Lune, et LM, ay, et il a, par le moyen des équations précédentes, deux équations différentielles du second ordre dont ddcc et ddy sont les premiers termes, et qui sont assez compliquées.

Toutes ces réductions et transformations occupent huit grandes pages d'une écriture assez serrée. Il remarque ensuite, ce qu'il est facile de voir, que la longitude vraie de la Lune est égale à la longitude moyenne, plus l'équation du centre du Soleil, plus l'angle dont la tangente est — — 1 c'est-à-dire l'angle LTm. Il intègre ensuite les équations différentielles en ddx et ddy : i° en n'ayant égard qu'à la variar tion, c'est-à-dire à l'élongation de la Lune au Soleil; 2" en n'ayant égard qu'à l'excentricité combinée avec l'élongation; 3"^ en ayant égard à la latitude de la Lune, ce qui lui donne une troisième équation différentielle du deuxième ordre en z, z étant la distance de la Lune à l'écliptique, et sur ce point sa méthode revient, ce me semble, à la vôtre, par laquelle vous vous passez des deux équations du mouvement des nœuds et de l'inclinaison ; après quoi il cherche les inégalités qui, dans l'expression de X et de j, dépendent de l'inclinaison de l'orbite; 4*^ il cherche ensuite les termes qui dans x et j dépendent de la parallaxe du Soleil ; 5° enfin il cherche celles qui dépendent de l'excentricité de l'orbite de la Terre. Pour ces différentes intégrations, il n'emploie d'autre méthode que celle des coefficients indéterminés, sans aucun artifice particulier; par exemple, pour les inégalités qui viennent de l'élongation, il fait d'abord x = acos2p,y— bs'm2p, p étant l'élongation moyenne, et il trouve par des approximations successives de nouveaux termes qui contiennent cos4/? et sin4/?, etc. Pour les inégalités qui dépendent de l'excentricité de l'orbite, il fait d'abord ^ = a cosy et7 = psin^, pétant l'anomalie moyenne, et il trouve ensuite par des approximations réité-

rées les termes qui ont pour arguments ')<7, ^.q, D.p-^q, -xp — q,. ...Vous voyez assez par là l'esprit général tle la méthode pour déterminer les autres inégalités.

M. Euler prétend qu'il y a beaucoup d'avantage à introduii-e cet angle,

dont la tangente est — •^^- ; c'est ce (|ue \(\ m\ vois point du (ont : an

contraire, le calcul analytique me paraît en devenir plus compliqué, et l'expression de cette tangente est incommode pour les Tables astronomiques, qui doivent donner l'angle immédiatement. Elle est encore incommode, ce me semble, pour l'expression du rayon vecteur, qui devient alors a s^ yy -\- [\ ^ x)- . Il est, ce me semble, bien plus simple, et pour l'analyse et pour le calcul astronomique, d'avoir l'équation entre le rayon vecteur et le mouvement moyen, sans aller chercher cette tangente. M. Euler insiste aussi beaucoup sur l'avantage d'avoir introduit dans le calcul l'élongation moyenne/? de la Lune à l'opposition du Soleil; ce qui met, dit-il, en état de déterminer les inégalités par des angles proportionnels au temps. Mais, outre qu'il n'est pas le premier qui ait imaginé de déterminer immédiatement les inégalités par le mouvement moyen, idée qui se présente d'ailleurs assez naturellement, il est aisé, ce me semble, de suivre cette méthode sans avoir besoin de

la tangente —^ — et sans compliquer le calcul.

A l'égard des équations incertaines par le peu de convergence des approximations, par exemple de celles qui auraient pour arguments ip — ^q ou iq — ir, r étant l'argument de la latitude, M. Euler n'entre là-dessus dans aucune discussion. On ne trouve pas même dans ses formules l'argument /?-+- ^ [t étant l'anomalie moyenne du Soleil), qui est un des plus délicats à traiter, pour l'expression surtout du rayon vecteur. Enfin il n'effleure pas même l'article de l'équation séculaire, et il se contente de dire à la fin de son Mémoire qu'il parait bien constaté que V équation séculaire du mouvement de la Lune ne saurait être produite par les forces de V attraction.

Voilà, mon cher et illustre ami, un précis assez fidèle de ce Mémoire, et je vous laisse à juger si l'Académie a été injuste dans le parti qu'elle

xm. 23

178 COiaiESPONDANCE

a pi'is. Elle aiirail pliitùt à se reprocher trop d'indulgence que trop de rigueur. J'oublie de vous dire que quelques-uns de nos astronomes, ayant calculé des lieux de la Lune d'après les formules de M. Euler, ont trouvé des différences énormes avec les lieux observés.

Toutes ces considérations doivent vous déterminer à nous envoyer une pièce pour le prochain concours, et j'en augure beaucoup mieux d'avance que de tout le fatras de calcul de M. Euler. J'oublie de vous dire qu'il attaque les méthodes connues, en ce qu on y détermine, dit-il, les éguations partielles indépendamment l'une de Vautre; mais, ou je n'entends rien à ce reproche, ou vous devez voir par le détail ci-dessus que son analyse est dans le même cas et que sa méthode d'approximation ponr les intégrales n'a rien de particulier. Pour moi, je ne reviens point de mon étonnement qu'un si grand géomètre ait annoncé si peu de chose avec tant d'emphase, et je suis bien impatient de savoir si vous en jugez de même d'après le détail que je viens de vous faire.

En voilà assez sur JM. Euler. Je viens présentement à vous, mon cher ami; je vois avec frayeur et avec chagrin que vous avez tous les ans une maladie grave, occasionnée certainement par l'excès du travail. Ménagez-vous, je vous en supplie, et n'apprenez point comme moi, par une cruelle expérience, combien il est triste d'être obligé de se priver de toute occupation ; je suis toujours dans ce malheureux état, et il se joint à cela d'autres sujets de chagrin qui me conduisent lentement oi^i vous savez. Si ma fortune me le permettait, j'entreprendrais le voyage d'Italie; mais cela m'est impossible dans les circonstances présentes, où nos pensions ne sont point payées, et où j'ai bien de la peine à vivre même sans me déplacer et en usant de la plus grande économie. J'ai quelques recherches commencées que je voudrais bien finir avant de descendre aux sombres liords; mais il n'y faut pas penser. Heureusement, vous dédommagerez la Géométrie avec usure de ce qu'elle pei'dra en moi, de ce qu'elle a perdu dans Clairaut, et de ce qu'elle est prête à perdre dans Euler etBernoulli.

C'est avec bien du regret que je n'ai pu encore lire vos deux Mémoires de 1767; cela me serait impossible dans la situation où je suis;

DE LA CHANGE AVEC D'A LE^riiEKT. 179

j'ai pourtant pris à l)àloi)s rompus une idrc ij^éiuM'ale de votr(3 métliodo pour la résolution des cciualions, cpii, autant (|ue j'en puis juger, nu; paraît très-belle et très-sini[)le. Il nie serait, ce me seiuhle, [)lus facile, surtout à présent, de prendre la Lune avec les dents (|ue d'en faire autant. 3f. de Condorcet est hors de Paris depuis deux mois. Adieu, mon cher et illustre ami; fiiites nu's compliments et prescpu; mes adicîux à tous ceux qui veulent hien se souvenir de moi. Je verrai si le reste de la belle saison (qui n'est pas encore tro[) venue, car il fait un temps horrible) raccommodera ou soulagera ma tète; si elle est dans le même état à la fin d'août, j'essayerai peut-être de la saignée, car il y a, je crois, tout à la fois rhumatisme dans la tête et défaut de circulation au dedans. Adieu; je vous demande pardon de vous entretenir si tristement et je finis en vous embrassant de tout mon cœur. Dites, je vous prie, à M. Bitaubé que je lui répondrai incessamment et que M. et M'"** de Bruas, dont il est eu peine, se portent bien.

LAGRANGE A D'ALEMBERÏ.

A Berlin, ce 2(J aoiU 1770.

Je vous suis infiniment obligé, mon cher et illustre ami, du précis que vous avez bien voulu me donner de la pièce d'Euler sur la Eune. Non-seulement je ne vois pas que sa méthode puisse avoir quelque avantage sur les méthodes connues, mais il me paraît au contraire qu'elle leur est même inférieure à plusieurs égards; d'ailleurs cette méthode ne contient rien, ce me semble, qui puisse être pris pour une découverte, et encore moins pour une découverte telle que M. Euler l'avait annoncée. J'aurais bien de la peine à passer une pareille fanfaronnade à un écolier; du moins j'en concevrais une très-mauvaise opinion, et

je crois que je n'aurais pas tort. A'ous pouvez être assuré que j'enverrai quelque chose pour le concours prochain, à moins que des ohstacles insurmontables ne m'en empêchent. Je compte d'envisager le problème des trois corps d'une manière générale et tout autrement qu'on ne l'a fait jusqu'à présent; ce n'est pas que je me flatte de donner une théorie de la Lune meilleure que celles qu'on a déjà, mais je pense qu'il est bon de tourner et de retourner cette question de tous les sens possibles, sauf à s'en tenir après tout aux solutions connues si l'on n'en trouve pas de meilleures.

Ce que vous me dites de votre santé me jette dans les plus grandes inquiétudes. Je pense comme vous qu'un voyage, et surtout celui d'Italie, pourrait vous faire du bien ; je ne doute pas que vous ne trouviez, si vous voulez, bien des occasions de le faire avec toute la commodité possible et sans qu'il vous en coûte presque rien, et vous pouvez être sûr d'être reçu en Italie avec tous les égards que vous méritez. Je voudrais bien que les circonstances me permissent de vous y accompagner ; c'est un voyage que je souhaite de faire depuis longtemps, mais Dieu sait quand je le pourrai ; au reste, si vous partez, comme vous y paraissez disposé, suivant ce que M. Bitaubé vient de me dire, je vous prie de m'en donner avis et de me marquer en même temps comment je pourrai avoir de vos nouvelles et vous donner des miennes. Je ne sais si vous savez que le marquis Caraccioli a été nommé ambassadeur de Naples à Paris. Il me mande qu'il compte d'y être dans deux mois; j'en suis d'autant plus charmé que, comme j'entretiens toujours avec lui un commerce de Lettres, je pourrais me servir de son canal pour la continuation de notre correspondance. Comme il a pour vous une trèsgrande estime, je ne doute pas qu'il ne s'empresse de cultiver votre connaissance, et je puis vous assurer que vous trouverez en lui un homme qui joint à beaucoup de philosophie un excellent caractère.

Le Volume de l'année 1763 a paru, et je crois que IM. Formey s'est chargé de vous le faire parvenir; celui de 17G8 est sous presse et paraîtra à la Saint-Michel; je n'ai pu y faire entrer vos remarques sur le Mémoire de M. lîei^iielin, mais elles seront certainement imprimées

dans celui do l'année 17G9, (ju'oii mettra sous presse dès que l'autre aura paru. Le troisième Volume du Calcul intégral d'Euler ne paraît pas encore, non plus (|ue sa Dloptrique. Je ne man([uerai |)as (!<' vous envoyer tout cela dès que je l'aurai reçu, et je vous prie toujours de compter sur moi si je [puis vous servir en quelque chose. Il pai'ait depuis quelque temps une Algèbre allemande de 31. Eulcr, eu deux Volumes in-H"; si vous le souhaitez, je vous l'enverrai; mais elle ne contient rien d'intéressant qu'un Traité sur les questions de Diophante, qui est, à la vérité, excellent, et où l'on trouve presque tout ce que l'on a de mieux sur cette matière. Si vous n'êtes pas rebuté par la langue, je crois que vous pourriez le lire avec plaisir. Au reste, si vous n'êtes pas pressé, vous pourriez attendre la traduction française qu'on a envie d'en donner, et à laquelle je pourrai bien joindre quelques petites notes (').

Comme j'ai fait tirer à part quelques exemplaires des Mémoires que j'ai insérés dans le Volume de 1768, je vous en enverrai un pour le marquis de Condorcet, et même un pour vous, si j'en trouve l'occasion, avant que le Volume paraisse, car vous pensez bien que je ne m'adresserai plus à M. Bourdeaux, comme j'ai fait l'année passée. En attendant, je vais vous communiquer ici un théorème que j'ai trouvé et dont j'ai fait un grand usage dans mon Mémoire sur la résolution des équations littérales par le moyen des séries.

Soit l'équation

'q{x) dénotant une fonction quelconque de x dont p soit une des racines; je dis qu'on aura, ^{p) dénotant une fonction quelconque de/;,

^[p\=^i^[x)-^-^.[x]^'[x)+ I-CPIJJI .1^ Imx-^^^'"

ou

(1) Il en sera question plus loin.

Î82 COIIRESPONDANCE

pourvu qu'on mette dans cette série y. à la place de x après avoir exécuté les dififérentiations indiquées, en y prenant dx pour constant.

Adieu, mon cher et illustre ami; tâchez de faire provision de santé dans votre voyage, et n'oubliez pas surtout les habitants du Nord, dont vous n'êtes pas moins admiré et aimé que de ceux du ^lidi.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce 6 septembre 1770.

Je pars incessamment, mon cher et illustre ami, pour lâcher de rétablir ma santé. Je vais d'abord à Lyon, et de là, suivant l'état où je me trouverai, je me déterminerai, soit à aller en Italie, soit à passer simplement une partie de l'hiver ou l'hiver entier en Provence, car les avis de mes amis sont partagés à ce sujet. Je ne recevrai probablement de vos nouvelles de longtemps, à moins que vous n'ayez déjà répondu à ma dernière Lettre et que je ne reçoive cette réponse avant mon départ, qui sera au plus tard le 1 5 et plus tôt si je puis. Le marquis de Condorcet veut bien être mou compagnon de voyage : c'est une grande consolation et une grande ressource pour moi.

Quoique nos Mémoires de 17G8 n'aient pas encore paru et ne doivent paraître qu'à la fin de l'année, je vous envoie avant mon départ ce qui peut vous y intéresser le plus. Je remets ce paquet à 31. Métra, qui se chargera de vous le faire parvenir sans trais. J'ai reçu par M. Formey \o Volume de l'Académie de lyGS; ainsi ne me l'envoyez point. 3[ais vous pourrez toujours m'adresser à Paris, en mon absence, ce que vous jugerez digne de mon attention; je serai bien aise de retrouver tout <M'la à mon retour, car j'espère enfin pouvoir encore m'occuper de Géométrie, si h; voyage réussit à affermir ma tête.

Vous trouverez dans ce paquet deux IMémoires de moi sur la lil)ratioii de la Lune ('); je souhaite que vous en soyez content; il y a, ce me semble, quel(|ues vues et quelques recherches que j'aurais perfectionnées et simplifiées si ma santé me l'avait permis. Vous y trouverez aussi le Mémoire de Fontaine sur les tautochrones ( -). Il me paraît d'une injustice et d'une insolence rares, el je vous i-ecommandc de ne le pas épargner, ni sur cette matière, ni sui- les maxinia el minima, ni sur les équations. Qui se fait brebis, le loup le mange : c'est un provcrhc qui me parait très-vrai et que je me suis toujours bien trouvé d'avoiisuivi.

J'ai écrit au Roi en faveur de M. Beguelin (^); j'espère qu'il y aura égard. Ce prince met le comble à ses bontés pour moi en voulant l)i( n me donner les secours nécessaires à mon voyage (''), car je ne suis jias assez riche pour aller ii mes dépens même en Provence. Ma fortune est peu considérable, j'ai des charges énormes et indispensables, quoique volontaires, et la plupart de mes pensions sont retardées pour le payement. Avec cela on n'est pas en fonds.

Quoique très-peu capable de travail, je ne puis m'empêcherde m'occuper encore quelquefois de Géométrie, à la vérité légèrement, et dans les moments où ma tète est un peu moins vacillante. J'ai eu occasion de revenir ces jours-ci sur la démonstration du principe de la force d'inertie, que j'ai donnée dans le Tome IV de mes Opuscules, et je crains qu'elle ne soit insuffisante, à moins d'y joindre une considération métaj)liysique dont je ne suis pas pleinement satisfait. En deux mots, voici

( ' ) Recherches sur las mouvements de Vaxe cVune planète quelconque dans l hypothèse de la dissimilitude des méridiens. — Suite de ces Recherches [ Mémoires de V Acadénne, 1-68, p. I et 332).

(2) Jddition au Mémoire imprimé en 1734, sur les courbes taulocJiroucs. {Ménuiircs de V Académie, 1768, p. 4Go.)

[}) « J'oserai, Sire, recommander de nouveau à ces mêmes bontés M. Beguelin, qui vient de donner dans les Mémoires de l'Académie d'excellentes recherches sur les lunettes achromatiques, très-propres à perfectionner cet objet important. Outre l'eslime que je fais de ses talents, je lui dois encore de la reconnaissance pour quelques excellentes remarques qu'il a faites sur un de mes écrits qui a rapport au même objet. » (Lettre à Frédéric II, du lo août 1770, t. XXIV, p. 497.)

y*) Ce secours était de 6000 livres. Foirh Lettre suivante ded'Alembert.

iSk CORRESPONDANCE

la difficulté. Je trouve, par exemple, que 7 = a^ + Ax-^ satisfait à l'équation de condition

j'='El[a -h x) — Zx,

mais pourtant doit être rejetée, parce que, si a = o, y ne serait pas = o. Mais on pourrait faire le même raisonnement si un corps se mouvait avec une résistance constante, et cependant il ne se mouvrait pas. En général, l'équation

ddy dx-

que j'ai trouvée est celle de la résistance comme une fonction de la vitesse ; reste à savoir si Ton peut supposer légitimement une cause ou force retardatrice ou accélératrice qui dépende de la vitesse, et qui, étant inhérente au corps, reçoive de la vitesse sa direction. C'est ici où la métaphysique commence, et j'en suis fâché pour la démonstration. J'ai quelque idée de vous avoir dit, dans une de mes Lettres ('), à l'occasion de la solution d'un prohlëme de Simpson, dont vous trouviez le résultat juste, que Simpson avait fait en cette occasion deux fautes dont les résultats s'étaient corrigés. La première, et la seule à laquelle j'aie fait attention, page 283 du Tome V de mes Opuscules, est d'avoir

t'ait/— — au lieu de/= — 5 la seconde, à laquelle je n'avais pas pris

garde, et la seule des deux que le chevalier d'Arcy a relevée, est d'avoir

fait ddx^= - — --, au lieu qu'il est facile de prouver d'une manière

directe, synthétique même et très-simple, que ce qu'on appelle ici ddx

est réellement ^J ^. Ces deux erreurs se compensant, comme il

est aisé de le voir, redonnent le résultat de Simpson. Mais sa démonstration ou solution n'en est pas meilleure; elle n'en est même, en (juelque sorte, que plus défectueuse, et d'ailleurs sa solution du problème des équinoxes pèche par mille autres endroits, comme je crois l'avoir prouvé.

(') Voir plus liaul la Lettre ±'i. ji. :)6.

Je crois ([iio l'extrait que je vous ai envoyé de la [>ièce d'Eulei' sur la Lune ne vous aura pas découragé de travailler à ce sujet et que nous aurons quelque chose de vous pour l'année prochaine. Avez-vous vu la théorie de la Lune de 3[ayer ( ' ), (ju'on vient d'imprimer à Londres ? Elle m'a donné occasion, ainsi que la pièce d'Euler, de m'occuper un peu et à hâtons rompus des moyens de simplifier et de perfectionner cette théorie, et j'ai remis à l'Académie un .Mémoire qui contient quelques vues à ce sujet, mais que mon peu de force de tète m'empêchera de pousser hien loin. Je vous dirai, à mon retour, si je suis condamné à rester toute ma vie imhécile.

Vous m'avez dit,, ce me semhle, il y a quchjiic temps, que vous cherchiez un lihraire })Our imprimer un Volume de Mémoires de vous sous le titre (['Opuscules. Où en êtes-vous à ce sujet? J'aurais grande envie que ce Volume parût et encore plus d'envie de le voir. Mais, encore une fois, je ne puis penser à tout cela qu'à mon retour. Cependant ne négligez pas de m'envoyer, pendant mon ahsence, par les occasions favorahles, ce qui pourra m'intéresser. Arrangez-vous avec M. Formey pour l'envoi de vos Mémoires, car voilà deux Volumes que vous m'envoyez chacun de votre côté et que j'ai reçus douhles. Je compte que le Volume de 1768 paraîtra hientôt; il ne me manque plus aucun des autres, et j'ai la suite complète jusqu'à 1767 inclusivement. Adieu, mon cher et illustre ami ; conservez votre santé pour le hien de la Géométrie, et j'ajoute par amitié pour moi. Je vous embrasse de tout mon cœur.

P. -S. — En tinissant cette Lettre, je reçois la première feuille de l'Histoire de notre Académie de 17G8, qui doit commencer le Volume où sont les 3Iémoires que je vous envoie, et, comme cette première feuille contient le discours que j'ai lu à l'Académie en présence du roi de Danemark, j'ai imaginé que vous ne seriez pas fâché de l'avoir. Je souhaite que vous n'en soyez pas mécontent, et j'ose presque l'espé-

(1) Il s'agit sans aucun doute de l'Ouxrage de Tobie Mayer (mort en ijO-i) que Maskelyne a publié sous le titre de Tahulœ motauin SoUs et Lunœ, novœ et carrectœ, fiuctore Tob'ui Mayer; qiiibus accedit Melliodas lofigitudiiunn proniota, eodein auctore. Londres, 1770; in-i".