XIII

• la Lande, à qui vous pouvez en demander compte au cas qu'elle ne vous ait pas encore été remise; elle contient, outre les Ouvrages dont je vous ai déjà parlé, un exemplaire des Tables de IM. Lambert ('). Qu'est-ce que c'est qu'un Traité du Calcul intégral, de M. Fontaine, qui paraît à Paris?

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, le 14 juin 1771.

Mon cber et illusti'e ami, j'ai lu à l'abbé Bossut l'article de votre Lettre qui le regarde; il m'en a paru très-touché; il m'a cliargé de vous faire mille compliments et remercîments de sa part, de vous assurer de toute son admiration pour vos talents et pour vos Ouvrages, et de vous dire combien il est flatté du suffrage que vous accordez à son Hydrodynamique. A propos de cette petite explication, je ne sais à quel propos M. de Castillon se plaint de vous; il me mande que vous n'êtes \)a.s/acile à vûre ; je lui réponds que je ne m'en suis jamais aperçu, et qu'au contraire je n'ai jamais vu en vous que beaucoup de douceur et d'bonnêteté. Comme je le crois malheureux, je crains que, par une suite presque nécessaire, il ne soit mécontent de tout le monde.

M. de Lalande n'a point encore reçu la balle de livres que vous m'annoncez, et que j'attends avec impatience. Mon premier soin sera de prendre du moins une idée de ce que vous avez mis dans les nouveaux Volumes, car ma tète ne me permet toujours qu'une très-faible application. Je m'occupe cependant d'un moment à l'autre de la théorie des fluides et de quelques autres recherches légères. A propos de cela, je vous serais très-oblieé de lire à votre loisir le Mémoire du chevalier de Borda, qui est dans notre Volume de i -jGG, sur le mouvement des fluides

(1) Ztiliii^e zu (Icn Ingarilhniisclien it/id trigo/iomclrisclicn Tabcllcn. lîcrliii, 1770, iii-8".

J)E LAGllANGE AVEC D'ALEMBERT. 203

dans des vases ('); il me paraît plein de mauvais raisonnements, dont j'ai déjà réfuté quelques-uns et dont j'espère réfuter le reste quand je donnerai mes nouvelles recherches sur ce sujet.

Je ne sais ce que c'est que le nouveau Traité du Calcul intégral de Fontaine; soyez sûr que ce Traité n'existe pas; il n'y en a d'autres que celui que vous connaissez. Je vous prie de faire d'avance mes remerciments à M. Lambert des Tables qu'il veut bien m'envoyer.

M. de Fouchy m'a dit qu'il n'était point nécessaire d'affranchir le })ort pour les pièces du prix; cependant, si le paquet était un peu gros, et même dans tous les cas, vous pourriez le faire mettre dans le paquet que le Résident de France à Berlin envoie ici au Ministre des Affaires étrangères, avec une double enveloppe, dont l'intérieure serait à M. de Fouchy et l'extérieure au JMinistre des Affaires étrangères. Vous écririez en même temps par la poste à M. de Fouchy une Lettre d'avis, non signée, par laquelle vous lui marqueriez que ce paquet est adressé à notre Ministre, afin que M. de Fouciiy puisse le réclamer et le retirer. J'ai grande envie de voir ce que vous avez fait sur la théorie de la Lune. Je vous enverrai incessamment les Mémoires que j'ai imprimés dans notre Volume de 17G9, qui ne paraîtra qu'à la tin de l'année. M. de Condorcet n'est point à Paris actuellement, mais il arrivera bientôt et je m'acquitterai de votre commission.

Je suis vraiment très-fâché du -prix énorme qu'on vous fait payer pour ces paquets; il y a longtemps que je me suis aperçu que M. Michelet est un tant soit peu juif; milord 3Iaréchal me le disait à Berlin, il y a huit ans. A l'égard de vos Lettres, je n'en paye point le port, mais c'est parce que j'ai prié M. Métra de mettre sur le compte de la correspondance du Roi toutes les Lettres et paquets qui me viennent de Berlin par la poste, car, dans les commencements, il voulait me les faire payer. Au reste, pour qu'il n'y ait point là-dessus de quiproquo, il est bon que vous sachiez que, quoiqu'on affranchisse les paquets et Lettres de Bei'lin jusqu'à Wesel, elles payent encore depuis Wesel jusqu'ici.

(') Mémoire sur Vécoulemcnt des fluides par les orifices des vases (p. 'J79-Gl)7).

Quoi qu'il en soit, je m'adresserai désormais à Briasson ou à quelque autre libraire, par exemple à Panckoucke, que je connais beaucoup," car, en vérité, cette juiverie n'est pas supportable. Adieu, mon cber et illustre ami, je vous embrasse de tout mon cœur; conservez-vous pour la Géométrie et surtout pour moi.

/>..5. M. de Lalande me mande à l'instant que la balle est arrivée, ([u'elle est à la chambre syndicale (*) et que nous l'aurons demain samedi; ainsi je ne pourrai vous en parler que dans ma première Lettre.

A Monsieur de la Grange^

directeur de la Classe mathématique de V Académie royale des Sciences

et Belles-Lettres, à Berlin.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

Ce 10 août 1771,

Je profite, mon cher ami, du départ de M. d'Arget (-) pour vous envoyer ce paquet. J'ai reçu les deux* Volumes de 1768 et 1769. Je vous en remercie, ainsi que du Volume d'Euler, dont je crois vous avoir déjà accusé la réception. J'ai en ce moment un si grand mal de tête que je ne puis vous en dire davantage. Je vous embrasse de tout mon cœur.

D'Alemdeut.

( ') A la chambre syndicale de la Librairie.

(2) Le chevalier d'Arget, après avoir été secrétaire du marquis de Valori, envoyé de France à Berlin, fut secrétaire et lecteur de Frédéric IL II quitta Berlin en 1752, devint, à Paris, l'intendant de l'École militaire, puis ministre des évêques de Liège et de Spire près la cour de Versailles. On trouve des Lettres de lui ou à lui adressées dans la correspondance de Voltaire et dans celle de Frédéric II.

A Berlin, ce ià août 1771.

Mon cher et illustre ami, je suis bien sensible à tout ce que l'abbé Bossut vous a dit d'obligeant pour moi. Je l'ai toujours beaucoup estimé comme homme de mérite et comme votre ami, et je ne puis que vous être infiniment obligé de m'avoir procuré l'occasion de réparer en quelque sorte les torts que je pouvais avoir vis-à-vis de lui. Quant à l'autre personne dont vous me parlez ('), je ne crois guère lui avoir donné sujet de se plaindre de moi. Il est vrai que j'ai toujours soigneusement évité d'avoir la moindre liaison avec elle; mais la raison en est: 1° qu'en général j'ai toujours aimé à vivre le plus isolé qu'il est possible, méthode dont je me trouve très-bien, surtout depuis que je suis dans ce pays; 2° que la personne dont il s'agit a toujours montré de l'éloignement pour moi, même dès mon arrivée et avant de me connaître, ayant pul)liquement affecté d'éviter ma rencontre; 3° que l'idée que l'on m'a d'abord donnée de son caractère ne m'a guère fait souhaiter son amitié; 4° que j'ai vu moi-même que la plupart de ceux qui se sont frottés à cette personne s'en sont tôt ou tard assez mal trouvés, et que je suis bien aise de profiter de l'expérience d'autrui autant que je peux. Au reste, je ne crois guère mériter le reproche qu'elle me fait de n'être \^ns facile à vivre et j'admire réellement cette personne de me faire un pareil reproche. Il se peut bien qu'elle soit malheureuse; il est même presque impossible qu'elle ne le soit pas avec un naturel et un caractère tel que le sien; à cela près, son sort est assez heureux, car elle a 1200 écus de pension, et son fils, qui est encore jeune et qui est

{') Castillon.

d'ailleurs son unique enfant, en a déjà 4oo. Il y a certainement bien des gens de mérite qui seraient très-contents d'un pareil sort et qui le regarderaient comme un grand bonheur; mais j'ai toujours remarqué que les prétentions dans tous les genres sont exactement en raison inverse du mérite; c'est un de mes axiomes de morale.

Si vous avez jeté les yeux sur mes 3Iémoires de 17G8 et 1769, j'espère (|ue vous voudrez bien m'en dire votre avis : vous savez combien votre jugement m'est précieux et combien je suis flatté de votre approbation, lorsque je peux la mériter. Il n'est pas impossible qu'il ne vous tombe aussi quelque autre chose de ma façon entre les mains : oseraisje vous prier de me dire naïvement ce que vous en pensez? Je vous demande d'avance toute votre indulgence.

Je compte que le marquis Caraccioli est actuellement à Paris, mais je n'en suis pas sûr; voudriez-vous avoir la bonté de vous en informer? Comme je lui dois une réponse et des remercîments pour des Livres qu'il m'a envoyés d'Angleterre, je voudrais bien savoir où je dois lui adresser ma Lettre. Lorsque vous aurez quelque chose h m'envoyer, il vaudra encore mieux que vous le remettiez à M. de Lalande, qui a souvent occasion de faire des envois à M. BernouUi, ou bien vous pouvez le faire remettre au libraire Durand, ({ui est le commissionnaire du libraire Pitra, de Berlin; celui-ci est tant soit peu plus honnête que les autres. Ayez surtout soin qu'on n'adresse pas les paquets à M. Bourdeau, car ce serait tomber de fièvre en chaud mal.

Vous aurez vu par nos Volumes que nous sommes actuellement au courant. Ainsi on ne publiera plus, dorénavant, qu'un seul Volume par an, qui paraîtra régulièrement à Pâques. On vient même de prendre de nouveaux arrangements pour améliorer l'édition, et l'on a résolu de mettre à la tète de chaque Volume une espèce d'histoire où l'on fera simplement mention des principaux événements de l'année. Je ferai imprimer dans celui de Pâques prochain mes nouvelles recherches sur les tautochrones, avec quelques autres broutilles.

J'ai vu, dans quelque gazette, qu'on a mis en vente, à Paris, un nouveau Volume des pièces pour les prix; je serais curieux de savoir

si les miennes s'y trouvent ('). Adieu, mon cher et illustre ami; je vous embrasse de tout mon cœur.

J Monsieur d'Alemberl, (h r Académie française, de celles des Sciences de Paris, Berlin, etc., etc., rue Saint-Dominique, vis-à-vis Belle-Chasse, à Paris.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce 17 août 1771.

Mon cher et illustre ami, vous recevrez bientôt, ou peut-être aurezvous déjà reçu, par M. d'Arget, un paquet que je vous envoie. Il contient deux Mémoires de moi, qui doivent paraître dans notre Volume de 17G9, et un Mémoire de M. de Condorcet, destiné pour le même Volume. Mon premier Mémoire (-) renferme les démonstrations des théorèmes sur le Calcul intégral que j'ai donnés dans le Volume de 17G7, avec d'autres recherches analogues; le second (^), qui est peu de chose, renferme une démonstration du parallélogramme des forces, qui a du rapport à celle des Mémoires de Turin (t. II), et quelques autres recherches métaphysiques et géométriques sur les principes de la Mécanique.

J'ai reçu les deux Volumes de 1768 et 1769; ma tête, qui est toujours faible, ne m'a pas permis de lire avec toute l'application nécessaire les beaux ^lémoires que vous y avez insérés. 3Iais j'en ai pourtant assez lu pour être enchanté de la profondeur et de l'utilité de vos recherches; j'ai été surtout très-satisfait de votre Mémoire sur la manière

( ' ) Elles ne parurent que dans le Volume suivant (t. IX), publié en décembre 1771).

(2 1 RcchercJics sur le Calcul intégral, année 1769, p. 78.

(^) Mémoires pnur les principes de la Mécanifjue [ibid., p. 278).

de réduire en série les racines des équations littérales et de votre beau théorème sur l'équation a — x-^ o(a:) = o. Quant à vos recherches sur les ressorts, je vous avouerai avec la même franchise que votre théorie sur ce sujet ne m'a pas convaincu et qu'il me semble qu'elle est susceptible d'objections que je crois solides; plus j'y pense et plus il me paraît difficile de trouver une bonne théorie de la résistance des ressorts, par la raison même que vous ne paraissez pas approuver, et que j'ai dite dans mes Opuscules, que les corps à ressort sont une espèce de levier imparfait, qui n'est ni parfaitement raide ni parfaitement flexible. Comme j'ai été occupé depuis plusieurs mois de recherches toutes difl'érentes, en particulier sur les fluides et sur la figure de la Terre, je n'ai point encore assez digéré les objections que j'aurais à vous proposer sur la théorie des ressorts; si un nouvel examen les confirme, je pourrai vous en faire part, en cas que vous le jugiez à propos. Je suis bien fâché d'avoir une tête qui m'oblige à tant de ménagements, car à peine puis-je donner au travail quelques moments chaque jour, et il pourrait bien se faire encore que tout ce travail ne fût que du radotage. En tout cas, vous seriez, en conscience, obligé de m'en avertir; je fais vœu d'avance de vous croire et de pratiquer, d'après vos avis, le précepte si sage : Solve senescentem, etc. (*).

Je vous remercie du Volume d'Euler; vous avez oublié de me répondre sur ce que je crois vous avoir déjà demandé, si vous voudriez la traduction française de l'Ouvrage du P. Boscovich sur la figure de la Terre. Dans le cas où vous n'auriez point l'original, cet Ouvrage pourrait peut-être vous faire quelque plaisir à parcourir. J'en parle d'autant plus impartialement que le jésuite y a inséré, sous le manteau de son traducteur, une Note assez longue et assez malhonnête contre moi (-). Vous trouverez

(1) Solve senescentem mature sanus equum, ne Peccet ad extremum ridendus, et ilia ducat.

(HoRVCE, ÉpitreSjYw. I, ép. I, vers 8-9.)

(2) Cette Note se trouve aux pages 449- 'pS du Voyage astronomique et géograpliirjue dans VEtat (le l'Eglise^ entrepris par l'ordre et sous les auspices du pape Benoit XIF^ pour

dans le A'oluinc de 1770, qu'on va mettre sous presse, une pièce où je l'ai relevé de sentinelle {*). Adieu, mon cher et illustre ami; portez-vous bien; aimez-moi toujours, et conservez-vous pour moi et pour la Géométrie.

P. -S. — Je compte que vous enverrez ou peut-être que vous avez déjà envoyé une pièce à notre Académie pour la théorie de la Lune; nous en avons (|uelques autres, mais je ne crois pas qu'elles doivent vous faire peur. On dit pourtant qu'il y en a une d'Euler; s'il n'a pas suivi une autre route que dans celle de l'année dernière, je doute qu'il ait réussi. J'attends sa Dioplrique, que IM. de Lalande doit recevoir pour moi de sa part. Adieu, mon cher et illustre ami.

A Monsieur de la Grange, directeur de la Classe niatliéniati<jue de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Prusse, à Berlin.

D'ALEMBERT A LAGRANGE

A Paris, ce G scpleiiibrc ijjf.

3Ion cher et illustre ami, j'ai attendu, pour répondre à votre dernière Lettre du 12 août, que le marquis Caraccioli fût arrivé; il v a si longtemps qu'on l'annonce sans qu'il arrive, que j'ai craint de vous induire en erreur en me contentant de vous apprendre qu'il allait arriver. Enfin il est ici depuis trois à quatre jours, logé à l'hôtel de

mesurer deux degrés du méridien^ par les PP. Maire et Boseovicli, de la Compagnie de Jésus, traduit du latin, augmenté de notes, etc. (Paris, 1770, in-4°). — Suivant la Bibliographie astronomique de Lalande, cette traduction est du jésuite Hugon, et le P. Boscovich y a fait des additions.

(1) Je n'ai trouvé aucun Mémoire de d'AIembert ni dans le Volume de 1770 ni dans.les trois Volumes suivants.

i>10 CORRESPONDANCE

Suède, rue de l'Université. Je ne l'ai point encore vu, mais je lui ai écrit un billet pour lui faire vos compliments, lui apprendre les raisons de votre silence, et lui annoncer que je vous mandais son ai'Hvée et (|ue vous lui écririez bientôt.

Je n'ai rien à vous dire d'après tout ce que vous me mandez de l'homme en question qui se plaint que vous êtes si difficile à vivre; je crois (|u'i] sera là-dessus tout seul de son avis. Je suppose qu'il en |)Ourrait bien être de cet homme comme de ceux qui voient les autres de couleur jaune, parce qu'ils le sont eux-mêmes.

Nous venons de perdre un autre homme, qui, avec beaucoup plus de lalents et un caractère d'une autre espèce, n'était pas plus facile à vivre : M. Fontaine est mort le 21 du mois dernier, dans un état fort misérable, accablé de dettes et même ruiné, le tout par sa faute, et pour avoir eu la vanité de vouloir être seigneur de paroisse, et d'avoir acheté pour cela une terre qu'on lui a vendue un prix ton et qu'il n'a

[)as pu payer. 11 avait en outre la v , ou du moins, si je suis bien

informé, àei> reliquats ai" q ou c - , (|ui lui ont procuré

une rétention d'urine, dont il est mort. C'était un homme (h' génie, mais d'ailleurs un fort vilain homme; la société gagne à sa mort encore plus (jue la Géométrie n'y perd.

Vous aurez dû recevoir par M. d'Arget un paquet qu'il s'est chargé de vous remettre, et qui contient mes ]\Iémoires imprimés en 1769. Je serai ravi de voir vos recherches nouvelles sui' les tautochrones; j'avais encore quelques vues sur cette matière, mais simpleuicnt ébauchées; j'attendrai, pour les suivre ou pour les laisser là, que j'aie vu ce que vous avez fait de nouveau, .le suis encore plus cui'ieux de voir d'autres choses de vous. C'est demain qu'on nous distribuera les pièces des prix; je désirerais fort que vous eussiez concouru, et je l'espère un peu, d'après ce qu'on m'a dit qu'il y avait une pièce arrivée de Berlin. Je suis sûr qu'il y en a aussi une de Pétersbourg, mais je doute qu'elle ajoute beaucoup à celle de l'année passée, du moins autant que j'en ai |iu juger en jetant les yeux sur cette pièce, le jour (jue j'allai che/, notre secrétaire pour la commission que vous m'aviez donnée. Je ne

DE LAGKÂNGE AVEC D'ALEMHKUr. 211

doute point que, si vous avez concouru, vous n'ayez beaucoup ajouté à ce que nous savions déjà sur ce sujet, (|ui ne sera pas sitôt épuisé, à ce que j'imagine.

Vous pouvez être tran(juille sur les envois (jue je vous lérai dans la suite; je m'adresserai ou à Lalande ou à Durand, comme vous me l'indiquez, et je ne vous laisserai plus à dévorer à la race juive des Bordeaux et des Miclielet. Adieu, mon cher et illustre ami; je vous adresse directement cette Lettre par la poste, parce que je n'ai point en ce moment d'autre occasion et que vous me paraissez désireux d'apprendre l'arrivée du marquis Caraccioli. Je vous embrasse de tout mon cœur.

A Monsieur de la Grange, de l' Académie royale des Sciences et des Belles-Lettres de Prusse, à Berlin.

LAGRANGE A D'ALEMBEUT.

A Berlin, ce 3o septembre 1 77 1 .

Mon cher et illustre ami, j'ai reçu vos deux Lettres du 17 août et du 6 septembre, ainsi que le paquet que vous avez eu la bonté de m'envoyer par M. d'Arget, et dont je vous remercie de tout mon cœur. Vous jugez bien que j'ai été très-empressé de lire ou plutôt d'étudier vos savantes et profondes recherches sur le Calcul intégral. Je ne puis vous dire combien j'ai été enchanté de la beauté et de la généralité de la plupart de vos méthodes; elles pourraient fournir la matière de plusieurs Volumes, mais je crois que l'espèce de lecteurs à qui ces sortes d'Ouvrages sont destinées aiment encore mieux qu'on leur donne les choses d'une manière courte et précise, et qui laisse beaucoup à penser, que de les délayer, et de les noyer dans un long verbiage et dans

un fatras de calcul. Comme votre théorème XLIX a quelque rapporta la méthode que j'ai donnée dans le troisième Volume de Turin, je l'ai particulièrement examiné, et il me semble qu'il ne saurait être exempt de l'inconvénient de donner des arcs de cercle où il ne doit point y en avoir, comme dans l'exemple de l'article 107. Il serait trop long de vous dire les raisons qui me portent à en juger; vous n'aurez pas de peine à voir si j'ai raison ou tort, et je soumets d'avance mon jugement au vôtre. Si vous avez reçu une pièce dont la devise est Jiivat intégras accedere fontes, je vous dirai à l'oreille qu'elle vient de moi ; mais je vous avouerai en même temps que je ne l'ai envoyée que pour faire nombre et pour ne pas manquer à la parole que je vous avais donnée, car, d'ailleurs, je sens qu'elle ne peut avoir que très-peu de mérite relativement à la question du prix, et, comme par cette raison j'imagine qu'elle sera mise au rebut, je vous prie de ne pas dire qu'elle est de ma façon. M. Euler m'a mandé qu'il avait achevé sa théorie de la Lune et qu'il avait heureusement surmonté toutes les difficultés qu'il y avait rencontrées; ainsi la pièce qu'il vous a envoyée doit laisser bien peu à désirer. Je suis fort curieux de savoir ce qui en est. A propos, avez-vous lu sa Dioptriquc? Il me semble qu'il y a de fort jolies formules, mais je doute fort qu'elles soient d'un grand usage, malgré l'immense détail de calcul où il est entré pour en montrer l'application. Il doit encore y avoir un troisième Volume (car je suppose que vous avez leçu les deux premiers comme moi), dont j'ignore le sujet; je le recevrai bientôt, avec le quatorzième Volume des Commentaires, qui doit renfermer une nouvelle théorie des comètes. Je ne vous réitère pas les offres que je vous ai déjà faites de vous envoyer les Ouvrages nouveaux de M. Euler et des autres géomètres du Nord, qui sont, à la vérité, en bien petit nombre. Vous savez que vous ne pouvez pas me faire de plus grand plaisir que de me donner des occasions de vous servir; vous ne devez pas craindre non plus de m'incommoder par ces bagatelles, et d'ailleurs les obligations que je vous ai sont infiniment audessus de tous les petits services que je pourrais jamais vous rendre. J'ai été fort touché de la mort de M. Fontaine, et surtout des circon-

DE LAGUANGE AVEC D'ALEMIJEUT. 213

stances qui l'ont accompagnée; quoiqu'il se fût déchaîné contre moi sans rime ni raison, le souvenir de ses anciennes bontés pour moi m'empêchait cependant de lui en vouloir du mal. Aussi ai-je tâché de mettre dans mes réponses toute la modération que son procédé peu équitable pouvait me permettre. Mon Mémoire sur les tautochrones paraîtra à Pâques; je suis fâché qu'il vienne après la mort de celui qui en est l'objet et qui y est particulièrement intéressé; il en est de même du Mémoire sur les maxima et minima que j'ai envoyé à Turin il y a plus d'un an. Dieu sait quand ce Volume de Turin paraîtra; si vous aviez occasion d'écrire là-bas à quelqu'un, vous devriez faire quelques plaintes sur le retardement de la publication de ce A'olume, et je crois que tous les étrangers qui y ont concouru vous en auraient obligation.

Je vous remercie de m'avoir annoncé l'arrivée du marquis Caraccioli ; je lui écris par ce même ordinaire. Je compte que vous aurez quelquelois occasion de le voir; c'est un homme qui, par son propre mérite et par les sentiments d'estime qu'il a pour vous, ne me paraît pas indigne que vous cultiviez sa connaissance.

J'ai écrit vos compliments à M. Dutens pour le tranquilliser. Je ne sais si vous savez qu'étant dernièrement à Rome il y a publié (apparemment pour faire un peu sa cour au pape et aux cardinaux, dont il a en effet reçu des gracieusetés, qu'on ne lui aurait pas faites sans cela) une brochure anonyme intitulée le Tocsin (' ), dans laquelle il maltraite un peu Voltaire (-) et les autres apôtres de l'incrédulité. Comme il y a un passage qu'on a voulu vous appliquer, quoique l'auteur m'ait juré qu'il ne vous avait point eu en vue, il a craint de vous avoir indisposé contre lui et m'a chargé de tâcher de savoir sous main si vos sentiments pour lui étaient toujours les mêmes. Au reste, je volis prie que cela soit dit entre nous, parce qu'il en pourrait résulter des tracasseries

(^) Le Tûcsi/i, Rome, 1769 , in-8°. Il fut fait à Turin, à Paris et à Londres des éditions de cet écrit, que l'auteur a réim[)rimé dans ses OEiwics mêlées (Genève, 1784, in-8°), où, sous le titre A' J ppel au bon sens, il occupe les pages 175 à 212.

(2) /"o/rlapage 186.

pour lesquelles j'ai une extrême aversion. Vous jugez bien que je n'ai pas manqué de laver un peu la tête à mon homme et de lui faire sentir qu'il est impossible de pouvoir à la fois honnêtement servire Deo et Mammonœ.

Je vous remercie de FolTre obligeante que vous me faites de m'envoyer lOuvrage du P. Boscovich. Comme M. Bernoulli en a fait l'acquisition pour la bibliothèque de l'Observatoiie, je le lui ai emprunté et je l'ai tout parcouru ces jours derniers. Je crois que vous n'aurez pas eu de peine à répondre à l'auteur de la note de la page 4^o- Son paralogisme consiste, suivant moi, dans l'argumentation a minori admajus ({u'il emploie page 4^3, car il n'a pas observé que l'expression générale

de lellipticite — — -r4^ — r — (en faisant a^ i), page 45 1, ne peut

à la vérité devenir négative, lorsque a = o, tant (jue le dénominateur est positif, condition nécessaire pour le rétablissement de l'équilibre, mais qu'elle peut très-bien le devenir quand a n'est pas nul, car, pre-

nant/négatif et égal à — g, il sutfira cpie ^< ^ et > 5— '^-^ > — 7^- '

iH---

de sorte qu'il n'y aura qu'à prendre a en sorte que - > i H- ^ ou bien a < -^; d'où l'on voit que a peut être aussi positif. Adieu, mon cher et illustre ami; je vous embrasse de tout moji cœur.

A Paris, ce 8 novembre 1771.

Mon cher et illustre ami, je suis très-tlatté du suffrage que vous voulez l»ien accorder à mes recherches sur le Calcul intégral; je les aur;iis

DE LAdUANGE AN EC DAEEMHEKT. 215

peut-être poussées plus loin si l'étal de faiblesse oîi est toujours ma tête me l'avait permis. C'est ce même état de faiblesse qui fait que je n'ai pu encore examiner à fond l'objeetion ((ue vous me faites sur le tliéorème XLIX et l'article 107. Il est. vrai (jue ma métbode a du rapport avec celle que vous avez donnée dans les Mémoires de Turin pour le même objet; j'ai même dit, dans le quatrième Volume de mes Opuscules, page "^-j'^S, que c'était votre 3Iémoire qui m'en avait fait naître l'idée. J'y reviendrai plus à loisir et à petites reprises fréquentes, car je ne puis travailler que de la sorte; je comparerai ma mélliode avec la vôtre, et je vous dirai ce qui en résultera.

Je n'ai pas eu de peine à reconnaître l'auteur de la pièce Juvai integros accedere fontes ; elle me parait très-belle, au moins quant à la partie qui y est traitée. Je voudrais que l'auteur eût poussé plus loin l'application à la tbéorie de la Lune, et il ne tiendra pas à moi qu'il ne suive ce travail, (^e que nous avons eu de Pétersbourg pour ce nouveau concours n'ajoute pas grand'cbose, ce me semble, à ce que nous avions déjà eu; il y a seulement plus de travail quant au calcul. Il est vrai que ce travail peut mériter récompense, mais les grandes difficultés de la question ne me paraissent pas entamées. Au reste, quelque envie que j'aie de vous garder le secret, je dois vous prévenir que plusieurs des commissaires vous ont reconnu ainsi que moi ; mais soyez sûr (ju'il n'y a à cela nul inconvénient et que le jugement de l'Académie, <|uel qu'il puisse être, ne vous mettra jamais dans le cas de désavouer cet Ouvrage, qui me paraît vraiment digne de vous et qui n'a besoin (jue d'être achevé.

J'ai reçu les deux A'olumes de la Dioptrique d'EuIer, mais je n'y ai pas encore jeté les yeux, quoique depuis quelque temps je me sois un peu occupé de recherches sur la théorie des observations, que je crois avoir généralisée et simplifiée. Quand j'aurai un peu plus de loisir, je verrai les formules de 31. Euler. Puisque vous ne voulez point de la traduction du P. Boscovich, je voudrais bien au moins avoir quelque autre chose à vous envoyer. S'il paraît ici quelque Ouvrage qui puisse vous convenir, j'espère que vous n'en ferez pas de façons avec moi, et

ce n'est qu'à cette condition que je puis recevoir ce que vous m'enverrez du Nord.

J'ai grande envie de voir votre réponse à Fontaine sur les tautochrones et sur les maxima, et je ne doute pas d'avance qu'elle ne soit excellente, car assurément vous avez beau jeu. Il est vrai que ce quatrième Volume des Mémoires de Turin tarde bien à paraître. Je prierai le marquis de Condorcet d'en écrire au comte de Saluées et de lui dire que cette lenteur effroyable dégoûte tous ceux qui pourraient envoyer des Mémoires pour ce Recueil.

Je connais le Tocsin dont vous me parlez. Un de mes amis me l'a apporté d'Italie, et j'avais peine à croire, quoiqu'il me l'eût assuré, que M. Dutens en fût l'auteur. Quoi qu'il en dise, je crois que c'est de moi qu'il a voulu parler aux pages 12 et 17; mais je n'en suis point offensé, et vous avez très-bien fait de le tranquilliser à ce sujet en lui faisant mes compliments. Je puis, au reste, vous dire de cet Ouvrage, comme dans le festin de Despréaux,

.... à mon gré la pièce est assez plate,

et je m'en rapporte bien à vous sur les remontrances que vous lui avez faites. Ce qu'il a le plus à craindre, c'est que l'Ouvrage et l'auteur ne viennent à la connaissance de Voltaire, qui pourrait s'en venger d'une manière très-mortifiante pour M. Dutens, et à qui je me garderai bien, comme vous croyez, de donner aucun renseignement à ce sujet. Vous n'avez pas eu de peine, comme je le vois, à démêler le paralogisme du traducteur de Boscovicb, ou plutôt de Boscovicli lui-même, car vous croyez bien que c'est lui qui a envoyé cette Note. Ce jésuite est un drôle bien avantageux et bien insolent ; mais je saurai bien rabattre son insolence et lui donner des nasardes sur le nez de son traducteur.

J'emploierai le reste de cette Lettre à vous dire en peu de mots mes difficultés sur votre solution du problème de l'élastique; vous jugerez si elles sont fondées. D'abord je ne vois pas, mais ceci est une bagatelle, pourquoi vous faites, page 169, Ucoso = F; il me semble que ce

DE LAGRyVNGE AVEC D'ALKMBEIIT. 217

devrait être Rcos^9r= F, car il ine seml)le que F doit être comme le sinus de BCc= cos^<p; j'entends ici par F l'action du ressort Ce pour faire tourner les points C, c autour de B et rapprocher ainsi les lignes BC, Bc. En second lieu, après avoir fait Rcos9 = F, vous faites F égal à P; or, dans la première de ces équations, F n'est qu'une simple force, et dans la seconde F est un moment, ou bien F x I = F x BG. Je ne vous ferais point cette seconde objection sans ce que vous dites à la page 171, que V action du j^essort est en raison inverse de l'angle de courbure. Qu'entendez-vous là par V action du ressort? Est-ce la valeur simple de F? est-ce le moment de F? Si c'est la valeur simple, je conviens que cette force est d'autant plus grande que la courbure est plus grande, mais

de la faire proportionnelle à -jt- plutôt qu'à une fonction de -^ qui croisse

à mesure que R décroît, je n'en vois pas la nécessité. D'ailleurs, quoique l'expérience prouve en effet que l'action d'un ressort est d'autant plus grande qu'il est plus courbé, il serait peut-être difficile d'en rendre une raison mathématique satisfaisante. Je vois bien qu'on peut dire que, en supposant le ressort un polygone d'une infinité de côtés, l'effort qu'ils feront pour se rapprocher et se remettre en ligne droite sera proportionnel à l'angle que ces côtés feront entre eux; mais je vois en même temps qu'en diminuant les côtés l'angle diminuera, quoique la force du ressort reste réellement la même. Ainsi

cette force n'est point proportionnelle à l'angle en question ou à -j^?

par la raison qu'elle varierait selon qu'elle prendrait f/S plus grand ou plus petit. Si par Y action du ressort on entend son moment, d'abord je

ne vois pas non plus comment ce ressort est plutôt proportionnel à ^

qu'à une fonction de -jr-, ensuite je ne puis me faire une idée nette de

ce moment, car où est son bras de levier? Si c'est le côté BC que vous appelez I, ce côté BG ou dS est ici infiniment petit, et pourrait même, à la rigueur, être supposé =0 dans la courbe considérée rigoureusement; mais je veux bien le supposer infiniment petit : alors, nom- XÏII. 08

-218 COKKESPOiXDANCE

inant F la force simple du ressort, on aurait donc son moment

d'où

c'est-à-dire infini et, de plus, variable, car, dans votre solution, B est Uni et =2K-, et dS peut être 'pris à volonté. Or j'ai peine à concevoir que F soit infini et variable en raison de -j^- En troisième lieu, il me semble que vous ne parvenez à votre équation finale

F = rtP, F=rt'P, ..., ou plutôt

que par la substitution des ressorts FN, N.AI, ML, . . . , qui sont e/i ligne droite avec le poids P, Or cette substitution de ressorts placés tous en ligne droite et obliquement par rapport à la direction des côtés de la courbe prolongés me parait arbitraire, et il me semble qu'on pourrait en faire une autre, qui serait même plus naturelle et qui ne donnerait plus l'équilibre. Par exemple, représentons la force par laquelle le côté BC tend à se rapprocher de ABK par une force CV perpendiculaire à BC; cette supposition est, ce me semble, très-permise et même trèsnaturelle; représentons de même la force de AB ou BK pour se rapprocher de BC, par une force K« perpendiculaire à BK, eu prenant BK = BC, cette force Ki étant égale à la force CV, comme elle le doit être; enfin imaginons que la force du côté AB pour se rapprocher de AO (que je suppose horizontal, pour plus de simplicité) soit représentée par une force suivant KS perpendiculaire à BK, et dont le moment soit égal au moment du ressort AB, c'est-à-dire F x AB ou P X AO, car F x AB == P x AO, selon vous , et il me semble que, dans cette supposition, il est aisé de faire voir que les forces suivant CV, Ki et KS ne seront pas en équilibre avec le poids P; car la force qui ré-

DE LAGKANGE AVEC D'ALEiVlUKR T.

suite de l'action du poids P suivant CP et de la force suivant CV doit être dirigée suivant CB, et l'on peut, si je ne me trompe, faire voir aisément ([ue le moment de cette force par rapport au point A ( que je suppose fixe ) n'est pas égal au moment des forces suivant KS et K« par rapport à A.

Ces difficultés n'ont peut-être pas le sens commun; vous m'en direz votre avis à loisir. Je ne sais pas non plus s'il faut supposer que les côtés contigus BC, CD tendent mutuellement à se rapprocher l'un de l'autre; je sais bien que cela serait ainsi si le ressort était libre, c'est-à-dire s'il n'était pas attaché fixement en A, mais il me semble d'abord qu'à cause de l'obstacle immobile A le côté BC tend seulement à se rapprocher de AB, et non pas AB de BC, et il me semble qu'on pourrait conclure de là que de même le côté CD tend à se rapprocher de BC, et non pas BC de CD; et ainsi du reste. Je ne vois pas non plus, mais ceci est encore une bagatelle, pourquoi vous faites le premier côté AB horizontal; il me semble qu'il devrait être incliné, et je crois même que cela résulte de vos formules de la page 174, ou plutôt des formules où vous ne supposez point Q =0. Pendant que je suis en train de bavarder, et peut-être de déraisonner, je vous dirai aussi un mot sur ces formules. Je ne vois pas pourquoi vous supposez, page 174, que z = o lorsque S et x, y sont égaux à o. Si cela était, il s'ensuivrait de l'é-

-^T^ que z = o donne S égal à tout ce qu'on voudra et

qu'ainsi le ressort serait en ligne droite. D'ailleurs, en faisant Q = o,

je ne vois pas pourquoi il faut nécessairement que le premier côté de la courbe en A soit dans la direction AP de la force P. Je vois seulement, en admettant d'ailleurs la théorie ordinaire des courbes élastiques, que la courbure en A doit être nulle. Il me semble, d'ailleurs.

que quand un ressort AG fixe en G est tendu par un poids P, ce qui est le cas de Q = o, la direction du côté de la courbe en A n'est pas nécessairement verticale; au moins l'expérience paraît-elle le prouver dans plusieurs cas. De plus, si le premier côté de la courbe devait être dans la direction AP de la force P, il me semble que, par la même raison, quand Q n'est pas égal à o, le premier côté de la courbe devrait être dans la direction de la force résultante de Q et de P; or il me semble qu'il résulte le contraire de vos autres formules et de vos figures mêmes, car dans \^fig- 3. par exemple, la force R suivant AR, qui résulte des forces P et Q, n'est pas dirigée suivant la tangente de la courbe en A. Il faut, mon cher et illustre ami, que je compte autant que je fais sur votre amitié et sur votre patience pour vous ennuyer ainsi de mes idées, qui pourraient bien n'être que des rêveries; vous en jugerez, encore une fois, et vous m'en direz votre avis franchement et tout i» votre aise.

Le marquis Garaccioli est à Fontainebleau avec la Gour et n'en reviendra que vers le 20; nous avons déjà parlé beaucoup de vous, et vous avez en lui un admirateur et un ami tel que vous le méritez. Je lui ai fait faire connaissance avec M'*' de Lespinasse, qui demeure dans la même maison que moi, chez laquelle je passe mes soirées, et qui rassemble chez elle beaucoup de gens de mérite en tout genre. Le mar-

DE LAGllANGE AVEC D'A L EMU EUT. 2-21

quis Caraccioli lui plaît beaucoup, et elle prend, ainsi que moi, grand plaisir à sa conversation. J'espère que nous nous verrons beaucoup cet biver. Ne seriez-vous pas tenté de venir aussi le voir à Paris? J'aurais grand plaisir à vous y embrasser. Adieu, mon cber ami ; je vous demande encore une fois pardon de tout mon verbiage, dont je suis bonteux. Portez-vous bien, et conservez-vous pour la Géométrie et pour la Philosopbie, à laquelle vous faites tant d'honneur à tous égards. Je vous embrasse aussi tendrement que je vous aime.

P.-S. — Je vous serai obligé de me dire, toujours à votre loisir, ce que vous pensez du Mémoire du chevalier de Borda imprimé dans notre Volume de 17GG, page 679. Il me semble que sa théorie est, à beaucoup d'égards, bien précaire, et que ses raisonnements ne sont pas fort concluants. Je crois avoir trouvé une théorie du mouvement des fluides dans des vases qui expliquera les expériences d'une manière plus satisfaisante; mais il me faudra du temps et un peu plus de tête pour mettre tout cela en ordre. Adieu, mon cher ami; le papier m'avertit qu'il est temps de vous laisser respirer.

A Berlin, ce 16 décembre 1771.

Vous recevrez, mon cher et illustre ami, ou peut-être aurez-vous déjà reçu par M. Salomon('), musicien du prince Henri (-), lequel vient de partir pour Paris, un Livre que je vous envoie: c'est le premier Vo-

(1) Jean-Pierre Salomon, violoniste et compositeur, né à Bonn en 174^, mort en Angleterre.

( - ) Le prince Henri de Prusse.

lumc des Nouveaux Commentaires de Gœttingue ('), qui parait depuis peu. Comme cet Ouvrage contient quelques Mémoires de Géométrie, j'ai cru qu'il pourrait vous faire quelque plaisir; du moins servira-t-il à vous faire juger de l'état de cette science en Allemagne, et je doute fort qu'il vous en donne une assez bonne idée. Il y a, d'ailleurs, une autre raison particulière qui m'a engagé à vous envoyer ce Volume : c'est qu'il renferme un Mémoire qui vous intéresse particulièrement et qui est une espèce de défense de VHydraulique de Jean Bernoulli contre vos objections insérées dans le Traité des fluides. L'auteur de ce Mémoire est un M. Kâstner, qui a une grande réputation en Allemagne comme géomètre et comme littérateur; vous jugerez combien cette double réputation est fondée par la simple lecture du Mémoire dont je vous parle; vous verrez que l'auteur y prétend aussi briller du côté de l'esprit et de la plaisanterie, et vous vous tiendrez les côtes de rire. Je vous promets de vous envoyer les autres Volumes de cette Académie à mesure qu'ils paraîtront; ils serviront au moins à faire nombre dans votre bibliothèque.

Si mon travail sur le problème des trois corps a pu trouver grâce devant vos yeux, c'est beaucoup plus que je n'ai jamais souhaité; votre suffrage est un motif suffisant pour m'engager à le continuer, et je vais m'y mettre après aussitôt que j'aurai achevé quelques autres recherches dont je suis maintenant occupé. On imprime actuellement ici le Volume de l'année 1770, lequel paraîtra à Pcàques prochain. On a changé le format et le caractère pour rendre l'édition plus belle. Il y aura même, au commencement de chaque Volume, une petite histoire de ce qui s'est passé de plus remarquable à l'Académie pendant l'année à laquelle il appartient. Vous trouverez dans celui qui est sous presse mon Mémoire sur les tautochrones, avec quelques autres Mémoires sur des matières différentes. L'obligation où je suis de lire huit à dix Mémoires par an

(') Noi'i Coniiitc/Hnrii Sociclatis rcgiœ Scientinrum Gotti/igensis, l.l, 1771,111-4°. C'est aux pages4>-89 que se trouve le Mémoire de A. -G, Kéestner, intitulé Pro Jo. BcmnuUU Hydraulicn contra Doiu. cV Alembcrt objcctioiws. — Abraham Gotthelf Kœstner, mathématicien et littérateur, né à Leipzig le 27 septembre 1719, mort le 20 juin 1800.

me force à mo jotcr siii- foutes sortes de sujets, et il ne me reste le plus souvent qu'à glaner après ceux qui m'ont précédé.

Vous avez tout à fait raison sur l'équation R coso = F, que j'ai mise, par je ne sais quelle étourderie, à la place de la véritable Rcos^o ('). Quant aux autres difficultés que vous me faites sur ma démonstration de la théorie des ressorts, elles me paraissent mériter beaucoup d'attention, et je me propose bien de les examiner à tète reposée. Au reste, vous avez aussi raison de dire que, dans mes formules de la page 17/1, s = o doit donner S égal à tout ce qu'on voudra, et qu'ainsi le ressort doit être en ligne droite : c'est aussi ce que je trouve dans la même page, et d'où je conclus que, puisque Q = o donne une courbure nulle, Q très-petit donnera une courbure très-petite. Les suppositions que je fais, dans le § 11, de 9 ou Z = o lorsque S, .r, y sont égaux à o, et des deux forces P et Q, l'une toujours dirigée suivant la tangente et l'autre suivant la perpendiculaire, me paraissent permises, ainsi que la réduction de ces deux forces à deux autres R et Tdans des directions différentes (§n ); mais je ruminerai encore tout cela et je vous en dirai les résultats.

Je vous envie l'avantage que vous avez de pouvoir profiter de la bonne compagnie du marquis Caraccioli, à qui je vous prie de vouloir bien faire mes très-humbles recommandations et mes souhaits à l'occasion du nouvel an. Si je me détermine jamais à faire un petit voyage, vous pouvez compter que j'iiai droit à Paris, ne fût-ce que pour avoir encore une fois, avant de mourir, la consolation de vous revoir et de vous embrasser. Ce voyage dépend de différentes circonstances, et surtout de la permission du Roi, que je ne voudrais pas demander sitôt, pour ne pas me donner un air de légèreté que je sais qu'il n'aime pas.

Je vous promets de lire attentivement les Mémoires de M. Borda sur les fluides et de, vous en dire mon avis, à condition seulement que, si cet avis lui est en quelque façon peu favorable, vous ne me compro-

(1) Cette inadvertance de Lagrange a été maintenue; il faut écrire Rcos^-? = 1^ et non pas R cosy = F, ainsi que nous l'avons fait indûment (Vol. III, p. 79 et 80).

(lYotedc rÉ(/i(ri/r.)

22't CORRESPONDANCE

mettiez pas vis-à-vis de lui, car je vous avoue que je n'aime pas les querelles et que je regarde mon repos comme rem prorsus substantialem. Adieu, mon cher ami; portez-vous bien et aimez-moi autant que je vous aime. Je vous embrasse de tout mon cœur un million de fois.

D'x\LEiMBERT A LAGRANGE.

A Paris, le G février 1772.

M. de Fouchy m'a dit, mon cher et illustre ami, que la pièce qui a pour devise Juvat integros accedere fontes venait de Berlin. Si vous en connaissez l'auteur et qu'il n'ait pas joint son nom à sa pièce, vous devriez l'engager à prendre cette précaution, car on ne sait pas ce qui peut arriver, et, en tout état de cause, je promets à l'auteur qu'il ne sera jamais compromis. Il ferait donc bien d'envoyer son nom cacheté dans un billet et sur le billet la devise de la pièce. Il pourrait l'adresser à M. de Fouchy, ou, ce qui serait encore mieux, vous pourriez l'envoyer à votre ami le marquis Caraccioli, rue Saint-Dominique, à l'hôtel de Broglie, et le charger de le remettre à M. de Fouchy ou à moi. Encore une fois, l'auteur peut bien être assuré qu'il n'en sera point fait un mauvais usage.

Vous savez peut-être que Morgagni (' ), de Padoue, est mort. C'était un de nos huit associés étrangers. Nous en avons deux fort peu dignes de l'être, un prince Jablonowski et un prince de Lôwenstein (^), et parmi les cinq autres il n'y a que deux mathématiciens, Bernoulli et Euler, et trois physiciens. Van Swieten, Haller et Linnaeus. Vous voyez qu'il nous faut un géomètre ; il ne tiendra pas à moi bien certainement que

(') Jean-Baptiste Morgagni, célèbre anatomiste, professeur à l'Université de Padoue, né à Forli (Romagne) le 25 février 1682, mort le 5 décembre 1771. (2) Élus le premier en 1761, le second en 1766.

DE LAG RANGE AVEC D'ALEMliEUT. 223

cette place ne soit donnée à celui (jiii le uiéi'ite. Je ne suis pas bien sûr d'en avoir le crédit, mais j'y ferai bien certainement de mon mieux, et, en ce cas, je vous laisse à deviner sur 'qui le choix tombera.

M. Salomon ne m'a remis que depuis deux jours le Volume de Gottingen, dont je vous suis très-obligé. Ce Volume me paraît bien faible de Géométrie, comme à vous. La pièce de Ksestner contre moi est, c(^ me semble, bien mince pour le fond et surtout bien ridicule pour la forme. Je ne sais si elle vaut la peine que j'y réponde. En tout cas, ce serait en peu de mots et tout à ilion aise.

L'abbé Bossut m'a chargé de vous envoyer, en vous faisant mille compliments de sa part, un Traité élémentaire de Mécanique statique (') qu'il vient de publier. Gomme ce ne sont que des éléments, j'attendrai quelque occasion pour vous le faire parvenir sans frais. Ecrivezmoi un mot d'honnêteté pour lui.

J'ai reçu, de la part de l'Académie de Pétersbourg, les trois Volumes du Calcul intégral d'Euler. Si vous ne les avez pas à vous, dites-le moi tout franchement; je vous les enverrai, ou par M. Salomon quand il retournera à Berlin, ou plus tôt si j'en trouve l'occasion, car j'en ai deux exemplaires.

J'ai grande envie de voir le Volume de 1770 et surtout ce que vous y aurez mis. On imprime actuellement le nôtre, quoique celui de 1769 ne paraisse pas encore. Je n'aurai rien dans ce Volume, mais je compte donner dans le courant de cette année un Volume d'Opuscules et peutêtre un second l'année prochaine. Il n'y aura pas grand'chose qui mérite votre attention, mais ce seront du moins des matériaux que d'autres pourront mettre en œuvre mieux que moi. Je sens que ma tête n'est presque plus capable de recherches mathématiques, et je pourrais bien finir ma carrière en ce genre par ces deux Volumes.

Je vous serai très-obligé d'examiner sérieusement mes réflexions sur la théorie des ressorts. L'objection que je vous ai faite sur l'équation Rcoso = F n'est, comme je vous l'ai dit, qu'une bagatelle.

(1) Paris, 1772, in-8^

Xm. 2q

Les autres objections me semblent mériter plus d'attention. Je sais bien (jue la supposition de 0 = 0, lorsque S,.r, y sont = o, donne le ressort dans la situation verticale, en supposant aussi Q=:o; mais cette conséquence vous paraît-elle naturelle et conforme surtout à l'expérience? Croyez-vous qu'un ressort fixé d'abord liorizontalement et ensuite tendu par un poids placé à son extrémité doive devenir vertical? D'ailleurs, si, quand il n'y a qu'une seule force P, le dernier côté du ressort doit être dirigé suivant cette force, comme vous paraissez le supposer, ne s'ensuit-il pas que, quand' il y a plusieurs forces P, O, ..., la direction de la résultante R doit être tangente du dernier côté? ce qui, ce me semble, ne s'accorde pas avec vos autres résultats. Je sais bien que, quand il y a une force résultante R, on peut la décomposer en deux, dont l'une P soit dirigée suivant le côté de la courbe; mais cela suppose que la direction des puissances P et Q est arbitraire, et c'est ce qui n'a pas lieu quand Q = o et que la puissance P est verticale. Voyez, mon clier ami, ce que vous pensez sur ce sujet ainsi que sur mes autres objections.

Je n'ai pas encore sufTisamment examiné celle que vous m'avez faite sur l'article 107 du dernier Mémoire que je vous ai envoyé. Il me semble pourtant, à vue de pays, que, si on substitue à la place des termes An/cos-pi, qui doivent venir dans le calcul, la quantité

A//7 MitcoHf.ûz . , ^ ' • I i 1-^,1 1

h- — — qui leur est équivalente, on doit retomherdans une

formule qui reviendra à celle que vous avez donnée. Au reste, j'y repenserai plus à loisir et je vous dirai ce qui en résultera.

Vous me ferez très-grand plaisir d'examiner les objections du cbevalier de Borda, et vous pouvez en toute sûreté me dire ce que vous en pensez. Soyez très-sûr que vous ne serez compromis en aucune manière. Il me semble : i" que le raisonnement qu'il fait à la page 584 [Mémoires Ae 1766) est bien vague et bien précaire; a° que son lemme de la page 591 ne peut s'appliquer aux fluides, qui dans leur équilibre, et par conséquent dans leur cboc, ne doivent pas suivre les mêmes lois que les corps solides. 3° Je n'entends rien non plus au raisonnement

J)E LAGKANGE AVEC D'ALEMBEHT. 227

qui précède ce lenime dans la même pag-e. f\^ Je n'entends pas clavanlage son raisonnement de la page /j^c). Il est bien vrai qu'il n'y a point de vitesse infinie; mais aussi n'y a-t-il point de diamètre injinimenl petit; et il s'ensuivrait de ce raisonnement que la vitesse, même dans un canal infiniment étroit, n'est })as en raison inverse de la lai'geur, <;(! qu'il suppose pourtant lui-même dans son problème I (p. 58 1). 5" Il me semble aussi qu'il n'a pas raison, page Goj, (luand il dil (jue la différence de force vive du lluide devra être égale à la dillêrence de descente actuelle du poids P. Je crois que la pesanteur du })oids P doit être égale, non à la différence de force vive du fluide, mais à la pression qui en résulte contre le corps plongé, et cette pression peut n'être pas = o, quoique la différence de force vive soit = o. Il est bien vrai qu'il y a des cas, comme celui dont j'ai parlé dans mon Tome V iV Opuscules, où la résistance paraît devoir être nulle; mais ce n'est que lorscjue la partie antérieure et la postérieure sont semblables, parce qu'alors nonseulement la différence de Ibrce vive, mais aussi la pression qui en résulte est égale à zéro, comme je l'ai prouvé. J'avoue que c'est là un grand paradoxe, mais je n'y saurais que faire. I^a plus forte objection est celle que vous m'avez faite, il y a quelque temps, sur la séparation des trancbes du fluide; mais, après l'avoir examinée, il me semble que cette objection n'a pas lieu quand le fluide est indéfini, comme on le suppose, au-dessus et au-dessous du corps flottant. Et, en effet, il est d'expérience que, quand une rivière, par exemple, se rétrécit en un endroit pour s'élargir ensuite, il n'y a pas de séparation, ce que la tbéorie peut, à ce que je crois, expliquer aisément par ce principe que, si un canal, que je suppose partout d'une largeur très-petite, va d'abord en s'élargissant pendant un assez petit espace, et qu'ensuite il reste de la même largeur, étant prolongé indéfiniment et rempli de fluide, et que dans la seule partie qui va en s'élargissant on applique à cbaque trancbe des forces II, constantes ou variables, il n'en résultera aucun mouvement dans le fluide : à peu près par la même raison que, si un corps fini vient frapper une masse infinie, le tout restera en repos après le choc. Çf Je crois aussi qu'on peut démontrer aisément qu'en suppo-

sant, avec le chevalier de Borda, les petits canaux de la figure seconde, le fluide ne descendrait pas également dans ces petits canaux, et qu'ainsi, contre l'expérience et contre la supposition même de l'auteur, la surface supérieure ne demeurerait pas horizontale. 7° Ces canaux ont d'ailleurs un autre inconvénient : c'est de rendre stagnante une partie considérable du fluide, autre supposition dont on peut aisément démontrer l'impossibilité.

Adieu, mon cher et illustre ami ; il ne me reste de place que pour vous embrasser. Je remets cette Lettre au marquis Caraccioli ; c'est un homme bien aimable et qui sent bien tout ce que vous valez. Quelque désir que j'aie de vous voir, vous faites bien de ne rien forcer; mais tâchez de venir le plus tôt qu'il vous sera possible.

P. -S. — Faites-moi le plaisir de dire à M. Bitaubé que je n'ai reçu que depuis deux jours sa Lettre du 2 décembre, que je ferai ce qu'il me demande et que je lui écrirai bientôt.

A Berlin, ce 24 février 1772.

Mon cher et illustre ami, M. le marquis Caraccioli, à qui j'écris parce même ordinaire, vous remettra cette Lettre avec un billet cacheté qui appartient à une des pièces qui ont concouru pour le prix de votre Académie et que l'auteur a oublié d'y joindre. Je vous prie de vouloir bien le faire parvenir à M. de Fouchy. Quelque peu ambitieux que je sois, je vous avouerai que rien ne me flatterait davantage que l'honneur d'être agrégé à votre illustre Compagnie; mais, quoi qu'il en arrive, il me suffira toujours que vous et un petit nombre de vos confrères m'en ayez jugé digne, et ma reconnaissance en sera constamment la même.

J)E LAG RANGE AVEC D'ALEMIiEIlT. 229

Je vous prie de vouloir bien faire, par anticipation, mes remerciments à M. l'abbé Bossut du présent (ju'il me destine. Je m'acquitterai moi-même de ce devoir envers lui dès que j'aurai reçu et lu son Ouvrage, dont j'ai d'avance une très-grande idée. Comme j'ai déjà un exemplaire du Calcul intégral de M. Euler, je vous remercie de tout mon cœur de l'offre généreuse que vous me faites de me céder celui que l'Académie de Pétersbourg vient de vous envoyer. Avez-vous reçu aussi les recherches sur le passage de Vénus qui font partie du XIV^ Volume des Commentaires (' ), mais qui se vendent aussi séparément, et les Recherches sur la comète de 1769 par M. Lexell, sous la direction de IM. Euler (")? Je vous enverrai tout cela par la première occasion que je pourrai trouver, si vous ne l'avez pas déjà. Il me semble que ces Recherches ne répondent pas, à beaucoup près, au moins quant à la partie analytique, à la manière un peu emphatique dont M. Euler les avait annoncées.

Notre Volume de 1770 paraîtra à Pâques; la partie mathématique en est déjà imprimée. Si je trouve une occasion pour vous faire parvenir un exemplaire d^e mes Mémoires avant que l'impression du Volume soit achevée, je la saisirai volontiers; sinon, je profiterai de la première qui se présentera pour vous envoyer sans frais le Volume dès qu'il aura vu le jour, et j'y joindrai à l'ordinaire un exemplaire de mes Mémoires pour notre ami le marquis de Condorcet, dans le souvenir duquel je vous prie de vouloir bien me rappeler. Je souhaite que vous vous hâtiez de publier les nouveaux volumes à' Opuscules que vous m'annoncez, et j'espère que vous serez longtemps encore en état de faire souvent de pareils présents aux géomètres. Ne vous semble-t-il pas que la haute Géométrie va un peu en décadence? Elle n'a d'autre soutien que vous et M. Euler, car pour moi je ne puis vous suivre que de loin.

(') De l'Académie de Pétersbourg. Il s'y trouve plusieurs Mémoires (en latin) sur ce sujet, par J.-L. Pictet, Et. Rumovski, G. -Maurice Lowits, L. Krafft, Christ. Euler et J. Islenieff.

[-) Rec/ierc/ies et calculs sur la vraie orbite el/i/Jtit/ue de la comète de 1769 et de son temps périodique, exécutés sous la direction de M. L. Euler, par M. L. Lexell. Pétersbourg, J770; in-4".

230 COIUIESPONDANCE

Votre objection suppose, ce me semble, que les puissances P et Q qui agissent sur l'une des extrémités du ressort sont, dans ma solution, l'une verticale et l'autre horizontale, tandis que l'autre extrémité est fixée horizontalement, et dans cette hypothèse elle me paraît sans réplique; mais ce n'est pas là mon idée. J'imagine un ressort fixé à une extrémité et tendu à l'autre par des forces quelconques, et je réduis toutes ces forces à deux, dont l'une P agisse suivant la direction de la tangente et l'autre Q suivant la perpendiculaire à cette tangente, quelle que puisse être d'ailleurs la direction de cette tangente. Cette supposition est analogue à celle que l'on fait communément dans la recherche des trajectoires ou dans celle des chaînettes, oli l'on réduit toutes les forces en tangentielles et normales. Mais le peu de place qui me reste dans cette Lettre m'oblige à réserver pour une autre ce que j'aurais encore à vous dire sur ce sujet, ainsi que mes observations sur le Mémoire de M. le chevalier de Borda, que je viens de lire et que je trouve bien peu digne de lui. Ses objections contre votre théorie ne sont que des sojîsticherie, pour ne rien dire de plus. La réponse que vous lui faites dans l'article 113 de la nouvelle édition de votre Traité des fluides me paraît très-juste, et il vous sera aisé de réfuter de même tout le reste de son Mémoire. Avez-vous remarqué le paralogisme qu'il fait à l'article 7 pour trouver la contraction de la veine ? Ne trouvez-vous pas bien pitoyables les raisonnements par lesquels il prétend prouver qu'il y a toujours une perte de forces vives, etc. ? Adieu, mon cher et illustre ami; je vous embrasse de tout mon cœur; on ne saurait être plus vivement touché que je le suis des marques d'amitié et d'estime que vous me donnez de plus en plus.

A Monsieur d'Aleinbert, de l' Académie française, des Académies royales des Sciences de France, de Prusse, etc., etc.,

à Paris.

A Paris, ce 25 mars 1772.

Je ne crains point, mon cher et illustre ami, de vous constituer en frais de port de lettre pour vous apprendre une nouvelle qui sûremen! ne vous fera pas plus de plaisir qu'à moi : c'est que vous avez partai^r avec M. Euler le prix double de 5ooo livres proposé pour cette année. Ce jugement a été porté dans notre assemblée d'hier, de l'avis unanime des cinq commissaires du prix, qui étaient MM. de Condorcet, l'abbé Bossut, Cassini, Lemonnier et moi. ?nous avons cru devoir cette justice à la belle analyse du problème des trois corps que votre pièce renferme, quoique vous n'ayez pas donné des formules des mouvements de la Lune, comme M. Euler, qui, à la vérité, n'a sur vous que ce seul avantage, et qui vous est bien inférieur par la profondeur des recherches. Le programme que l'Académie publiera à la fin d'avril, après notre assemblée publique du 29 de ce dernier mois, vous rendra justice à l'un et ii l'autre, et vous ne perdrez rien au parallèle. Il y a apparence (car cela n'est pas encore absolument décidé) que nous proposerons pour sujet de l'année 1774 les deux seuls articles des équations incertaines et de l'équation séculaire, sans demander encore des Tables de la Lune'; ainsi vous aurez tout le temps d'approfondir ces deux points. Vous aurez le programme dès qu'il sera imprimé, c'est-à-dire dans les premiers jours de mai, ou peut-être plus tôt.

M3L Bossut et de Condorcet me chargent de vous faire mille compliments et se félicitent, ainsi que moi, d'avoir contribué à votre triomphe. L'abbé Bossut a été très sensible à ce que vous me dites pour lui; il vous en remercie de tout son cœur. Vous aurez son Ouvrage dès que je pourrai vous l'envoyer sans frais. J'ai reçu, de la part de l'Académie de Pétersbourg, le XIY^ A'olume de ses Mémoires, ainsi que les

Recherches sur' le passage de Vénus et sur la comète de 1769; mais je n'y ai pas encore jeté les yeux. Je conserve pour mes propres recherches le peu de tête que j'ai et qui va toujours s'afTaiblissant. J'attends avec impatience votre Volume de 1770. M. de Condorcet vous remercie d'avance de l'exemplaire de vos Mémoires que vous lui promettez ; il se propose de vous écrire incessamment et de vous envoyer aussi par quelque occasion non coûteuse ses Mémoires pour 1770. Quant aux nouveaux Opuscules que je me propose de donner, il n'y aura rien qui mérite grande attention de votre part. Ce seront quelques recherches d'Astronomie physique et quelques vues sur différents objets auxquels ma pauvre tête ne me permet pas de me livrer entièrement.

Ne vous plaignez pas de la décadence de la Géométrie tant que vous la soutiendrez comme vous faites. Il est vrai qu'excepté vous je ne lui vois pas de grands soutiens. Nous avons pourtant ici quelques jeunes gens qui annoncent du talent, mais il faut voir ce que cela deviendra. Quant à M. Euler et moi, et surtout moi, je regarde notre carrière comme à peu près finie. Je voudrais que notre ami Condorcet, qui a sûrement du génie et de la sagacité, eût une autre manière de faire; je le lui ai dit plusieurs fois, mais apparemment la nature de son esprit est de travailler dans ce genre: il faut le laisser faire.

Vous avez bien raison de dire que la puissance R qui agit à l'extrémité du ressort peut toujours être décomposée en deux, P, Q, l'une tangentielle, l'autre perpendiculaire à la tangente, quelle que puisse être d'ailleurs la direction de cette tangente. Mais on ne peut, ce me semble, supposer, du moins en général, que la direction delà puissance R soit elle-même tangente de la courbe à son extrémité, et vous faites, ce me semble, cette supposition, au moins tacitement, en supposant (page 174) que, lorsqu'un ressort est tendu par un poids, la direction de ce poids, qui est verticale, touche la courbe à son extrémité; c'est au moins ce qui résulte, si je ne me trompe, de la supposition que vous faites de 9 = 0 (p. 174, à la fin) lorsque Q = o, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a qu'un poids agissant verticalement. Si cette supposition était légitime, il ftuidrait, par la même raison, que la direction de la puissance R devrait être

tangente dans tous les cas à l'exlrémité de la courbe, car d'être verticale ou non ne fait rien, ce me semble, pour que cette direction soit tangente à la courbe. Je m'explique peut-être mal, mais vous suppléerez aisément à ce que je devrais dire pour me faire entendre. Quoi qu'il en soit, je serai fort aise de savoir votre avis sur cette objection, ainsi que sur les autres objets que je vous ai proposé d'examiner dans ma dernière Lettre. Mais je ne suis nullement pressé, et vous avez mieux à faire que de donner des moments précieux à mes rêveries. Ainsi je ne vous demande que les moments perdus.

Je suis plus content que surpris du jugement que vous avez porté du Mémoire du chevalier de Borda sur les fluides. Il me paraît, comme à vous, plein de mauvais raisonnements, bien vagues et bien peu géométriques. J'ai fait bien des recherches nouvelles sur le mouvement des fluides, que j'achèverai tout à mon aise et peut-être jamais; mais je donnerai dans mon premier Volume à^Opuscules une méthode nouvelle pour traiter cette matière, dont je crois que vous ne serez pas mécontent, et qui me paraît propre à satisfaire à tous les cas et à toutes les expériences, sans recourir à la mauvaise théorie du chevalier de Borda.

L'élection pour la place d'associé étranger ne se fera qu'après Pâques. Je n'en suis point fâché, comptant bien profiter de la circonstance pour vous ménager plus d'un suffrage, et je ne désespère pas de réussir. Quant à la somme qui doit vous revenir, et qui est de 25oo livres (sauf peut-être quelque diminution d'environ 200 livres, par les opérations récentes de nos finances), le marquis Caraccioli et moi prendrons des mesures pour vous la faire parvenir sans frais, s'il nous est possible. Mais ce ne pourra être qu'à la fin du mois prochain, après notre assemblée publique. Adieu, mon cher et illustre ami; il ne me reste de place que pour vous embrasser de tout mon cœur.

A Monsieur de la Grange, directeur de la Classe matliémalique de l' Académie royale des Sciences et BelleS'Lettres de Prusse, à Berlin.

(En note: Répondu. Iciu avril.)