PROPOSITION I

Théorème.

5. Toute série dont un terme quelconque est représenté par la formule

A sin (a -4- mx) -\-V>s'\x\{h -v- m^) -+- C sin (c -+- my) -I-. . .,

m étant le nombre des termes précédents, est une série récurrente dont l'échelle de relation dépend uniquement des angles a, |S, y, —

Dénotons, en général, par

les termes de la série proposée, en sorte ({ue l'on ait

T("') = A sin ( a -t- m a ! H- B sin ( 6 -I- m |3 ) -h C sin [c -^ my )-{-... , et examinons la nature de la suite intinie

T -f- T'^ + T'x- -+- T"'x' -f- . . . -I- TC"^^"' -+- T("'+"a;"'+' -i-

On sail que

sincp = î

e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité; donc, faisant, pour abréger,

on aura

Asin^a + ma.) = Kp'"+ Lq"";

de même, si l'on fait

on aura

Bsin(6H-m[3j = Mr'"H- N^"',

C sin ( 6- H- wy ) = F t'" -4- Q u"'.

et le terme général T^'"^ prendra cette forme

TC") =: K/?"" + Lç"" -f- M /•"' H- N s-" H- P i"" -h Q «'" + . . . . D'où l'on voit que la suite

n'est autre chose que la somme de plusieurs séries géométriques, dont les premiers termes sont K, L, M,... et dont les raisons sont^a;, qx, rx, . . . , de sorte qu'en sommant chacune de ces séries géométri({ues on aura la valeur de toute la série

T 4- Tx + T"x-'H- Vx^ -f- . . . .

D'APHÈS LES OBSERVATIONS. 513

On aura donc de cette manière l'équation identique

I — px I — qx I — rx I — SX

et il est clair qu'en réduisant au même dénominateur les l'ractioris (|ui composent le second membre de cette équation, et dont nous supposerons que le nombre soit n, ce second membre se transformera en une fraction unique de la forme

ou les nombres o, i, 2, 3,..., renfermés dans des crochets carrés ou ronds, désignent des coetficients différents qui dépendent des quantités K, L, M,f^,...,p,q,r,s, — Et, comme le dénominateur de cette fraction doit être égal au produit des n dénominateurs i—px, 1— qor. I — rx, i —SX,..., il est d'abord évident qu'on aura

ii)=—p — (j-r-s — ...,

("2) = pq -i- pr -\- ps -\- . . .-\- (jr -\- qs -+- . . ., (3)= — pqr —pqs — qis — . . .,

de sorte que les coefficients (o), (i), (2), (3),... du dénominateur de la fraction dont il s'agit seront donnés uniquement par les quantités p, q, r,s,....

Ainsi la série proposée sera égale à cette dernière fraction, que nous appellerons par conséquent yrac/fo/i génératrice de la série; d'où il est facile de conclure que la même série sera du genre de celles qu'on nomme récurrentes, et dont la propriété est qu'un terme quelconque se forme de l'addition d'un certain nombre de termes précédents, multipliés chacun par un coeiricienl donné; car, en multipliant la série

ï + Tx -+- T'x' + . . .