t- ^"y' H- ffy^ -4- Ô'\r

laquelle ne soit que de l'ordre pi, et dont la fraction génératrice suit représentée par la formule

A -t- Bj H- C r' + • . • -(- K ji* Je fais, pour obtenir cette transformation,

et, substituant cette valeur de j dans la dernière fraction, j'ui, apiès avoir multiplié le haut et le bas par (i -\- o?^)'',

(1 H- x^')[rt(I-^■^•')'^-'-^- hx{\-¥- x-'f-'^ cx\\^ x'Y-^^ . . . -f Itx''-' ) A(i + jf'f 4- B^d H-.r»)i*-"-i- Cx'ii -f- x')^-^-h. . .-hKx^' '

et cette fraction sera, par conséquent, égale à la série

i-f-^= (i-t-^=)' {i-hx''f ■■■' et, divisant tant la fraction que la séi'ie par i -ha?^, j'aurai cette traction

a(i + x^y-' 4- bx{i -+- x^)'''-^-h cx^i -hx'')^-^-h. . . -\- hx^~'

qui sera égale à la série

\-hx^ [x^x^f {i^x'^f {x-^x-'Y

Maintenant, si l'on développe les puissances de i -^x-, tant dans le numérateur que dans le dénominateur de cette dernière fraction, et qu'on ordonne ensuite par rapport aux puissances de x, on verra que le dénominateur sera un polynôme réciproque du degré 2p,, et que le numérateur sera aussi un polynôme réciproque du degré 2 p. — 2; en sorte qu'on pourra comparer terme à terme ces polynômes à ceux qui forment la fraction génératrice de la série proposée; et cette comparaison servira à déterminer les [l coefficients

a, b, c,. . . , h par les coetficients

[o], [ij, [2],..., [fx-i],

ainsi que les p. -h i coefficients

par les coefficients

(o), ',!), (2),. . ., [ix).

Les deux fractions étant donc, par ce moyen, devenues identiques, il faudra que les séries qui en dérivent le soient aussi; mais, comme la dernière série n'est pas ordonnée suivant les puissances de x, il faudra, pour pouvoir la comparer à la proposée, l'ordonner auparavant suivant

D'APUÈS LES OBSERVATIONS. 561

ces mêmes puissances; el pour cchi il n'y auia qu'à y substituer, à la place des fractions

leurs valeurs en séries

= 1 — Sx'' -\- 6x* — lo ^' -<- i5jr*

et, après avoir ordonné les termes par rapport à x, on aura la série

d-he'x-{- {6"—9)x'-h{e"'—:>.e')x'-h{ô'''—36"-h0)x*-\-{e''—j^e"'-h36')x'

dans laquelle chaque terme, comme x^-, aura pour coefficient la quantité

Comparant donc maintenant terme à terme cette série avec la série

proposée, on aura

t"' = Q"'-ie',

et, en général.