VI

G50 RECHEHCllKS SUR LES ÉQUATIONS SÉCULAIKES

lique; mais il faut pour cela intégrer deux l'ois autant d'équations de la forme de celles du n*^ 16 qu'il y a d'orbites mobiles à considérer.

19. M. de Lalande a donné, dans les Mémoires de l'année 1758, le calcul du mouvement annuel des nœuds de l'orbite de chacune des six planètes principales sur les orbites de toutes les autres, regardées comme fixes; on aura donc par la les valeurs des coelUcienls (o, i), (o, 2),...; mais, comme M. de Lalande a adopté pour les masses des planètes les déterminations de M. Euler, lesquelles sont un peu différentes de celles qui résultent des dernières observations du passage de Vénus, nous avons cru devoir changer les valeurs des mouvements des nœuds, trouvées par M. de Lalande, en sorte qu'elles répondent aux valeurs des masses établies par ces observations, et qui se trouvent dans la Connaissance des Temps de l'année l'j'jk.

Les logarithmes des fractions qui représentent les masses de Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne (celle du Soleil étant prise pour l'unité), telles que M. de Lalande les a employées dans l'endroit cité, sont

mais, d'après la Connaissance des Temps, je trouve ceux-ci

Donc, comme les mouvements des nœuds sont (les temps périodiques et les rapports des distances au Soleil demeurant les mêmes) proportionnels aux masses des planètes qui les produisent (17), il faudra multiplier respectivement ceux que M. de Lalande a trouvés par les nombres dont les logarithmes sont les différences des précédents, savoir

Supposant donc que le terme t soit exprimé en années tropiques, et (jue T, T|, Tj, T:j, t., T; soient les six planètes premières, suivant Tordre

o;ii

de leur grosseur, savoir : Jupiter, SiiUinie, l;i Tcnc, Vénus, Mars cl Mercure, on aura les valeurs suivaiilcs

(o, 3) = OjOoO, (1 , 3) = 0,0007, (2, 3) = G,G4G, (3, 2) = 6,703, (4,2)= 1,773, (5,2) = o,8G7,

(5,3):rr 3,749,

Au reste, comme il n'y a que les masses de Saturne, de Jupiter et de la Terre qui soient bien connues, et que les autres n'ont été déterminées que d'après l'iiypotljèse que les densités sont comme les racines des moyens mouvements, on ne doit regarder comme vraiment exactes que les valeurs (l(;s quantités où, après la virgule, il y a un de ces chiffres o, I, 2 entre l(!s deux parenthèses.

20. Les mouvements particuliers de chaque orbite sur chacune des autres étant donnés, il est clair que c'est un Problème purement analytique de déterminer le changement de position des oibites au bout d'un temps quelconcjue. Les équations du n*' 16 renferment la solution complète de ce Problème dans l'hypotbèse que les inclinaisons des orbites soient très-petites; niais, comme ces équations ont été déduites immédiatement de la Théorie de la gravitation universelle, il ne sera j)enlêtre pas inutile de faire voir comment on y peut parvenii directement, par la simple considération des mouvements particuliers des nœuds de chaque orbite sur chacune des autres, regardée comme fixe.

21. Considérons, pour cet efl'et, deux orbites seulement, pour lesquelles les lieux des nœuds sur l'écliptique soient w, oj, , et les tangenles des inclinaisons :^, !>,, et supposons (jue la longitude du noMid de l;i première de ces orbites sur la seconde soil j, et (|ue la tangente de l'inclinaison mutuelle de l'une à l'autre soit r,\ on sait que la tangente de la latitude correspondant a une longitude (juelcon(|ue (p sera, pour la

première orbite, égale à 0»u\{<p — w), et, pour la seconde, égale à ô, sinfç) — 00,); et de même, en l'apportant cette orbite-là à celle-ci, la tangente de la latitude correspondant à la longitude 9, comptée sur cette dernière orbite, sera exprimée par vj sin {rp — ^).

Or, à cause que les deux orbites sont supposées très-peu inclinées à l'écliplique, il est clair que les tangentes des latitudes doivent être, à très-peu près, égales aux latitudes elles-mêmes; de plus il est facile de voir que le cercle de latitude, correspondant h la longitude © comptée sur l'écliptique, se confondra aussi, à très-peu près, avec le cercle de latitude correspondant à la même longitude 9, mais comptée sur l'une des orbites. De là il est aisé de conclure que la tangente de latitude 0 sin {(p — ^) sera à très-peu près égale à la différence des deux tangentes de latitude ôsin(c; — «) et 5, sin(9 — w,), de sorte qu'on aura cette équation

•/2 sin(9 — «l j = 0 sin (9 — w) — 0^ sin (9 — w,),

laquelle devra avoir lieu, en général, quelle que soit la longitude 9; on aura donc nécessairement ces deux équations particulières

Tt sin tj' = 6 sin w — 9, sin m,, ■/} cos^' = 0COSW — 0, cosoj,,

lesquelles serviront à déterminer le lieu du nœud commun, et la tangente de l'inclinaison mutuelle de deux orbites dont on connaît les lieux des nœuds, et les inclinaisons sur l'écliptique. On aura, en effet, par les deux formules précédentes,

, 0 sino) — Q, sinwi

tang(^ = -. ,

0 C0S&) — 0, coso).

•/] = \I[B- -\- Q\) — 200, cos(w — wi).

22. Gela posé", imaginons que la première des deux orbites, celle à laquelle répondent les éléments 0 et oj, se meuve sur l'autre orbite regardée comme fixe, en sorte que l'inclinaison demeure constante et que le nœud rétrograde avec une vitesse représentée par (o, i); il est clair

(jue, dans cette hypothèse, la quantité y; sera constante, et (juc l'an^^h' <! variera de la qiiaiilil('' — fo, i) (h, en soi'te (ju'on aura

cUn sin4') = r; cos^'l — fo, 0 dl\, d[n cosl^) := — y) sin<J>[ — (o, i ) r//];

niais, |)ar le numéro piécédent, on a

n sinij' = 0 sinw — 0, sine.),, 73 cos^j; = 0 coso) — 5, cosot,;

et, comme l'orbite à laquelle répondent les éléments 0^ et oj, est reijjardée comme immobile, pendant que l'autre orbite est supposée rétrograder sur elle de la quantité (o, i)dt, il est clair qu'il faudra regarder, dans la dilïerentiation, les quantités ;;, et u, comme constantes, et les quantités 0 et ro comnie seules variables; c'est pourquoi on aura donc

d{'n sin^];) = rf( ôsino)), d[-n cos^)^= d{9cosoi).

Substituant donc ces valeurs dans les deux équations précédentes, elles deviendront

d{ 9 sinw) = — (o, i) (9 cosw — 5, cosw,) di,

di9 cosm) = (o, I) (0 sinw — 9, sinw,) dt.

S'il y avait une troisième orbite pour laquelle le lieu du nœud fût oj^ et la tangente de l'inclinaison O2, et qu'on supposât (juc la [)remière orbite dût rétrograder sur celle-ci, regardée comme immobile, avec une vitesse égale à (o, 2), et en gardant la même inclinaison mutuelle, on aurait pareillement, en vertu de ce mouvement,

d(9 sinw) = — (o, 2)(9cos&) — 9icosoh)dt, d{9cosoi) = (o, 2)(0 sinw — âî sinw,) dt.

Donc, si l'on suppose que la même orbite soit mobile à la fois sur les deu\ autres, il est clair que les dillerentielles de (?sinoj et de 5 cos'o

6oi RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES

aui'OiU pour valeurs la somme des valeurs particulières qui répondent aux vitesses 'o, i), (o, 2}; par conséquent on aura, pour lors, en divisant j)ar dl,

r/(9sin&)) ,-.,,, r , ^r r

= — (o, l)(0 COSW — y, COSW, j — (o, 2 ; \fj COSW — 0, COSOJ2),

dt d(0 cosco)

'o, i){0 sinw — (5, sinco, ) H- (o, 2 ; ({; sino) — ôj sinos

Il est aisé maintenant d'étendre ces formules à tant d'orbites mobiles, à la fois, (ju'on voudra, et, si l'on y met s, Si,... à la place de 5sinro, 5, sino), , . . ., et a, u,,... à la place de 5cosw, i/, cosw, , . . . , suivant les dénominations établies plus haut, on en verra naître les équations du n" 10.