Comme l'on a
d 9 sinojj = 9 cosoidc») -+- sin^dO, d[6 cosc)) = — 9 sinoydfji -+- coso}d9,
il s'ensuit que, si l'on prend la différence et la somme des deux équations ci-dessus, après les avoir multipliées respectivement par cosco et sinw dans le premier cas, et par sinw et cos« dans le second cas, on aura
—j— =:— (o, l)\9 — 9i ces ( 03 — «, ) ] — i o, 2 ) [ (3 — ^2 ces ( Oi — 0)î I ] ,
— . == (o, i) ô, sin(w — «I ) -t- (o, 2) 02Sin(cy — oy,) ;
et l'on aura des équations semblables pour les valeurs de </w,, dOf,
Ces équations sont surtout utiles pour déterminer les changements instantanés dans les lieux des nœuds et dans les inclinaisons de plusieurs orbites mobiles les unes sur les autres; mais elles seraient fort difficiles à intégrer sous cette forme.
24. Au reste on doit se ressouveuii- que les équations précédentes sont fondées sur l'hypothèse que les inclinaisons des orbites à l'éclip-
DES MOUVEMENTS DES NOEUDS, ETC. «io.^
tique soient Iri's-pelites; ainsi elles ne peuvent être i'cp;ardées coninic exaetes qu'autant que celte hypothèse a Jieu. Si l'on voulait résoudre \v Problème, en général, pour den inclinaisons quelconques, il laudrail suivre un autre chemin, ainsi (ju(! nous l'avons fait dans un Méiiioire particulier sur celte matière, (juc nous avons donné ii rAcadémic dr licrlin, et qui renferme la solution compii-te du cas où il n'y a (|n(' dvu\ orhilcs mobiles (*) ; quant au cas où il y aurait trois orbites mobiles, nous avons trouvé qu'il dépend de la rectification des sections coniques, de sorte que la solution de ce cas, et à plus forte raison celle des cas plus compliqués, échappe nécessairement à toutes les méthodes analytiques connues. Mais, comme les orbites des planètes sont toutes à peu près dans un même plan, et qu'il en est de même de celles des satellites de Jupiter et de Sa'.uine, la solution générale du Probiéinc doni il s'agit serait plus curieuse qu'utile dans le Système du monde.
Article IV. — Intégration des équations qui donnent les mouvements des nœuds et Les variations des inclinaisons des orbites planétaires .
25. Les équations qu'il s'agit d'intégrer sont celles du n^ 16, dont le nombre est, comme l'on voit, double de celui des orbites mobiles; or, pour peu qu'on considère la forme de ces équations, on vorra aisément qu'on y peut satisfaire par les valeurs suivantes
5 = A c:in(rt/ -f- a ,, a = A ces (a/ -f- a), s, = A,sin(af -h a;, m. = A, cos(fl/ -l- a), s,=z k^s'\n{at -4- a), u.:= A^cosfa/ -l- a),
où a, a et A, A,, Ao,... sont des constantes indéterminées. 1-es subslitu-
(*) OE livres de La^rnn^e, t. IV, p. m.
lions faites, on aura ces équations de condition
«A +(o, i)(A — A,j-i- (o, 2)(A — AO +.. . = 0, «A, -4- (i, o)(A, — A) 4- (i, 2)(A, — As) +. . . = o, «Ao-f- (2, o)(A2— A) + (2, I )(A2— A,) +. . .==o, ■ ,
dont le nombre est égal à celui des quantités A, A,, Aj,..., et n'est par conséquent que la moitié de celui des équations difï'érentielles, en sorte qu'il est égal au nombre des orbites mobiles.
Supposons que ce nombre soit n\ on aura donc n constantes indéterminées A, A,, Ao,..., et n équations entre ces constantes; mais, en éliminant successivement ces mêmes constantes, on verra toujours que la dernière s'en ira d'elle-même, en sorte qu'il en restera nécessairement une d'indéterminée; et l'on trouvera pour équation finale une équation en a du degré ré^"^^ , laquelle servira par conséquent à déterminer la constante a.
Il restera donc deux constantes indéterminées A, par exemple, et a; et, comme l'équation qui doit donnera est du /z"^'"^ degré, on en pourra tirer n valeurs différentes de a\ moyennant quoi on aura n valeurs particulières de cbacune des 2/z variables s, s^, So, . . . , u, w, , Mo » • • • > lesquelles satisferont toutes également aux équations différentielles données; et il est facile de voir, par la nature même de ces équations, que, pour avoir la valeur complète de cbacune des variables dont il s'agit, il n'y aura qu'à prendre la somme des n valeurs particulières de la même variable, en donnant différentes valeurs aux constantes arbitraires.
Si donc on dénote par a, b, c, . . . les n racines de l'équation en a, et qu'on prenne n coefficients arbitraires A, B, G,... et autant d'angles arbitraires a, [j, y,..., on aura
s = \ ^in nt ^ y. -4- B sin {ht -\- ^ -+- C sin ( c/ -f- y -h . . . ,
5, = A,sin(«/ -i- a ; -f- B,sin(i/ h- (3) + Csini c^ 4- y ) -t-. . ., 52= A2sin(«; -I- Cf.; -t-B2sin(6/ -+- [3) -t- CîSini'c/ -f- y) h- . . .,
« = A cosiV// -A- oc) -4- B cofiibt H- (3) -i- C cosict -\-y) -\- . . .,
M, = A.cos «/ H- a) -f- B,cos(7>/ -f- [i) -+- C,cos,(ct -hy) -h . . .,
Mjz= A,ros(«/-i- 3c) -I- B, oos(/>< -i- (3) -h C, cos(c/ 4- y; H--. . .,
les quantités li,, IL,... devant être données par B il A, d les (|ii;iiitités C, Ca,. . . devant l'être par C et c, et ainsi des autres, de U\ même manière et par les mènics é(juations que les (juaiilités A,, A.,... h' sont pai' A et {f.
26. Pour déterminer maintenant les 2/^ eonstantes arbitraires A, B, C,..., «, fi, y, . . . , il faudi'a supposer que l'on eonnaisse les valeurs d«'s 2/1 variables s, s^, s^,,-.., m, m,, Wj,... pour une époque queleonque, par exemple, lorsque / = o, et, désignant ces valeurs données par S, S,, So, . . . , U, U|, Uo, . . . , on aura les é(}uations
S := A siria -f- B sin^ -4- C siny -h. . ., S, = Aisina -I- B, sin[3 -h C, sin-/ +. . ., S2 = A2 sin s: H- B. sin |3 -f- C, sin •/ -4- . . . ,
U = A cosa -f- B cos(3 -+- C cosy + . . , U, := A, cosa -+- B,cos|3 -i- C, oosy H-. . . , U2 = Ajcosa -+- Bocos^ -t- C;,cosy -f- . . . ,
lesquelles, étant aussi au nombre de 2n, serviront à déiciiiiincr toutes les constantes dont il s'agit.
Quoique cette détermination soit toujouis facile dans les cas particnliers, au moyen des règles connues de l'élimination, cependant, si l'on voulait traiter la (juestion, en général, poui' un nombre quelconque d'orbites, mobiles, on tomberait nécessairement dans des formules trèscompliquées et dont la loi serait ditïlcile à apercevoir; c'est pourquoi Vl. 83
()o8 KECIÏERCHES SUU LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES
j'ai cru devoir chercher une méthode particulière pour remplir cet objet, et je me flatte que celle que je vais donner pourra mériter l'attention des Géomètres, tant par sa simplicité et sa généralité que par l'utilité dont elle pourra être dans plusieurs autres occasions.
