Considérons les n équations

S = A sins: H- B sinj3 + C siny -!~. . ., S, = Aisiii j: ^- B, sin(3 -+- C, siir/ -h . . . , S2 = Aj siii y + B2 sin [3 -f- (>, sin y -h . . . ,

Il est visible que toutes les opérations qu'on fera sur celles-ci pourront s'appliquer aussi aux autres équations, en changeant seulement les quantités S, S,, So,... en U, U,, Uo,..., et sina, sinjS, siny,... en cosi/. cos/3, cosy, —

On l'ornuM'a d'abord les (juanlités suivantes

S^''' = -(o, i)(S -S>)-(o, 2)fS -S.)-. ..,

dont la forme est, comme l'on voit, analogue à celle des équations différentielles proposées ^16j; il est aisé de prouver, en substituant les valeurs ci -dessus de S, S,, So,... et ayant égard aux é(juations de condition du n" 25, lesquelles doivent avoir lieu également entre les

quantités a. A, A,, A2. è, B, B,, B.. . . . , c, G, C,, C. , . . . , il est aisé

de prouver, dis-je, qu'on aura

S'^=:aA sin5cH-/>B sin[3 -h cC siny -^- . . ., S^,'' = «A, sin a -t- 6B, sin,3 -t- cC, sin y -f- ... , S.,* = rtA. sin a -f- iB, sin [3 -t- cC. sin y -!-...,

Kiisiiilc, (le la même manière (juc les (|iiaiililés S , S/, S.,\ • • • sont l'oi-iii('(!s des quantités S, S,, S.,..., je loiiiie les (|iiaiilités S'*', S',^', S2',... de celles-ci S , S, , S.^,'--* •-' pîticillerncnt je loniie les t|iiaiitilés S ^ S,', S^,.-. «les (|iianlilés précédentes S '\ S,', Sj^, ..., el ainsi de suite: j'aiicai, en verln des mêmes écjnations de eondirK»n, les ('MjnarKtn> snivaiiles

S "^: rt' A sina -h b'ii sin,j -+- c-L siny -h . . .,

s', ' = aWtSina. -t- /*'H,sin[î -4- cM], sin/ -4- . . .,

Sjf = aWjsinx -h b-RtSin^ -+- c-'Csin-/ -+-...,

s ' = a^sS. sin a -i- 6'B sin, 5 4- cM^ sin y — . . . ,

S^'^ = «' A , sin a -I- h^li, sin (i -^ c' C, sin y -r . . . ,

Sj =: «^Ajsina -+- ^'B^sinj^ H- c-MJ.sin/ - . . . , ' »

el ainsi de suite.

11 faudra continuer ces suites d'équations jusqu'à la n"'"" inclusivemenl, la(|uell(' sera donc rCj/résentée ainsi

S"~' = a"-' \ sina-*-A"' B sin 3 -r- c"~'<; siny-r-..., S^,"~' = a""' A, sin a: — />" B, sinp -+- c"-'C,sin-/ -1- . . . Sj"~"=a"-'A2sina-i-6''-'B,sin^-hc"-'(:,siny +

Cela posé, je considère l'équation dont les racines sont a, h, c,..., et je la représente, en général, par

X" -+- X x"~' 4- y. X" ■ -h V X" "•> -4- cj x"~* 4- . . . = o,

en niellant x l\ la place de a pour plus de généralité. J'élimine de celte équation uni; des racines, comme a, en la divisant par ûo~a, ce (jui

me donne le quotient

X"-' ^ a-hl) x"-^ -+- • a--hla-h [j. ) x"-^ + («' -hla- -\- y. a -h v) x"-* + . . .

Cette équation n'aura donc plus pour racines que les n — i quantités h, c,..., de sorte que son premier membre ne deviendra égal à zéro (ju'en faisant 07=6, ou x=c, ou ...; mais, en faisant a:=«, il deviendra

Si, dans l'équation précédente, on change a en 6 ou en c, ou . . . ; on aura une é(juation qui sera vraie pour toutes les racines, excepté h,

ou c,

Je suppose maintenant que je veuille déterminer les valeurs des n (juantités Asina, Bsinp, C siny,...; je n'aurai qu'à prendre les n équations

S = Asina-i- BsinpH- Csiny-i-..., S^'^ = a A sina -h b B sin(3 -+■ c C siny h- . . ., S^^'=:a^Asina -+- è^Bsin[3 + c^Csiny H-. . .,

s'" '^ = a"-' A sin a ■+- h"-' B sin 3 -f- c"^' C sin y -f- . . . ,

et les ajouter ensemble après les avoir multipliées respectivement par les coefficients de l'équation ci-dessus pris à rebours, c'est-à-dire, en commençant par le dernier

Il s'ensuit de ce que nous avons dit sur la nature de cette équation que le coefficient de la quantité Asina deviendra

n a"-' -h in — 1)1 a"~- -4- ( n — 2 ) a a"^^ h- . . . ,

et que les coefticients des autres quantités Bsin^S, Csiny, ... deviendront tous nuls à la fois; de sorte que, divisant toute Téquation \y.\r le

DES MOUVEMENTS DES NOEUDS, ETC. r.Ol

(îoefficient de Asina, on ;iurn siir-l('-cli;imp l;i valeur de t'ctte mèinc (|ii:iiili(r. Donc

A sina — (a""' ■+- 1 a"-- 4- f/. a"-' -+- v a" ' -4- . . .) ^

-I- (a"-' -+- X a"-' -+- fj. a"-* -h. . .} S^'^ + ( a"-» -f- ?i a"-' -1- . . . ) S('\

(a-f->)S("-^)-HS("-'),

divisée par

/i a"-' -\- [n — i)! a"-^ -h (n — a.) fi. a"-' -h {n — 3)v a"-* -f- . . . .

On trouvera de même les valeurs des quantités lisinp, Csiny,. . . , et il n'y aura pour cela qu'à changer, dans l'expression précédente de Asina, la racine û successivement en b,c,....

Si l'on traite d'une manière semblable les n équations

S, = A, sina -I- B, sin[3+ €, siny -I-. . ., 8*,'^= a A, sina -H 6 B, sin(3 -(- c C, siny -I-. . ., S','' = rt-A, sina -+- i-B, sin|3 + c'C, siny -i- . . .,

on déduira les valeurs des n quantités

A, sina, R,sin|3, C, siny,...;

et il est clair que ces valeurs ne différeront de celles de Asina, Bsin,3, (>siny, ...,

trouvées ci-dessus, qu'en ce que, à la place des quantités S, S'", S'^*,...,

il y aura les quantités S,, S\ , Sj" »

D(.' là il est facile de conclure que, si dans les mêmes valeurs de

Asina, Bsin|3, Csiny,...

on met à la place des quantités S, S'', S*^ , . . . les quantités S., S.^' ,

(JG2 RECHERCHES SUK LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES

S^f ou S,, S^,", s''. . . . , ou .... on aura les valeurs des quaulilés

Ajsina, RîSin^, C^siny,...,

ou

AaSina, B3 5,111(3, Casiii-/,.. ,

ou ....

Enfin, si dans les valeurs précédentes on change les quantités

en

U, U„ U2,...; U^ U?', U^...; U<% Uf, e,.. ;...

(ces quantités U\ U^ U^^...; U', U^;, Uj,. ..;... élanl formées des quantités U, U,, Ua..-., de la même manière que les quantités S'\ S';\ S'^ ,...; S"\ S^ s; ,...;... le sont des quantités S, S,, S,,...), on aura les valeurs des quantités correspondantes

A cosa, B cos[3, C cosy,. . ., A, cosa, R, cos|3, C, cosy... , A.cosa, B2COSI3, CsCOSy,.. .

28. Au reste, dès qu'on aura trouvé les valeurs des quantités

Asina, Bsin(3, Csiny,..., ei A cosa, Bcosji, Ccosy, ..,

on pourra 'd'abord déterminer celles des coellicienls A, B, C,... et des angles a, fi, 7,...; après quoi il suffira de chercher encore les valeurs des quantités

A,sina, R, sinji, C, siny,.. ; A^sina, BjSinjS, C, siny,...

pour pouvoir déterminer celles des autres coefficients A,, B,, <^..---» Aa,

B.., G. ou bien on pouti'a, si on l'aime mieux, employer.les équations

de condition du n'' 25 pour déterminer les quantités A,, A.,... en A; cl, comme les mêmes équations doivent avoir lieu entre les quantités B, B,, B., , ainsi qu'entre les quantités C, C., Co, ....... , en changeant

seulement a en h ou en c,..., on aura également les valeurs de H,, \\,, . en B, (le (^,, (l.,... en (^, et ainsi des aiilres.

±\). Si! n'y a que deux orhitcs mobiles, les é([ualjons de eo/idition

du n" 25 seront

la -+- lo, I)] A — (o, ij A, -TO,

( I , o ) A — [a -f- ( I , o) ] A , := o : dOii l'on lire eette e<|ualion en a ou en x (en clian^eanl a en x)

laquelle est évidemment du second degré.

Si les orbites mobiles sont au nombre de trois, on aura ces trois équ;itions de condition

d'où l'on tirera par les formules connues cette équation finale en a ou en X

laquelle est, comme l'on voit, du troisième degré.

S'il y avait quatre orbites mobiles, on aurait alors ces (|u;itrr (m|ii;ilions de condition

( I , o 1 A — [rt -4- ( I , o 1 -+- : 1 , 2 -1- 1 1 , 3 ] A, -t- ^ 1 , 2 ) A, -f- ( 1 , 3 ) Aj = o, i 2, o) A + f 2, 1) A, — [rt -+- ;2, o , 4- (2, i) -f- ^2, 3)] Av H- , 2, 3) A3 = n, ( 3, o ) A 4- i 3, 1 1 A , -H , 3, 2 A2 — \a 4- 3, o ) 4- 1 3, 1 ) 4- : 3, 2 ] Aj — - o,

lesquelles donneraient sur-le-champ celle-ci en a ou en x,

— [^-h(l, 0)-f (l, 2) + (l, 3)][^-h(2, O) + (2, I) + (2, 3)]fo, 3)(3,o)

— [x H- (2, on- ! 2, I ) + (2, 3)][^ + (3, O) -f-(3, I )-|-(3, 2)]fO, l)( 1, O) -\X^[0, I) + (0, 2) + (0, 3)][(l,2)(2, 3)(3, I )-+-(2, l)(3, 2)(l,3)]

— [.r-f- ( I, oi + ( I, 2) -1- ( I, 3)] [(o, 2) 1 2, 3) (3, o) -+- (2, o) (3, 2)(o, 3)]

— [^-H(2,oj-f-(2, I )-+- (2, 3)][(o, 1 )(i, 3.(3, o) + (i, o)(3, I j(o, 3;]

— [x-|-(3, o) -f-'^S, I lH-(3, 2)][' o, I ;h I, 2 i (2, o) -4- ( I, o)(2, I )':o, 2)]

— (o, Ijd, 2) (2, 3) (3, o'î — (o, 2) (2, 3) (3, i)(i,o) — (o, 3) (3, l)(l,2)(2, o)

équation qui étant ordonnée par rapport à l'inconnue x montera au quatrième degré; et ainsi de suite.

30. Si l'on développe les équations précédentes, on verra que Icui' dernier terme disparait toujours par la destruction mutuelle des quantités qui le composent; d'où il suit que chaque équation sera divisihle par X, et aura par conséquent x = o pour une de ses racines. C'est de quoi on peut aussi se convaincre, à priori, par la forme même des équations de condition du n'' 25, car il est clair qu'on peut satisfaire à ces équations en faisant

n = o et A = A , =: A., ... ;

de sorte que « = o sera nécessairement une des racines de l'équation en a. On voit aussi par là que les valeurs de A, A,, Ao,..., qui répondent

à cette racine a--o, sont loulcs égales eulic elles. I>:ir conséqnent les expressions de s, St, s.,,..., k, n,, u,,... (levieiidroiil

s = Asina + IJ sin[l)t -!- (3) + C sin(c/ -i- y) H- • . 5i = A sina + B, sin{l)t -i- [3) -h C, sin(c/ + y) -4-. . 5^=: Asina + B, sin(6/ + p) h- G sin(67 -h y) + . ■

u — Acosa-f-B cos(6/ -i- (3) + C cos{cl -\- y) -\- /<,— Acosa-f-B,cos(6/ -h (3) -i- C,cos(c/ -}- y) -+- //,i^ Acosa-l- B2COs(6/ -f ,5) --!- C2COs(67-i- y) -\-

(lans lesquelles /;, c,... seront les racines des équations ci-dessus en x, après qu'elles auront été rabaissées par la division par x.

Ainsi, dans le cas de deux orbites mobiles, la (juantilé b sera donnée par l'équation du premier degré

Dans le cas de trois orbites mobiles, les quantités Z> et c seront données par l'équation du second degré

et ainsi de suite.

31. Avant de terminer cet Article, nous devons encore remarquer (jue, quoique nous ayons supposé que toutes les racines a, h, c,... de l'équation en x soient réelles et inégales, il peut néanmoins arriver qu'il y en ait d'égales ou d'imaginaires; mais il est facile de résoudre ces cas par les méthodes connues : nous observerons seulement que, dans le cas des racines égales, les valeurs de s, s,, s,,..., u, ii,, u.,,... contiendront des arcs de cercle, et que dans celui des racines imaginaires ces valeurs contiendront des exponentielles ordinaires; de sorte que, dans l'un et l'autre cas, les (juantilés dont il s'agit croîtront à mesure que t croit ; [)ar VI. 8Î

conséquent la solution précédente cessera d'être exacte au bout d'un certain temps (23); mais heureusement ces cas ne paraissent pas avoir lieu dans le Système du monde (*).

Article V. — Remarques sur les mouvements des nœuds et les variations des inelinaisons qui résultent des formules trouvées dans r Article précédent.