Puisque

langw=- et 9 = \/s^-hu-,

par le n° 8 on aura, en substituant les valeurs de s et de u (30),

A sin X + B sin ( ^^ + § ) -4- C sin ( c/ -I- 7 ) 4- . . .

tânSfO) ^^ -— =r r-j ^— zi^ , ; 5

A cosa -(- B cos ( w -f- p ) -(- C cos ( r^ -f- 7 ) + . . . 0 ^ v/A'+B'-f-C'-+-...-4-2ABcos(6^-i-p— a)+2ACcos(cf4-7-a)-h-...H-'îBCcos[(6-c)?+p-7]T.T ;

par la première de ces équations, on connaîtra donc la longitude w du nœud de l'orbite de la planète T, rapportée à l'écliptique ou au plan fixe qui en tient lieu, et par la seconde on aura la tangente ô de l'inclinaison de la même orbite.

On aura des formules semblables pour le lieu du nœud et la tangente de l'inclinaison de l'orbite de chacune des autres planètes T,, T^,...; il n'y aura qu'à marquer les lettres A, B, C,... de l'indice i, ou 2, ou....

33. Si l'on voulait déterminer directement la longitude w du nœud, il n'y aurait qu'à substituer la valeur de tangw dans l'équation

, cl lan g. M

do) — ^--— 5

I + lang^o)

ce qui donnerait, après les réductions, cette équation différentielle

dM hB--h rC^-h...-^hA'Bcos{bt-hP — o(.)-hcACcos{ct-\-y— (/.)-{-. ..-h{b-i-c)'BCcos[{h—c)(-h^—^]-r- . . . dt ~ i /\.'-hB'-+-C'-i- ...)-;- 2 AB cos [bl-h p — a) -i- 2 AC cos [et + 7 — a) t- . . . -hi BC cos [(/> — r) /h- p — 7J -i- . . .

(*) 11 convient de rappeler ici que les résultats ([ui précèdent ont été reproduits avec des développements étendus dans la Théorie des vnrintinns sècidnires des éléments des planètes insérée dans les Mémoires de V Académie de Berlin, année lyGi. r'oir le tome V des OEuvres de Lagrange, p. i25. [Note de V Éditeur.)

d'où l'on puiin-a lircr |);ir riiilrgralioii la valeur de l'angle '>). Si l'on

SLJpj)OSL'

/^B'-l fC'-i-. ..-.-/; ABcos(/>'/ + f>-a)H-cACcos(r/i-7-7.) + -- H^'+'r)liCcOS[{b-c)thp--/]-h...^o,

on a l'ccjualion qui donn(3 les niaxima el niininia de l'angle oj; si done cette é(iualion est possible, l'angle w sera renfermé dans des limites données, et le nœud n'aura par eonséquenl (ju'un mouvement de lihralion; mais, si l'équation dont il s'agit est impossible, il n'y aura alors ni maximum ni minimum; l'angle w croîtra donc continuellement, el le nœud aura nécessairement un mouvement continu et progressif.

3i. Pour mettre ce que nous venons de dire dans un plus grand jour, considérons le cas où il n'y a que deux orbites mobiles; on aura dans

ce cas

A sina -h li s\n{ bt + fi) lang&j = -T j-r- — ^5

° Acosa -4- Bcos(6< -J- (3)

et de là

6/m 6B[B + Acos(6/-f-(3 — a)]

dt ~ A= + B= + 2AB cos(6/ -f- (3 — a)'

l'équation du maximum ou minimum sera donc

B -f- A cos{bt -;- [3 — a) =o, laquelle donne

cos{bt -(- j3 — a)= — --.

Cette équation n'est possible, comme l'on voit, que lorsque B = ou ■< A, abstraction faite des signes : dans ce cas donc le nœud de l'orbite de la planète T n'aura qu'un mouvement de libralion; mais si B>A, alors l'équation deviendra impossible, et le nœud aura par conséquent un mouvement progressif sur l'écliptique.

35. Pour déterminer ces mouvements du nœud, nous allons chercher

la valeur de l'angle oj par l'intégration de l'équation ci-dessus. Faisant,

pour abréger,

GG8 RECHERCHES SUll LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES

on aura Jonc à intégrer l'équation

__ lî^ + ABcosQ de —~ ' - ^' — A')d(f>

Â^+lBM^2ABcoscp '^~ 2 '' 2 A'^ + B^-f- 2ABcos<p'

or j'observe que, si l'on prend un angle ij^ tel que l'on ait

on trouve, parla différentialion,

"^ 2 A' H- B'^ -f 2 AB CCS <p '

d'où il s'ensuit qu'on aura

et, en iiilégraiil,

(,y = - -\- di -h m,

m étant une constante qui sera égale à la valeur de w lorsque 9 -- o, parce que ^ est aussi égal à zéro dans ce cas; or, en faisant 9 — 0, on a

/>; + [3 =^ ce, et, substituant cette valeur dans l'expression ci-dessus de tangos, il vient

sina iangw= = tanga;

donc (,) ~ x; par conséquent m =^ a; de sorte qu'on aura, en général,

m 0) = - ~\- ÛJ -i- a.

Maintenant il est clair que, si B> A (abstraction faite des signes), la

quantité ^ — - sera toujours positive, quels que soient les signes de B

et A; de plus, si A et B sont de même signe, cette quantité sera toujours < I ; au contraire elle sera > i , si A et B sont de signes différents.

Daiislo premier cas, on pourra donc supposer

et l'on aura l'équalion

langv{/ — cos// lang- ,

laquelle l'ait voir que l'arc ^ est la base d'un triangle sphéri(jue rectangle, dont " est l'hypoténuse et h l'angle compris. On i)uurra donc regarder

l'arc - comme l'argument de latitude, l'arc ^ comme la distance au nœud,

en prenant/* pour l'inclinaison de l'orbite, et alors la difrérencc - — -^

sera ce qu'on appelle la réduction à l'édipliquc, dont la valeur est alternativement positive et négative. Désignant donc cette réduction par p,

on aura donc

et par conséquent

ro = 9 + a — pr=z bt -.- (3 — p ;

d'où l'on voit que la valeur moyenne de w, c'est-à-dire, le lieu moyen

du nœud, sera ^/ 4-/3.

Dans le second cas, c'est-à-dire, lorsque A et B sont de signes diflërents,

on pourra faire

B H- A cos II

et l'on aura l'équation

lang- r= cos/t tangij;.

Dans ce cas t)^ sera l'argument de latitude, ■ la distance au nœud, et,

nommant la réduction a, on aura

donc

et par conséquent

de sorte que le lieu moyen du nœud sera aussi hl -h [j.

Mais, si B 'A (abstraction fiiite des signes), la quantité g—;^ sera

toujours négative, par conséquent la quantité , ^ sera toujours positive; ainsi il n'y aura qu'à prendre l'angle ^ négativement, et l'on aura l'équation

dans laquelle A > B, et qui donnera comme ci-devant

si A et B sont de même signe, ou

si A et B sont de signes différents; mais, en faisant ^ négatif, la valeur de ù) deviendra

donc, substituant la valeur de (|>, on aura, dans le premier cas,

et dans le second

co = a — a;

d'où l'on voit que le lieu moyen du nœud sera a, cl par conséquent fixe.

Enfin, si B — A, on aura tangtj^ — o; donc <| ^ o cl

et, si B — -'A, on aura lanp,({/ - :c ; donc ^ — 90**, cL

bt-h& -!- oc

36. On peut encore trouver la valeur de l'angle '»> par le moyen de sa tangente, sans employer aucune différentiation ni intégration. En cllel on a, comme l'on sait,

9 0) s/— I ~ Ioge"v'^ — log6— 'v/-' -r= log (coso) + sin w v — i ) — log (coso) — sin o y/— i )

^ log 5^ =: log -^V .

COS63 — smoy/— I I— lango»y' — i

qu'on substitue donc dans cette formule la valeur de tango), en faisant,

pour abréger,

bt H- (3 = Ç,

on aura

I , Afcosa + sinai/ -i) 4- B(cosÇ H- sinÇ v^— i)

0) = — ^=r^ log —j —^^z=^ ) ^^ — -^-z^-

9 y/— I A(cosa — sinay/— I j + B(cosÇ - sinî^y/-- i )

I , Ae»v/~ + BeV-"^

— =r log- —= ;=•

2v^— 1 Ae-V-'-+- Be-V-' Supposons d'abord B > A; on mettra la valeur de &> sous cette forme

M= -^log f T Zl

réduisant ces deux logarithmes en série, on aura

ou bien

Asin(a — g) __ A^sin2(o:- g) ^ A^sin3(g — Q ^

Comme ~ est supposée une quantité moindre que l'unité, il est clair

que la série précédente sera toujours convergente, et par conséquent d'autant plus exacte qu'on la poussera à un plus grand nombre de termes; d'où il est aisé de conclure que la valeur moyenne de « sera Ç ou bien ht-hfj, comme on l'a trouvé ci-dessus. Mais, si B< A, alors il n'v aura qu'à changer, dans l'expression précédente de w, A en B, a en Ç, eivice versa, ce qui ne change rien à la valeur de tango, et l'on aura par ce moyen

Bsin(Ç-a) B=sin2(Ç-a) , B-^sin3(^-a) co = a + A " ^^ 3Â^" ■"'•'••

Cette série sera aussi convergente a cause de -^ ;. i; par conséquent

on aura dans ce cas a pour la valeur moyenne de w, ainsi qu'on l'a déjà vu plus haut.

37. On peut aussi appliquer la méthode précédente à la formule générale du n° 32, et l'on trouvera, en faisant ht -! p> -: Ç, cl -h y = B,,..,

log(Ag'^-' + Bg^^-'+C/^^-'-f-...) log(A6'-"'^-'H-B6'-'^^-'-Cg-^'^-'-...)

on réduira ces logarithmes en séries, en commençant par le terme dont le coefficient sera le plus grand, pour avoir des suites conyergentes, et il n'y aura plus qu'à substituer les sinus à la place de leurs valeurs exponentielles imaginaires; mais il faut remarquer qu'on n'aura de celte manière une série véritablement convergente dans tous les cas, à

moins que le plus grand coellicienl ne surpasse la suiiime de luus les autres pris posilivenient.

Supposons, par exem|)le, (jue A soit plus grand (|ue la sonurn- de ij, C,...; alors on réduira le logarillinie de

Ae»v ~ -f- Be'^v'-' -I- CeV~ -^ . . .

dans la série

loçA-f-ai' — I -i i r^.

done, ehangeant le signe de \f^ i et prenant la dillérence des deux

séries, on aura, après l'avoir divisée par 2 y— 1 , et y avoir substitué les sinus à la place des exponentielles, on aura, dis-je,

B sin (Ç— a) -+- C sin(?— a) -h... B^ sin 1 (?— a) + 2BC sin (Ç 4-^- 2a) -+- C^ sin 2 (?— a) -+-.. . A 2A'

Cette série sera, comme il est facile de le voir, toujours convergente, et approchera d'autant plus de la vraie valeur de w qu'on y prendra plus de termes; d'où il s'ensuit que a sera la valeur moyenne de oj. En général, on peut conclure de là que, lorsque l'un des coelficients A, B, C,... surpasse la somme des autres, la valeur moyenne de l'angle w sera égale à l'angle même, dont le sinus et le cosinus seront multipliés par ce coeificient dans la valeur de tangw.

38. Pour ce qui regarde la tangente 0 de l'inclinaison de l'orbite, il est clair qu'elle sera toujours nécessairement renfermée dans de certaines limites, à moins que les racines b, c,. . . ne deviennent égales ou imaginaires (31, 32).

S'il n'y a que deux orbites mobiles, on aura

6r=r ^A= + B^-f-?.ABcos(6^-f- (3 — «;

et il est visible que les deux limites de 0 seront A -f- B et A - B.

En général, il est facile de voir (jue la valeur de 0 sera tuujouis néces- VI. 85

sairemeiU renfermée entre la plus grande et la plus petite des valeurs de

la quantité

±A±BdzC=h:...,

en prenant les signes h volonté; mais, si l'on voulait déterminer exactement les maxima et les minima de 0, il faudrait résoudre l'équation

b AB sin [bl -t- ^ — a) + 1- AC sin (c f -i- 7 — x) 4- . . . -r- (^ — c) BC sin \[b — r) ^ -^ fi — 7] -r- . . = o,

ce qui ne sera pas facile lorsqu'il y aura plus d'un terme.

39. Tout ce que nous venons de dire ne regarde que la position de l'orbite de la planète T rapportée à l'écliptique; mais on peut l'appliquer immédiatement aux orbites des autres planètes T,, To,..., en substituant seulement à la place des quantités A, B, C,... les quantités A,,

B,, C,,..., Ao, Bo, Co, Enfin il est facile d'appliquer la même Théorie

à la position relative des orbites, d'après ce qu'on a démontré dans l'Article III (21).

En effet, pour déterminer, par exemple, la position de l'orbite de la planète T à l'égard de celle de la planète T,, on aura, en conservant les dénominations du numéro cité, les deux équations

Tt sin ^ -- 0 sin 03 — 0, sin co, = .$ — 5,,

r; cos'l ---=- Ocoso) — Oi cosco, -^ Il — «,;

■n sin J; = (B — B,) ?,\n{bt -;- (3j -i- (C — C) sin(67 + y) -f-. •> •/)COs^l; = (B — B,)cos(6/ -i- [3) + (C - C,)cos(e/ + y) +. . .,

OÙ (j; est la longitude du nœud, c'est-à-dire, de la ligne d'intersection des deux orbites, et vj la tangente de leur inclinaison mutuelle.

Comme ces expressions de ri sint];, yj cos-i^ sont entièrement semblables à celles de îsinw -^5-, Scosw — w, avec cette seule différence que les termes multipliés par A ne s'y trouvent point, et que dans les autres il va B -- B, , C — C| , . . . à la place de B, C, . . . , il est facile de conclure, en

général, ((iic, pour appliquei' l(^s déterminations du lien du nœud et de l'inelinaison de l'orbite d'une planète quelconque T, rapportée à l'éclipti(iu(', à celles du lieu du nœud et de l'inclinaison de la même orbite par rapport à l'orbite d'une autre planète quelconque T,, il n'y aura qu'à faire A.-= o, et changer B, C,... en lî — B,, C--C,,...; ainsi nous n'entrerons dans aucun nouveau détail sur ce sujet.

40. Voici, au reste, une manière fort simple de trouver la position de chaque orbite au bout d'un temps quelconque, et d'en représenter les divers mouvements. Ayant tracé sur la surface de la sphère un giand cercle qu'on prendra pour l'écliptique, on décrira un autre grand cercle qui coupe celui-là en sorte que la longitude du nœud soit a, et la tangente de l'inclinaison A; on décrira ensuite un troisième grand cercle qui coupe le second en sorte que la longitude de son nœud sur ce même cercle soit bt-\-^, et la tangente de l'inclinaison B; on décrira de même un quatrième grand cercle qui coupe le troisième de manière que la longitude du nœud soit et -{-y, et la tangente de l'inclinaison C, et ainsi de suite; le nombre des cercles inclinés au premier devant être égal à celui des orbites mobiles, le dernier de tous ces cercles déterminera la position de l'orbite de la planète T, et son intersection avec le cercle de" l'écliptique donnera le lieu du nœud et l'inclinaison cherchée de cette orbite.

On fera la même chose pour l'orbite de chacune des autres planètes T,, To,..., en conservant les mêmes longitudes des nœuds, mais en prenant, pour les tangentes des inclinaisons, les quantilés A,, B,, C,, . . . , Ao, B„ Q,....

De cette manière, on voit que le mouvement du nœud et la variation de l'inclinaison de chaque planète peuvent être regardés comme le résultat des seuls mouvements des nœuds des différentes orbites dont chacune serait mue uniformément sur la précédente en gardant toujours la même inclinaison; et ces mouvements particuliers des nœuds seront les mêmes pour les orbites de toutes les planètes, mais les inclinaisons devront être différentes pour chaque planète.

La tlémonstralion de celle construction est très-facile a déduire des expressions (30) des quantités

S=zOs'mr,) et II ^zOcosu

par le moyen des Théorèmes du n° 21 . Ainsi nous ne croyons pas devoir nous arrêter davantage sur cette matière.

Article VÎ. — Des équations séculaires des nœuds et des incliiiaisous des orbites de Jupiter et de Saturne.

41. Pour appliquer la Théorie précédente aux orbites des planètes principales, il n'y aura qu'a employer les données du n** 19. Nous supposerons donc que les planètes T, T,, T., T3, T-,, T^,... soient Jupiter, Saturne, la Terre, Vénus, Mars et Mercure, moyennant quoi les lettres sans indice se rapporteront à l'orbite de Jupiter, celles avec l'indice i à l'orbite de Saturne, celles avec l'indice 2 à l'orbite de la Terre, et ainsi de suile. Ainsi w sera la longitude du nœud de Jupiter, 0 la tangente de l'inclinaison de son orbite, w, la longitude du nœud de Saturne, (5, la tangente de l'inclinaison de son orbite, et ainsi des autres.

42. Cela posé, je remarque que, parmi les quantités (o, i), (o, 2),... de la Table du n" 19, ces deux-ci (o, i) et (i, o) ont des valeurs considérablement plus grandes que les suivantes, où il y a aussi les chiffres o ou I avant la virgule; d'où il s'ensuit qu'on pourra négliger toutes cellesci, et les regarder comme nulles vis-à-vis de celles-là.

De cette manière les quatre premières équations différentielles du n" 16 deviendront simplement

ds . . , . du ,

■^^ + \o, i)(w — «<) = 0, -jj — (o, i)(5 —s,) = 0,

dSi , . , duy , . ,

lesquelles, ne renfermant que les quatre variables s, u, .v,, u^, pourront être traitées à part et indépendamment de toutes les autres.

C'est le cas on il n'y ;iur:iil (|!i(' deux orI)il('S inol)iI('s, cl ces orljitcs seront, comme l'on voit, celles de Jiipilciet do Satnine, dont les masses sont en effet trop grandes par rapport à celles des aiilrcs planètes, ponr que celles-ci puissent produire des dérangements sensibles dans la posilion des orbites <le celles-là.

On aura donc (30)

s .— A sina -î B sin {ht -i- ,6), u =^ \ cosa -i R c.os{bl -i- (3), Si = A sina -I- B. sin (/>/!- (3), w, = Acosa-+- B,cos(A/ -i [3),

et la (juantité b sera la racine de l'équation

en sorte qu'on aura (19)

On pourrait maintenant employer la métbode générale du n^ 26 pour déterminer les constantes A, B, B,, a, ,3; mais il parait encore pins commode, dans le cas présent, de faire usage de la métbode ordinaire d'élimination.

On commencera donc par déterminer la valeur de B, en B à l'aide de l'équation de condition (27 et 28)

laquelle, à cause de donnera

|/; + (o, l)]B-(o, I)B, rr-O,

bz=z —{o, l) — (l, o).

B. - - r^ B = - ^^rr B = - ^'3497 «. (0,1) 7.564 ^-'^

Après cela on n'aura plus que quatre conslanles à déterminer, ce (|ui demande qu'on connaisse les lieux des nœuds et les inclinaisons de Ju-

piteret de Saturne, pour une époque quelconque donnée, pour laquelle

nous prendrons le commencement de l'année 1760.

Or on a, suivant les dernières Tables de M. de Lalande,

s o , „ Longitude du nœud de Jupiter pour 1760 3. 8.26. o,

Longitude du nœud de Saturne 3. 21. 36. 17,

Inclinaison de l'orbite de Jupiter i . 19. 10,

Inclinaison de l'orbite de Saturne ?..3o.2o.

Donc

o) = 98''26'o", 0), = iii''36'i7",

0 = tangi"i9' 10", '5, = lang2"3o'2o' ; d'où l'on tire

5 -= G sinw ■^- 0,022783, H ^^0 C05W =r. — 0,003378, 5, = 0, sino), — 0,040684, Wi ="- 9i coso), = — 0,0161 12.

Ce sont là les valeurs qui répondent à l'époque de 1 7G0 ; par conséquent, si l'on suppose que t désigne le nombre des années écoulées depuis cette époque, où bien de celles qui la précèdent en prenant t négatif, il faudra que l'on ait, lorsque i = o, ces quatre équations

A sina -t- B sin(3 ^ 0,022783, A cosa i B cos[3 r- — 0,003378, A sin y. ~ 2,3497 B ^^^^P ^ 0,040684,

A COSa — 2,34976 C0Si3 :::::: — 0,0l6lI2;

d'où l'on lire

A sin a =: 0,028127, B sin^ — — o,oo5344ï»

A cosa —— 0,0071800, B cos{3 -- o,oo38oi5;

donc, à cause de B, ~ — 2,34973,

B, sin (3 — 0,012557, B, cos(3 — — 0,0089324;

et de là

A = 0,029029, B = o,oo6558, B, = — o,oi54io,

De sorte qu'il n'y aura plus qu'à substituer ees valeurs dans les expressions ci-dessus de s, u, s,, w, ; car, connaissant les valeurs de ces (juanlités pour un temps (juelcontjuc, on trouvera aisément les longitudes o) et o>t des nœuds de Jupiter et de Saturne, ainsi (jik! les inclinaisons de leurs orbites, dont 0 ci 0, sont les tangentes, et cela par le moyen des l'ormules

lang&j — ) 0 = ^i' 4- a-,

langco, = - 5 0,-— \ls\ -r u\.