Comme
sin ([3 -h 6/) = sin^cGS^^ -; cos(3sinZ>/,
cos((3 -1- ht) = cosp cosbl — sin (3 s\nbt,
on pourra mettre les valeurs de s, u, ^,, u^ sous la forme suivante, qui est en quelque façon plus commode, tant que ht est un petit angle.
Pour Jupiter, s= 0,028127 — o,oo5344 ces (25", 337/) -o,oo38o2sin(25",337/), u— — 0,007180 -1- o,oo38o2cos(25", 337/) — o,oo5344 sin faS", 337/).
Pour Saturne, Si = 0,028127 H- 0,012557 cos(25", 337^; H- 0,006932 sin(25", 337/), M, = — 0,007180 — 0,008932 cos(25",337/) + 0,012557 sin (25", 337/).
Il faut se souvenir que les années dont le nombre est marqué par t sont des années tropiques, dont la durée est de
et qu'elles doivent être comptées depuis le i""' janvier 17G0 à midi moyen, à cause que cette année est bissextile.
On doit remarquer de plus que les longitudes 00 et w, doivent toujours se compter depuis le lieu de l'équinoxe de i']G<), en sorte que, pour avoir les vraies longitudes des nœuds des orbites de Jupiter et de Sa-
turne sur l'écliptique pour un temps quelconque, il faudra ajouter aux longitudes-données par les formules précédentes la précession des équinoxes 5o",33G^.
44. Comme la valeur de A est plus grande que celle de B et que celle de B|, il s'ensuit de ce qu'on a démontré dans le n^ 35 que le lieu moyen des nœuds des orbites de Jupiter et de Saturne sera fixe , sa longitude comptée depuis l'équinoxe de 1760 étant a, c'est-à-dire, io4°i9'i4"; en sorte que les nœuds de ces deux planètes n'auront que des mouvements de libration autour de ce point de l'écliptique. La plus grande libration, ou excursion des nœuds, aul'a lieu lorsque
C0s(p — a + ot) —
pour l'orbite de Jupiter, ou
cos((3 •— a -f- Z>/) = ~
pour l'orbite de Saturne.
De là on trouvera pour Jupiter
i8o"4-2i"6'2r - 25", 337/.^ 180'^ di 76' 56' 36"+ 360° fy.
{[L étant un nombre quelconque entier, positif ou négatif, ou zéro);
donc
25",337f = — 55"5o'i5"— 36oV-, ou = 98" 2' 67 "- 360° p.;
par conséquent, en négligeant les fractions,
/ = — 79^3 — SiiSou, ou = i3g3i — 5ii5o/j. ,
ce qui donne les années de la plus grande et de la plus petite libration; et l'on voit que la période entière d'une libration sera de 5i i5o ans, ou
plus exactement de — l^j^j— ans.
Si l'on substitue ces valeurs de t dans l'expression de la tangente de la longitude du nœud, on ti'ouvera que les longitudes qui y répondent
sont, en négligeant les secondes, 9i"i(3' et 1 17^23'; de sorte que l'étendue de la lihration du nœud de Jupiter sur l'écliptique sera de se^'y'. On trouvera de mémo pour Saturne
i8o°-f- 2i«G'2i"— ?.5",337/ - ±a7"56'i4" 4- SGo-'y.,
d'où l'on tire
25", 337 / 1 80" - 36" 49' 53'' - 3Go" y.,
ou
par conséquent on aura
/=:: 20342 — 5ll5op., OU t : 36806 — 5ll5oy.
pour les années de la plus grande et plus petite libration, en sorte que la période d'une libration sera la même que ci-devant.
De là on trouvera, pour les longitudes correspondantes du nœud, 72°iG'et i36"2.4'; en sorte que l'étendue de la libration du nœud de Saturne sur l'écliptique sera de 64° 8'.
45. Si l'on veut connaître les inégalités mêmes des mouvements des nœuds de Jupiter et de Saturne, on pourra employer la série du n*^ 36; il n'y aura pour cela qu'à y substituer io4°i9'i4" à la place de a, et i8o°4- 2i°6'2i"— 23", 337^ à la place de Ç — a = p-a^-6^, et faire ensuite
■ - = 0,225qi
poui' Jupiter, ou
pour Saturne; après quoi il faudra encore multiplier les coetricients des différents sinus par l'arc égal au rayon, lequel est de 206265", à trèspeu près.
De cette manière, si l'on fait, pour plus de simplicité,
9 = 2i"6'2i" — 25",337 /, VI. 86
on aura la longitude du nœud de Jupiter égale à
3^(4''i9'i4"— 46598"sin? — 526o"sin2 7 — 792"sin3v — i34"sin4v — 24"sin5v — 5"sinCv — i"sin7y,
et celle du nœud de Saturne sera égale à
3s 1 4° 1 9' i4" -i- 109495" sin o — 29062" sin 2 9 -h 1 0285" sin 3 o — 4095" sin 4 ? h- i 739" sin 5 <{■ — 769" sin 6'^ -H 35o"sin79 — 162" sin 8 oh- 77" sin 9 y — 37" sin 100 -f- 18" sin 110 — 9" sin 12 0-^4" sin 1 3 9-- 2"sini4«p -+- i"sini jt-.
46. A l'égard de l'inclinaison, le maximum et le minimum auront 1 ieu lorsque l'on aura (38)
COs{^— a-h bt) — ±j,
ce qui donne dans notre cas
180^-4- oio6'2i" — 25",337/ = 36o°/y., ou =i8o° + 36o°a;
d'où l'on tire
t = '285']^ — 5n5ou., ou =2999 — 5ii5o|y..
Dans les années marquées par la première de ces deux valeurs de t, l'inclinaison de l'orbite de Jupiter sera la plus grande, et aura la tangente
à laquelle répond l'angle 2°2'i8"; et l'inclinaison de l'orbite de Saturne sera la plus petite, et aura pour tangente
à laquelle répond l'angle 46' 49"- Au contraire, dans les années marquées par la seconde valeur de /, l'inclinaison de l'orbite de Jupiter sera la plus petite, ayant pour tangente
à laquelle répond l'angle l'My'iS"; et l'inclinaison de l'orbite de Saturne sera la plus t^^rande, ayant pour tan^Tonte
à laquelle répond l'angle 2°32V|i".
D'où l'on voit (jue la variation totale de l'inclinaison de l'orbite de Jupiter sera de 45'3", et que la variation de l'inclinaison de l'orbite de Saturne sera de i°45'5i". Quant a la période de ces variations, elle sera aussi de 5ii5o années.
47. Si l'on voulait déterminer les mouvements annuels des nœuds, ainsi que les variations des inclinaisons de Jupiter et de Saturne, il est clair que, à cause de ce que le coefficient de t est très-petit dans les expressions de s, u, Sf, iif, il n'y aurait qu'à chercher, par la diiïérentiation, les valeurs de t/w, ^«, et dO^ dSf, et y supposer di = i; mais, sans se donner cette peine, on pourra faire usage des formules trouvées dans le n° 23.
On aura donc pour Jupiter, en substituant la valeur du coefficient (o, i) et négligeant les autres comme nuls, le mouvement annuel par rapport aux étoiles fixes
" e-cfT ^1 CCS (m — W,)"l
du
et la variation annuelle de l'inclinaison
d9 -- 7", 564^1 sin (o) — &),).
On aura de même pour Saturne, en changeant w en oj,, Q en 0,, (o, i) en (i, o), et substituant pour cette dernière quantité sa valeur, le mouvement annuel des nœuds par rapport aux étoiles fixes
