C?CO:= - 17 ,773 ^I ^^ J
et la variation annuelle de l'inclinaison
ddi = 17", 7739510(03, — o).
On n'aura donc plus qu'a substituer, dans ces expressions, les valeurs des quantités w, w,, 0, (5,, correspondant au temps donné pour lequel on cherche les variations annuelles du nœud et de l'inclinaison.
Si l'on adopte celles qui répondent à l'époque de 1760, on trouvera
Jm = 6", 428, clB := -o",o75, f/w. =: - 8", 665, J9. ^ o", 093,
et ces valeurs pourront être regardées comme exactes pendant tout le siècle courant.
Article VII. — Des équations séculaires des nœuds et des inclinaisons des orbites de la Terre, de Vénus et de Mars.
48. 'Comme l'action de Mercure sur les autres planètes ne peut produire que des effets très-petits, ainsi qu'on le voit par la Table du n*^ 19, où les quantités qui renferment le chiffre 5 après la virgule sont toutes très-petites, nous n'aurons aucun égard à cette action, et nous regarderons, par conséquent, comme nuls tous les termes des équations différentielles du a« 16, qui seront multipliés par quelqu'une des quantités dont il s'agit. Or, ayant déjà examiné, dans l'Article précédent, les quatre premières de ces équations, il ne restera plus qu'à considérer les six suivantes
(2, o) (Mj — II) -1- (2, l) («. — M,) H- (3, 3) [il, — U^) + (2, 4) [U, — W4) = o,
(It
diu Ht
ds
-^ + (3, o) (M3 — u) + (3, i) (M3 — u^ -V (3, 2) {lis — u-^ -\- (3, 4) («3 — u^) = o,
-'-i -f- (4, o) [u, — u) + (4, i) {u, — u,) + (4, 2) [U; — u,) -+- (4, 3) {il, — «3) = o,
Dans ces équations, les quantités s, n, 5,, w, sont déjà connues, ayant été déterminées dans l'Article précédent : ainsi ces équations suffiront pour déterminer les six inconnues s.^, u.^, 5j, u^, s,,,u,,, dont les premières se rapportent à l'orbite de la Terre, les deux suivantes à l'orbite de Vénus et les deux dernières à celle de IMars.
Si, pour intégrer ces équations, on voulait employer la méthode générale de l'Article IV, il faudrait les combiner avec les quatre d(; l'Article précédent, pour avoir autant d'équations que de variables s, u, *,,...; mais cela allongerait inutilement le calcul, puisque les quatre premières de ces variables sont déjà connues : c'est pourcjuoi il sera plus à propos de traiter ces équations à part.
On commencera donc par y substituer les valeurs de s, u, s,, //,, déterminées dans l'Article précédent; ensuite on remarquera qu'on peut satisfaire à ces équations, en faisant
s, = A sina -\- Bj sin [ht + (3) h- Cj sin(c/ -f- y), ih ^ A ces a -(- B2COs(6^ -4- P) -t- C2C0s(c/ -4- y), «3 = A sin a -i- B^ sin(6^ -f- (3) -f- C? sin(c7 -1- y), 113= A cosa -4- B3 cos{bt + 3) -1- C3C0s(c/ -+■ y), s^ = A sin a -f- B... s'm{bt h- (3) -t- C sin(6'/ -h y), iii = A cosa -f- B4 cosiht h- (3) + C4 cos(c/ -i- y),
OÙ Bo, B3, B,,; Co, C3, C^; c et 7 sont des quantités indéterminées.
Ces substitutions faites, on comparera les termes analogues, et, faisant, pour abréger,
on aura les équations de condition suivantes
Comme les quantités B, B, et b ont déjà été déterminées dans l'Article précédent, il est clair que les trois premières des équations précédentes serviront à déterminer les trois quantités B2, B3, B,; à l'égard des trois dernières, il est visible qu'en éliminant deux des trois quantités Co, C3, Ci, la troisième s'en ira d'elle-même, et l'on aura une équation finale en c, qui sera de cette forme
Ainsi il faudra déterminer, par cette équation, la quantité c; ensuite on déterminera deux quelconques des trois quantités C2, G3 , C4 par le moyen de deux des trois dernières équations ci-dessus, et la troisième de ces quantités demeurera indéterminée, ainsi que la quantité 7.
49. Je remarque maintenant que l'équation précédente en c, étant du troisième degré, donnera trois valeurs différentes de c, qui satisferont également aux équations différentielles proposées; d'où, et de ce que ces équations sont simplement linéaires, il est facile de conclure que, si l'on désigne par c, d, e les trois racines de l'équation dont il s'agit, et qu'on prenne six autres constantes Do, D3, D4 et Eo, E3, E-,, telles qu'il y ait entre les trois premières et la quantité d, ainsi qu'entre les trois dernières et la quantité e, la même relation que nous avons trouvée entre les constantes Co, C3, C4 et la quantité c; qu'enfin on prenne encore deux autres indéterminées 0, s, on en conclura, dis-je, que les valeurs complètes de 5o, 112', s^, u^ ; 5,, w, seront de la forme suivante
s, = k sinsî-^Bj sin(6/-i-[3)H-Cî sin(c/-(-y) + D2 sin((:// -4-â}-f-E2 sin(e^~i-£), a,= A cosa — B2COs(i/-f-j3)-HCîCos 'c;-hy) -+-DïCos(f//-f-(3) -\-Y.iCos{et-v- s),
«3 — A sina^-BJ sin(i/-t-[3) -t-Cj sin(c/H-y) + D3 s\n{dt + 6)-\- Ej sin(c/-i-e), «3 = A cosoc -^-H^ cos{bt -\- ô) -hCi cos{ct -i- y) + Y)i cos{(lt -i-ô)-i- EaCosfeZ-i-e), 5( = A sina-f-Bi sin(6/-+-[3)4-C4 sin(c/ + y)-f- D- sin(<://4-(î)-i-E4 sin(e/-f-e), M, = A cos a H- B, cos (A / -f- (3) -h C4 cos(67 -i- y ) H- D4 cos [clt -h 0} 4- E4 cos [et -ht).
En effet il est facile de voir que ces expressions doivent satisfaire aux équations différentielles; et, comme elles contiennent d'ailleurs six constantes arbitraires, il s'ensuit qu'elles sont aussi générales que la nature (kl problème l'exige, puisqu'on peut, par le moyen de ces constantes, donner aux six quantités 5^, u.2,s^,... des valeurs initiales quelconques.
Il ne reste donc plus qu'à faire les substitutions numériques; et d'abord on trouve, d'après les valeurs de la Table du n" 19,
de sorte que, mettant ces valeurs, ainsi que celles de b= — 2.5", 337, Bi =— 2,3497B (Article précédent), dans les trois premières équations de condition (48), elles deviendront
d'où l'on tire
et par conséquent, en substituant les valeurs de Bsinj'î et Bcosj'':; de l'Article précédent,
6, sin(3=r 0,0026845, 6. cos (3 r- —0,0019097, 63 sin [3 = — 0,00022766, 63COs[3 0,00016195,
6, sin|3=: 0,0087535, 6, cos (3 =r: — 0,0062269;
ensuite l'équation en c (48) deviendra, en y changeant c en x,
(x H- i4,386)f^-T-ii,52i)(:c -f- 18,179) — o,876(^ -1-14,386)
688 RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES laquelle, en faisant
pour en faire disparaître le second terme, se transforme en
— 0,943 [y - 3,174) - 44.547 (j H- 3,484) - «î.iSo = o,
c'est-à-dire, en développant les termes,
Cette équation étant comparée avec celle-ci
j3— 3r'r — sr'coso = o,
dont les racines sont, comme l'on sait,
2rcos^î — 2rcos
(^ — 60"), — 2rcosf| -f-6o°j,
on trouve
r = 4,3787, coscp = 0,9568,
d'où
cp = 16'' 54';
de sorte qu'on aura pour les trois valeurs de j
8,715, — 5,io3, — 3,6i3; par conséquent celles de x seront
— 5,980, —19,797, — i8,3o8; de sorte qu'on aura
On prendra maintenant deux des trois dernières équations de condition (48), et, y substituant la valeur de c, on en tirera les rapports des trois quantités Co, C3, €4-, ensuite, changeant successivement c en c? et en e, on en tirera de même les rapports des quantités Do, D3, D^, et ceux des quantités Eo, E3, E^.
DES MOUVEMENTS DES NOEUDS, ETC. m)
Or (|ii()i(|ii(', à la rii^iiciii', il soil iiulinV'i'cnt lesquelles de ces ('M|uations (le condilion on choisisse pour ces délerminalions, il y a cependant une observation importante; à faire, hujuelle peut être appli(jucc :i tous les cas senihlaljU'S : c'est qu'il peut arriver (juc les é(|ualions (ju'oii emploie pour l'élimination des inconnues doniienl pour les valeurs de ces inconnues des IVactions dont le ninucraleiir cl le df-nominalciir soient a la fois des nombres très-petits, auquel cas une erreur très-petite dans ces nombres en produirait une Ix'aucoup plus grande dans la valeiii' de leur rapport, et rendrait par conséquent fautive la valeur *\r l'inconnue ( bercbée. Cet inconvénient aura lieu dans la question présente si, parnii les trois équations de condition dont il s'agit, on prend les deux premières pour déterminer les rapports des quantités Co, (l,, (]■,, ainsi que ceux des quantités Do, D3, D.,, et une des deux premières avecla troisième pour déterminer ceux de £3,^3, E, , comme il est facile de s'en convaincre par le calcul. Il conviendra donc de combiner, dans le premier cas, une des deux premières équations avec la troisième, et, dans le second cas, la première avec la deuxième; de cette manière, les équations à résoudre seront les suivantes
12,19904 — i,773Ci — 1,701 C, = o,
3,922 Ej -H 6,646 Ea -i- 0,532 E4 = o,
6,787E3-f- 6,7o3E2 -f- o,5i5Ei := o,
d'où l'on lire
C3 = 1,2394c., C4 = o,3i8oCj,
D3 = — o,7935Dj, 04= — 0,261 3Di,
Ej =: OjOioSE,, E3 = — o,o863Et;
et les trois quantités Co, Do, E., resteront indéterminées.
50. Pour les déterminer, ainsi (jue les aulres (juantiles y, 0, -, il faut connaître les lieux des nœuds et les inclinaisons des orbites de la Terre, VI. 87
î)90 RECHERCHES SUR LES EQUATIONS SECULAIRES
de Vénus et de Mars, pour la même époque que nous avons employée dans l'Article précédent pour Jupiter et Saturne, c'est-à-dire, pour le commencement de l'année 1760, afin de pouvoir en déduire les valeurs
correspondantes des quantités s,, n^, s.^
A l'égard de l'orbite de la Terre, il est clair qu'on doit la supposer dans le plan même que nous prenons pour l'écliptique; mais, comi)U' nous re^f^ai-fjons ce plan comme fixe, tandis que celui de l'orbite de la Terre est réellement mobile, il s'ensuit que la supposition dont il s'agit ne peut avoir lieu que pour un instant, qui sera donc celui de l'époque en question; de sorle que le plan de notre écliptique fixe sera celui de l'écliptique réelle et mobile, au commencement de l'année 1760; ainsi l'inclinaison de l'orbite de la Terre sera nulle pour cette époque : par conséqueni la (juantité O2 qui en exprime la tangente sera nulle aussi; ce qui donnera
5j = 02 sin'^)2 = o, u^ = 6, cos&)2 = o.
Quant aux orbites de Vénus et de Mars, on trouve, par les dernières Tables de M. de la Lande, les éléments suivants
s .. , „ Longitude du nœud de Vénus, pour 1760 2. 14. 3 1.28,
« de Mars, » 1. 17. 43. 8,
Liclinaison de l'orbite de Vénus, » 3.23.20,
» de Mars, » i .5i . o.
Donc
0).,=: 74"3i'28", rj)i= 47"43'8",
Ô3 = tang 3^ 23' 20", 54 =: tang i°5i'o''; d'où l'on tire
^3 := 9, sino)3 = 0,057070, M3 := 63 cos&)3 = o,oi58oi , Si = 9i sin';)4 = 0,023867, "< ^^ ^< cosc-)4 ^ 0,021731 .
Comme ces valeurs sont celles (jui répondent à l'époque de 1760,
depuis laquelle nous comptons les années marquées par t (Article précédent), il faudra donc les substituer dans les formules générales du îiuméro précédent, en y supposant en même temps t — o; de cette
DES MOUVEMENTS DES NOEUDS, ETC. «)i)l
inaniëre, après avoir liiil aussi 1rs aiilrcs suhstitulioiis du uicuic uuiiKÎro, ol mis pour Asiiia, Acosa, Hsiii,'5, Bcosj'i leurs valeurs Irouvées plus haut (42;, on ohlirtidra les six ('(piaiioiis suivantes
CjSiny-i-D, siiio-f 0,010") E, sine ^- o,oHo<S'9. = o,
Cj rosy -+- \)i coso -f- o,oio5 E, cose — o,oo()<»()() r : o,
1 , 3.394 (^J siny — 0,7935 D, sino — o,oH()3 Ei sinî — o,o?.9i7 1 = o,
1 ,2394 c, CCS y — 0,7935 \)i coso — o,o863E, cose — 0,03.91819 =: o,
o,3i8o(;. siny — o,2Gi3Dj si no H- E, sine H- 0,019.984 = o,
o,3i8oC:. cosy — 0,3.61 3 Dj roso H- Ei rose — n,o35i38 =; o,
(jui serviront ;i délei'iuiner les six inconnues C^ siny, (L^cosy, D.^siii <>,..., e( Ton auia
C2siny=: 0,0014840, CjCosy=: o,oi5857, Dj sinô =; — o ,o32o68, 1)^ coso =^ — 0,0070630, Es sine ^ — o,o2i836, E4 cose := 0,028249,
d'où Ton tire (numéro précédent)
Cssiny- 0,0018393, CsCosy - 0,019053,
C4siny— 0,00047191, C4C0sy= o,oo5o425,
Djsino^ 0,025447» D3CO?(5= o,oo56o44,
D4sinô= 0,0083795, D, coso := 0,001 8455,
E2 sine ^ — 0,00022894, E2Cose= 0,00029618,
EjSine:= o,ooi8845, Ej cose =: — 0,0024379.
On peut déduire, si l'on veut, de ces valeurs celles des coelficienls (].,, Do,... et des angles 7, f),..., mais on n'en aura pas besoin si l'on transforme, ainsi que nous en avons usé plus hnul, les sinus et cosinus des ani^ies bt ■+- [-i, et -h y,... en
sin(3 cosbt -+■ cosjS sin6/, . . . , cos^S cosht — sin(3 sin/>/, . . . ,
ce qui est plus commode pour le calcul, lorsque bl et a sont de très-petits angles.
51. Faisant donc toutes ces substitutions dans les formules générales (49), on trouvera les expressions suivantes
Pour la Terre.
Sj = o,oc>,8i?.7 H- o,oo?.685 cos(25",337/j -f- 0,001910 sin(9.5", 337/) + 0,001 4B4 CCS ( 5",98o^) — o,oi5857 sin ( 5", 980/)
— o,o32oG8cos( 19", 798/) H- 0,007063 siii( i9",798<)
— 0,000229 cos( 18', 3o8/ ! — 0,000296 sinf 18", 3oSt ,
112=: — 0,007180 — 0,001910 ces (25", 337/) -r- 0,002685 sin(25",337 t) -j- 0,01 5857 ces ( 5", 980/) H- 0,001484 sin( 5", 980/)
— 0,007063 ces ( 19", 798/) — o,o32o68 sin( i9",798/ ; -+ 0,000296 ces ( i8",3o8/ ) — 0,000229 sin( i8",3o8/) ;
Pour Vénus.
Si = 0,028127 — 0,000228 ces (25", 337/) — 0,000162 sin(25",337/ H- 0,001839 cos( 5", 980^) — 0,019653 sin( 5", 980/) H- 0,025447 cos(i9",798^) — o,oo56o4 sin(i9",798/) + 0, 001884 cos(i8",3o8/)-^o, 002,438 sin(i8",3o80,
11^ ■=: — 0,007180 -\- 0,000162 ces (25", 337 / ; — o ,000228 siu ( 25", 337 0 + 0,019653 cos( 5", 980/) H- 0,00 1839 sin ( 5", 980/) + o,oo56o4 cosi 19", 798/ i + 0,025447 sin(i9",798/)
— o, 002438 cos(i8", 3o8n -^o,ooi884sin(i8",3o8M;
Pour Mars.
5i= 0,028127 -4- 0,008754 CCS (25", 337/) -+- 0,006227 sini25",337/) H- 0,000472 CCS ( 5",98o/) — o,oo5o43sin( 5", 980^) 4- o,oo838o 005(19", 798/) — 0,001846 sin( 19", 798/)
— o,o2i836cos( i8",3o80 — 0,028249 sin( 18", 3o80i
Ut=- — 0,007180 — 0,006227 008(2.5", 337 0 + o,oo8754sin(25' , 337/ + o,oo5o43 cos( 5", 980 /) + 0,000472 sini, 5", 980/1 -(- 0,001846008(19", 798/) H- o,oo838osin(i9",798/) + 0,028249 008 ( 18", 3o8/) — o,o2i836siii(i8",3o8ri.
DES MOUVEMENTS DES NOEUDS, ETC. (m
Ainsi, |)i('n;iMl / [M»iir le mimlxc des îiimécs lr(>|ii(|iies écoulées depuis le i" j;iiivi('i' l'ji'xi :i midi uiovcu, ou l)i( m pour le iionilirc des îinuées i|ui précèdent celle époque, en laisaiil / iiéiialif, il n'y :iui'a qu'à calculer pai- les foirunles précédentes les valeurs correspondanles des (juantilés Vj, ti.,, .V,,,..., el l'on en pourra dé(Juii-e sur-le-cliauip les longitudes',)^, 0)3,... des nreuds des orbites des planètes dont il s'ai-il, pai- rapport au plan de réclipti(|ue de i7(k), regardé conrime fixe, ainsi (|ue les inelinaisons des mêmes oiltiles |iai' rapport à ce plan, dont So, O3,... sont lo tangentes; eai' on a
iangc.)j=— » langw3=— Î-- î
