s- H- ut , 03 = v'*' -\- u'i

Au reste, à cause de ce que les expressions des quantités s., s.,, . s^ eouliennent plusieurs ternies, il sera assez ditficile de déternnnei' si les angles w.,, cog, oj^ ont des limites ou non, et d'en trouver les valeurs moyennes, ainsi que nous l'avons fait à l'égard de Jupiter et de Saturne dans l'Article précédent; c'est pourquoi nous n'entrerons pas dans celle discussion qui pourrait nous mener trop loin.

52. Nous terminerons donc cet Article par donner les formules des mouvements annuels des nœuds et des variations annuelles des inclinaisons des orbites de la Terre, de Vénus et de Mars, formules qui se déduisent facilement de celles du n"" 23, en y faisant les substiiulions convenables, et supposant dt ^=1.

Ayant donc égard à l'action mutuelle de toutes les planètes, excepte

Mercure, ainsi que nous en avons usé dans les reclierclies précédentes.

on trouvera

Pour la Ferre.

l ^" Q / r e COSiO),-r.) ) I , ,. nv I , ^.COS(W,-0),) I

(Wj =:G",874(5sin w, — ù))-i-o",334 5. si" 0)2— m,) -i-G",646{/, sin((,w— Wj)

-l-o'',532 0, si 11 \0)j—o)t);

Pour Vénus.

^a,,= - 4'%ioo|^i ^^^ J-o ,2o3^i g- J

.,„ „r e,cos(a)3— wO I ,/ /t /r r 04cos(&)3 — W4) I

fl?03 =4"» 'oo^ sin(oj3— &))h-o",2u3 0, sin(oj3— Wi)H-6",7o3ôjsin(&)3— W2i

H- o", 5 1 5 64 sin (&)3— W4 ; ;

Pour Mars.

^ r e, cos ( &)4 — w, ) 1 „ r 0., cos ( «4 — «3 1

dB^ =:i4",o6oÔsin,co4— wj -1-0", 645 e, sin(&Ji—a),) + 1", 773 Ô2sin(&)4—(i^j)

-i-i",7oi ÔaSin'Wi — W;);

où û?w2» <s^^j^3' <5?o>4 sont les mouvements annuels des nœuds par rapport aux étoiles fixes, et JS^, dO^, dO ^ peuvent être prises sans erreur sensible pour les variations annuelles des inclinaisons des orbites à l'écliptique; mais, pour pouvoir faire usage de ces formules, il faudra déterminer auparavant les valeurs des quantités w, w,,..., $, ô,,..., qui conviennenl à l'année donnée, d'après les formules générales de cet Arlicle et du précédent. Si i'on emploie celles qui répondent à l'époque de 1 760, on aura pour l'orbite de Vénus

et pour celle de Mars

</oû4 = - 8", 664, de, ^ — o", 32 1

Quant à l'orbite de la Terre, nous remarquerons que, puisque 6^ = " pour 1760 (hypothèse;, il faudra que, dans l'expression de ^cog, tous les termes divisés par O2 soient aussi égaux à zéro, ce qui donne l'équation

6", 874 Ô cos(w.^— w) -+- o",334 0, cos (w.— w,) -t- 6", 646 Ô3 cos (&j.^— W3) -h o", 532 6»^ cos (w.^— wj = o ;

DES MOUVK.M KNTS DES NOEUDS, ETC, <i<J5

d'où l'on lire, (xtiir l:i valctii" de l:i l;iiii,a'iil(' de <,)n, l'expression

6", 874 0 cost.n-o",334 0, cos&>,-t-l)",64G0j cosoj.-t-o",53vt0^ cosw, ()",874^/-t-o".334//,-t-6".()4<J"j->-u"..'S3z», 6" ^874 0 sinw-i-o''334^, sinw,H^\646Ô3 srnwj-Ho'.SS'^rs'""» ~~ ^",874 .v-+-o",534 A-,-t-6",646.v3 -Ho",53-jt v,

Substitu;int donc l\ l:i place (\v s, a, s les valeurs (jui répondent au

coninieneeinenl de l'année i-yfio, et qui ont déjà été déterminei's cidessus d'après les Tables, on aura

laiigr,), = ^ ■ • = — 0,1 5(j4o,

d'où

c'est le lieu où l'orbite de la Terre doit eoupei- le [)lan de ri'(li|)ti(|Lic

de 1760, au oremier instant où elle abandonne ce plan.

Employant maintenant cette valeur de oo^ dans l'expression de JO.,

on trouvera

de, = 0", 56g;

ce (jui donne l'augmentation annuelle de l'inclinaison de l'orbite de la Terre, par rapport au plan dont il s'agit.

On aurait les mêmes résultats si l'on cherchait les valeurs de tango^^ et de 5^, d'après les formules générales du numéro précédent; car, Taisant / = 1 dans les expressions de *2 et de a.,, et mettant à la place des sinus des arcs très-petits 25", 337, 5", 980,... ces arcs mêmes, et à la place de leurs cosinus l'unité, on trouve

d'où

iango),= g,. - S 9v= o",569;

ce (|ui s'accorde avec ce qu'on a trouvé ci-dessus, et pourrait servii-, s'il cti ('tait Ixîsoin, a coutii'niei' la justesse de nos calculs.

G9(i RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES

Article VIJI. — Des équations séculaires du nœud et de L'inclinaison de L'oibite de Mercure.

53. Pour achever nos Recherches sur les dérangements causés dans les plans des orbites des planètes par leur action mutuelle, il ne reste plus qu'à examiner ceux qui doivent avoir lieu dans le plan de l'orbite de Mercure. Or, suivant nos dénominations, ',i^ sera la longitude du nœud de cette orbile, et ^g sera la tangente de son inclinaison; de sorte que la (juestion se réduira à déterminer les valeurs des quantités ^5 ^^gsinws, W5 = ^5C0SW5, par l'intégration des équations différentielles d'où elles dépendent, et qui, selon l'ordre des équations (16j, doivent être la neuvième et la dixième.

Ces équations seront donc

-^ H-(5,o)(a5— a)-i-(5,i);a5— aij-t-^5,2)(^M5— M2)-I-:5,3)(W5— M3,,-+-!5,4)(«5— «i>=o, (.1

lesquelles, en y substituant les valeurs des quantités ^, *,,..., «, u^,... déjà trouvées dans les deux Articles précédents, et faisant, pour plus de simplicité,

f= - (5, oj - (5, i) - (5, 2) - (5,'3 . - (5, i„ M=(5, ojR +(5, ijB, 4- 5, 2)B, + (5, SjB, -t- ; 5, 4;B„ N = (5,2)C,+ (5,3;C3 + (5,4;C„ P = (5, 2)D.+ (5, 3)D3+(5,4)D„ Q = (5, 2)E,+ (5, 3)E3-h(5,4)E„

se changent en celles-ci

-^— /ms— Acosa)— Mcos(6/+;3)— Ncos(cfH-y)— Pcos(f/f-4-ôi— Oros(e/-f-£)=o, -jf-^f.^i — AsinajH-M sin (6/h-(3)h-N sii)ic^-f-y)-t-Psin(<//+ô)-t-Qsin(e/-i-£)=o.

Telles sont les équations (lu'il s'agit maintenant d'intéj'rer; et il est faeilc (h; voir que pour eela il n'y a (lu'à supposer

Vj = A .sin a -H Bj sin (i/ -)- fs) -<- Cj sin [ci -+- •/) -t- D^ sin (<-// -i- <î ) h- E^ sin [et -i- s) ■+- 1\ m\ (ft -+- o) , //j= A cosa -+- B5 cos [ùt ■+- p) -+- Cj cos (et -t- 7) h- Dj cos{(lt H- fî ) -t- Ej cos (et -»-£) + h\ cos [ft -+■ '^) ;

lar, l'aisanl ces sii])Slilulions et ('j;alant ii zéro les ternies iioinoiiènes, on n'aura que ces quatre équations de condition

(6 -/)«, = M, (c /^Cs= N, id - /^D., = P, (e-f E..= (J,

lesquelles donnent

de sorte qu'il y aura encore deux indéterminées Fg et 9, qui dépendront des valeurs initiales de ^5 et de m,, données par les observations; ainsi les valeurs supposées de s^ et de Wg sont exactes et complètes.

Pour déterminer les deux inconnues F5 et ç», je tire des Tables les éléments suivants

Longitude du nœud de Mercure pour 1760 i^i5"28'45"

Inclinaison de son orbite 7" o' o"

Donc

w„ = 45" 28' 45", Q, -- lang 7" ;

de là on trouvera

s, = 65 sin Os = 0,087543, Mj = 0s cos «s ^ 0,08609?,;

ce qui (en supposant, comme on a fait jusqu'ici, que t soit égal à zéro au commencement de i7<Joj donnera les deux équations

A sin a ■+■ B;> sin [3 + Cs sin y -1- Di sinô -t- E:. sine -i- Fs sin 9 = 0,087543, A cosa -+- B;, cos(j H- Cj cosy -f- D^ coso + Es eoss -+- F-, COS9 = 0,08609?.,

par les(|ueiles on pourra déterminer F5 et îj.