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lions, ne sont autre cliose que des suites de valeurs particulières répondant à des intervalles de temps égaux, des fonctions du temps et des six éléments, par lesquelles la position de la planète est déterminée dans l'espace par rapport au Soleil. Ce n'est que par l'observation qu'on peut trouver les valeurs des éléments d'une planète, mais il faut beaucoup d'art pour les déduire des lieux observés; ce travail occupe les Astronomes depuis Kepler; car, comme la précision des éléments dépend de celle des observations, de nouvelles observations plus exactes amènent toujours des corrections aux éléments qu'on avait déterminés.

Lorsque, dans le siècle dernier, on entreprit d'appliquer le Calcul différentiel à la solution des Problèmes que Newton avait résolus par des constructions linéaires, on reconnut que le mouvement d'une planète attirée par le Soleil en raison inverse du carré de la distance dépend de trois équations différentielles du second ordre, qui demandent par conséquent six intégrations; ces intégrations introduisent cbacune dans le calcul une constante arbitraire; de sorte que la solution du Problème renferme en dernière analyse six constantes arbitraires : ce sont les éléments mêmes de la planète, ou des fonctions de ces éléments.

Mais les planètes ne sont pas seulement attirées par le Soleil, elles s'attirent encore mutuellement, et l'effet de cette action mutuelle est de déranger leur mouvement elliptique et d'y produire des inégalités qu'on nomme perturbations, dont le calcul est long et délicat, et fait depuis Newton l'objet des travaux des Géomètres qui s'occupent de la Théorie du Système du monde. En effet, les forces qui résultent de cette dernière attraction ajoutent aux équations différentielles de leurs mouvements des termes qui en rendent l'intégration impossible dans l'état actuel de l'Analyse, et qui forcent de recourir aux approximations. Heureusement ces termes sont très-petits vis-à-vis de ceux qui viennent de l'action directe du Soleil, parce qu'ils sont multipliés par les masses mêmes des planètes, ou plutôt par leur rapport à celle du Soleil; et, si l'on intègre les équations différentielles comme s'ils n'existaient pas, il arrive que les constantes arbitraires que l'intégration ajoute à chaque intégrale se trouvent augmentées d'une petite partie variable due à ces mêmes

termes, doiil on ne peut, îi la vérité, trouver la valeur finie et rigoureuse, parée qu'elle dépend d'une intégration (jui est impossible, en général, mais dont on peut avoir, [»ar des approximations successives, la valeur aussi approchée qu'on voudra. Ainsi les éléments du mouvement eHipticjue, (|ui par l'action seule du Soleil sont constants, deviennent sujets à de petites variations; et (juoiciue, à la rigueur, le mouvement ne soit plus eHipti([ue, on peut néanmoins le regarder comme tel à chaque instant; l'ellipse variable devient alors osculatrice de la véritable orbite de la planète, comme on peut le conclure de la Théorie générale de l'osculation que j'ai exposée ailleurs (*), et qui est l'ondée sur la variation des constantes. C'est de cette manière que j'ai considéré et calculé les variations des éléments des planètes dans la Théorie de ces variations, que j'ai donnée dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, années 1781, 1782 et suivantes (**).

Mais les variations dont il s'agit sont de deux sortes : les unes ne sont composées que de termes périodiques dont la valeur dépend de la configuration des planètes, soit entre elles, soit à l'égard de leurs nœuds et de leurs aphélies, et redevient la même lorsque ces configurations reprennent la même forme; les autres sont indépendantes des configurations des planètes et peuvent croître avec le temps, ou avoir aussi (\(}9> périodes, mais extrêmement longues.

On nomme les premières inégalités périodiques , et leur calcul n'a guère d'autre dilFicuUé que la longueur jointe à l'attention qu'il faut avoir aux termes qui, quoique très-petits dans l'équation diflerentielle, peuvent augmenter beaucoup par l'intégration. On peut détacher e<'s inégalités des éléments; alors elles se simplifient en se fondant ensemble, et il en résulte des inégalités qui affectent immédiatement les lieux de la planète calculés dans l'ellipse : c'est pourquoi il est presque plus simple de déduire directement ces inégalités des équations dilTérentielles par les méthodes ordinaires d'approximation.

(* ) fy)ir les Mcmoircs de Berlin do 1779, p. 1 38, ot la Théorie des Fonctions, Articles 1 1 3 el suiv. [OEiivres de Ldi^rangc, t. IV, p. 583). (**) OEuvrcs de Lagrangc, t. V, p. I25 et suiv.

Les inégalités de la seconde espèce sont nommées séculaires, et demeurent attachées aux éléments qu'elles font varier à la longue et d'une manière insensible; on les appelle séculaires parce que ce n'est qu'au bout de quelques siècles que leur effet peut se manifester.

L'observation a encore devancé sur ce point le calcul; car les Astronomes avaient reconnu l'existence de ces variations relativement aux excentricités, aux aphélies et aux nœuds, longtemps avant qu'on connût la Théorie de l'attraction universelle.

Parmi les différentes inégalités séculaires, la plus importante est celle des grands axes des orbites, parce qu'elle affecte aussi la durée des révolutions, ou le moyen mouvement; car il arrive par l'effet de l'intégration que, si le grand axe est sujet à une inégalité croissante comme le temps, le moyen mouvement en a une qui croît comme le carré du temps.

Or la première approximation donne dans les autres éléments des termes proportionnels au temps; le grand axe seul en est exempt : c'est ce que M. de Laplace a reconnu le premier, par une analyse très-délicate, dans un Mémoire lu à l'Académie des Sciences en 1773; mais, comme dans ce résultat on n'avait tenu compte que des premières et des secondes dimensions des excentricités et des inclinaisons supposées très-petites, il était important de voir ce que pourraient donner les termes qui contiendraient les autres dimensions de ces quantités.

Dans un Mémoire lu à l'Académie de Berlin en 1776 (*), je considérai d'une manière directe les variations auxquelles peut être sujet le grand axe d'une planète par les forces perturbatrices provenant de l'action des autres planètes, et je réduisis ces variations à une formule générale et très-simple qui, ne dépendant que de la différentielle partielle d'une fonction Unie relativement au mouvement moyen de la planète, fait voir tout de suite que le grand axe ne peut jamais contenir aucun terme proportionnel au temps, quelque loin qu'on continue l'approximation par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites, mais en s'arré-

(*) OE livre s de La grange, t. IV, p. 235.

faut à la première approximation par rapport aux termes proportionnels aux masses des planètes.

On n'avait pas été plus loin sur ee point; mais M. Poisson y a fait un pas de plus dans le Mémoire <}u'il a lu il y a deux mois (*) à la Classe, sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes, et dont nous (**) avons fait le Rapport dans la dernière séanee. Il a poussé l'approximation do la même formule jusqu'aux termes affectés des earrés el des produits des masses, en ayant égard dans cette formule à la variation des éléments que j'avais regardés comme constants dans la première approximation. En employant les méthodes et les formules connues pour la variation des éléments elliptiques, il a su donner aux termes qui forment la seconde approximation, et qui ne proviennent que des variations des éléments de la planète troublée, une disposition et une forme telles, qu'il est facile de prouver qu'aucun de ces termes, qui peuvent d'ailleurs être en nombre infini, ne peut jamais donner dans le grand axe des termes croissant comme le temps. A l'égard de ceux qui doivent provenir des variations des éléments des planètes perturbatrices, ils échappent à son analyse : pour suppléer à ce défaut, il a recours à l'équation générale des forces vives sous la forme donnée par M. de Laplace dans le premier volume de sa Mécanique céleste, et il parvient d'une manière ingénieuse à faire voir que ces sortes de termes ne peuvent non plus produire dans le grand axe des variations proportionnelles au temps.

Cette découverte de M. Poisson a réveillé mon attention sur un objet qui m'avait autrefois beaucoup occupé, et que j'avais ensuite totalement perdu de vue. Il me parut que le résultat qu'il venait de trouver par le moyen des formules qui représentent le mouvement elliptique était un résultat analytique dépendant de la foi'me des équations différentielles et des conditions de la variabilité des constantes, et qu'on devait y arriver par la seule force de l'Analyse, sans connaître les expressions purliculières des quantités relatives à l'orbite elliptique.

(*) Le 20 juin 1808.

(**) WS\. do Liiplaco, Biot el moi.

En efTet, en considérant sous un nouveau point de vue la variation des constantes arbitraires qui naîtraient de l'intégration des équations dilférentielles lorsqu'on n'y tient compte que de l'action du Soleil et qu'on néglige celle des planètes perturbatrices, j'ai obtenu des formules qui donnent les dilTérentielles de ces variations sous une forme plus simple que celle des formules connues jusqu'à présent, parce qu'elles ont l'avantage de ne contenir que les différences partielles d'une même fonction du temps et des constantes arbitraires, prises par rapport à chacune de ces constantes, et multipliées par de simples fonctions de ces constantes; de sorte que la fonction dont il s'agit étant développée, comme elle peut toujours l'être, tant que l'orbite est elliptique, en une série de sinus et cosinus d'angles proportionnels au temps, le terme indépendant du temps donnera sur-le-champ les équations des variations séculaires aussi exactes qu'on voudra par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons, au lieu que jusqu'ici elles étaient bornées aux premières dimensions de ces éléments. Ces formules ont de plus l'avantage que, étant appliquées aux variations du grand axe, on en voit naître tout de suite des expressions analogues à celles auxquelles IM. Poisson n'est parvenu que par des réductions heureuses des formules déduites de la considération du mouvement elliptique.

De cette manière on démontre dans toute la généralité possible, et quelle que soit l'inclinaison de l'orbite primitive sur le plan fixe, (jue la variation du grand axe ne peut contenir aucun terme non périodique ni dans la première ni dans la seconde approximation, du moins en tant qu'on n'a égard dans celle-ci qu'aux variations des éléments de l'orbite troublée. Ce qui empêche que la même Analyse ne s'étende également aux termes provenant des variations des éléments des planètes perturbatrices, c'est que la fonction, dont la différence partielle relative aux cpordonnées de l'orbite troublée donne la variation du grand axe, n'est pas la même pour les planètes perturbatrices, parce qu'elle n'est pas symétrique par rapport aux coordonnées de toutes les planètes; c'est aussi ce qui a lieu dans l'Analyse de M. Poisson, qui dépend de la même fonction.

DES ÉLÉMENTS DES PLANÈTES, ETC. liu

Mais on rapportant les planètes, non au cenlic du Soleil, niais au centre commun de gravité du Soleil et des planètes autour duquel leur mouvement est presque plus ré-ulier qu'autour du Soleil, j'ol.iiens des équations dillérenlielles semblables, dans lesquelles la fonction dont il s'agit est symétrique, et demeure par conséquent la même pour toutes les planètes; alors le calcul devient uniforme et général, et n'est plus sujet à aueuiie exeepiion. On a de cette manière les variations des éléments de chacune des orbites rapportées au centre commun de gravité, et l'on démontre par une même Analyse que le grand axe de chacune (le ces orbites ne peut avoir dans les deux premières approximations aucune inégalité croissant comme le temps. Or il est facile de passer du mouvement autour du centre de gravité au mouvement autour du Soleil, et, en regardant celui-ci comme elliptique, on trouve facilement, par la Théorie des osculations, les expressions variables des éléments. Par ce moyen je démontre la proposition générale de la non-existence des inégalités proportionnelles au temps dans les grands axes des planètes rapportées au Soleil.

L'objet de ce Mémoire est d'exposer les Nouvelles formules que j'ai trouvées pour les variations des éléments des planètes, ainsi que leur application aux variations des grands axes, et de développer surtout l'Analyse qui m'y a conduit, et qui me paraît mériter l'attention des Géomètres par son uniformité et par sa généralité, puisqu'elle est indépendante de la considération des orbites elliptiques, et qu'elle peut s'appliquer avec le même succès à toute autre hypothèse de gravitation dans laquelle les orbites ne seraient plus des sections coniques.

Ayant montré à 31. de Laplace mes formules et mon Analyse, il me montra de son côté en même temps des formules analogues qui donnent

les variations des éléments elliptiques par les différences partielles d'une môme fonction, relatives à ces éléments. J'ignore comment il y est parvenu; mais je présume qu'il les a trouvées par une combinaison adroite des formules qu'il avait données dans la Mécanique céleste (*). Ainsi son

(*) Depuis la lecture do ce Mémoire, M. de Laplace a publié ses formules dans un Su/mlcment à la Mécanique cclestc.

travail et le mien, conduisant au même but par des chemins différents, peuvent servir également à l'avancement de l'Analyse et de l'Astronomie physique.

Formules générales pour la variation des éléments des planètes.

\ . Je prends la masse du Soleil pour l'unité, et je désigne par m, m', m",... les masses des différentes planètes. Ces quantités seront des fractions très-petites, et l'on pourra distinguer en différents ordres de petitesses les termes qui contiendront ces quantités à la première, ou à la deuxième, ou à la troisième,... dimension.

Je rapporte d'abord le mouvement des planètes au centre du Soleil par les coordonnées rectangles œ, y, z pour la planète m ; œ', y, z' pour la planète m'; x",y", z" pour la planète m", etc., et je fais, pour abréger,

-- \Jx- -r

■- sjx" -T

--Sjx"'^-

r. ,Y I xx' -^ yy' -'- zz'~\

„ r ^i xx" -^ Vf" -h ^z''!

j'ai pour la planète m les équations suivantes, dans lesquelles t est le temps et où dt est constant,

(Px I -^ m dQ.

dl'^ r^ dx

d\r I ~- m ^ dH

d' z \ -h m dQ.

W' '^ r' ^ '^ dz'

Car, 'si l'on forme les différences partielles de la fonction ù suivant les variables ce, y, z, on a les expressions des forces dues à l'attraction des planètes m', m",..., décomposées suivant les coordonnées oc, y, z.

On aura de pareilles équations pour la planète m', en changeant m en m', eix,y, z en oc', y', z', et réciproquement; mais alors la fonction 12 changera, et pourra être désignée par 0'; et ainsi pour les autres planètes. Je crois avoir employé le premier les équations des planètes sous cette forme très-simple, qui est maintenant généralement adoptée.

2. Comme l'effet de l'action des planètes perturbatrices est contenu dans la fonction Q., en rejetant les termes qui en dépendent, on a, pour le mouvement de la planète m, en tant qu'elle n'est attirée que par le Soleil, les trois équations

d'x dl^-^-

dW

dV

dt^^

z z:rz o.

Les intégrales de ces équations sont assez connues, et donnent une ellipse décrite suivant les lois de Kepler; mais nous n'en avons pas besoin ici, et il suffit pour notre objet de faire les remarques suivantes :

i*^ Que les valeurs des coordonnées sont des fonctions du temps et des six constantes arbitraires introduites par les six intégrations, et que nous désignerons par a, h, c,f, g, h. Elles déterminent la grandeur et la position de l'ellipse sur le plan de projection, ainsi que le lieu de la planète dans un instant donné, et on les nomme en Astronomie éléments de la planète ;

2^ Que, si l'on dénote par 2a le grand axe de l'orbite elliptique de hi planète m, en sorte que a soit la distance moyenne, son mouvement moyen, qui est proportionnel au temps, sera exprimé par nt, en faisant

t't que les coordonnées x, y, z pourront être exprimées en séries de sinus et cosinus d'angles multiples de nt, dont les coefficients seront des fondions données des éléments a, b, —

3. Considérons maintenant les perturbations dues a l'action des autres planètes, qui introduit dans les équations les termes dépendant de la fonction ù. Pour avoir égard à ces termes, la méthode la plus simple est celle de la variation des constantes arbitraires que j'ai employée depuis longtemps; suivant les principes de cette méthode, que j'ai exposée d'une manière générale dans les Mémoires de l'Académie de Berlin de 1775, page i9o(*), comme les équations différentielles auxquelles il s'agit de satisfaire sont du second ordre, on conservera les expressions elliptiques des coordonnées x, j, z, ainsi que celles des différentielles

7^' ~/7' 17' '^^^^^ ^" y regardant les constantes a, b, c,... comme variables, et l'on vérifiera les équations par la variation de ces constantes dans les différentielles secondes.

Désignons pour un moment par la caractéristique è les différentielles provenant de la variation des constantes, tandis que la caractéristique ordinaire d se rapporte à la variation de t. La différence première de x aura pour valeur complète, en faisant tout varier, dx -^ ^x\ donc, supposant 007 = 0, elle sera simplement dx\ ainsi la valeur complète de la différence seconde de x sera ddx -+- âdx; mais la partie ddx satisfait

à j'équation en x sans le terme y- qui en forme le second membre ,

quelles que soient les valeurs des constantes, puisque l'équation se vérifie identiquement; donc l'autre partie doit vérifier le reste de l'équation. Ainsi l'on aura

ddx dQ.

dP ~~ dx

de sorte que, relativement à l'équation en x, on aura par la variation

(*) OEiwres de Lagrange, t. IV. p. iSg cl suiv.

(les constantes arbitraires les deux équations

^ 0 dx (10.