OX :--. O
Ut' (IX
On aura de même, relativement à l'équation en j, les deux équations
. à dy dil
et, relativement à l'équation en z, les deux équations
. à dz dO.
àz — - o, —, — = — — .
df dz
Ainsi l'on aura en tout six équations différentielles du premiei' ordre entre les six constantes arbitraires a, b, c,f, g, h, devenues variables.
Maintenant, comme x, y, z sont des fonctions supposées connues de t, a, h, c,...,\\ est facile de voir que l'on a
- (Ix j dx „ dx , dx ,„ dx , dx ,,
àx =z -j- da -\- -7, db H — >— de -■ ~t df 4- -,— dg -\- -yr d/i,
da db de dj -^ dg ^ dli
et, comme dx = ~ dt, on aura pareillement
èdx d-x j (Px ,, d-x , d^x ,^ d^x , d'x ,,
iir = dura'^''-^drdrb'^^'^-drdi;'^'-^dïdf'^'f^^dT(i^'^s---
ainsi les deux équations ^x -- o et --:— =~di donneront ces deux-ci
dx , dx ,, dx , dx ,„ dx , dx ,,
da db de df '' dg ° dh
(Px , (Px „ (Px j (Px ,„ (Px , (Px ,, dil .
-.— - da H- ,—,7 db -h -,— .- de ~ ,—j-. dj -i- ., , dg -h - — ^ dit — -, (//, dtda dtdb dtdc dtdf -^ dldg ^ dtdli dx
et l'on aura de pareilles équations en / et en s, en cbangeant seulement ^ en J et en z.
Ces six équations donneront les six différentielles da, db,... par l'élimination ordinaire; mais on aurait de cette manière des formules très-
72i MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES VARIATIONS
compliquées. Heureusement j'ai trouvé une combinaison de ces équations qui conduit à des résultats simples et très-remarquables, et que je vais exposer.
4-. Je retranche la première équation multipliée par y-y- de la seconde
cl OC
multipliée par y- : j'ai
dQ dx , . „ ^ , ^ ,. ^ .
dx da
i AJ L« 1^
1 v^ Liy 1 u I
en faisant, pour abréger.
dx
dKr dtdb
dx d^x db dtda
da
d\r dtdc
dx d-x de dtda
dx
dx d-x
^ = da
dtdf
df dtda
da
dTd^
dx d-x dg dtda
dx d^x
da dtdli dli dtda
Mais, pour mieux conserver la signification de ces formules, nous emploierons à la place des lettres A, B, C... les symboles {x,a, b), {œ, a,c), {x, a,/),...', ainsi l'expression
d-x dx r/^r
db dtda da dtdb
sera représentée par (x, h, a), parce qu'elle ne diffère de celle de A que par l'échange des lettres a, b-, et, comme elle est égale à — A, il s'ensuit que l'on aura
Donc, en général, l'échange des lettres qui suivent la lettre x ne fera que rendre la quantité négative; et l'on voit aussi que [x, a, a) = o.
DES ÉLÉMENTS DES PLANÈTES, ETC. 7-2o
De cette manière j'aurai
dil dx
-j- -,- dt = {x, a, b) (II) ' (.r, a, c] de \' [x, a, f) df 4- [x, a, g) dg -4- (x, a, h) dli.
Les mêmes équations étant multipliées, la seconde par - ."^ et la pre-
d'^ V miere par /^ j^y et ensuite retranchées l'une de l'autre, donneront
dil dx
d^ ~db ^' ^' ~ ^■^' ^'' ^^ ^'" '^' ^"^ ' ''' ^ •* ^'^" ''' ^■^' ^'-^^ '^•^'^ '^■^' ^' ^^ ''^'" "*" ^■^' ^' ^'^ ^'^''
équation qu'on peut déduire immédiatement de la précédente par l'échange des lettres a et h entre elles, et en se souvenant que
Par le même procédé, mais prenant -j- et -.-. pour multiplicateurs, on aura
dil dx
dx "de ^^^ ~ " ^■^' "' ^^ ^^" " ^■^' ^' ^^ ^^^ ^ ^^' ^'-^^ ^^"^"^ ^^' ^' ^^ ^^ "^ ^■^' ^'' ^'^ ^^^''
ce qui se déduit aussi de la premiers en y changeant a en c et c en a.
Continuant ainsi, on aura encore trois autres équations qu'on pourra déduire successivement de la première, en y échangeant a en/, en g, en h, et vice versa.
dO dr
Ix W' ^^' "^ ""("^' "'/) ^^^^ ~ (*^' ^'/) ^^'' " (^' '^'Z) ^^^' "^' (-^'Z' ^) ^^S"-^ (•^'■/' /' '^/''
dil dx
'ft
^/O dx
On aura de pareilles équations pour les valeurs de -j^ ^? ^ ^ '"■' et pour cela il ne faudra que changer dans les précédentes x en/; et l'on
, .,, 111 dO- dz (IQ. dz
en aura encore de pareilles pour les valeurs de -5 — p-' -» — ir^'- •> en '^ ^ dz fia dz do
changeant simplement ^ en s dans celles qu'on vient de trouver. Maintenant, si l'on ajoute ensemble les valeurs de -, ^^ -, — r-j
■' dx da dy^ da
-r- -j-i et qu'on se rappelle que Q. n'est fonction que de x, y, z, x' , y',
z',..., et que les constantes a, b, c,f, g, h ne sont contenues que dans X, y, z, il est visible qu'on aura
dQ. dx ^ dil dr , dil dz dil dx da ' dy da dz da da
et par conséquent
-T— dt — \{x, a, b) H- (j, a, b) — {z, a, b)]db
^ [(^', a, c) ~h {y, a, c)-¥-{z, a, c)] de -h [{X, a,f) 4- [y, a, f) h- (z, a, /)] df
-i- [(■^. «. g) + ( J. «' g) + (-s» a, g-)] dg -f- [(.r, a, A) -1- (jy a, h) -{- {z, a, hj] dh.
5. Pour avoir les valeurs des coefficients de db, de, df,... dans cette équation, il faudrait substituer dans les expressions de [x, a, b), {y,a,b), {z,a,b), {x, a, c),... les valeurs elliptiques (\ex,y, z en t et a, b, c, f, g, h, et exécuter les différentiations partielles relatives à ces quantités; et il est facile de voir qu'on aura pour les coefficients dont il s'agit les mêmes fonctions des quantités /, a, b, c, f, g, h, soit que les six dernières soient supposées variables ou constantes. En les supposant constantes, les valeurs de x, y, z satisfont aux équations
dP r^ '
dt' r' ^ '
quelles que soient ces constantes, puisqu'elles sont arbitraires. Donc les mêmes équations seront encore satisfaites si l'on donne à une de ces constantes, comme a, l'accroissement infiniment petit et constant ^a. Or il est clair que les accroissements correspondants de oc, y, z seronf
* (f^ -, ^ (ly ^ -< <h . cla -' da du
et ces valeurs devront par conséquent satisfaire aux équations précédentes différentiées suivant la caractéristique o. Pour simplifier ces différentiations, je mets les équations dont il s'agit sous cette forme plus simple et équivalente
—j — =^ ( I -f- m ) -7— ) dP ^ ' dx
et, différentiant suivant ù, j'ai, à cause que les caractéristiques </et 0 sont censées indépendantes entre elles, et que par conséquent qcI- est la même chose que d'à,
d-ox N '■ s
-^^ = (i + m)\-^ dx
dt'
d'èz , A r .
— Ï-— = (i -f- m)\ -7 — ,- ox dt^ ^ '\dxdz
et ces équations seront satisfaites également par les valeurs
dx ^ dr ^ ^ dz ^
dx — '^- oa, ôr = -;- oa, oz — -r- oa, da '' da da
et par celles-ci
ou par
dx
dz db
db,
ÙX
dy dz
, oc, oy=-i-ûc, ùzr^-j-àc, de -^ de de
et ainsi de suite, en prenant pour ^a, ob, ^c,... des constantes infiniment petites.
Substituons les deux premiers systèmes de valeurs de ox, ^j, o:; dans la première équation; elle donnera, en divisant par da et ^b,
d^x , \ r dx
dr
dz
dPda
d^x dPdb
dx^ da dxdy^ da dxdz da ^
r dx
r dr >^ dz
^dx^ db ' dxdy db dxdz db
Soustrayons la première multipliée par -^ de la seconde multipliée
dx
dx
par -T-; on aura dx d^x dx d^x
da dVdb db dt-da
r [dx dy^ dx dy
r (dx dz dx dz\
dxdy\da db db da ) dxdz\da db db da)
Les mêmes systèmes de valeurs de ox, ây, dz étant substitués dans la seconde équation, il en résultera deux autres, dont la première, multi-
pliée par -jj- et retranchée de la seconde multipliée par —■> donnera
dy d^r dy d^r
da dPdb db dPda ^
L dx d)
dx dy dx dy
dxdy \db da da db j dydz \da db
r ( dy dz dy dz
dy dz\ db da)
Enfin la troisième équation, traitée de la même manière, donnera celle-ci
dz d^z dz d^z
da dPdb db dPda
=rf iH-zn -,
I V f dx dz \dxdz \db da
dx dz\ r (dy dz dy dz
da db) dydz \db da da db
DKS KLÉMJ'NTS DES PLANÈTES, BTC. 729
Qu'on ajoute miiiiilcnaiil ces trois nni;.lioiis rnsfiiiMc, 1,- s('c.,n,l in('ml)ro s'évanouit, et l'on ;i sini|>lcincnl
^A/ ffPf/h .M dP</a c/a <lPdb 7W JFda "^ d^ dFJh ~ Tfb UFIÛl = '^•
Commo il n'y a propreni.-nl ,,nr Ir / .h- varial.lr dans <..||r r.,ua(i.H.. elle est évidemment intéi-rahle, el son intc-rale est
^i^-^i^ + ^^'/)- ^h- ^dz d'z dz d'z
da dtdh db dtda da dldb Tïb TûdFx-^ d7i dJ7lT> " Tfb JfTa = ^'
K étant une constante qui pourra être fonction dos constantes a, h, c,
Or il est visible que le premier membre de celte équation n'est antre chose que ce que nous avons représenté par
{x, a, b)-\- ij-, a, b)-h{z, a, b);
ainsi la valeur de cette expression qui forme le eoellicienl de dh, .I;,m^ la valeur de ^ dt donnée ci-dessus J4), sera indépendante de t et ne sera que fonction des six éléments a, b, c,f, g, h; et, pour avoir cette fonction, il n'y aura qu'à rejeter tous les termes dépendants de / dans
l'expression dont il s'agit, après la substitution des valeurs de — , -^,
dx ''" '^^^^"
^v, déduites des valeurs elliptiques de x,y, z.
On trouvera par une analyse semblable, en faisant varier successivement les autres constantes c,/, g, h des différences infmimeni petites el constantes oc, •?/,..., et employant des réductions analot-ues, (|ue la valeur de l'expression
(X, a, c) -+- {r, a. Ci -+- ( z, a, c
sera indépendante de l, ainsi (jue celle des autres expressions analogues qui forment les coelTicicnts de de, r//',... dans la valeur de '^" ,{t
dit
6. Dénotons par les symboles ^a, b), (a, c), («,/),... les valeurs des expressions
dx d'x dy d\y dz d'z dx^ d'x dy d'y dz^ à-'z "da dtdb "^ 'dâ dtîb ^ dâ dtdb ^ db dtda db dtda db dtda
dx d'x dy d'y dz d'z dx d'x dy d'y dz^ d' z la (itdc "^ dâ. dl de dû dt de de dt da de dt da de dt da '
dx d-x d)- <Py dz d'z dx d-x ^ dy^ d'y <jz d'z 'dâ Itdf "^ Tlâ (Udf ^ la dtdf ~ 'df dtda " df dtda df dtda'
lorsqu'on y fait disparaître tous les termes qui contiennent /, après les substitutions des difïerences partielles des valeurs de x, y, z\ on aura cette formule très-remarquable
-^ dt = [a, b) db -+- {a, Cj de + i a, f) df ^ [a, g) dg -f- [ a, h i dh.
En procédant de la niême manière, après avoir ajouté ensemble les trois quantités
dQdx^. ^&iU ^ 'ii ,// dx db ' dy db ' dz db
dont la^omme est égale à -rrdt, et fait des opérations analogues, on aura la formule
'^ dt — — a, b) da -f- [b, c)dc H- [b, f) df + ( b, g) dg -f- ( 6, h) dh,
dans laquelle les symboles (6, cj, 'h,f), (b, g),... dénotent les valeurs des expressions
dx d'x dy d'y dz d'z dx d'x dy d'y dz d'z db dlde db dtde db dtdc de dtdb de dtdb de dtdb
dx d^x dy d'y dz d'z dx d'x dy d'y dz d'z
db dtdf db dtdf " dh dtdf df dtdb df dtdb df dtdb
dx d'x dy d'y dz d'z dx d'x dy d'y dz d'z db dt(/g db dtdg dh dtdg dg dtdb dg dtdb dg dtdb
lorsqu'on en fait disparaître le temps / après les substitutions.
Kl l'on voit (|iM' celle rormiile peiil se dédiiii'e de l;i |)réeéclentt' (Mi \ cliangoaiil eiili'e elles les (jiiaiitilés (t el A, el uhseivaiil (|ti(t
(h,a)Tzz — {a, h ,
comme cela se voit par les vaieiii's des symboles (a, h , et ' b, a]\ el cela a lieu, en ij^énérnl, pour tous ces symboles.
Ou aura donc ainsi les quatre formules correspondantes
-j- dt = —{a, c)da — [b, c) db -+- (c, /; df -h {c, g) dg -\ • c, li <lli.
dQ.
- - dt=-(a, f) da— b, f db - ( c, f ] de -+- (f, g}dg-h j\ h dh ,
-y- dt ^- - a, g) du — b,g)db - r, g) de - (/, g) df -+- g, h ) dh,
dQ.
—r- dl =^ — \ a. Il )da — { b, h ) db — y a, li de — [f, h) df — y g, h i dg.
7. Il est bien remarquable que les différences partielles de la fonction il, relatives aux constantes arbitraires, puissent s'exprimer ainsi par des fonctions diflerentielles de ces mêmes constantes sans que le temps ^y entre. Il s'ensuit qu'on pourra également exprimer les différentielles ^-5 -7-» -Y-->-' par les différences partielles de la fonction iï dt dt dt ^ ^
relatives aux éléments a, b, c,..., multipliées par de simples fonctions de ces quantités sans t; car il n'y aura qu'à déduire les valeurs de ces différentielles des six équations précédenles par les méthodes ordinaires de l'élimination, et il est visible qu'elles seront toutes de la forme
/^ dil ..dil ^,dil .^dil ^, //i> „f/i2\ . V^Tb^-^'^db^''^^ '' df "-^'dg-^ " -db I ^^'
dans laquelle les coefficients A, B, C, F,... ne seront donnés que par les coefTicients (a, b), (a, c), (b, c),..., et ne seront pai- conséquent (|ue de simples fonctions des éléments sans /; ce qui fournil un Tlicorènie trèsimportant et très-utile dans la Théorie des perturbations des planètes.
Il est bon de reniai'quer encore que la même analyse servirait également si ratlraction, au lieu d'agir en raison inverse du carré des distances, suivait la loi d'une autre fonction quelconque de la dislance. Car soit, en général, / la distance, et supposons que l'allraction, au lieu
d'être proportionnelle à — ^ soit proportionnelle à 9 (r,; il n'y aura (ju'à met Ire dans les équations différentielles les termes —- — ,• —, sous la
forme
dl d'- d'-
dx dy dz
et remplacer ensuite - par — / 9 [r] dr. De même, dans la fonction il, il faudra mettre
ûf/9 ( r' ) dr' dj9 ( f-' ) ^'' df^ ( r ' ; dr' V dx' dy' dz'
à la place de ~^-> '—^- -7^5 ^^ ~ / ?{p')^p' ''^ ^^ place de — ? en supposant, pour abréger,
et ainsi pour les quantités affectées de deux traits,
Enfin, si l'on voulait aussi avoir égard à la figure des planètes perturbatrices, il n'y aurait qu'à substituer pour la planète m', à la
place de m' j o(r')dr', m' j Z'{p')dp', les quantités ^dm' j (p{r)dr',
^dm' I o{p')dp', en supposant que les rayons r', p' soient dirigés à
chaque élément dm' de la planète m', et que l'intégrale dénotée par la
caractéristique ^ soit prise pour toute la masse m', en ne faisant varier
que les coordonnées qui déterminent la position de dm' relativement au centre de la planète, et regardant comme constantes les coordonnées oc', y, :;' de ce centre; et ainsi pour les autres planètes. Cela suit du Théorème
(juc j'ai (lonnron 1774, dans l'Article X|I de la P'ihce Sur l'éqimf ion sec u^ laire de la Lune. [Voyez le tome Vil des Savants étrangers {')\.
8. Nous venons de montrer comment on peut obtenir les valeurs d.s difrénmtielles de tous les éléments par les difrérenees partielles dr l;i lonetion il relatives à ces éléments. Mais, pour le grand axe, j'ai trouvé, il y a longtemps, que sa didérentielle peut s'exprimer par la dilTérence partielle de il relative au temps t, en tant qu'il entre dans les valeuis elliptiques de x, y, z. On parvient à ce résultat par la considération suivante.
Soit 0 = o une des intégrales des trois équalions en x, y, z dans les cas où les termes dépendant de il sont nuls; la quantité <1> sera lonetion
1 dx dy dz ,
(le X, y, Zy ^, -^, —, et (le a, h, c,. .., ou de quelques-UFies de ces
quantités seulement. En regardante, b, c,... comme constantes, l'équation r/4) = o devient identique par la substitution des valeurs de x, y, z en t et en a, b, c,...; maison les regardant comme variables et dénotant par la caractéristique 5 les différentielles relatives à ces variables, tandis que la caractéristique ordinaire û? se rapporte à la variable /, la diiïérentiation complète de 0 donnera l'équation c^O + ^0 = o: et comme r/<l) est identiquement nul par l'hypotbèse, on aura simplement o(i) = o. Or il est facile de voir que l'on a
d^ dy • dz .dx dt ,dy ilt ,dz dt
dt (il dt
d'^ , dA) ,, d<l> ,
-h -j— art -*- -Yj- db -\ y- de -h ... .
(la dl> de
Mais on a vu au commencement (3) que les conditions de In variation des éléments sont
èx = o, ày= o, oz = o,
ddx (tLl . ddy dil ^ èdz dLl . ~Tr — T' "'' -77 — -7— dt. ——- = —- de,
dt dx dt dy dt dz
{*) OEin'rc'i de Ldi^raiiirr, t. VK p. 348.
7;li MÉMOIKE SUR LA THÉORIE DES VARIATIONS
donc on aura l'équation
/ c/^ du d^ dil d<^ dil ■. . r/O , f/O ,,
/ — -j- -, 1 T- J ^- "~T" -j— \dl -\- -— da-- j^ db -h.. .= o.
I , (/.T dx , dy^ dy ,azdz a a db
Yw '^di ' "^dt
Il s'ensuit de là que, si la (onction <& ne contient qu'une seule des constantes arbitraires a, b,..., on aura sur-le-champ par cette équation la valeur de sa différentielle dégagée de toutes les autres.
Ainsi, en prenant l'intégrale connue
dx- -f- dr^ -+- dz^ f i i
idP \r ia ^
laquelle résulte immédiatement des trois équations fondamentales
dl'
dt^
d^z dP
multipliées respectivement par dx, dy, dz, et ensuite ajoutées ensemble, et dans laquelle on démontre facilement que la constante arbitraire 2 a représente le grand axe de l'ellipse, la formule précédente donne tout
de suite
dLl , rfO , dLÏ j ^ j i
-j— dx -\ -— rf V H — j— ciz -h ( \ -h m) d — = o ;
ax df "^ dz ia
et, comme ici les différentielles dx, dy, dz se rapportent uniquement à t, il est clair que cette équation peut être représentée plus simplement par
— ,- n dt -\- [\ -\- m) d — = o, ndt ia
de sorte qu'on aura
, ?.a^ dil ,
da :rzr ■ — - n dt.
I + m n cit
im:s klkments des planètes, etc. 735
J'écris n (Il (hiiis l;i (riirùreiitialioii |»;irli('ll(' de il pour (prou ne lasse varier le / (lu'aulaiil (jiTil sci'a coiiIl'Iui dans x, y, ;;, oii il est iiitilliplic par n.
Telles sonl les foniuiles les plus simples |)our la variation des éléments des planètes. Nous allons les employer d'abord |)onr la variation du i^rand axe.
VaIUVTIOIV du (iliAJVl) \xi:.
Première approximation.
y. i.a variation du grand axe -la est la plus im|)ortante, parée {\\xv. eelle du moyen mouvement ni en dépend ii cause de /a = i/' '^^-. et le
point princij-al est de déterminer si la dillérentielle da j)eul contenir un terme constant, tel que Y^dl\ car ce terme donnerait K/ dans l'expression de a : d'où résulterait un terme proportionnel à t- dans celle du mouvement moyen, lequel donnerait une équation séculaire croissant comme le carré du temps.
Comme les variations des éléments dépendent toutes des différentiel les partielles de la quantité il, qui est ujie lonction algébrique des coordonnées X, y, Zy x' , y, z' , x" , y, z" ,... des planètes m, m , m,..., il lanl commencer par substituer, ou du moins supposer qu'on ait substitue dans cette (onction les valeurs elliptiques connues de ces coordonnées, lesquelles sont fonctions de làxnnt, cos nt et des éléments a, b. c, /', ^', // pour la planète m, et fonctions semblables de sin/i7, Q.oi^n i et des éléments a', b' , c, /', «•', h' |)our la planète m \ en faisant n' =: i/ — - — i et ainsi pour les autres planètes.
De cette manière la quantité ii deviendra fonction de siuA//, cos/?/. s'mn't, cosn't,..., et de a, b, c, f, g, h, a' , b', c ,/', g\ h ,...: et, comme les valeurs des coordonnées peuvent être réduites en séries de sinus et
cosinus d'angles multiples de nt, ou n t, ou n" t il est facile de voir
que la lonction il pourra être réduite en une S(''rie de sinus ou cosinus d'angles tels (]uv int + i n t -h i" n" t -h..., en dénotant j)ai'/. / , /",... des
nombres entiers; ces sinus ou cosinus ayant pour coetïicients des fonctions des éléments a, b, c,f, g, fi, a', b' , c',....
La première approximation consiste à regarder dans la fonction il tous ces éléments comme constants; alors un terme quelconque de cette fonction sera de la forme
, sin / . ., , .„ „ 1
/ X int H- l' n' t -¥- i 11 / -i- . . . N
ces \ /
le coelficient /étant une quantité constante.
Comme dans la différence partielle — ^? il ne faut ditférenlier que par
rapport au terme nt, où t est affecté de n, on voit que le terme dont il s'assit donnera dans la valeur de da le terme
là' lin + ces / . ^ ., , ^ •//,/.
