X . ( int + l' n' t -h i' n' t
2H- /n — sin \
et par conséquent dans la valeur de a le terme
lina-I sin / . ... .„ „
- X mt + in' l -4- i" n"t -+-
[i -h m)(in + i' n' -4- /" n" -f- . . . ; ces
d'où l'on voit qu'il ne peut jamais en résulter des termes proportionnels à t, à moins que l'on ait
in -+- i' n' -+- i" n" -\- . . .= o,
ce (jui est à peu près impossible, vu l'incommensurabilité des coetïicients n, n\ n",..., dans notre Système planétaire.
C'est ainsi que j'avais démontré, dans mon Mémoire de 1776, ce Théorème important, que les grands axes des planètes ne peuvent être sujets qu'à des variations périodiques, et non à des variations croissant comme le temps (*). Mais ce Théorème ne pouvait encore être regardé comme exact qu'en se bornant à la première approximation, dans laquelle on fait abstraction des perturbations qui font varier tous les éléments a, b, €,/, g, h, a', b', c',
(*) OEiwres de La grange, t. IV, p. 255.
. DES ÉLÉMENTS DES PLANÈTES, ETC. T:n
Seconde approximation .
<0. Dans cette seconde approximation, nous aurons eyarcl à la vanat.on des éléments qui entrent dans la fonction 12; et. comme ces vanations sont fort petites parce qu'elles dépendent elles-mêmes <les 'i'tï^Tcnces partielles des fonctions 1>, i2',..., doni lous Irs temn-s sont
mull.phés parles massesm,;.^^;^^'^....,,„isontdeslVactionstrès.petites. on simplifiera le calcul en décomposant chaque élément en une partie n^nstante et une partie variable très-petite, qu'on pourra dénoter par la caracleristique A. et traiter comme on traite toutes les dillerences finies. De cette manière les éléments a, a', a",..., b, h', b",..., c, c , c" deviendront a -f- A«, a'-h ^a\ «"+ ^a",..., b + ^h[ b' ^ ^b' \"\ ^b''
^-^Ac,.'-^Ac^c''+A.^...,où.^.^a^...,/.,^^//',...,,,,.,,.,. ^,^;^^^^
dorénavant des quantités constantes, et A«, A«', Aa"...., ^b, ^b\ Aè",.. seront les seules variables; par conséquent les diirérentie'lles des éléments da, da', da%..., db, db\ db",... deviendront simplemen. d ^o db^a!, ^/Aa",..., dl^b, d\b\ dAb",....
En faisant ces substitutions, et développant ensuite par la méthode connue suivant les puissances et les produits des diflérences Aa, Aa', A/>, A//,..., la fonction U deviendra ii-f- Ai) + XA^i2 -h. ...et l'on aura
ISC
et la formule de la variation du grand axe deviendra
dAa = "^'^'-^^^y ///O (/Ail ^ ri A' il
H-m \ndl nclt "^ 2 n dt "^
ndl.
Dans ces formules la fonction il et ses'différences partielles ne contiendront plus que t de variable, et les différences partielles relatives à t ne devront être prises qu'en faisant varier dans Ù le / qui est nfTecté du coefficient n.
Le premier terme —j~ est celui que nous avons considéré dans la première approximation. Dans celU'-ci nous allons considérer le terine suivant — j^i dans lequel Ai2 no contient que les premières dimensions des différences àa, àb,..., Aa', A/>', —
11. Je vais commencer par la partie de Ail qui ne renferme que les différences A«, A/>,.. . des éléments de la planète m. (x'tte partie est composée des teruKîs suivants
^A.+ ^A/>+^-^-A.+ ^A/+^As + ^AA.
Comme les différentielles da, dh,... sont remplacées par celles de A«, ilh, il résulte de ce que nous avons démontré plus haut (7) (jue chacune de ces différentielles sera de la forme
/ , dQ. „ dil ^, dil ^ dil ^ dil ^. dil\ , \ da dh de df dg dh j
dans hujuelle A, B, C,... sont de simples i'onclioiis des éléments sans t. Il faudrait donc substituer dans ces fonctions, ainsi que dans il, a -\- Aa, h -h.Ab,..., a -\- Aa' , h' -^ Ab\... au lieu de a, />,..., a\ b' ,...; mais cette substitution appartiendrait h l'approximation suivante; ainsi on pourra ici regarder les quantités A, B, C,... comme simplement constantes, et
la fonction ii comme simple fonction de nt, ii' l, ii" t, Par ce moyen
il n'y aura de variable que la fonction il, et les valeurs des ditTérences Aa, Ab, le,... seront de la forme
(jii'il faudra substituer dans la formule précédente.
l)i:S liLliMEM'S DKS PLANÈTES, lîTC. im
Mais j'ol)serv(.' (jiic, si au lien de siihslitiirr ers valeurs ou conserve
au coulraire les (luaiililés àa, Sh, Ar el (pTou y substitue les valeurs .
«les dillérences partielles de ii, (|ue nous avons trouvées plus haut Hij, en y remplaçant le ; diiréreiitiidies r/rt. t/h, de,... par r/Aa, dM), d àc^. . ., la (juantité
/ dil . dil ^ , dil , dil , ^ dil d<ï
pi'end iuirnédialeuienl celle fonne élégante cl syuiétri(|uc
{a, b){^nd\h — Xhd \(i -^- {a, c) (Aa^/Ac — âic d la -+- a, f) ( Art dHf — \f(i la ■+- {a, gi(Aadlg— Igdlai -+- ' a,li) ( Aa dlh — \li d la) -f- 6, c){lh dAc — Ac dlb -h{b,f)iAbdAf—AfdAb) -\- [b, g) {/\b dAg — Ag dAb ) -h(bJ)){AbdA/i~ AhdAh) -h {c,f){Ac dAf — AfdAc, -f- ( c, g){Ac dAg — AgdAc) -h ( c, Il ) ( Ac dA/i — Ah dAc t + {f,g){AfdAg-AgdAf -\-{f,li){AfdAli - AlidAf -h{g,h){AgdA/i - A/idAg ,
la(|uelle contient, connue l'on voit, toutes les coml)inaisons deux ;i di-ux des six éléments a, b, c,/, g, h.
Ici la fonction 12 est censée entrer dans les valeurs des diUerenlielles de Aa, Ab, Ac,..., et par conséquent ce n'est que dans ces valeurs (|u'il l'audia faire varier le t en tant qu'il sera affecté du coefïicieni n, pour avoir la dilTérence partielle relative à / de Ai2, dans l'expression de dAu.
12. Si maintenant, dans les expressions données ci-dessus des différentielles d^a, dM on substitue la valeur de Û en série de sinus et
cosinus, on aura des termes de la forme
(LsinN/ -4- McosN^ dl, qu'on peut réduire à
dans lesquels N = m -+- «'/l'H- i'V4-..., en donnant à i, «',... toutes
les valeurs entières y compris zéro.
Soit donc
Psin(N/+/y)
un terme quelconque de (^Aa, la valeur de Aa aura le terme correspondant
PcosjN^ + />)
H y aura de pareils termes dans les valeurs de f/A6 et A6, et il est facile de voir que la formule [^adbh— ^bdùs.a ne pourra donner de termes sans t dans la différentielle partielle de Û, à moins qu'on ne combine ensemble les termes de d^a et de d^b qui ont le même argument Ni. Ainsi l'on prendra pour dM) et b.b les termes
Qcos(Nf + tf Qsm{^t-^q)dt et ^ ^
Substituons ces termes dans l'expression
àa -^— ^- ^b -— n dt,
l ndt 71 dt J
elle deviendra PQ
z^ [(cos(N< +/?) cos(,N/ -f- ^) — cos^N/ 4- ^)cos(N/ -^ p)]ndi,
qui est évidemment nulle.
Donc l'expression dont il s'a£?it et toutes les expressions semblables
dont est composée la parlic de -^^j^ ndl, (jui est due aux variations d.'s
éléments de la planète m, ne pourront jamais donner de termes constants; par conséquent la variation du j-rand axe, en tant qu'elle dépend <lc ces mêmes variations, ne contiendra point de terme conslani <•! indépendant de i.
C'est de cette manière que M. Poisson a démontré l'al.sen.r d.-< termes constants dans la variation du grand axe, due aux variations des éléments de la planète troublée, après avoir, par une combinaison ingénieuse des formules connues pour ces variations, ramené les <lifrérenis termes de la variation du grand axe à la forme
V C()dt-i^Cvdt,
13. Il reste à considérer les autres parties de la fonction Ml dépendant des vaî'iations des éléments a', h', c, . . . , a\ b", c", . . . des planètes m\ m",...; mais on n'y peut plus employer les mêmes réductions, parce que, la fonction il n'étant pas symétriquepar rapport aux coordonnées X, y, z, x\ y', s, . . . , il arrive que les fonctions ir, Çl\ . . . , (jui doivent entrer dans les équations différentielles en x' ,y\ z\ x'\ y", z", .... sont toutes différentes de la fonction 12, comme nous l'avons remarqué au commencement (1).
Pour éviter cet inconvénient et pouvoir renfermer dans un même calcul la détermination de la variation complète du grand axe, il lani rapporter les planètes m, m', m",..., ainsi que le Soleil, à leur centncommun de gravité, autour duquel leurs mouvements sont j)lus réi-uliers à quelques égards.
Fnriation des cléments des orbites rapportées au centre codiwkh de gravité du Soleil et des plaui'tes.
14. Prenons X, Y, Z pour les coordonnées du Soleil, et conservons les mêmes lettres a;, j, z,x\y', z',... pour celles des planètes, l'origine
de ces coordonnées étant dans le centre commun de gravité; nous avons d'abord, par la propriété du centre de gravité, les trois équations
X H- mx -¥- m' x' -\- m" x" -\- . . . = o, Y H- /?i r-+- ni'r'-^ ni"r"-{- . . . = o, Z H- m s H- in'z' -V- m" z" + ...=1:0.
Ensuite, si l'on fait, pour abréger, il=.m [--=
X)^+(j -Yf-^{z -If
nun
sl[x"-x'Y^[y"-ff^{z"-z')
on aura les équations suivantes, dans lesquelles je fais, pour abréger, m -\- m' -\- m" + . . . = M,
d^ da d^ dQ d^ (/il
dp ~" r/X' dp ~ r/Y ' dP ~ dZ
d'x I + M r/Q f/^7- i + M dû d'z
dp r^ ~ mdx^ dP /-■• ^ "~ m dr ' ^F
c^-^^' ^ I + M ^, dil d'y' i-t-M , dû d'z' i + M , (/i2
dP
i)j:s éléments des planètes, etc. -w
Ces équalioiissoiil, coimiic l'on voil, toiiics scmlihiblcs pour les diU'érentcs planètes, et en même leinps scnihlahles à (('ilcs où les ((x.idoiinées sont rapportées au Soleil; mais la ronction i> est ici h. niènie pour loutes les planètes, parce qu'elle est symetri(iue p;ir n.ppoii ;,nx coordonnées X, j, z, x , y', z',
J'avais donné ces équations relatives an centre de -ravile sous une forme un peu diiïérente, mais qui est la mènu' pour le fond, dans les Mémoires de l'Académie c/e Berlin de 1777 fj, et j'en avais drdiiii diljérents Théorèmes relatifs aux centres de gravité des i)lanètcs.
Il est bon de remarquer, à l'égard de la fonction Q, (pi'.'llc n'csl composée que de termes du second ordre relativement aux masses m, m, m",...; car les quantités qui, dans cette fonction, ne sont multipliées (|ue par m, m', m",..., sont déjà elles-mêmes du premier ordre, à cause <iU(! les X, Y, Z sont du premier ordre, comme on le voit par les trois équations finies du centre de gravité. Ainsi les différences parlielirs
d\ ' </ V ' f/Z ' m dx' m clr ' w77i' " '
(jui forment les seconds membres des équations différentielles, seroni toutes très-petites du premier ordre, relativement aux masses/?/, m',.... On pourra donc traiter ces équations comme nous avons f;iil à l'e^i^ard de celles qui se rapportent au centre du Soleil, et en tirer (U'^ résultats semblables.
15. Comme les quantités X, Y, Z sont du premier ordre iclativcmciil
aux masses m, m', . . . , on pourra les né^li^er dans la valeur de -^ d,-
"^ "^ n (Il
la première approximation dans laquelle, en supposant les éléments
<'onstauts, on néglige leurs variations, qui sont aussi du j)remier ordre.
Dans la seconde approximation, couime les différentes parties de Ml
relatives aux variations des éléments des planiMcs w. //-'. ,'// s. .m
(*) OEiivies (le Lngrangr. t. IV, p. îoi.
toutes senil)lables et dépendantes de la même fonction, elles donneront toutes le même résultat.
A l'égard de la partie de ù dépendante des coordonnées X, Y, Z du Soleil, elle contiendra les termes
dLl ^- dil ,. dil ., et l'on aura X, Y, Z par les trois premières équations, lesquelles donnent
\= Cdt fdt~, Y=fdtCdt^, Z=fdiCd/
cm dZ
Comme les différences partielles de Q. relatives k ndt ne regardent que les coordonnées ce, y, z, la variation du grand axe 2a dépendante de ces termes sera exprimée par
A^a-hAa-rf d'Q ^ d'il ,, dHl .A , rr X H , ... Y H 7—77- / n dt .
iH-M \ndtdX ^ ndtd\ ndtdZ
Un pourra faire, dans les expressions des différences partielles -j^^
-Ty-' 77"' les X, Y, Z nuls, parce que ce sont des quantités très-petites
du premier ordre; alors ces différences partielles ne seront plus que des fonctions de x,y, z, x' , y\ z',..., et par conséquent seront réductibles à des suites de termes de la forme
P sin(N^ -h /?),
en supposant, comme ci-dessus,
N = in + i'n' -+- i"n" -1- . . . .
Considérons dans -7^ un terme de cette forme: il eu lésuliera dans X, par la double intégration, le terme
DES ÉLÉMENTS DES PLANÈTES, ETC. 7i.i
Ce terme devant être miiltiplir nai- ^, ,-, il est visible (in'il irt-ri
' ' nul(t\ '
pourra résulter de; ternie sans /, à moins (in'on ne [jicnnc dans -^^ nii
ternie qui ait le même arj^^umtînt N^ et qui soit par conséquent de la
même forme Psin (N^ -f-/>), puiscju'on sait <jue tous les fermes (jni ont
le même argument N/ sont réductibles à un seul de cett»- (orme; ce terme
deviendra
/Pcos( N/ -{-/>)
d'il dans j^^jfjy^^ ^"^ '•' pi'oduil des deux termes sera
/P'sin2(N^H-/?j
et par conséquent périodique.
On peut conclure de là que, dans les ellipses variables que les planètes peuvent être censées décrire autour du centre commun de gravité du Soleil et des planètes, les grands axes ne peuvent être sujets à des variations non périodiques, tant qu'on n'a égard qu'aux termes proportionnels aux masses et à leurs carrés ou produits de deux dimensions; que par conséquent leurs mouvements moyens ne sauraient contenir des inégalités croissant comme les carrés des temps.
Mais, quand on connaît le mouvement d'une planète autour du centre commun de gravité, il est facile d'avoir son mouvement rapj)oité au Soleil; car les coordonnées relatives à ce mouvement ne sont (|ue les différences de celles de la planète et de celles du Soleil. Ainsi, r, y, z étant les coordonnées de la planète et X, Y, Z celles du Soleil, on aura
pour les coordonnées de la planète rapportées au Soleil. Or les équations données ci-dessus (14) pour le centre de i;ravité donnent
X = — m X — m' x' — m" x' — . . , , Y = — ni y — m')' — nt"y " — ....
Z = — mz — i)i' z' — m" z" — ...
