VI

Ainsi les coordonnées aulour du Soleil sont données par celles qui se

rapportent au centre de gravité.

De plus, comme tous ces mouvements sont à peu près elliptiques, soit autour du centre commun de gravité, soit autour du Soleil, on peut ;iussi rapporter à des ellipses variables les nouvelles coordonnées

el, par la Théorie des osculations que j'ai exposée ailleurs, on aura les viileurs des éléments variables correspondants, en substituant ces coordonnées à la place des coordonnées a?, j, z dans l'expression de cha(|ue

élément en x, v, z H ^, ~, ^, relative au cas où l'on regarde les ■ dt (It dt

éléments comme constants.

Ainsi, comme on a, en général (8), pour le grand axe 2a, l'expression

I I dx"^ -1- df^ -+- dz'^ ■2. a /' 'î{i -h m) dP

un aura pareillement pour le grand axe 2a de la planète rapportée au centre commun de gravité

I I dx- -+- dy^ -\- dz-

où a?, j, z et A'= \jx- H- y- -h z- sont censés avoir buir origine au centre

couiuiun de gravité; et cette valeur de — deviendra celle de — pour la

même planète rapportée au Soleil, par la substitution de .r — X, y — Y, z — Z au lieu de x^ y, z {' ).

(") Une explication, sur ce passage, est peut-être nécessaire. Comint», dans l'expression

précédente de - — -, ~t', j, z désignent les coordonnées de la planète par rapport au Soleil, il

est clair qu'il suffira de substituer .r — X, y — Y, z — Z à -r, y, z, si ces dernières lettres ?ont employées pour représenter les coordonnées relatives au centre de gravité, X, Y, Z dési- •,MKMit alors les coordonnées du Soleil. Mais on peut aussi procéder d'une autre manière, comme

le l'ail Lagrantie. A la force -, rr-r rr-^ ,^-^5 qui régit le mouvement ellipticiue

■^ •- {.c — xy-\-{j — \y-i-[z — i]'^ ^ ' '

DES ÉLÉMENTS DES PLANÈTES, ETC. Ha

17. (loiuinc les (|ii;iiilil'''s X, V, Z S(Hil du iirciiiici- (lidrr rrhilivcinciil ;)ux masses, il sullir;!, (hiiis (•elle siilisliliilioii. d'iivoii- ci^îird ;iu\ sccondo diincDsions de rcs (|ii;iiililcs. Ainsi

dcviciidia

Vr^— i{x\-hr\ -^ zZ)-{-X'-h\^-+- V

■ ^ x\-\^ jY + gZ X^ -^ Y' + /? (xX-hj-Yh- zZ)' .

cl l;i (luaiitilc — , -.,, .,- deviendra

' 2 ( I -I- M ) dp

dx'-^ dr'^dz' ^ dxd\-h dydY -h dzdZ d\' -h dY' -\- d'/J „

■>. \i-hM)df' "*" (i -1- M ) (//^ "* 2(1 -h M) ^7/'- ^ ^'

Par ces substitutions et en remettant — à la place de sa valeur, on lura

i i 3?X+jY-t-gZ dxdX-^ dydY -hdzdZ

■?n ?. a /•' ii-f-M)û?/-

.x-X-f- rY + zZ)-— r^(X^+ Y'-H-Z^i d\' ^ d\' -f- <yZ' ... ar^ 2(n- M r//-

(lo la planète /// autour du Soleil, rien n'empêclie de sub8tiluer — r -— ,

pourvu qu'aux lorces perturbatrices e.xistantes on ajoute une force nouvelle de nnême ordre

(lue celles-ci , égale à ^^r-r — -; r^r-:; ■ =-77,» etdirieée du Soleil vers la planète.

{Note (le l'Editeur.)

(*) Celte formule est inexacte; le facteur 3, qui doit multiplier le dernier terme du second membre, a été omis par l'Auteur. [Note de V Editeur.)

(**) Le deuxième terme de cette expression. (]ui est att'ecté du signe -*- , doit avoir le signe — . [Note de r Éditeur.)

(***) Les fautes que nous venons de siirnaler alfeclent la prè>ente formule. Pour rétablir l'exactitude, il faut remplacer par -t- le signe — placé devant le troisième terme du secorul membre, et donner le coellicieni 3 à la première partie du numérateur du (jualrieme terme.

[Note de r Éditeur. ^

Mais les équations diirérentielles en x, y, z de l'orbite de m rapportée au centre commun de gravité donnent (14)

X d^x dil

r^ {i-hU) dr- [i-h M ) m dx

y d^y diï

/^ ~ "~ ( I -h M j dp '^ ( 1 -f- M ] /n df

d'z dQ.

r^ {i-hM)dt- ( I + M ) m dz

„ , . , ,.^, , x\-hrY-hzZ .-, . , Substituant ces quantités dans ^^ •> il vient

I I djXdx -h Ydy-h-Zdz) w ,*\ en faisant, pour abréger,

■~ /■ 2(i-f-M)(Vi^ \-^\\\mdx mdy mdzj

Dans cette formule on a (numéro cité)

X = — rnx — m'x' — . . . , Y =: — iny — m'y' — . . . , Z = — mz — m'z' — ... ;

(le sorte que la fonction W est du second ordre ndativement aux masses

(*) Cette t'ornuile est inexacte, comme celle d'où elle est tirée; il faut la remplacer [>;n- la suivante

i j ( X d\i: ^ Y r/^ )■ 4- Z d- z) -[ dx ([%. + dr dY ■+- dz dZ ) ^

■la" l'j. ( I -+- M ) dt'^

[Note de r Éditeur.)

(**) Dans le second membre de cette formule, il faut donner le coetïlcient -à. au dénominateur du premier terme et le coefficient i à la première partie du numérateur.

(Note de F Éditeur.)

m, m ,..., |)uis(iuo les dillerences narliollcs - — ,-■) — 7-, — 7- sont (l(!|;i ' ' ^ m (IX ni ay ni az '

(lu prcMiiier, coinnic oii l'a vu ci-ciessiis. Ainsi il siillil (J'y sul)Stiluef, \>oui' X, y, z, x', y', z' , . . . , l(;urs valciiis clliitrniucs à éléments constants; d'où l'on voir (jin' cvMv foin-lion ne peut conlcnir ;iu< un terme proportionnel au temps.

A regard de la quantité

X(/.r-t- Ydr-hZ(h

(jui n'est que du premier ordre, elle pourrait conlcnir de |tarcils termes par la variation des éléments dans les expressions d<' oc, y, z, x',y', z',...;

mais, comme la valeur de — ne contient (lue la dilïerentielle de cette

quantité relativement au temps, il est (dair que le temps disparaîtra par la diiïérentiation. Enfin on a prouvé que le grand axe 20c de l'orhile rapportée au centre commun de gravité ne renferme point de termes proportionnels au temps, en ayant égard aux quantités du premier et du second ordre des masses; donc le grand axe 2a de la même orbite rapportée au centre du Soleil n'en renfermera pas non plus : ce qu'on s'était proposé de démontrer (*). On voit que cette démonstration est direcle et générale, et ne laisse rien à désirer.

Développe me ut des formules génét aies reUitivement aii.v variations des éléments elliptiques {**).

18. Juscju'à pi'esenl notre Analyse a été indépendante des valeurs des coordonnées elliptiques x, y, z; mais tdie serait ineninpjeie si elle n'offrait pas les formules des variations {]{'<> éléments elliplicjues. re-

(*) Cette conclusion, (|U(' l'ilhisln' Vutcur tire il'une expression inexacte de — 1 m- résulte

pliis, irurif nuinivrc cvidirttc, de l'exitression corrii^re. La faute de signe que nous avons signalée réduit donc à né<int la démonstration. [Note de rji<l(teiir.)

(**) Ce qui suit n'a été lu (jue le \x septembre.

750 MÉMOIRE 8UH LA THÉOKJE DES VARIATIONS

duiles à la forme la plus simple et la plus propre pour le calcul des perturbations des planètes. Or ces formules demandent le développement des fonctions que nous avons désignées (6j par les symboles (a, hj, la, c),..., en y substituant les valeurs de x, y, z exprimées en t et en a, h, c,...; ainsi nous commencerons par donner ces valeurs sous la l'onnc la plus simple.

Sans chercher à les déduire de l'intégration des équations ditl'érenlielles, ce qui serait trop long, et ce qui est d'ailleurs assez connu, nous emploierons la considération de l'angle appelé par les Astronomes anomalie excentrique, et que nous désignerons par u. Par le moyen de cet angle, on a tout de suite la formule

nt -\- c =: u ~\- h sin u,