OC
de
ou = -7- oc.
de
En substituant ces valeurs dans la même équation générale, et conservant les valeurs précédentes de Ar, A^, A//, A/', A^', \u' , on aura, en
c'iTaçant le facteur commun ^aâc, cette autre équation
dr'^ \da de
dr dr' de da
^dH\fds ds' fjs(h[\ ds'^\ da de de da 1
ds'^ \da de
d'R (du duf^ du'^\da de
r/'R jdr ds'
da du'
de da
dr'ds' \da de dn\ (dr du'
dr'du' \da de f/^R (ds du'
ds'du' \da de
ds dr' f/=R
du dr'
dr ds'
d'IK
dr du'
fhdr^ da de
dudr[ da de
du ds' da de
dr ds da de
dr du da de
dr ds^ de da
dr du' de da
ds du de da
dr ds de da
dr du de da
ds dr' de da
du dr' de da
du ds' de da
r/'R f/-R \ f ds du ds du
du ds' ds du' j \da de de da
La quantité désignée par le symbole {a, c) exprime la valeur de la formule qui forme le premier membre de l'équation lorsque l'on y fait t — o on qu'on rejette tous les termes indépendants de t-, et l'on voit ([ue cette quantité répond à celle qu'on a désignée par le symbole [a, b) en ce que la lettre c est partout à la place de b. On voit aussi de la même manière que les premiers termes de cette équation forment la valeur du
coefficient C du terme C^c de l'expression de -.— dt\ ainsi l'on en peut
déduire la valeur de ce coefficient exprimée de cette manière
ds dr'
du dr'
r/^R dr ds'
dr du'
dsdu' duels' ) \da de
dr ds da de
dr du da de
f/^R \ / ds du
ds dr da de
du dr da de
du ds da de
Comme cette expression de C résulte de celle de B, en y changeant simplement ben c, on aura pareillement colles de F, G, H, en cliangeani successivement b en/, g, h.
19. Ainsi la valeur de -.— dt (10) deviendra, par ces substitutions,
-f- dt — (a, b) db -r- [a, c) de -f- (a,/) df-k- [a, g) dg -f- («, A dli
lia
l rf'R J'R \ (Iv l ils „ ih , (h ,^ (Is , (Is ,,\
^[-dTdF- lûdF') cru [db '^^ -'' 7k ''' -" dj- ''f-" Tg ''^ -- dh ^^V
f d^R d-K \ ds ( dr „ dr , dr ,„ dr , dr ,,\
/ d^W r/'H \ dr ( du „ du , du .„ du , du ,,\
-^[iTdiV - dlid?) dAdb'^^-^dE-'^'-^Tf'^f-^ d-g'^s-^-^iu*"^)
/ dn\ d'K\ du [ dr „ dr , dr .„ dr . dr ,,\
-\di^- diTd?) Ta [db ^^ ■- Te ^^' -^ df ^^f-' d'g ^- -^ dit ^'V
/ d-W d^R \ ds (du „ du , du , du , du ,,\
' ds „ ds , ds ,^ ds , ds ,,\ -jrdh + -j~ de -h -rr-*U^ t- "S" ~ nr ""
d'W d'K \ du [ ds
dsdu' duds' j da
20. Si maintenant on se rappelle que les équations ^r -- o, ùs~o, au = o du n° 7 donnent
r//- „ dr j dr ,,. r//- c//' r//-
-77- 1/6 ^- -y- de -'r -Tn df -i- -J- dg -i- -7,- (/// — y- da,
db de df •' dg ° dli da
ds ,, ds , ds ,„ ds , ds ,, ^5 .
db -\- -.- de ->r -jr. df -i- -j-dg-^ -.7- dh = — —-da, db de df -^ dg ^ dh da
du „ du , du ,, du , du ,, ^/« ,
db de dj '' ■ dg " dh da
on voit tout de suite que cette expression de -j^dt se réduit à la forme très-simple
■^- dt : {a,b) db -h {a, e) de -^ ( a, f) dfn- ( a, g) dg -^- a, h , dh : da
et (le là, par l'analogie qui règne dans nos formules, on pourra déduire
immédiatement les expressions de —rrdt, -j^dt,..., en changeant
simplement a en b, c On aura ainsi, en observant que la valeur
de {a, h) ne fait que changer de signe par le changement de a en b et b en a, et qu'il en est de même des valeurs de tous les autres symboles
fI9
-^ dt =- - (a, b) cla 4- {b, c) de + {b,f) df-i- {b, g) dg 4- {b,h)dlu
L-.(ltr=.- {b, c) db -{a,c)da-h {c,f) df + (c, g) dg -t- {c, h) d/i,
^dt=- [b,f) db - (c,/) de - [a,f) da + (/, g) dg + if, h) dh,
--j^dt = -{b, g) db -{c,g) de - (/, g) df -{a, g) da + (g, h ) dh,
dO.
-^dt=-{b, li)db - (c, h) de - (/, h)df-{g, h)dg-{a, h) da,
formules entièrement semblables à celles que nous avons trouvées dans le Mémoire sur la variation des éléments des planètes (6), et qui n'en diffèrent que par la valeur des symboles [a, b), [a, c), [b, c),....
21. A l'égard de ces valeurs, il est bon d'observer qu'elles ne dépendent pas de la fonction R elle-même, mais seulement de ses différences partielles relatives à r', s' , u'; de sorte que, comme on a supposé R = T — V (5), et que V n'est fonction que de /', ^, w (2), on aura simplement
dR dT^ dn^dT dW dT dr' ~ dr'' ds' ~ W ^ ~ ^ '
par conséquent, dans les expressions des valeurs dont il s'agit, on pourra mettre partout T à la place de R.
DES CONSTANTES AKIUTKAIUES. 793
Dl' cette inaiiil'i'c on aura, en i^éuéial, pour un symbol»; (luelcoïKjnc
(rt, h),
j.d-''ïl <h (Jr' dr' dr
d' T / (Is ds' ds ds "^ 7ïs^\7Ui dh ~ dû db
d*T /du du' du' du du''' \(la db du dl>
d''ï { dr ds' ds dr' dr' ds ds' dr
dr'ds' \d(C db ' da db da db du db
d'T I dr du' du dr' dr' du du' dr\
dr'du' \du db da db da db da db j
d'T f ds du' du ds' ds' du du' ds
ds'du' \da db ^ du db du db du db
d'T d'T \ jdj^ ds ds J^^
ds dr' dr ds' J \ da db du db
d'T d'T \ Idr du du dr'^
dudr' drdu' j \da db (ta db
duds' dsdu! ) \da db da db
en faisant t = o, ou bien en rejetant tous les termes (jui contiendraient t, après la substitution des valeurs de T et de r, s, u en fonction de t, a, h, c, f, g, h.
22. On voit aussi, par cette formule, comment on pourrait l'étendre au cas où il y aurait un plus grand nombre de variables indépendantes.
A l'égard de la fonction T, elle n'est autre chose que la moitié de la somme des masses multipliées chacune par le carré de sa vitesse, c'està-dire, la moitié de la force vive du système exprimée en fonction des variables indépendantes et de leurs dérivées relatives au temps. Ainsi notre Analyse a toute la généralité et la simplicité qu'on peut désirer.
23. Lorsqu'on aura trouvé les valeurs de tous les symboles {a, b),
[a, c), [b, c), . . . en fonction des constantes a, b, c on aura autant
d'équations de la forme de celles du n" 20, par lesquelles on pourra dé-
