ADDITION

25. Depuis la lecture de ce Mémoire j'ai observé que l'équation intégrale trouvée dans le n'' 15 pouvait se réduire à cette f'oniio simpb;

^'-'d? ^-^^^7/.' -^^"^-./.' --'^77' -^'^-ds' -°"^-^.' ^'

et j'ai reconnu qu'il était possible de la déduire directement des trois équations différentielles

j dR dR ,

d -.- , r^ dt - o,

dr dr

d ~i~, r^ dt - o,

du du

par le seul jeu des caractéristiques o et A, et sans exécuter les ditlérentiations relatives à d.

En effet, si l'on ajoute ces équations ensemble, après les avoir niiillipliées respectivement par A/-, A^, A?^, on a

Ard-j—- -\- Asd-rr + aud-.—r — — ,— A/- i — , A^ r -, au] dt o. dr ds du \ dr ds du j

Or

. ,f/R ,/, d\\\ t/R ,, dr' \ dr' / dr'

Mais nous avons déjà vu que d/Sr ^ \r'dt (numéro cité) ; ainsi l'on aura

. jdR ,[ ^ f/R\ dR , , , ^rd^=d[^r^)-^^r'dt,

lou.

et de même

Aiid~~Y ^- diAu-j-j] — -j , Au'dl.

du' \ du J du'

Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, on pourra lui donner cette forme (puisque R est une fonction de r, s., u, /', 5', u')

\ dr ds du J

On trouvera pareillement, en changeant la caractéristique A en 0,

,/. r/R . r/R . r/R\ « ô/' -/- -:- 05 -,- -;- ou -.—- — oR «/ =- o. \ dr' ds du J

Maintenant, si l'on affecte tous les termes de la première équation de la caractéristique 0 et ceux de la seconde de la caractéristique A, et qu'on regarde les variations Ar, A^, ùm comme constantes à l'égard de la caractéristique ^, ainsi que les variations ^r, os, au, comme constantes à l'égard de la caractéristique A; que de plus on se souvienne que le d n'a rapport qu'au temps t, et est par conséquent indépendant de 5 et A, on aura ces deux équations-ci

f/ Ar 0 -rr -1- A5 ô -,— - ;- Auo -,-- — ôAKdt = 0, \ dr ds du J

d §r A — - -f- (55 A -, ,- H- ^« A -,— — A oR f/^ =: o. \ dr' ds' du J

Or, puisque les deux caractéristiques 0 et A sont indépendantes entre elles, en supposant les variations de r, s, u, r', s', u' relatives à ces caractéristiques aussi indépendantes les unes des autres, il est clair qu'on

aura

ÔARr AÔR.

Donc, retranchant les deux équations l'une de l'autre, on aura une

DES CONSTANTES AIUnTIl A I UES. 797

é(lLiatioii iiil(''gral)le ichilivcmcnl ii /, et doiil riulri^i-alc sera

A/-0- , -: A50- -!- A«o , , o/A , , oiA ,, o«A , , K, ur Us du ilr ds du

qui est la nuMUC (|ii(î (•(illc (iiic nous avons drjii lioiivcc.

Mais, (juoiquc cette Analyse soit hicn plus siMi|»lc (jue (clh; du Mémoire, parce que les diiïérentiations n'y sont (iu'iudi(juées, elle peut néanmoins laisser quelques doutes dans l'esprit, à cause de la supposition que nous y avons faite de l'indépendance des variations de /, ,v, //, / ', s'. Il relatives aux deux caractéristiques 5 et A, tandis qu'il n'v a ;i la rigueur d'indépendantes que les variations oa, 5^, oc,... et \(i, aA, ^c,. .. C'est pour(juoi l'entière Analyse, quoique beaucoup plus loiii^iic, ne doit pas être regardée comme inutile, puisqu'elle peut servir :t incllie noire Théorie à r;J)ri de loute objection.

20. Au reste, d'après la forme que nous v(;nons de donner à l'équation intégrale, on peut simplifier les expressions des symboles [a, h ,,

[a, c), En elfet il est facile de voir qu'en regardant directement H

comme fonction de n, h, c,..., et substituant T à la place de R, comme nous l'avons fait (21), si l'on suppose, pour abréger,

dr' " ' ds' ~ ' du' " ' on aura, par l'algorithme des différences partielles,

^"' ' ^ da db " dn db '' "dci db ~ 'db "da " TFf) T/TT ~ db d(J ""

et ainsi dos autres symboles, en changeant seulement les lettres a, h en c, /, g, h, oîi Ton rejettera après les substitutions tous les termes qui contiendront le temps t, ou bien on y fera t -- o, pour (jue les valeurs de ces symboles ne dépendent que des constantes arbilraiic.s a, l>.

On voit aussi, par cette forme que nous venons de donner aux ex-

pressions des symboles, comment elle peut s'étendre à un plus grand nombre de variables s, t, u,..., et de constantes arbitraires a, b, c, /,

<r II Q, II,

27. Je ferai encore ici une autre observation importante. On sait que la loi de Mécanique appelée la conservation des forces vives a lieu dans tout système de corps liés entre eux d'une manière quelconque, qui agissent les uns sur les autres par des forces proportionnelles à des fonctions des distances, et sont en même temps soumis à des forces étrangères dirigées vers des centres fixes et proportionnelles aussi à des fonctions des distances aux centres; mais elle cesse d'avoir lieu, si les forces étrangères ou quelques-unes d'entre elles tendent à des centres mobiles et indépendants du système.

Cependant on peut démontrer par les formules de ce Mémoire que les variations de la force vive du système, produites par ces sortes de forces que nous regardons comme des forces perturbatrices, ne peuvent jamais croître comme le temps, mais doivent toujours être périodiques, si les mouvements de^ corps du système sans les forces perturbatrices, ainsi que ceux des centres de ces forces, sont simplement périodiques; et ce résultat a lieu en ayant égard non-seulement aux premiers termes dus aux forces perturbatrices, mais aussi à ceux qui contiendraient les carrés et les produits de ces mêmes forces.

28. En effet les équations du système sans les forces perturbatrices sont de la forme (5)

a -n dt^= Oj

(//•' dr

du' du ~~ '

([uel que soit le nombre des variables r, s, u,.

En ajoutant ciiscmhle ces équations, après les avoic inMllipliécs res-

, (Ir , ils , du peclivemenl par r = --, 5 = — , u = //'■' O" »

r il- ,-- -; s il --y + uil,~, -4 ... — -, ^// ^/.v , (hi . . (I.

ilr ils du di (Is (In

Or la prcinièro partie de celte équation peut se mettre sous la l'orme

d[- , f -^ - , , s -1- ~r', " -;■•.. -,-, dr' — - ■ ds' - , , du' . .

\r//' ds du j dr ds du

Doue, puis(|ue R ne eontieut d'autres variables que /•, .s. //, — /', s'. Il l'équation prendra cette l'orme

\dr ils du J

dont l'intégrale est

dr ds du

a étant une constante arbitraire.

Or R — T — V (5); et, comme V n'est censé contenir que /•, s, u,. . sans r', s', u',..., l'équation précédente devient

f/T , f/T , f/T , rp . ,r

dr ds du

Mais, la quantité T étant exprimée en fonction de r, s, u et de »', s', u',..., il est facile de voir qu'elle ne peut être qu'une fonction homogène de deux dimensions de r', s\ ii\..., et qu'ainsi on doit avoir, pai' la propriété connue de ces sortes de fonctions,

dr ds du

De sorte que l'équation qu'on vient (\o trouver se réduira à

laquelle exprime la loi de la conservation des forces vives. [Voyez la cinquième Section de la seconde Partie de la Mécanique analytique, Article IV (*).]

29. Lorsqu'on a égard aux forces perturbatrices, les équations des mouvements du système sont (5)

f/-, -—clt^ —-dl,

dr (Ir dr

fdn.dR dil

ds' ds ds '

, r/R r/R , dil ,

d , , 7— dl --- -y— dl,

du du du

et, en faisant sur ces équations les mêmes opérations, on aura, au lieu de l'équation T -t- V = «, celle-ci

^ ,, ridO. , r/û , dil j \

T -i- V =^a-: / -,- dr -] -,- ds -!- -.— du -r . . . ,

J \ dr ds du j

dans laquelle la quantité

- , dr 4 — 7— ds -;- - ,— du + . . .

dr ds du

n'est pas intégrable, parce que la quantité Q est en même temps fonction de r, s. II,... et des variables qui dépendent du mouvement des centres des forces perturbatrices.

Ainsi, dans le cas des forces perturbatrices, la constante arbitraire a de l'équation T -i- V -= a devient variable, et l'on a

d£L , d£i , dil , da = --,— dr -; — ,— ds -;- , - du !.. . dr ds du

La force vive du système (1) étant ex|)rimée par ^T, elle sera égale à ia - 2V; mais la quantité V est une fonction donnée des variables ({ui déterminent la position instantanée des corps dans l'espace. Donc les

(*) Dans la deuxième Édition, seconde Partie, Section V, n" 22. [Note de rJùlUcur. )

variations de la constanlc arLitraiic 2a scroiil celles que la force vive éprouve par l'action des forces perturbatrices.