C0S(CP
à{r„ny
r, — p, CCS (4^ — 92!
ces ( '])
r, sin(9, — 92) 810(9,-92;
r3sin(93 — 92) sin(93— 9
A(r2, r,)' r4sin(9i — 92]
rl{i+pl)
A(/-2, rO^ û, sin '\> — 92;
sin(94 — 92)"1 r]{i + p]y\
sin(4' — 92)"]
(*) Fnir la Note de la page 76.
82 IlECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS
On aura pareillement les expressions de R:,, Q3, P;,, et de R^, Q,,, P., en marquant successivement de trois et de quatre traits les lettres qui ne sont marquées que d'un seul trait dans les expressions de R,, Q,, P,, et réciproquement (*).
Il reste à chercher les valeurs des quantités A(r, , r.^), A(r, , ^3),..., qui expriment les distances entre le premier satellite et le second, entre le premier et le troisième, etc. (Article IX). Or il est facile de trouver ((u'on aura
A(r,, }\y = {r.ip.-- r,p>y -h [r, siniOj— 9,)]^ -1- [i\ — r, cos(cp2 — 9,)]'
= /'Uï + p' j — 2/', r^ [cos(9. — cp, ) + /;,/;.] -4- /•; ( I -h /?;) ;
donc, tirant la racine carrée.
Air,, /•,) = v'V'(,i-f-/?') — 2/-, r^ [005(92—9.) -^PiPi] + rl{i-h pi) . On trouvera pareillement
A{r„ r,) = s/r- {i -h p]) — in r,[cos' o,— (?,) -h p, p,] -h r;{i+ pi), et ainsi des autres. On voit par là que
Air^, r,) = A{r„r,j,
car l'expression de cette dernière quantité demeure la même, en changeant r, , /?,, 9, en r., p., 90» et réciproquement; ce qui est d'ailleurs évident.
(*) Foir la Note de la page 7G.
DES SATELMTi:S DK .IIIMI Kli. H:\
Pour avoir iiiaiiitciiaiil la valeur de o,, il ii'v aura (lu'ii cliaii^ci . (Ian> celle (le A^/-| , /o . /•.. <'ii 0,, 'j>a eu '|, el ellacei' la (juiiulilé /;.. ^\rliel«i XI;; on aura doue aiusi
on trouvera pareilleuienl
0= = y/'i (i 4- />5 ) — 2r2 p, cos(<j^ — cp,) + p* ,
e( aiusi des autres.
Nous avons supposé (Article Xj que rattraction de Jupiter sur les satellites était exactement en raison inverse du carré des distances; c'est ce qui n'est rigoureusement vrai qu'en regardant Jupiter comme un fflobe de densité uniforme.
Or ou sait par les observations et par la Théorie que cette Planète est considérablement aplatie; de plus il peut se faire qu'elle ne soit pas paitout de la même densité : deux circonstances qui peuvent aussi intliu'r sur le mouvement des satellites, et auxquelles il est bon par consé(jueul d'avoir égard ici. Pour cela nous supposerons : i" (jue la figure de Jupiter soit celle d'un sphéroïde elliptique peu dillerent d'une sphère; 2" que ce sphéroïde soit formé d'une infinité de couches toutes sphéroïdicjues, et de densités différentes; 3*^ que Téquateurde Jupiter s(»il dans le plan de Ttubite de cette Planète.
Cette dernière supposition n'est pas tout à fait exacte; car on sait que l'équateur de Jupiter est incliné d'environ 3 degrés sur le plan de sdii orbite; mais l'erreur (|ui e.n résulte est si petite (ju'il serait siiperllu d'en tenir compte.
Cela posé : soient A le demi-axe d'une couche (|uelcon(|ue. !•' son eHi|)-
ticité et D sa densité; on trouvera par les Théorèmes de la ligure de la Terre de M. Glairaut (§§ XXVI et XLVI, seconde Partie) que l'attraction de Jupiter sur un satellite quelconque produit deux forces : l'une, dirigée au centre de Jupiter, égale à
2CT
[/dA.^.V + |/d^,A.E)J + ^%-^.7l)^.A'E);
l'autre, perpendiculaire à cette direction dans le plan d'un méridien, égale à
5r'{i -hp-)'
f\)di\Œ)
{zs dénote ici la périphérie d'un cercle dont le rayon est égal à i^. La partie
de la première de ces d'eux forces, étant réciproquement proportionnelle au carré de la distance, doit être comparée avec la force -—
(Article X) ; d'où l'on aura
zr=2C7r rD.Vf/A+ 1 rDf/(A'E)]-
L'autre partie de la même force
5r'{i-hp-'rJ aussi bien que la force perpendiculaire
, J'^f' ,-3- flUiX^E), 5r*{i-hp-'rJ
devront être regardées comme des forces perturbatrices, et par conséquent décomposées suivant les directions de R, Q, P; cette décomposi-
tioii (Haiil l'aile, on aura les deux forces suivantes
dans la direction de la force R, et
l^^^^^-rD^(A^E)
dans la direction de la force P; donc, si l'on suppose
fDdiX'E)
^ ~ A'[/DAV/A H-'f jDrf(»EjJ '
les forces perturbatrices R et P, qui résultent de raplatissenieni de Jupiter et de riiétépogénéité de ses couches, seront, en général,
5r'{i-hp'y 5r*{i-hp'y
d'où Ton tire : pai' rapport au premier satellite,
vA'^(i-4/>^) „ vA^T{3p.-ip]),
lii — ^ ) r, — j 5
5r\{i-\-p]Y 5rl{i-\-p]y
par rapport au second satellite,
vA^^(i-4p^) vA-Zr(3/.. -:.;>-). Kî^ — •> *'— 1 '
5r^(i-J-/>^)- 5rî(i-|-/?^)-
et ainsi des autres.
Il n'y aura donc qu'à ajouter ces valeurs à celles des Articles \li et Xlll. Au reste, comme l'aplatissement de Jupiter n'est que d'environ
^■> suivant les dernières observations, la quantité E sera fori j)clite.
aussi bien (jue la (juantité v; de plus le rapport de A" à /- sera toujours exprimé par une fraction fort petite; de sorte que les forces perlurl):iîricesdont nous venons de parler seront nécessairement tirs-pelili's.
Si l'on suppose D constante, on aura
En général, quelle que soit D, on aura, par les conditions de l'équilibre,
rDâf(A*E) = 5A»(E-|ê) TdA^JA
f§ étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, sous l'équa-
teur); donc
v = 5E-fê
à très-peu près.
Il faut maintenant développer les expressions des forces perturbatrices P, Q, R, en employant les suppositions de l'article V. Pour cela nous remarquerons d'abord que nous pouvons négliger dans ce calcul tous les termes de l'ordre n\ parce que les quantités P, Q, R sont déjà elles-mêmes de l'ordre n, comme nous le verrons plus bas. Donc, mettant premièrement dans la valeur de A(r, , rg) [Article XlVj , au lieu de r, , a^ (i -h nx^), au lieu de />, , nz^•, et de même, au lieu de r^, aj\ -+- nx^), et au lieu de p^, nz^, suivant ce que nous avons dit à l'Article IX, on aura
= \/a\ — la^a^ cos(<}>2 — 'f,) •+- «^ -h in{à\x^^ a\x.^ — nna^a^^x^ -i--*^,) cos('f, — y,) »
d'où l'on tire, par les séries,
TT-^3 = [«' - 2 «, «2 COS ('f, — y, ) ^- «^]" ^'
— 3 « [«1^, H- a\x., — fl, a, {x^ -^- x^ cos (o.,— 'f ,)] \n\ — 2 <■/, a, cos (^.^— y, ) -^- ^2] ''-'-.•■•
On trouvera de même
= [r?-^ - 2^, rt,cos(Y3— ';»,) + «'J'
— 3 « [«'i.r, -H rt^.r^— «, «3 (x, -4- X3) COS (4/3— o,)] \(i\ — '2rt, rt, cos (i/^,— », ) -f- «^]' '■-)-,..,
Et pareillement
= [a] - -la^n^ cos('f, - v,) ^ «(]" '
— 3rt[fl»^,+ «î^-— «,a,(j7,-^j;,)cos('f,-"^,)J[^/;-.i^/,rt,COS((p,— Y,)-^«îj'''+-.--i
el ainsi des autres.
xvin.
Mais il se présente ici une ditTicuité, par rapport aux (|uantités
[aj — 2a,a, cos(92— 9i) -<- «2] % [«' — 2a, a^ rosl^j — 9,) + a']"', . . . ,
c'est tle pouvoir les réduire à une l'ornie rationnelle, condition absolument nécessaire pour l'intégration des équations des satellites.
Pour résoudre cette difficulté, on écrira d'abord les radicaux proposés ainsi
et la question se réduira à changer en une l'onction ralioiinelir une quantité de cette forme
(i — iq cosô -\- q^)~\
dans laquelle q est un nombre moindre que l'unité.
Pour y parvenir, je remarque que la quantité i — 2^co35-f^- est égale au produit de ces deux quantités
I — ^fcosô + sinôy — i), et i — ^(cos0 — siuô y, — ' );
je les éli'vc ilonc l'une et l'autre à la puissance À, en ecrivani au heu du carre de cosf/ ± sin5 y^— i , cos2$ ± sin 2$ V — •• •'' ainsi Ar suilr:
88 HKCliKKCHES SUR LES INÉGALITÉS
[i — fy(.co.s6±:sinÔ v' — I jj~''~ i -hlq{cosÔ ±sin9 \/—i )
^ — ^^ q^icosiB zL. sin?. 0 s/ — ij
çM,cos30±sin3ô y/— i
Soil, pour abréger,
I + Iq COS0 -+- ~ q-'cos^.O H ^ '-- — : — '- q'cos3B +. . .=:^ M,
/^sin& H ^- ' ^-81112 0 H ^ ^ij^ sin3 0 h-. . . = N;
on aiua
' I - V ( cos e + sin 9 v/— ^) J~' = M + N ^/^ ,
