X-f-aX, V-t-r5Y, Z-^oZ, K-i-oK, K'-^oir
il est facile de voir que les dill'eiences
ôX, oY, ôZ, ôR, ôl{'
exprimeront les espaces parcoujiis en même temps par le |)oiiil y d;ins des directions opposées à celles des puissances
^-^' '--dF' ^:^' ""W "ir^'
(jui sont censées agir sur ce point; on aura donc, pour les conditions de l'équilibre, l'équation générale
(II- ' ' df ' ' ' dP
savoir, en changeant les signes.
(A) ^('ccid'XèX -h d'\ d\ -h d'ZoZ -\-T f^ -+.S r^^=:o.
Les quantités ^X, 5Y, oZ, fîR, oW ne sont autre chose que lesdillereiitielles des lignes X, Y, Z prises à l'ordinaire et afl'ectées de la caractéristique ^ au lieu de la commune d, poui- les distinguer des autres dillerentielles des mêmes lignes qui ont rapport au mouvement ré(d du ( (ups.
Quant au signe d'intégration / ? il i'st mis pour mai(|uer la somme
de toutes les formules semblables cjui lépondent à tous les élén)enls y de la masse de la Lune.
10 RECHEKCIIES
ScoLii:. — Ia' t)riiHij)(' de Statique que je viens d'exposer n'est, dans le fond, (ju'iine généralisation de celui qu'on nomme eoniniunément le principe des vitesses virtuelles, et qui t!sl reconnu depuis longtemps par les Géomètres pour le principe fondamental de récjuilihre. M. Jean Beruoiilli est le premier, que je sache, qui ait envisagé ce principe sous un poiiil (le vue général et applicable à toutes les questions de Statique, comme on le peut voir dans la Section IX de la nouvelle Mécanique de M. Varignon, où cet habile Géomètre, après avoir rapporté d'après M. Bernoulli le principe dont il s'agit, fait voir, par diUerentes applications, (ju'il conduit aux mêmes conclusions que celui de la composition des forces.
C'est aussi ce même principe qui sert de base à celui ([ue M. de Maupertuis a donné dans les Mémoires de l'Académie d(! 1740. sous le nom de loi du repos, et que M. Euler a développé ensuite et rendu très-général dans les Mémoires de l' Académie de Berlin pour l'année lySi.
lilntin c'est de ce principe que dépend celui de la conservation des forces vives, comme M. d'AIembert l'a remarqué le premier à la fin de sa Dynamique; ce qui peut d'ailleurs se démontrer généralement ainsi.
Soit un système (|U('l(onque de tant de corps <ju'on voudra m, m , m", . , . , (|ui pèsent, ou qui soient attirés vers des centres par des forces (|U('lconques; soient P, Q, R, . . . les forces qui agissent sur le corps m, cl p, q, /',... les distances respectives de ce corps aux centres de ces forces; soient aussi P', Q', R, . . . , P", Q", R", ... les forces des corps m', m",..., et /j , q' , /',..., //, q", r",... leurs distances aux centres des forces; si l'on imagine ()ue tous ces corps semeuvent, durant un instant quelcon(jue dt, par les espaces ds, ds', r/,s",... avec les vitesses t^, ç^', (^",..., il faudra, par le principe général de la Dynamique, que le système des corps m, m , m ,..., animés chaïain des forces
1)1 (/v m' dv' m"dv"
SUU L\ LII{|{\TION l)K I. \ LUNE. il
dans ia direclioii mcinc des csjjaccs r/.v, ds' , ds" ,..., soil en ('(|nird)r(' :iv<'c les forces
mV, mi), m\{,.., m' V , m' (Y , m' W , . . . , m" P", m" Q" , ///' K", ....... .
Or, si l'on considère le svsU'nie pendant que les corps chanj^ent intiiii-
inent peu de position en parcourant les espaces ds, ds', ds" il csl
clair que
(/f), (Iq, dr,..., df}', (hj' , r/i ',..., (//)", (l(j\ dr",...,...
exprimeront les espaces parcourus par chacun des corps, dans des directions contraires à c(dles des forces P, Q, R,..., P', Q', R',...,...; <>m aura donc, par le principe de l'cijuilihre dont nous parlons,
— —j— ds -!- inV [— dp) -+- mQ(— dq) 4- mRi^— dr) -+- . . -j — ds' -+- m' V i - (/j/ -+- nt'Q' '. — dq' -+- m' R' — dr' ) -4- . . . ,
- -^-f— ds"+ m" P" - dp" ; + m" Q"(- dq" ) -+- m" U"i - dr" ) -<- . .
I • 1 / I ds ds' ds" . • » '
Mettant, au lieu de dt, ses valeurs — » ^» ^ '•• et intei>rant, on
aura
nn- -h ni' v'- -+- m" v"- -t- . . . := m V' -f- m' V"' -I- m" \"- -h . . .
f P d/) + () dq -t~ l{ dr -h...)
— 2 m' / ( P' dp' -+- Q'dq' -f- H' dr' -h . . . )
- 2 m" j\ P"dp"-h Q"dq"-h \{"dr"-h . . . )
V, V, V",... étant les valeurs primitives de e, v', i>",...; et celte équation renferme, comme on le voit, la conservation des forces vives prise dans toute son étendue.
Au reste le principe de Statique que je viens d'exposer, étant t'omhiné avec le principe de Dynamique donné par M. d'Alemberl, constitue une espèce (le lorinule générale qui renferme la solution d(; tous les Problèmes (jui rci^ardent le mouvement des corps. Car on aura toujours une équation semblable à l'écjuation (Aj (Article précédent), et toute la difficulté ne consistera plus qu'à trouver l'expression analytique des forces qu'on suppose agir sur les corps et des lignes suivant lesquelles ces forces agissent, en n'employant dans ces expressions que le plus petit nombre possible de variables indéterminées, de manière que leurs différentielles désignées par le ^soient entièrement indépendantes les unes des autres; après (juoi, faisant séparément égaux à zéro les termes qui se trouveront multipliés par cbacune des diff'érentielles dont je parle, on aura tout d'un coup autant d'équations particulières qu'il en J'audra pour la solution du Problème, comme on le verra dans les Articles qui suivent.
Soient présentement :
n rincliiiaisoii du plan de l'équateur lunaire par rapport à celui de
réclipti([ue; c la longiliide du nœud descendant de l'équateur lunaire, c'est-à-dire
l'angle que l'intersection de cet équateur avec l'écliptique, ou avec
le plan parallèle à l'écliptique et passant par le centre de la Lune,
fait avec l'axe des abscisses (Article II); 'j) la distance d'un méridien lunaire pris à volonté sur la sui'face de la
Lune, et qu'on appellera dorénavant le premier méridien, au nœud
descendant de l'équateur, cette distance étant comptée à l'ordinaire
sur l'équateur et selon la suite des signes.
11 est aisé de voir (|ue ces trois variables suffiront pour déterminer, à cbaque instant, la situation de la Lune par rapport à son centre, qui est censé immobile; aussi ce seront les seules qu'il faudra faire vai'ier dans les difTérenlielles des lignes X, Y, Z, R, R'.
