X, =-- £, COS(M

•/.. I Z, { «7,, a-, ) nos( [x-î — a, : / h Z. //, , a., i cos ■->. i y... - y., : / ^^- . . . |

— ■/, I Z, ' a^ , (li ) cos ( U3 — lJ.i)t -I- Z, ( rt, , «3 ) cos ■?. ( //:, — p., ) / "H • • • |

— y., I z, ( f<, , a, ) cos ( y.j — (j., ) I +- Zj f «-^ , rr, cos ?. ( f/.j — a, /-(-...]

— K, 3, cos'> ni — r/| 1/.

Ayant trouve la valeur .r,, on aura l'expression du rayon vrcicur /, (le l'orhile du [)renuer salellile rapportée au plan de l'orhile de .lupilcr, par la formule r^ -~<:/,(i -\-nXi) [Article IV j.

Or, en examinant cette expression de /', , on reconnaîtra aisément y\m' le terme /za,c, eos(M, i -h w,) représente féquation elliptique qui vient de l'excentricité de l'orbite, de sorte que nc.^ exprimera la valeur de rexcentricité, et M^t-\-o)^ sera l'anomalie moyenne; d'où l'on voit (|ue le mouvement de cette anomalie sera au inouvemenl moyen du satellite comme M| à y-, î P'>i" conséquent le mouvenu'nt moyen de la ligne des apsides sera au mouvement moyen du satellite comme /x, — M, à a, . Nous verrons plus bas (Article XLV), qu'en négligeant les quantités de l'ordre n, on a M, — /j.,» de sorte que la ligne des apsides sera fixe, au moins par cette première approximation.

A l'égard de o),, on le déterminera par le moyen d'une époijue (|ut'l- <"onque donnée de l'anomalie moyenne; ainsi les quantités s, et ^-jj, dépendent entièr(;ment des observations.

Les autres termes de la valeur de t\ expriment les inégalités (|ui viennent de l'action des trois satellites Co» C», C, et du Soleil sur le satellite C,.

XXXVIU.

On substituera maintenant la valeui' de r, dans la seconde ecpiatHUi de l'Article XXXV, et l'on tirera par l'intégration la valeur de/,, mais

i»ii aiii'a allt'iilion de faii'c évanouir auparavant f Article XXXIII] le Iciiiic constant/, I!,; ce (|ni donnera H, = o. Soil, pour al»rci;-cr,

(l>,(rt,,a2)= ^'^"' S,(«,,«2) -+- -, ~ — -r,(rt,,rt2),

<!),(«,, ûo) — „, ^^' — - E,{a,, a,) + , '^' ^, Tsia,, «2),

SiiM — y.,) 9(p.2 — p.,)^

't pareillement

^,'«,,«3)= — ^^^— S,(à,, «3) + ; ~ — - r,(a,,rt3',

2(^.3 — jy.i) 4ip.3 — p., )'

et ainsi de suite.

Soil (le plus

m — u, '"^' 8(m — jw.,)''

ou ti'ouvera

2jai£i ^.

y\ = -— "Cl sin (M, t H- 0),

-+- '/.2[^i(«i, «2) sin(a2 — ,a, )/ + 4>2(«i, (I2) sin?. y.. — a, )f. -\- . . .'] -+- -/sC^if^i, «3) sin(f/.3— u, :/ + 02(«,, «3) sin2(f/3 — a, / + . . . J + X^L^iî^M «4) sin(jy.i— a,)< + <î>j(«M Ui) s'm ■?. [j i — a, ;/ h- . . .] -4- K,y, sin2( /;; — «i)'-

Puisque 'v, = a, ^ + '^/i (Article IV), ou aura, eu couuaissaul -/,, l'expression du mouvement vrai du premier satellite par sou nu)uveinenl nunen.

Le terme — ^— ,j''~ sinfM,/ -l- o), ) rejjr'ésciilcra rr(ju;iti()ii du (ciilic

(|ni vienl de l:i lii;ure eHi|)li(|ii(' de l'oihile, et les lermes suivants cxpiiiiHToiit les iiK'j^alilcs causées par radidu des trois autres satellites et du Soleil.

I^nliii ré(|iialiou

donnera

>., elvy, etaul des quantités arbitraires; ear il est visible (jue celle e\|U('ssion GsinN, i + H cosN|/, laquelle représente généraleuienl la valeur de r, ''Artic le XXXIV), peut se réduire à celle-ci : À, sin'N,^ ■+- /},}.

On aura donc, à cause de p, = nz, f Article IV),

/>, := /?/., sin;N, / ^- tî, i

= langenie de la laliludc* du satellite par lapporl au ])lan de l'oi bile di' .liipiiir ;

d'où l'on voit (jue l'oibite réelle du satellite sera toute dans un plan passant par le centre de .lui)iter, et dont on connaîtra la position eu reuiar- (juaut : i"* (jue /?>.,, étant la plus grande valeur de/?,, exprimera la tangente de riu(dinaison-; 2" (|ue N,?-1-vî, sera la distance du satellite au nœud ascendant, comptée sur l'orhite de .lupiler, hupudle étant reliau- ( lu-e de la longitude moyenne y.,/, on aura 'a, - N,j/ — 7;, pour la idiigitude moyenne du nœud.

Au reste, puis(jue l'on a ici N, = ;j-i Arti(de \\\\ ,. le uu)uveuu'u( dunœud sera nul,et sa longitude moyenne sei'a y:,,ou plutôt Vio" y;,, (juanlité qui dépend des observations; mais il Tant se souvenir que ( e r(>sultat n'est exact (ju'aux quantités de l'ordre // près.

()ii Iroiivcra de même, pour le second satellite, les i'ormules suivantes

^.. — - e, cos(M2 1 -t- 0)2)

— i\'E.x{a2, «,) ces (p., — 1J.1) l -\- E2(«-2, «1) cos?.(,a, — p-, / -f- . . .]

— ^3 [H, («2, «3) cos(jU.3 — y.-/) / H- !E2(«2, «3 ) cos2( p.3 — p.2 1 / -(- . . .]

— x^"^! ( ^'" ^^'' ) ^^^ ( .'^■* — p-2 ^ ^ -1- — 1 ( <^2' «4 ) ces 2 ( a^ — u-i ) f -)- . . . ]

— Kv |3-. ces i{m — a-2 ) t;

■)\ = — ^'— sin ( M2 ^ 4- 0)2 )

-I- '/i [^1 1 «2, «1 ) sin ( y-, — y.2 ) / -f- <ï\. ( «2, «, ) sin ?, ( p., — /-'-; ) ' + • • • ] + X3 [^ï^i ( «2, «3 ) sin ( y.i — [M ) / + <î>2 ( a,, «3 ) sin 2 ( U3 — p., ) / -4- . . . ] -^ X4 [4>, (a2, «4 ) sin ( wi — uj) t H- <^2( a-,, ^^4 ) sin 2 ( ly.., — y., ; / h- . . .] -f- R2 5/2 sin 2 ( m — y.2 ) t ; 2, = >.osin(|y.2/ -i--/32).

Et l'on aura ensuite

/% := «j (I -4- nX, ), <p, 3= f^.2 / -f- /l|-,, j)^ = 7Î 22.

Quant aux (juantités marquées par E et 4), on^iura

H, ( tto, a, ) = r, ( «2, «, '1 H ^- r, i «.., <'«, I ; —

L [M — lJ-2 J (f-l

Z..( «2, «i) = rv(«2, a, ) H --^^ ■ f-Àfh, a, ) J^, TTi

4),ia2, a,) = — ^-^- Zaa,, «, ) -f- ; ^- - T, («2, «,),

jU-, — y-i (y-i — iJ-i)