ni

cos2(m — [j.t)t

— /iXî/i ^2 [r(ai, ch)-\- f, (a,, «2) cos( uj— f/.| j / + f .(a,, «2) cos?. (fx,— p.,) ^..]

— «Xî/ *3 L r («1, «3) -h f , i«,, «3) cos ( Uj— /7., ) ;-j- r,(a,, «3) cos 2(/y.3— p.|) /...J

— nxifiZi Lr(ai,«4)H-tii«i»«4)cosi/y.4— f^.i)^+r2(«i,«4) cos 2(11/4— ;/,)/...] =0.

Si l'on rejette dans les équations (G) et (H) tous les termes affectés (le /i, coniine ;iussi tous les termes constants qui doivent être nuls par les conditions de l'Article XXXII, on a

D'où l'on lire

X| = £, cos(M,/ + 0),;, }! = Tj- £1 sin(M,/ -+- w,),

ce qui donne pour .r, cl v, les mêmes valeurs que nous avons déjà trouvées (Article LXXVj.

• La quantité —s, sin(M,/H- '>),) n'est que le premier' lei nie de l'é-

Voï RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS

quation du centre calculée dans une ellipse mobile (Article XXXVIII); si l'on voulait avoir le terme suivant, c'est-à-dire celui qui contient le carré de l'excentricité, il n'y aurait qu'à mettre au lieu de oo^ dans les termes — w(6p., — 3/, j^c^ et — 3na,^? des équations (G), (H), la valeur de x, qu'on vient de trouver.

On aurait donc, en négligeant toujours les termes constants,

î^ + M;x, -/i;Gaî-3/.) ^cos2(M,^ + o),) = o, d\ c*

-~ -+- 2a,X, — 3 /M/, — CCS 2 (M, / -f- «,) = o.

dt '2

La première de ces équations donne (Article XXXIV)

e] ces 2 (M, t -h (,h)

Xi = £, cos(M, t -+- w,) — n{Gu.] — 3/,

c'est-à-dire, en mettant au lieu de/, et de M^ leurs valeurs approchées a"^ (Article XLVj,

X, = e, ces (M, /-+-&),) — «— cos2( M, t h- o),).

Donc, substituant cette valeur de x, dans la seconde, et l'intégrant ensuite, on aura

y, = — i^ £, siii(M,/ + «,) + '^j^ £|sin2(M, / -f- oj,).

Ce qui s'accorde avec ce que l'on sait d'ailleurs; mais nous verrons plus bas qu'il y a dans l'équation (G) d'autres termes qui influent considérablement sur l'équation du centre, et qui empêchent qu'on ne puisse regarder l'expression précédente comme assez exacte, même dans le cas où l'on néglige les quantités de l'ordre n.

Il en faut dire autant de l'expression de la latitude que nous avons déjà trouvée (Article XL); mais avant que d'entrer dans cette discussion, il est bon de voir ce que donnent les nouvelles valeurs de M et de N (Article précédent) pour le mouvement des apsides et des nœuds.

§ J. — Prcinicrcs valeurs du luow^cruciit des apsides et des nœuds

des salellUes.

Lxxvin.

Nous avons li-ouvé (Article LXXVI)

M| = 3f;.; — 2/; — /t/, [/.nift,, a^) H- X3n(«,, «,,) + /«îlfrt,, rt.) -1- ; K, -1- }y., j ; or, on a généralement (Article XXIX)

fi' /

(1 ou

et par conséquent

donc, négligeant les termes affectés de n, on aura

M; = p.^ [i — 2/ig-, — «-/oïl («,,«,) — n;)(;3n(rt,,rt,) — «Xi II (a,, a^) — }K, — |«y.,j. Maintenant on a par ré(iuati()n L, = ^, — . . . de l'Article LXXVI

g-, = L, H- 2f., H, H [z=f («., «2 ) -i- Xarya., a,) -F -/■, if (rt,, rt, -f- !; K,— ix, j ;