T TP

''/<' 'V-i' • • • ' *^'^ ynra

ncî, = 0,981 -^ + 0,126 -^ H- 0,018 w^ -+- 0,0 1 8660 V -I- o,oooooo3,

Ti:

nm2 = 1,558 -^ -f- 0,942 -— -+- 0,087 -^ -4- 0,0074^4 '-^ -1- 0,0000010,

WGÎ3 =; 0,320 -^ -4- i,5o6 -^^^ -\- 0,576 ^ -f- 0,002904V + 0,0000040,

«GTi = o,o83 -^ -t- 0,245 -^ -\- \,o\ô -^ -¥- o,ooo93(»v -f- 0,0000222.

Hi'i RECHERCHES SUR LES INEGALITES

^ W. — Oà l'on montre la nécessite d'avoir égard, dans les ealculs de l'équation du centre et de la latitude, ii quel(iues termes de l'ordre n des équatioîis (H) et (K).

Nous avons trouvé (Article LXXVII)

X, = £, cos(M, ^ + w, ), y, = ;r^- £, siii' M, ^ -+- ^)i );

(111 trouvera de même

X2 = £2 ces ( Ma < H- wj )» y2 = M ^' ^^'^ ( M2 / + w-i ) ;

et ainsi des autres. Cela posé, si l'on reprend l'équation (G) de l'Article LXXVl, et qu'on substitue dans le terme

«X2/i^2^i(«i, a-i) cos(|U.2 — iM)t,

au lieu de x^ sa valeur Xi+S^, on verra que la quantité XaCosfiLr.a— a,j ^ renfermera un terme de celte forme

cos[( Mj — y-^H- 'M ; t -f- r,)^'\ = ces ( y-, ■ ^ IJ.2 \ / -+- 0) J i * ) ;

lc(iuel étant intégré deviendra

COS I U.^ ^2 1 / -f- 0)j

/i §2 ^ \ ^ / /î êi

ainsi le terme

IX,-— IX,] - ^ p., — - p.,

^X^y» ^i(«n a2)^..cos(a2 — iJ.,)t

(* ) Les formules (jui suivont sont, dans le texte primitif, entachées d'erreurs provenant de ce

(pie l'Auteur a employé, par inadvertance, la formule M = ;jt ■> au lieu de M = p. ( 1 — — 1

(Article LXXIX) ; nous avons cru devoir faire subir aux formules la rectification nécessaire.

(Note (le r Éditeur.)

DES SATEI.LITKS \)E JUIMTKK. Kio

(l(; rcqiuilioii diUV'rcnlielle ddiincr;» dans la valeur dc.r, le terme suivanl

"X^/' "î^' («..<<>) COS U, -IM] t-hCh

r/ ne.

cos

le(juel appartient, comme on voit, à la première valeiii- de x,. Pareille ment le terme

donnera dans la valeur de x, le terme

2 iy.,(ê, ^u, — 63^/3^

COS

et il en sera de même de (|uelques autres termes de l'équation (Gj dont nous parlerons plus bas.

On trouvera de la même manière dans la valeur de Xo les termes

- Më ^ ^ cos ,v.2 a, W -t- 0), ,

£3 Xa/a^.lfla, ^3) 2 aa(ê-,a.,— .êjU-a)

COS

(fx,- ^«3J / + 0).,J

lesquels étant de nouveau substitués dans le terme

nXifi ^t{ai,ai) Xn cos ( «2 — u, ) /

de l'équation ( Gj, en donneront deux autres de cette l'orme

1 ^ifr, . t, x^f-,^i{a2, ai) 1/ «o, \, , I

ï«Xî/.^' «'.«' r ^"^^g — ^-g — cos (u, —y., / + ^). ,

2 a^ibjU, — S,y.|) LV 2 / J

/. irr £3 y3/i^i(a2, «3 1 / «Sj \ , |

le premier do ros deux ternies produira à cause de [j. ii ^ j =M

dans la valeur de x, un terme qui sera multiplié par l'angle t (Article XXXIV); ce qui donnera des arcs de cercle dans le rayon vecteur de l'orbite; le second y produira le terme

2 f/,(b3y.3— g,a,) 2 a2(b2//2— êsf^-s) [ \ 2 / J

qui est de la même forme que celui que nous avons déjà trouvé.

Ces termes en reproduiront d'autres dans la valeur de Xa, de la même forme que ceux que nous venons d'examiner, d'où il renaîtra encore dans la valeur de x d'autres termes de même espèce que les précédents, et ainsi de suite à l'infini.

LXXXVIIL

De la je tire ces deux conséquences fort importantes : i'' que les termes dont il s'agit, quoique de l'ordre n dans l'équation différentielle, appartiennent cependant à la première approximation et ne doivent point être négligés dans les premières valeurs de oc, y; 2*^ que la méthode ordinaire d'approximation, suivant laquelle on emploie à chaque nouvelle correction les valeurs trouvées dans la correction précédente, est absolument insuffisante pour calculer ces sortes de termes.

On appliquera le même raisonnement à l'équation (K) et l'on en tirei-a des conclusions analogues par rapport à la valeur de :;.

Il est donc nécessaire d'avoir une méthode particulière pour intégrer les équations (G), fKj; on verra dans le paragraphe suivant comment je m'y suis pris pour arriver à ce Iml; mais il faut commencer ici par voir quels sont les termes de ces équations, auxquels on doit avoir égard.

Pour peu (|u'on examine l'équation (G), on reconnaîtra aisément (jue

les termes dont il s';igi( viennent uniquement des termes (jui renl'eriiieiil

X:,COS{lX,— U,) t, ^jC0S(jtZ3 — /Jl,) /, X i cou { {J.t — fJ.,) t,

}'■, sin ( jUi — jU, ) t, j;, sin ( //, — //, ) t, y\ sin ( [j.^ — //, ) t, j Xi sin ( ju, — fXi) t dt, I Xj, sin (/y.3 — y.,) l dt, j Xi sin ( p.^ — [j.,j t dt, j Ki ^OS ( /7., — y., ) ^ dt, j >-3 COS ( f/.3 — (J.,) t dt, j }': COS ( y., — a, 1 / (/t,

en (ani (|u'()n y substitue Xj, Xj, x^; y2» ya» y^» à la place de X2, x^, x\; y-2^ .y -i^ }"*'■• *'<' ^oi'to qn'on pourra réduire cette éqnation à ((dle-ci

d'\, dtr-

Mîx,

— ^f' X2 ^' ( ^" «2 ) X2 COS ( f/., — y. , )

— «/iX3^l(«I.«3)X3COS(fZ3 — f/.,)

— '(/"' X* "î". i «1 , «4 ) X4 COS ( ju, — 1^, ) -+- nfrii r,(a., a,)y2sin(fz, — /x,) -<- n/x3 r,(a,, a3)y3sin(y3— f^-*) -•- «/' X< r, ( a,, tti) y.i sin ( /^i4 — u-i )

+ 2n/, jUiXî'ï^ilai, «2) /x2Sin(|u., — y.,) tdt + 2n/, ,u,X3^.(«., «3) /x3Sin(iU, — f/,)ff// -(- ?.n/, y,Xi^F,(a,, «4) / X4 sin(|W4 — fx.) /^// -I- 2 «/ u, 5(;2 f , («,, «2 ) / y, COS ( ju, — jU, ) / (// H- 2w/;y, x.3fi(«i,a3) / v,cos(fx, — f/,)/<:// -<- 2n/,y,x4r.(a,, a*) I y>cos{iJ., — u,) t dt = o.

168 KECHERCHES SUR LES INEGALITES

A l'égard de l'équation (K), on trouvera qu'elle se réduit de même à celle-ci

— nfx -/2 f jffli, aji 2, ces; p., — u, ) /

— n/i X3 f , ( «, , as ) Z3 CCS ( «3 — lJ-i)t

— «/; •/', r, ( a,, «4 ) z, cos( f/.i — p., ) ^ = o.

Comme noire dessein n'est pas d'avoir égard dans les valeurs de x, y et z aux termes de l'ordre n, mais seulement à ceux qui ont des coefficients finis, nous pourrons négliger dans les équations (L) et (N) tous les termes qui se trouveront affectés de n^, parce que ces termes seront encore de l'ordre n après l'intégration.

Or les équations (G), et (H; donnent, en rejetant les termes affectés de n,

—, V- Il

d'où l'on tire

r/y, 2u., dt m:

dt^ -""

et, intégrant.

dt =°'

il ne faut point ici de constante, ce qui est évident par la nature de nos formules; on trouvera de même

2^.2 C/Xj T.IJ.i </X3 2fJ.i f/Xj

^'~MÎ~dT-''' '^"¥1"^-°' ^''^"mT^"'''

DES SATELLITES DE JUPITEU. Hi<>

donc, sul)s(ilu;ml ces valciiis de v\,, y^, \\ dans l'équation (L) de l'Arliclc picccdrnl, on clianii^era les Icinics

nf, -/j TA a,, «, ]y.,sini [Xi — ij., ) l -^ nj\ X, r, ( a,, «3) y, sin (;;., — p., j / H- nf, 74 r, ( «,, «4 ) ^4 sin ( [j., — !J.,)t

en (M'ux-c)

et les termes

en ((îux-ci

' ".A X-^ ^ r, ( «,, a,) -^ sin (p.j — //, ) /

-<- '-'*,/' '/'. ;^ r, ( rt,, «4 ) -^ sin (|y.4 — /7., ) /,

2 n/ p., 72 r, ( a, , rt, ) / y, COS ( f/, — y., ) / r// -t- ^- '^/ P> X3 r, («,, «3) / ya ces (/y-s — f-, ) < rf/ + 2/i/, u, 74 r, (a,, «4) / y4 cos(p.4 — p.,^ /r/^

4/î./,,a,7- ^ r, («,, «2; I -y- cos( u, — /7., )<r//

H- i nf, u, 73 ^ f , ( a, , as ) / —.- ces ( /y.;, — y., ) / r//

-¥- L\nf,u.r/:, ~ r,;^,, a^) j -y- cos(ju., — u, l<f(.

([ue l'on pont (Micore changer en ceux-ci

4 nf\ a , y 2 ^ T, ( a, , a, ) X2 cos ( fz, — y.,)f -^ 4 '?/ y-, x,T ^ r, ( «, , rt, ) X3 cos ( (j-i — u, I /

-+- 4 nf, a, Xi ^ f , ( «,, «., )X4 COS( p., — a, y /

-\- nnf, a, /, ■ — r, ( a,, a-i ) j x^ sin ^ a, — a, 1 /

+ 4 nf, a, X3 ''^^^^y-— r, ( a„ a^ \ j X3 sin ( a, — a, ) /

, .. aAiXi — a, ) ç; , C • #

-I- 4 nf, u., yj ■ — ' — r, ( rt, , «4 ) I Xi sin ( /y.4 — ,u, ) / dt.

Par ce moyen, l'équation fL) ne contiendra plus que des termes de la forme de

x,cos(/ji2 — iJ-\)t, -^ sm(/jt2 — |U,)< et / x^SMUfx, — y., )tat. Je reprends maintenant l'équation

la(|UL'lle, étant rapportée au second satellite, devient

je multiplie cette dernière par sinf[j,2 — [J-t )tdt\ je l'intègre, j'ai

rd'^x, r

\ —rpr- sin ( ij.2 — a, ]tdt -ItM] j x^ sin ( «j — u, )tdt t= o;

je change l'expression