sm uj — u,)tdt

DES SAIKLLITKS DE JUIMTEH. 171

en son équivalente

~ sin I IJ.J — fx, t — {jj.,— u, )X2 cosi f;i2 — f/., ) / — ( p., — [j.x )' / X2 sin ( fj.^ — iJ.i)t dt, el il me vient re(|ii;iti<)i)

^Sin(|U2— /:x,)/— (/y.2— )y.,)x,COS u.,— (y.,)^-KLMj'— (/uiv— f^..)'] / \,S\i\[u., — iJ.iitdt=o; (foii je lire

[[x-2 — u.,)X2C0S(|y.j — iM,)t j- smiu, — f^.i)/

Je trouve, de ht même manière.

/ X3sin(f/3 — fj., tdt

,|U3 — (y.,)X3COS(p.3 — [J-i)t -7- smi Us— [x,}t

( y.4 — fA, )X4 COS ( f;.4 — a, ) / — -^ sm ( /y.^ — iJ.>)t

On fera toutes ces substitutions dans l'équation f L), moyennant (juoi elle n'auia plus (jue des termes de la forme de

dXi .

X, COS ( ju-î — [j.,)t el J- sm ( /y... — (j., ) t.

Donc si l'on l'ail, pour abregei-,

et de plus

on mira, pour le premier satellite, l'équation

"'/' 1^ ^1 («M «^; X, COS i fX2— |U, ) / — /i/ x, n, (//, , ch) -T-' sin ( «i— y.,) t

^/X^ 4^i(a,, «3) X3 ces ( jy.3— .a, ) / — nf\ x^ H, (a,, «3) -17' sin ( p.3— p,) ^

«/ X4 ^Fi \a„ m) X4 ces [ij.i—u., ) t — «/ ;^4 II, (a,, «O -r^ sin ^ y^— a,) / = o ;

et (le même pour les trois autres satellites

nfiYj *F, («2, «,) X, COS I ,a, — y.,) / — « />/, II, «2, «,) -y! sin ' y., — aj) /

c z dx

nfi'/jW^ich, «3! X, COS {[J.3 — y.,} t — nf^x, fl, «,, «,,) -^^ sin [yi—y^) t

nfjX,^,[a,,a,)\, cos [y.,— [m) t — nf^x^UJ/i:,, Ui) -~ 'i\n[y,— y.-^t = o.

(Il-

- - Cl' Xi -m ■■ «

^ . ,^. '", (a,, a,)x, cos [ij.,— u.^)t — «/(•/, H, (a,, «,) ~ sin ( a,— a,) /

— nf.Xi^i («4, «j)X! cosi,u,— ui) / — nf^Xi Ai («4, «2) — sin ( a,— u.4)/

<yx

'^/"' X' ^î' I \^^4» «3) Xs cos (f.3— U.4) ^ — /î/ X3 n, («1, a,) -rr' sin ( y.3— u, ) / = o.

Pareillement on aura, par rapport aux variables 3, ces quatre (''(juations ^Article LXXXIX)

(N.) -7.-77^ +NÎZ.

— nf, '/■. r, I a,, «2 ) Zn cosf y-j — u, 1 /

— 't/î X3 Ti ( «I , «3 ) 2, ces f U3 — IX,) t

— w/'i X' ^> '^^i' '^i 2' cus^ a, — a, j / = o,

— "/' X' Ti ( «», rtl ) Zl fOS I /Z, — Uj) / :

— nfi Xi Ti ( «2, «3 ) 23 cos ( (U.3 — «j ) / .

— Il fi 7 , r, ( «2, «4 ) 2, cos ( ,u, — u, / ^= o ,

.(N3) ^^Nf^3

— "'fi ÏJ ^.(«a, «1 ) Z. COS( a, — JU3) /

— n/3 5^2 f , ( «3, «2 ) z, cos ( a, — [j.î] t

— n/3 X4 r, ( a3, «4 ) Z4 cos ( |J.^ — IJ.3 ) t = 0,

— n/i -/.f , (a*, «1 ; 2i cos(f/, — [Xi) t

— n/4 X2 r, (ai, «s ) 2j cos( fj(.2 — Ui ) /

— f^f* Xi r, ( a4, «3 ) 23 cos ( 1J.3 — iJ.i)t = o.

^ 111. — OÙ ron donne une nouvelle méthode pour intégrer les équations préeédentes.

Je fais

d'où je tire

xcn.

XjC0s(u2 — p., ) / =r= P, X2 sin(fX2 — |Uil / ^= p, X3C0s(/j., — lJ.^)t = Q, Xssiniitxj — ^i) t = q, X, cos ( (Xi — a, ) / = R, Xj sin {y.i — [j.,] t ^ r,

-^sin{^2— p.,)^= ^ -if^.2 — a,)P, .

</x4 . dr ,

Je substitue ces valeurs dans l'équation (M,), ce (jui la ( liaiii^e vu (•('llt'-ci

~" '^f'ïj r^>(«<»«3^ — (^'■3 — f/, )fi,(rt,,«3)J iJ — nf,x>Û,{a,, «.)-^

— '*/ X* \ ^^^^ ( «1, «1 ) — (ju. — |u, ) n, ( a,, a, ij H — nf\ y, fl, ( «,, <i* i -j: = o.

(Vesl l'équation (ju'il s'at^il maintenant d'intégrer, en regardant U-s quantités P, Q, R, p, q, r, chacune comme une variahie particulière. Pour y parvenir, voici comment je m'y prends.

XCIH.

Je reprends les formules

dXi . , . dp ,

d^3 ■ I .du ^

-^^ Sin( [Xi — a,) t = -jf (^.3 p., )Q,

dt -"""^^ '" dt

dx. . , dr

^f sin(^, -/z,U= -^ -(^, — a,)H,

et je trouve de même

dx, dp

-^ COS(f/. — fi,)/= -^ -f-^/x, — u,)/>,

dx, dQ

-^ COS[ix, — ix,)t= -^ -t- p, — a,)^,

dx, JK

-^ ces i fi, — /Lt, ) ' = 7/7 "•" ' 1^< ~ >"' ) '-

De là je tire, par la difTérentiation, les formules suivantes

-^ COS( p., - p., U = -^ + 2! p., - f;., j ^ - (fx, - p.,J^ P,

f/'Xâ . d-a dQ

iy-3 — [J-^rq,

d'Xs d'Q , dq

-^ COSi.a, - a, ) / = -^ + 2(^.3 - iJ.,) ~j — {(j., - p., f Q,

r7'X4 . , d'r , dK

7lF ^""^ ' ^^ ~ "" ' ^ ^ TIF ~ ^' ^ '"' ~ ^■' '' 777" ~ ' ^'' ~ "' ^' '"'

rf^\, c?^R dr

-jj^ cos[u., — a, ) t =z -^ + 2 ( p., — p., j ^ — i f^« — y-' ^^•

Cela posé, je multiplie d'abord l'équation (M2) par sin([j.2 — fj-,j ^ j'ai

-^ sin ( p-, — pi, ) ^ + ^I 2 ^2 sin i p. — p, ) ^

/'/j ^il«2> a, )x, sina^pi — ^,j ^

/, X. n, ' a., a,)-r- [— i ^ cosa t p. — p, ) / J

/, Xi ^1'. ( a„ as) X3 [sin ^p.3 — (x.) t — sin( p.3 — 2 p, + p, ) /]

— - f, xs IL ( «2, «3 ) -jr [— ces ( p3 — Pi ) / + ces ( p3 — 2 p, + p, j /]

— -/îX^^il"^, «Ox, [sin(p4 — p,) ^ — sini/x4 — 2p. + p,) /]

— -fi X* n, ( r/2, a, ] -77* [ — f'os : p, — p, ) / -4- cos( p4 — 2 p, + p, ) /] = o.

Je ne conserve dans cette équation que les termes analogues à ceux de l'équation (M,), c'est-à-dire, les termes qui, en faisant pour x,, Xo,... les substitutions de l'Article LXXXVII, en donneraient d'autres où le coef-

ficiciil (le / sérail presque é^al ;i u.,, cl (jui soiil les seuls aux(niels nous devions avoir éi;ai(l dans riiilégralion de l'équalion de rArliclc \(Â\. J'aurai donc siiiiplcniciil

~(ÎF ^•"^^■' — y.,) /-H M;;x,sin(f/, — /7., ) / -i- -/<•/, IL («., <^>)-jt

lit

-/' '/ ' ^ï^' ( «^' «3 ) Xa sin ( /J.3 — u, ) / -H -/; ■/, Il , : a„ u, ) -jp cos [ix, — ij.,) l — -/iy/F,i rt,, «4 j x» sin (y.4 — a, )/ -I- - fjy^ IL(«2, «, i -r^ ros(a* — a, i / - o.

o. ' ' "?. (Il

Je subslilue au lien de

-^' sin(f/2 — /y.,) /, X, cos(/7.2 — u, )/,. . . leurs valeurs en P, /?,,..; j'ai

— -f-^'h [^«(«î. «4.) — (f-4 — a> 'fl,(a„ a*)] r -i- -/;•/* ft.(«2, ^^)^T = »• Je multiplie en second lieu la même éq'ualion (May par cosfp.o — a,;/;

cos(jy.-. — p., ) ^ H- M' X2 cos (;7.2 — u.^ ) /

./i Xi ^1 («2, «, ) X, [i -f- cos?.(|y., — p., / I

- /j X' III ^ «-'' "' ) -JTT siri 2 ( iM — Ui 1 /

- fi 'li 4^, [cii, iii) \i [cos(jy.3 — y., ) t -f- cos (, 0.3 — aa^ -f- /m, j /]

-/' X3 ÎL [0-2, «3 ) 777 [sin (|7.3 — ;7., ) / + sin ( y.3 — 2 p., -4- y., ) / ]

fi X» ïï. ( «2, «4 ) -^ [sin ( fy.4 — y-, ) / h- siii ( a, — ->. y., + y, ) /] — o,

équation que je réduis, par la raison (jue j'ai dite tantôt, à celle-ei

-~ COS(|a,— y.) / -f- M'^-X2 C0S(jU2— y,) / /.•/, ^,(rti, rt.) X,

" - ,/^ X3 ^F, (a., a,) Xa ces ( p.3 — y, ) t /. 73 ïï, ( </,, «, 1 -j-' sin ( y,, — a, /

~ -h X< ^' «'' "' ) X4,cos ( p.. — y, ) / — - /, y, n, («i, rt, -.— sin ^, — ^,U— o, laquelle me donne, après les substitutions,

-^ -f- 2 ( uo — a, ) -^ -f- [M^ — ( y.2 — a, )'] P - -/./. ^V, ( a,, a, ) x,

— ,-^/> x= [ ^1 ( «2» «3 > — ( P-3 — /^-i j n , ( a-i, «3 ) J Q - 1 fi 7,3 fl , ; «:, «3 ) -^

~ "-/-^X^ f^'i(«j, «4) — if-4 — y..)n,(a2, a4)jR'— -/iX-. H, «2, «1)77 =o-

En troisième lieu, je multiplie l'équation (M3; par sin(p,3 — y.,j/; j'aurai, après les réductions et les substitutions,

- fi'h- [^i(«3, «2; — (^-2 — ,u.,)n,(a3, a,)J /> + -/J7-.. IÎ,'«3, ^^.i -î-

-/3X4 [^>««3, «4) — (>.4 — y, )ÏI,(rt3, «4)] r -f- -/3 74 n, «:,, r/4 1 7- =0.

DES SMKLIJTKS l)K .lUIMTEK. I7<>

En (juatrièmc lieu, je imilliplir l:i mcmc <'(|uati(»ii p;ir cdsfp.j — /j.,j/, cl je trouve

- -/3 X2 [^. (<^» «- y-v — y-i ) ri, [a,, «, )J P — - /;. /, lï, 1 a , a, , '-f^^

-* ?, ' ' (Il

~ ~/s X4 [ *ï^. («3, «4 ) — l a-, — a, ) n, f «„ «4 H K /, x< ri, («3, a, ) -j — f».

En cinquième lieu, je iiiulliplie l'équation [W^] par ^\\-\[\}.^ — \i.^)t\ j'ai

2(//, - p, j -^ -f- [M; - if7., - ^., f J r -i- -/ X. n, ^«4, «, ) -^

— -/4X»['*Î^'(«'.'«') — (^^2 — fx,)ri,(a4, «■-.)]/>+ -f,yjÛ>{a„a,)-j^

— ^/4X3[^'(«4,«:.) — (//3 — f^,)fii(«4, as)] (J-^^frizU^ia^a^)^ =o.

En sixième et dernier lieu, je multiplie la même équation paréos (p.,, — p.,) /, et je trouve

'dF "^ "^^^^ ~ ^"^Tt ^ ^^' ^ ^^"' ~ ^'^'^'^ ~ '^'^''^' "^'^^^ ^'^^'

— -/*X' [^i(«.i.«:!) — l/^j— f-^i) n,(a„ a,)\ P — ^/x, ft,(«,, «>^^

Voilà, comme on voit, six équations différentielles de la même nature que l'équation de l'Article XCII, et qui, étant combinées avec cette dernière équation, sulfiront pour déterminer les sept variables x,, P, ;>, Q,

Pour cet effet, je multiplie l'équation de l'Article XCII par e^"', l'équation (i*') de l'Article précédent par a, e^-'r//, l'érquation (2") par k.e'^'dt, l'équation (3*^) par ^,e^'''dt, l'équation (4") par B^e^'U/t, l'équation (5"j par 7, e'-'''dt, l'équation (6°) par C^e^'^dt (a, fi^ 7,, A,, B,, G, et V< sont des constantes indéterminées), et après en avoir fait une somme, j'en prends l'intégrale; j'ai

j [-TiF-^'^' 7F -^^^' ^^^' 7F -^^' 7F "- ^' 7F ^C' Jt^)' '"

+ (-"/. Z^fi.l^P «.)+'^-^i (P -.'^>)-^B../3X.", {"„^'.)-l^J\-A. i°", i^'p «.)) ;|^ -f- f - 2 a, (p- .,) + - 'fij, X JI. («3, ^'.) + - V, /1 X.n> (^'P «.) j 7^

-^(-'</',xJM«p'ïJ-^A,/2xJ^K>«J-^B,y;x,n,K,«j+'2C,(p.,,-a,)j^

-^ ( - "./', x= [^\ ("> > «.) - ( Pv - ."0 '''( (". . «J J

-f-A,[M?-(fx,-p.)=] -Jb,/.xJt.K«,) .(p,-f.,)n,K,«,)J

- ^ c,y; X, [t, («., «,) .- ( p., - u.) fi, («, , «,) J ) p

- J 7../; X:. r-î', K,«,) - (p.. - y-...)n. («.«..) J ) y ^ ( - 7 ^.y. Xi R'. K> «.) — ( f*4 - Pi) ", («,, «4) J

-^^./;x,['^^.K.«J-(f*4-^)n,(«3,«4)J+7,[Ml-(p.-p,r])/- ' -^A„/;xjM'-(«.^,.0-(^-^)n, («„«,)]

Cela t'ait, je transforme les expressions intégrales en leurs équivalentes

De même je cliauge les expressions

en celles-ci

x,e^'' V, f x,e'''r//, pe'''-\Jpe'"dt,.. . .

Par ce moyen, l'équation se trouve composée de deux parties, l'une finie et l'autre indéfinie, laquelle renferme les quantités intégrales

fxe'"'dt, fpe'''r/t, fpe'''clt, fge'^'dt, fQe'''dt, fre'"dt, flie''dt.

Je fais les coefficients de ces quantités chacun égal à zéro, ce qui me donne sept équations entre les sept inconnues «,, [i>,, •/,, A,, B,, G, etV,, savoir

(ri

V;- - [a,/,x,n,(a,. a,) -t-p,/,x,ft,(a.,a.l + r'/<'/-'ft' "•■*)] ^''

DES SATELLITES DE JdPlTEK.

^^'/«Xî r^il «4, «j) - (|y-2 — a, )n,( «,, a, t - o.

w/,X3n,(a,,a.,i-i--A,/5y3n,(a2,«3)— 2B,(/i3— ^,.H--C,/,Xsn,ia4,«3

— 2 ^'/'X-' [^'i(«j) «3) — iy-z — p-i)n,(«2, a,)] -+- (3,[M.? — (//3 — u, )■■']

— 2 y./«X3[^«(«4', «3) — (^3 — /Li,)n,(a4,a3)j ~o.

B,V;— - a,/,X3n,ia2, fls) — 2^,(1^3 — j:^,)^ y,/ ^3 II, («4, «a) V,

' — - ^ i/'Xs [^' ' ^" «3 ) — ( ^3 — y-! ) fil ( a„ «3 ] -+- B, [ M \ — ( |u.3 — u, r ]

€1/4X3 [^i(««, ^3! — .y-3 — |tjt.)n,(ai,r/3)j =:o.

■/,V'-i- n/,Xin,(a,,a4)+^A,/,x4n,(a:,«4) + "B,/3X4n,(«3,«4)~?C,(.w,— u,) V 2c,/jX« [T, ( «2, «4 — (fi*— a,)n,' a^, «4)]

P«/3X< [^i(«». «0 — (i^4 — a, n.ia,, a»)] -^ y.[>J'— (,". — /a.Y] = 0.

//.« [^'i(«i' «1) — (a4 — a,)ni(«,, 04)]

- A,/,X4fM^i(«2, «4) — (itx, — /yi,)n,(a2,«4)]

— -B/3xJ'^i(«^'«4) — (f/4 — f/,)n,(a3, fl, ;] +C,[M^— (1UI4 — f/,)'l = o.

Ensuite j'ai l'équation intégrale

,. r^x. dp . dV , d>i „ ^/Q r//- ^ r/R

^ ' [ r// ' ^^ ' rf^ '^' c// ' dt " r/^ ' dt

■'^,V,-/(/i y^.^n,K,«^.) + 2A,(p,-,a,)-^B,/;x,n, (./,,^^)-^C,/;, x,n,(yr, r.jjy;

■7,V,-/^/;x.,lMa,/^)-^A/,zJV«,A)-^B,/,,,x,^,K/^0^-'^C,(^-a,)V■

■C,V, + ^'V.x,r\K,'^) +^' W,xJI,K,«4)^-^-7,(^-^))b]^'''"'

const.

DES SATELLITES DE lUPlTEK. 185

Qu'on mulliplio rtujuutioii (2") par zty/— r, cl (ju'oii v ajout»' rt'Mjuation (3"), on aura

(Q) [M^ - (jx, - /ix. ± V, v/^)'J (A. ± «. s/'^)

— n/ x^ [^i(«., «2) — (y.2— w..±V,y/'— I )n,(a,,aj)J

- ; /3 Z^ 1"^' («3, «.) - (/^.- ^-.± V, s/^=T) II, ( «3, a,)] fB, ± (3, y/^)

De même, en multipliant l'équation (4^) par ± v/— '' <"' > stjoutant l'ôquation (5"*), on aura

(K) [M^-(p.3-/^,±VV=^}1(B.±(3,s/=7)

— rif\ y^3[4^,(a,,«,) — (p.3 — y.,±V,v/— i)n,(a,, «3)]

-^/^X3['î'.(«^»«3)-(,v-.-p->±V,v/^)n,(a., «3)J(A,±a,v/^^) --/*X3fr(a4,a.)-(^.-p..±VV=T)n,(«„a3iJ(C,±-/.y/^)=o.

Entin, multipliant l'équation (6°) par ± y/— i, et y ajoutant l'équation '7'';, on aura

(S) [m: - (iJ., - a, ± V. s/^y] (C,±y, v'^)

Chacune de ces trois équations en vaut (l(>u\, comme on voit, ii cause

de rambiguilé du sii^iic de \ — 1 .

Maintenant, il est visible par l'équation (i«) que, si n était = n, on il u mit

c'est-à-dire, à cause de M? = l^?(i — n^i) (Article LXXIX), Vî-f-^.î = o el \] = -^].

Supposons donc, en général,

et l'équation dont nous parlons se changera en celle-ci

(T) |aï((', -ê,)- ^/,x, [f.(a2,a,)A, + ri>(fl2,«,)a,V,]

- -/4X. r^.(«4,«,)C, + n,(aM«.)y. V,] =0.

L'équation donne

V, = //.,( I t'i jy'— i; donc V, y/— i = — iWi(J — {«^'i );

donc, substituant cette valeur dans l'équation (Qj, aussi bien que celle de M;, qui est [xl{\ — wêa) (Article XXIX j, on aura

[pf(i — n&n) — [«2— a, q=(y.,(i — i^t'-)]'] (A,±a,v/— i ,i

— ■î'»/4x4^'(^*' «2)— L/^-: — p-i=p^'-i(i— T^*^)]n,(rti, «2)] (c,±y, v— i)=o.

DKS SATELLITES DE JUPITËK. IHT

Donc :

i" Si l'on j)r('M(l le signe supérieur, cl ([u'on néglij^c les Iciincs affectés (le II, on aura

ce (|ui donne

V, -I- a, V^— I = o et Xxsj — 1=— A|.

2" Si l'on prend le signe inférieur, el qu'après avoir oté ce qui se détruit on divise toute l'équation par n, on aura, en nétiligeant toujours les termes afl'ectés de n,

(V) a; (^ c, — o.J (a, — «, v' — I ) — / '/^ [ ^'(«i' «O — fz-afliia., rtjjj

— i/s'X» fH^i{«3, «2) — /u, n,(«3, «.)J fB, — (3, v'^)

— if<X2[^i(«i.«2) — ,'^' n,(a4, «Oj (C, — y, y/— 0 = o-

On tirera de même de l'équation (R)

— {fij^i [4^. («1,03) — u.^îi^{a„ch)\ (C, — y, s/— I j = o;

et de l'équation (Sj

{ W) ixl [^ i>, - ê,j (C, - y. /-~i j -fr/j \ H^,(«., «. ) - p..n,(a„ a,)]

— i/Zt[^A«2>«i) — p-.n,(rf2, «OJ (A, — a, v/— ï j

— i/sX* [^'(«3, «4) - p-.n.{a3, a^lj ( B, — [3, V — I ) = o.

188 RECHEKCHES SUR LES INEGALITES

Soi! l'îiil, pour plus de simplicité,

(i, Q.) = Wt{a,, tti) — ix^Uiiai, a^), (i, 3) = '4^,(«,,«3) — |y.3n,(a,, «,),

(2, i) ='<F,(«2, a.) — f/.,II,(a2, «,);

et ainsi des autres.

Soit de plus p = /i, v,.

On aura, en faisant ces substitutions dans les équations (V), (Uj, (W), et mettant à la place de a, \/— I, p, v'^— I, •/, \/— I leurs valeurs —A,, — B,, — Cn Itîs équations suivantes

( 9.[j.l ( -^ — ê, ) A, — / xv(i, 2) — /r/.(3, 3.) B, — /4 xÀ^, 2) C. = o, (X) I 2/..=,(-^ -ê,)B,-/r/;.(i,3)-/,x3(2,3)A.-/;x3(4,3)C, = o,

d'où l'on tirera facilement les valeurs de A,. B,, C,. •

Or, en néglia^eant les termes affectés de n, on a V, = a, y/— i (Article

précédent); donc, puisque «, = -^^ on aura «,¥, = — ,a, A,; t't de

même ^iV, = — p., B,, y, V, = — a,C,. Donc l'équation fï) de l'Article XCVI deviendra, après toutes les substitutions,

(Y) 2^.:(^-2- ê,^ __/;y^,(,., ,)A,-/35^,i3, i)B,-y;x,i4, nC^o; c'est l'équation qui donnera la valeur de p.

DKS SATELLITES DE JUPTI EK. 189

Soil, pour alu'éiifor,

fi ainsi des autres; les équations (X) donneront, après avoir mis au lien <'''./i»./2'- •• l(Hii's valeurs approchées y.^, y.^, . . . f Ailiclc XLVj,

+ (I, 3) (3, 4) (4, 2) + (1,4) (3, 2) (4, 3) -4- (1,4) (4, 2) K;,] 4' li,=:[(i,3)K,K,, + (i,4)(4, 3)K.. + (i,2)(2, 3)K.

C, = [n,4)K,K3-t-u,3)(3,4)K,-ii,4)(2, 3)(3,2)

chacune de ces quantités étant divisée par

Ces valeurs étant ensuite substituées dans l'équation (Y), on auia, apri-s les réductions,

(*) Lagrange emploie, dans ce paragraphe et dans les siiivanls. diverses lettres telles que K, X)--- H"' f^"' ^^^ précédemment affectées à un autre usage, mais il n'y a pas ésidemmenl de confusion à redouter. {Nota de f Editeur.)

équation qui, en remettant au lieu de K,, Ko,... leurs valeurs, et ordonnant les termes par rapport à p, montera au quatrième degré, et donnera par conséquent quatre valeurs de jo, que nous dénoterons par f/, p", p'", p'' .

Les calculs que nous venons de faire dans ce paragraphe n'appartiennent proprement qu'au premier satellite; mais il est aisé de les appliquer à chacun des trois autres, suivant les remarques faites ailleurs. En effet, pour les appliquer, par exemple, au second satellite, il n'y aura qu'à marquer de deux traits toutes les lettres qui ne sont marquées que d'un seul, et réciproquement ôter un trait à celles qui en ont deux, et ainsi de suite (*); ainsi, dans l'équation (Z), il ne faudra qu'échanger entre elles les lettres K,, Ka, et les nombres i, 2. Or on verra aisément que cette permutation ne produira aucun changement dans l'équation; d'où il s'ensuit que les valeurs de p seront les mêmes pour le second satellite que pour le premier. On en dira autant par rapport au troisième et au quatrième, de sorte que l'équation (Z) servira pour tous les quatre satellites, et c'est ce qui fait que cette équation monte au quatrième degré.

Reprenons maintenant l'équation (P) de l'Article XCV, et substituons-y, au lieu de a,, |S,, y,, leurs valeurs A, \/—i, B, \/— i, C< \J—i

(Article XCVII), et au lieu de V< sa valeur /j.,(i — iw^V— i (Article XCYIIj, c'est-à-dire, fp., — ^ p J V— i , à cause de /x,(^, =p (Article XCVIII), on aura, en négligeant partout les termes affectés de n, excepté dans e^'',

p/x, , /r/P dp , \ [clQ (ùi , \ ^ /V/R dr I \ ,—

+ A, (ap, - fx, ) [p - P v/~^ j -^ B, ('ip,, — p, ) (y - Qv/^ j

(*) Voir la Note de la page 76.

c'esl-à- diii' , en mctlanl au lieu de e '"'' ^ >;i xiilnii (•os(p., — ^np) t 4- siiiffx, k'^?) ^ >^ S/'— ''

— C, f -^-(2fA — a,)RjJcosU-'^p Wx\/^=const.,

équation qui, à cause du radical y — i» lequel peut avoir inditlV'rcinnient les signes -i- ou — , se décompose en ces deux-ci

-^ C, (^ ^ {la, - p, ) /• H COS Ù, - ^ M /

-+■ C, r^ + ( 2 .(^i — ,^ ) 'j J sin U, - ^ p ) /

D, et E, étant deux constantes arbitraires que nous déterminerons dans un moment.

On aura donc par là

= D, sin (^u, - ^ pj ^ E, cos (^p, - ^ p) t.

équation qui sutfira pour trouver la valeur de x,, comme on le verra ci-après.

Soit, lorsque i = o,

Xi = Al, Xï :^ Xj, X3 = X3, X4 = X4, </x^ ^ V ^'^^ — V ^^^' — V

dt^^'' dt~^'' w-^" w-^"

On aura (Article XCII)

P = Xo, Q = X3, R = X4, /> = o, g = o, r=o; ensuite

dp . , V ^/o ^ dr ,^

Donc, substituant ces valeurs dans les équations (a) et (|3j, et faisant t = o, on aura

D, = Y. -i-A,Y,-t-B, Ya + C.Y^,

E. = — (|Ul, X, -h A,p.,X2 + B, a3X3-^C,fX4X4).

cm.

Soit maintenant, pour abréger,

DES SATKLLITKS \)\i lUI'ITKK. 193

l'équation (y) deviendra

lj.,x, A,(P)-B,(Q)-C,(K)^l),sinL- ;p)'- E. ces L ~'{p) f-

Substituons successivement, dans cette é(|iiati()n, ;in lieu de p, ses quatre valeurs ,o', p", p'", p"' fArliele X(IIX), on aura

[j., X, - A', ( P ) - ir, ( Q ) — C; ( K ) :--- D; sin U, - '^ P' ) ^ — E; cos U, - ^^ p' ) /, p., X, - A". (P) - JV; ( Q ) -Cl{R) = \y; sii. L., -- ^ p" ) / - E'; ros /p., - ; p" ) /,

a, X,- A';'(P)- b:(Q)-c':'(K)^^ i)':'sin L -- ~ p"'\i-e":cosL, - ^ f) /,

p., X, - AV'i p ) - li'^l Q ) - CVt K) = 1)7 sin (f^., - ^ p'A t - EV eus f p, - '- p'A t,

A', , B', , C'j , D', , E', ; A'.^, B., , C'2 , D'o , E'2 . . . . étant ce que devienneni les quantités A,, B,, C<, D,, E, lorsque p devient p', p", ....

Donc, éliminant de ces quatre équations les trois inconnues (P), (Q), (Rj, on aura la valeur de x,.

Pour cet effet, je multiplie la seconde équation par a,, la troisième par ,':;,, la (pialrième par 7, (a,, [■J^, 7, étant de nouvelles indéterminées); après quoi je les ajoute toutes quatre ensemble, et je fais évanouir séparément cliacun des coeiricients de (P), (Q), (R); j'ai

/ A', -t- a, A", + ;3, A"; + -/, AV=-- o, (ô) I b; + «, H': 4- ;3, W; -t- y, B7 = o,

194 rechi:k(;iies suh les inégalités

sin (^. - - A t - ':l^ cos(/., - - p" ) ^

V ^- / a, (in- a, + [3,-1- y, V^ 2' /

sin U - '^ pi / - — -A^ ,os U - '- p'" ) ^

— — '-^-^ r sin u, &'^ ^ ^ ^— V- cos p., p'M / .

GV.

On peut simplitier cette expression de x, en supposant, en général,

D, = — (5|Sinw,, El = — ô, cosm,;

ce qui donne

Ô, — y/DJ -h E^ langùj, = g-,

savoir

ô, = v( Y, -h A, Y2 -f- B, Y3 4- C, Y4 f + (f/, X, 4- A, p., Xî -h B.fXsX, 4- C, ij., \,)-,

,an„,, ^ . Y.-hA.Y, + B,Y3-f-C.Y, __ '' ' y.| X, -f- Ai [M Xo 4- B, Us X3 -f- (], a, X<

Par ce moyen, on aura

I), sin (y., — - p| / — E, ros (,u, p) ' = <5i cos ( ,a, - - - p W + o), ,

et d<> là

D', sin ( /7.| p' ) ' - ^^ I «"'OS ( y.. - — p' ) / = 0', cos ( u, — - p' W + o', h

D';sin Lj., — - p"j /— E';cos(u, — - f\ t- 5" ces (y., - - p" ) r^ o»'; : et ainsi de suite.

DES SATEI.IJTES DK JUPITEK.

noue, si l'on l'ail, pour plus de siiin)li(il(',

|u, ( iH- a, H- (3, -4- y, ) ' ^/.(i-t-a, -4-[3, -l-y,;

on aura

X, =: e, ros

£, cos I p., — - p'" / -+ 0), + e'.T-os