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Si l'on voulait connaître directement la position du j)lan de l'orhite du salcdlite par rapport à celui de l'orbite de Jupiter, on y parviendrait par la méthode de l'Article III; car, nommant n- la tangente de l'inclinaison et 1 la distance du satellite au nœud ascendant, on aurait
n'dz^
V do'
savoir, à cause de o = uJ -+- ny.
tang4; =
HZ d(^ ndz
. / , (fz' , u.zdl
d'où l'on tire, pai' les logarithmes,
expression dans la(|uelle les imaginaiies se détruiront unituellenienî,
200 KECHEUCHES SUR LES INEGALITES
mais (ju'il sera difficile, peut-être impossible, de réduire à une forme finie. Ainsi je crois qu'il vaudra mieux s'en tenir à la formule de l'Article CIX.
Telles sont les premières valeurs dut» variables x, y, z dans lesquelles on a négligé les quantités de l'ordre de n. Si l'on veut y avoir égard, il n'v a (ju'à substituer ces mêmes valeurs dans les équations de l'Article LXXVl, et les intégrer ensuite par la méthode ordinaire (Article XXXIV).
Nous n'entrerons point dans ce détail, qui n'a d'autre difficulté que la longueur du calcul, et qui d'ailleurs ne paraît guère nécessaire dans la Théorie des satellites.
Il y a cependant encore quelques termes des équations (G) et (K) de l'Article LXXVI auxquels il ne serait peul-èlre pas inutile d'avoir égard; ce sont ceux qui viennent de Faction du Soleil, et qui renferment les quantités X,, y,, s,, multipliées par cos2(m— p.ji, ou par sin2^m— fj.,j^; car, en substituant au lieu de ces quantités leurs valeurs trouvées cidessus, on aura, à cause de m très-petit (Article XLVlll j, des termes qui augmenteront beaucoup par l'intégration, et qui appartiendront aussi en quelque manière à la première approximation; je dis en quelque manière, parce que ces termes, quoique fort augmentés par l'intégration, se trouveront encore assez petits par rapport à ceux que nous avons trouvés jusqu'ici.
En effet les termes dont il s'agit étant tous multipliés par nK = -^
(Article XLIX), et devant être divisés par des quantités de l'ordre de m et de n, seront encore après l'intégration de l'ordre de m et par conséquent très-petits. C'est là la raison pour laquelle nous n'avons point eu d'égard à ces sortes de termes dans les calculs précédents; d'autant plus que notre objet principal est de déterminer les inégalités des satellites causées par leur action mutuelle, conformément au Programme de l'Académie. Je pourrai peut-être dans une autre occasion reprendre plus au long ces recherches.
DES SATKIJ.ITKS l)K lUPITEM. 201
Rkmahqt'e I. — Nous avons vu (pic les (|u;(Ulil(''S o cl ç dcjjcndcut do doux ôquations du qualrièuio degré (Articles XCIX et (^Xj. Or il peut arriver deux cas qu'il est bon d'examiner. Le premier est celui où ces équations auraient des racines égales; le second, celui oii élit s ;iiii';iicnl des racines imaginaires.
Voyons donc ce (|u'il faudia l'aire dans ces deux cas : i" Supposons que doux (juelconques des valeurs de p soient égales entre elles, par ex(Mnple p"'~p"'. On fera p^'' — p"'-+-i, /étant une (|iiaiililé évanouissante, et l'on aura (Article XCIX)
F, G, Il étant les cocHicients (le dp'" dans les dillerentielles de A",,
Donc les équations (5) de l'Article CIV deviendront, en taisant M. + 7' = ^^ <'f 7<^ = ^'
b; +«B'; + />B;"-r cG^o, c; -t- «€'; + /> c;"+eH = o,
d'où l'on tirera a,, b et c.
On aura de même (Article CIV)
A et il étant pareillement les coelFicients de dp.^ dans la diirérentiali(ni de ^"1 et w"j .
cos|^^f^,- ^V'j' + ^'J
= cos ( a, — - p'" j / -(- o)",' + / ( ^ / — 0 j sin ( y., — - o"'\ t -I- m[ • VI. 26
Donc les tonnes
(le la valeur de x, (Article CIV) se changeront en
Or
' . |y.,(n- a, 4- [3, -f- y,) f/., Donc la valeui' de x, deviendra
X, = e', cos (p., p' ) ^ + «'. + ^I cos {|J-^-~ - p" I ^ + w"
Par conséquent celle de y, sera (Article GVII), en négligeant les termes de l'oi'dre de n,
y , = - s>. e; sin \U'- '^ p'j ^ + «', - 2 e" sin / /a, - ^ p" W + «;' J
;^.-o)cos[(,.-^p^)..<].
6a7 + cA
