al

et de même, a cause de A{a2, a,) = \(a,, a.2),... ,

Wf« . ^(C)-2g'(B) + 2^(A)

Donc f Article LXXXj

4'" { a,, «2) = n («2, a, , W, \a„ a, = H, ( a., a, ) . . . , ^ (a2, a,) = n (a,, a.), M:', (a-;, a, ) ^ lï.ia,, «j). . .,

c"est-;i-ilirc, (juc les quantités H sont les réciproques des (|iiaiililc> II.

On aura donc (Article XXIV)

W, (a„ aO = 3 -' 1 „

expression qui servira aussi pour les quanlités analogues ¥,(«,,«3), Wi (a.,, «3 ), . . . , en faisant successivement

Ensuite on aura, pour les quantités réciproques,

^P, — aPi + agP qC -f- agA ^

et ainsi des autres.

Pareillement on trouvera (Article XXV j

^^a„a,} = 3^ ^^ +r.ia.,«,)- 3^%

et ainsi des autres.

De là on tire, en employant les valeurs de la Table de l'Article LXXXI,

o,oo3

— 6,5oo

ensuite

DES SATELLITES DE lUPlTEHs^

Doue l'équation (Zj de l'Article XCiX deviendra

— 0,040X3 K3 — 0,077 K, K4 — 3,732X3 K« H- i,oi3K, + 1,641 Kï, ■+- 2,593X3 H- 1,373X4 — 5,599=:^ o,

où il n'y aura plus qu'à substituer au lieu de K,, Kg, K;,, K,, Iciiis valeurs

Second Cas.

On aura ici (Article CX)

(1,2) = r,(a,rt2j. 11, 3) = r,(«,,a3),. • -, (2, i) = r, !«.,«. j>'

Donc, faisant successivement q— -•> a— — ?• -^ on aura Articles

XXXII et XLIIl

ensuite

2, !)=:</ B, (3, 1) =:yB,

210 REtiHERCUES SUR LES INEGALITES

Donc, en employant les v«ileurs de B données dans rAilicle XLVI «n trouvera

— 3,ii6

et l'équation fZ) se changera en celle-ci

— 0,006X2 K3 — o, 161 Ko K4 — 6,120X3 K4 -+- 2,i24K, + 0,096X2 H- 0,1 14R3 H- 4'73^ ^i "*~ ' "'9/2 ^^ *^'

dans laquelle

Il resterait maintenant à tirer de ces équations les valeurs de p et a, d'où dépendent les principales inégalités de l'équation du centre et de la latitude des satellites de Jupiter; mais comme nous touchons au terme fixé par l'Académie pour l'admission des Pièces, nous nous contenterons ici d'avoir donné la méthode et les principes nécessaires pour déterminer ces sortes d'inégalités, et nous remettrons ce travail a un autre temps, où nous nous proposons de suivre et de discuter avec attention ces points importants de la Théorie des satellites.

DES SAÏELMTKS l)i: JUIMTEU. 211

^ l\ . — S/n /es inc^alllrs des sdtcUitc.s de Jupiter (jui dcpcndcut de la prriodc de l 'i (lh.s.

ex VI.

Les Tables du prcinicr cl du sccoiid salcllilc ne l'cnt'enncnl (juc les é(|uations qui dépendent de l'anomalie de Jupiter avec celles (|ui dépendent de la période de 4^7 jours dont nous avons parlé au long dans le ^ V du Chapitre précédent; cependant, il est facile de se convaincre, et M. Wargentin l'avoue lui-même dans les dissertations (ju'il a mises ii la tête des observations de ces deux satellites [Mémoires de la Société d' Upsal, années 1742 et 1743), que les équations attribuées à l'inégalité du mouvement de Jupiter ne s'accordent pas entièrement avec l'équation du centre de cette Planète; d'où il s'ensuit qu'il doit y avoir dans le mouvement de ces deux satellites des inégalités particulières qui, ayant des périodes à très-peu près égales à la révolution de Jupiter, se trouvent pour ainsi dire fondues dans la grande inégalité qui vient de l'excentricité de cette Planète; c'est ce que la Théorie confirme d'ailleurs, car on a vu que les équations du centre des satellites (Article CVII) doivent renfermer quatre termes tels que

2 « e sin La p | / -1- w ;

or, dans le temps des éclipses, on a u — i^ = 180" à très-peu près f Article Lllj; donc u — uJ = r8o" -h c, donc

sin iy.— " rA / 4- o) = sin M i — ^ J ( 180» H- c ) -(- w

= — sm I ^ (' -f- w ~ 180" :

d'où l'on v(»ii (|iie les é(|uations provenant de ces Icrmcs auicnit drs périodes égales à la révolution de Jupiter, plus à "'- de celle K'volulion.

Au reste on ne doit pas se flatter de pouvoir jamais déterminer ces sortes d'inégalités par la simple Théorie; car les valeurs de p (Article CXV) dépendent des quantités y^, c'est-à-dire des masses des satellites, dont la plupart sont encore inconnues. Ainsi, ce n'est que par des observations multipliées et réitérées qu'on peut espérer de perfectionner à cet égard la Théorie des deux premiers satellites.

Ou a aperçu de pareilles inégalités dans le mouvement du troisième et du (juatrième satellite; ce sont celles qui. dans les Tables de M. Wargentin, répondent aux arguments E et G.

En consultant ces Tables {voyez les Tables des satellites imprimées parmi celles des Planètes de M. Halley), on trouve : i*^ que le nombre E achève huit périodes exactes dans l'intervalle de cent années juliennes, d'où il s'ensuit que chaque période est de douze ans et demi; 2° que dans le même espace de temps le nombre G achève 8-j^^j^ périodes, ce qui donne i2""%[3o pour la <lurée de chaque période; mais ce dernier élément a été réformé dans les nouvelles Tables du quatrième satellite imprimées à la fin de la Connaissance des mouvements célestes poui' l'année prochaine : suivant ces Tables, le nombre C, qui fait ici le même effet que le nombre G dans les premières, achève 8^^^ périodes en cent années juliennes; d'où l'on tire pour la durée de chaque période i2^"%i i5 environ.

Or, si l'on imagine que chacune de ces deux équations soit représentée par un seul terme tel que

siii ( I ^ c -f- 0) — — ) 180"

(c'est le cas où l'orhite seiait une ellipse mobile), on trouvera aisément

que la quantité — sera, i)our le troisième satellite, = -^^ — 0,0870, ' ' ?. p. ' ^639. '

et, pour le (jualiii'me, = 7—— = 0,0237. ^" pourrait trouver de même

DES SATKM.ITKS DK .lUIMTEK. 213

les valeurs des qujuilités (» (|ui dépendent des époques des aii^iiiiiciils E et C, aussi bien (|ue les eoelliciciils m (|iii expi'iment les j)lus i^i-indcs équations; mais, pour (jue toutes ces déterminations fussent exactes, il l'audinil (|iie les aiilres termes (jui doivent ciilrci- (l;iiis les équations du eentre lussent nuls à la fois, ce qui parait assez dillicilc; d'ailleurs les incertitudes et les variétés qu'on trouve lorsqu'on eonipare les observations de ces deux satellites, et (ju'on veut fixer h's (juantités et les périodes des équations dont nous parlons, donnent tout lieu de cioire (|ue ces équations sont plutôt des résultats de dilférentes équations particulières qui, ayant à peu près les mêmes périodes, se confondent ensemble, comme nous l'avons déjà observé par rapport aux deux premiers satellites.

Je finirai ces remarques par donner un léger essai de calcul sur les valeurs des quantités p, et, pour plus de simplicité, je supposerai que les masses du premier et du quatrième satellite soient considérablement plus petites que celles du second et du troisième; bypolbèse <(ui n'a d'ailleurs rien de choquant.

Donc, puisque /, et/, sont des quantités fort petites, K, etK, seront fort grandes, par conséquent l'équation (s) de l'Article CXV se réduira ii très-peu près à celle-ci

K, kjKjK^ — i,633K, Ki = o, d'oii l'on tire

K, — o, ou bien K4 := o, ou l)i(Mi K, K3 — i,633 = o.

On aura de plus par les formules de l'Article LXXXVI , en mettant

renferment /o et /:,, on aura, dis-je,

g, = 0,9827., -+- 0,124x3, êv = 60,40/3, 03 = 1 ,4^7X-' ^■' = o,?<>ox, -1-1,1 3ij/,.

21i RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS

Donc, puisque

Xi X^

on a, pour les quati'e valeurs de p, les équations suivantes

— — 0,08272 — 0,I24Xî = O'

d'où l'on tire à peu près

p = 0,701^.3 72 -1- o,47oa2 73±v;o,73i|(/3X2 + o,470f-2X3)'-<-o,4o8f^,^3X2Xs'

Ainsi l'on aura les quatre valeurs de p, qui donneront pour chaque satellite quatre équations, dont les périodes seront de i h — - révolutions de Jupiter.

§ V. — Des (i'irées des éclipses des satellites de Jupiter.

La durée d'une éclipse dépend de quatre éléments : de la largeur de l'ombre de Jupiter, de la vitesse du satellite, de sa latitude, et de l'inclinaison de sa route, laquelle peut être prise pour rectiligne pendant tout le temps de l'éclipsé.

Soit donc a l'angle que le demi-diamètre de la section de l'ombre soustend au centre de Jupiter; cet angle est donné par les observations pour chacun des quatre satellites.

Supposons de plus que 9 dénote la longitude du satellite, et p la tangente de sa latitude, au moment de la conjonction

DES SATELLITES DE lUPITEH. 215

Kiiliii soil 'f — i> I;» loni^iltidc du s;ilcHil<' ;iii moment de son entrée d;ins ronihi'c; de sorte (jnc -]> i'\|niiii(' rani^lc (|iril pMiconil sur le plan de .liipilcr depuis l'iinmersion jusqu'à la conjoiidion.

(Jn ;iur;(, |)oiir la valetii' de /; (|ni y répond, p — •- ^ à peu près.

Cela posé, supposons, pour plus d'exaclilude, (|ue la serlion de l'onihi'c soil une ellipse semblable à celle des méridiens de Jupiter; il est visible qu'on aura

Demi-grand axe de l'ellipse va,

Dcmi-pelit axe ( E élaiii relliplirité comme dans l'Article XVI). va i — E), \hscisse prise depuis le centre y^,

Appliqui'îc correspondante v ip

Donc, par la nature de l'ellipse,

é(]nation d'où l'on tirera ^.

On aura donc

oc'n — Ef — ^'(i — EY = p' — 2^^ ^

d'où l'on tire, après les réductions.

Le si^ne + donne la valeui' 'J/ pour rimniersion. coiniiie nous TnNon^ sn|)posé, et le signe — donne an contraire la valeur de ^ pour l'eniersion.

Substituons maintenant [j.l -f ny au lieu de '>, //;• au lieu de />. el de même nî) au lieu de a (car il est évident que la (juantile « doit être du

même ordre que la quantité/?;; on aura, en ne négligeant que les termes

affectés de /?%

zdz

^ I— E ^ (I — E)^ [j.dt

Pour convertir cette expression en temps, on la divisera par la vitesse

(lo dy

dt ' dt

angulaire qui est '^ = u.-^n^-j-; ce qui donnera, en négligeant tou-

jours les /^^

f;.(i— E)^ ^ ' iJ.{i — Ef\^[j.dt^ ' ij-dt" J

Donc l'intervalle entre l'immersion et la conjonction sera

a(i — E)^ ' ii{\ — Ey\^^.dt ' i).dt " J

et l'intervalle entre la conjonction et l'émersion sera

^a(i — E)^ ^ ' ^[\ — hy\i>.dt y.dt " J

Par conséquent la demi-durée sera

w' dy

-Jd^[j-Ey--z' J ^ -^sJoHi-Ey-z\

f/li— E)* (j.ii — L) u.dt ^

Il paraît que les Astronomes ont toujours supposé jusqu'à présent que les durées des éclipses des satellites étaient les mêmes avant et après la conjonction; ce qui n'est pas vrai à la rigueur, la différence étant de

w' zdz , - ,. , pdp

■> c'esl-à-dire de

lj.{i — Ey ij.dt ' . y?[\ — Eydt'

d'où l'on voit que ces durées ne peuvent être égales que dans deux cas

i" Iors(jiio /) ^- o, c'csl-ii-diic l()rs(Hi(' lii laliliidc du satcllilc est millf, et (juo par ('onst'(|iiciil I'im lipsc est cciilralr; 7" l()is(jU(' dp—o, savoir lorsque la latitude est la plus i^raiidc, on Mcii (jiie le satellite esl dans les limites.

Supposons maintenant qu'on ait observé la demi-durée d'une éclipse de satellite, laquelle soit de A secondes; on aura, en remettanl poui' /?<î

et nz, a et/),

dy I — n — ^

OÙ il faudra prendre, pour [j,, 36o degrés divisés par le temps périodi(jue réduit en secondes; ou bien on convertira immédiatement la durée A en degrés, et l'on aura simplement

I — n — V dt

d'où Ton lire

A = ^ sla^[x-'£.r--p\

p = i^-E)^cr-ùr[x^.nj!^y

c'est la tangente de la latitude du satellite au moment de la conjonction.

Ayant ainsi la latitude, et connaissant d'ailleurs le lieu du nœud pailes observations des plus grandes durées, on trouvera aisément l'inclinaison de l'orbite; il n'y aui'a pour cela (|u'à diviser la tangente de la latitude trouvée par le sinus de l'élongation de Jupiter, vu du Soleil, au nœud du satellite; le quotient sera la tangente de l'inclinaison de l'orbite.

C'est ainsi que tous les Astronomes en ont usé jusqu'ici pour déterminer la position des plans des orbites des satellites.

Mais, si l'on pouvait connaître avec assez de précision par la Tliéoiie VI. 28

le moment de la conjonction, on pourrait trouver immédiatement l'inelinaison de la route du satellite dans l'ombre par les observations des immersions et des émersions; car nous avons vu que la dilïérence entre les durées avant et après la conjonction doit être

pdp

(loue, divisant cette différence par — — j^,,-> on aura

' uj I — t.y

—4- = -4- taneenle de l'inclinaison de la roule du saiellile. udt d<fi

Mais, outre que cette métbode exigerait dans les Tables des satellites un degré de précision dont elles sont encore bien éloignées, elle serait encore le plus souvent impraticable, à cause qu'on ne peut pas toujours observer à la fois les immersions et les émersions.

Je finirai ces recherches par dire un mot des variations qu'on a aperçues jusqu'ici dans les positions des orbites des satellites.

^ \ I. — Des inclinaisons et des nœuds des satellites.

Le premier satellite est le seul dont l'orbite paraisse à peu près fixe; son inclinaison est, selon les Tables, de S**! 8', et le lieu du nœud, à io% i4"3o'; du moins les demi-durées observées cadrent assez bien avec ces éléments.

Le nœud du second paraît aussi tixe, mais son inclinaisun est sujette à un changement considérable, dont la période est de 3i ans; la plus grande inclinaison est de 3°47'27", et la plus petite de 2" 29' 2", de sorte que la variation est de i"i8'25", ou bien de 89' 12", tantôt en plus, tantôt

en moins, ce qui fait environ -= de l'inclinaison moyenne.

l)i:S SATELLITES DE JUPITEH.

l^i) (liaiigciiiciil si considLTahlL' ik; sauiail s'cxpliqurr (|u«' par les toiiiiiilcs (le l'ArlicIe CIX. En efret, suj)j)OS<)iis (|U(' la valeur de :;" ne rent'ernic (jiic deux lenu(!S, ou au moins (jue les deux auhes soient assez pt'tils pour pouvoir être néi^ligés, de sorte qu'on ait simplement

X' sin

( p.: -+- - 0-' j / -f- r/, -l-}."sin L/, -h - a"] / H- /;';

On aura, en nouiuiaiil n-.., la tangente de l'inclinaison de l'orbite et ^., la distance du satellite au nœud ascendant (Article CXIj,

savoir, en négligeant les termes de l'ordre de n,

langez

r, = i/i'; -+- r' -t- 2. x; >.;' ces f^ ( o-' - œ" ) ^ + r; ;-•/):;],

K sin ( w, -f- - a' I / + rû -+- X" sin (im -f- - a" j / -+- y);' X'jcos 1^2+ - cf'] t-h-n'^ +X"cos Lj-f- - a"\t-h-n"

Donc la plus grande valeur de -3 sera = X'a H- ^'ô , <'t la [)lus petite

n(X', + /" ) = tang3''47'27" et «(X, — A, j = iang?.''29'2"; par conséquent

d 011 1 on tire

X; + >/^ ^tang3°47^27" X', — >." ~ tang2°29'2"

:r7- = — ^— ^ = 0,200 = environ -= /j 2,027 ^

Maintenant il est clair que la valeur de To redeviendra la même lorsque l'angle -((?'— a")t se trouvera augmenté ou diminué de 36o degrés pris une ou plusieurs fois; donc, puisque la longitude moyenne du second satellite est exprimée par [xa, la période de la variation de To sera de

révolutions de ce même satellite. Or cette période est, selon les observations, de 3i ans, ce qui répond à peu près à 3 189 révolutions du second satellite; donc il faudra que

zh (o"'— o"") = ^r-5- = o,ooo3i36.

Ayant trouvé 1\ = ^ X, , on pourra simplitier les expressions de To et de tangio, et l'on aura à très-peu près

r2 = >;ri-f- ^ cos(^^ {(7'-(j")t + -f]', — -n"A

^^ ' -* ces (;/.,+ - a' w + '/jM

ces 1 p.2+ -0-") t +■/]" sin ( p.2+ - a'\ t +73',

Soit fait

cos=|^(^/..,+ %'j^ + 73;J'

■|.= f/^-..+ ^^ cr' W + -/3; -f-</, ^ étant une quantité fort petite, on aura

lang -I lang \[,u +%')/+,;] + j^y ^-- ;^

COS^ |^(^p.. H- -a'j / + ■/], J

à peu près; donc

— ■= cos ( y., -{- - (t"\ t + r"^ sin ( y., -f- ^ C7' | / -I- r,!,

= — ■= Slll

- ^cr'— (r")/ + -/î, — •/)., h

donc

'^2 = f y.j -+- \^'y-^ 'n[ — p sin - (>' — a" )t + ■/)'■, — /;" •

D'où l'o!) voit : i'' (jue le mouvement du nœud sera de -^ par révo-

lution; 2"^ que ce mouvement sera sujet à une équation analogue à celle

de l'inclinaison, laquelle montera à ^^- = 1 1°27'.

Ces derniers résultats ne s'accordent pas à la vérité avec les observations des demi-durées, par lesquelles il parait que les noeuds sont à trèspeu près fixes; mais j'observe : i" que la quantité a' peut être nulle, auquel cas le nœud n'aura plus qu'un mouvement d'oscillation; 2" (ju'il est impossible que l'attraction produise un changement dans l'inclinaison sans produire en même temps un changement analogue dans le lieu (lu nœud (voyez plus bas, Article CXXX).

Voyons maintenant comment on pourrait satisfaire à ces deux conditions, savoir

± (a' — a") = o,ooo3i36 et (t'=:o.

Poui' cela, nous conserverons ici les hypothèses de l'Article (IXVIIL moyennant (|n(»i i'cciuation Çj de l'Article (W\ se réduiiM à «•clic-ci

K, kl Ivj IVj — 5,673 ivi Ki ;^ o,

laquelle donne

K, =o, ou bien K4 = o, ou bien K3K4 — 5,676 = o;

cette dernière équation se réduit à celle-ci

/ ^ — \ ( '^ \ 5,675 ou bien

rr^ — [ ,y-2 sr^ -f- [x^ GT3 ) cr + y.^ p.3 nj^ cts — i , 4 1 9 [M [J-3 '/j 7j = o. Or, suivant les mêmes hypothèses, on a (Article LXXXVIj

cîj =r o , 942 73 el GJî — 1 , 5o6 72 à peu près ;

donc

donc, faisant pour plus de simplicité /g =m;(2» et mettant o,496ao au lieu de p.3, on aura l'équation

o"' — (o,942w + o,747)^27jO- = o;

d'où l'on tire

a = o et 0-=: (0,942m H- 0,747 )p-ïX2-

Donc on satisfera à nos conditions en prenant pour 7' la première de ces deux racines et pour a" la seconde, et supposant

- (0,942m H- 0,747 )X2 =^ o? ooo3i36,

ce qui donne, à cause de ny^ = ^^ = 0,00002/417 (Article LXHI 1,

«j z= 27 à très-peu près.

Il est vrai que cette détermination ne s'accorde point avec ce que nous avons trouvé dans l'Article LXVIII; mais cela n'est point surprenant vu le grand nombre des quantités que nous avons négligées dans ce calcul : aussi ne l'ai-je donné ici que comme un essai, me réservant de le reprendre dans quelque autre occasion.

GXXIX.

La position de l'oilùlc du lioisirmc satcdlilc est aussi sujetle à des variations forl r(!marqual)l('s; sou inclinaison parait avoir ('-Ir la plus pt'litc «Ml i<M)7, 011 cllo n'était que d'environ ^) degrés, et depuis lors «die a toujours été (Ml augiiUMilant, de sorte (ju'(MI i7G3on l'a trouvée de V'27', ce qui l'ait 27' (MI ()(> ans, et par eonsécjuent rnviron -JÀ')" par an.

Quoicju'on ne eonnaisse pas eneore le terme de eette augmentation, il y a cependant tout lieu de croire (ju'elle est périodicjue coniine celle du second satellite; car, suivant la comparaison que M. JMaraldi a faite d'un très-grand nombre d'observations des demi-durées depuis 1G71 jus- (ju'en 17G3, l'inclinaison se trouve à très-peu près la môme a intervalles éi;aux avant et après i()97.

A l'égard du nœud, les Tables de M. Wargentin le supposent tixe, à 10% i()"3', mais M. Maraldi trouve qu'il doit avoir un mouvement direct d'(Miviron 3 minutes par an; selon ce savant Astronome, il était, à io% i''52' en 1697, et, à io% i7*'9'en 1763.

Ces variations peuvent s'expliquer de la même manière que celle du second satellite, pourvu qu'on suppose que la période de l'inclinaison soit beaucoup plus longue; taisons-la de r révolutions du troisième satellite; il faudra (jue l'on ail

pr(Mious pour 7 la même racine (jue ci-dessus, cl pour 7' une des (l(Mix autres racines, par exemple celle qui résulte de re(juation Arti- ( le LXXXVI)

K, = o, savoir a" = u.iGJ, = a, (0,981 ;^, H- o, i'>.()X3); mettons, au lieu de a,, 4,ol\!\ 'x.r, au litMi de / ;, , ffiy.,, et au lieu de "X2 = -^ ^'^ valeur «),()0()02'|i7, on aura

r= o , 00004796 -I- o , oooooHi 5 m =: - i

sim= lo, on aurait environ r =10000, ce qui donnerait à peu près 195 ans pour la durée de la période.

.Maintenant, si l'on dénote par w-3 la tangente de l'inclinaison et par ^3 la distance au nœud, et qu'on suppose }.'3 = v).3, v étant une fraction assez petite, on aura comme dans l'Article CXXVI

Ta = ^3 1 + V ces ( - (<7'— <T")t -h r,l — -ni >

4^3 = (,^3 + - (>' J / + 7)3 — V sin - ((7'— a" i t -h-n', — -/il h

ou bien (à cause de (j'=o et de {J-^t= à la longitude moyenne du satellite que nous dénoterons parwa)

vT (^^" > "W

T3=/3 I+VCOSi «3 — /îj+fla 1 h

, , . (tld" , „\

W.3 — 4^3 =—•//, — V sin I iii — r, 3 H- ■/) 3 1 5

où W3 — c|>3 est la longitude du nœud.

Supposons, ce qui est permis, que la longitude moyenne Wg soit comptée depuis le point où se trouvait le satellite au moment de la plus petite inclinaison de son orbite, on aura

cos( — 733-1-7)3)=:: — I, donc — 7)3 -I- 7)3 = 180";

par conséquent les formules précédentes deviendront

•,, ( 11(7" \ , , . na"

73 ^ /, I — V cos — w, 5 u^ — uvs = — 7; , -+- V sm Wj.

\ 2 y.3 ■ / ' 1 fj.3

Donc la vitesse du nœud sera à la vitesse moyenne du satellite comme y — cos — lu à I ; d'oii l'on voit que le mouvement du nœud sera di-

2f/.3 2fl3 ^

rect tant que cos — Wg sera positif, c'est-à-dire, tant que l'inclinaison