BR
(le sorlf que les équations (F) devientlfont
;' d'il-) \ + fi „r/-> 1 / 1 1 \ , ,, „,^ , „ I
1 o.at- r \r^ 2 \r^ r^J \
et il ne restera plus (ju'à trouver les valeurs de
dV, d\', d\".
Pour cela, je fais
dp =: x' dx + ^•' (/|- -\- z' dz — X dx' — ydy' -— z dz' ,
et comme l'on a
XX + yy -+- zz =: 5
ou aura, en ditlérentiant,
X dx' -\- ydy' -f- z dz' -+- x' dx 4- y' dy 4- z' dz ^^ rdr -+- r' dr' — /" dr" :
(loue
, ^ , rdr-\- r' dr ' — r" dr" + dp a\ =
d\ et ensuite
I r dr -f- /■' dr' — r" dr" — dp
d\"=r'dr'-d\.
238 ESSAI SUIl LE PROBLEME
savoir
r' dr' -f- r" dr" — rdr — da
Tout se réduit donc maintenant à avoir la valeur de dp ; pour y parvenii', je difFérentie, et j'ai
d^p — x'd'x -hr'd-y-h zUhz — xd^x' — yd^y' — zd-z';
je substitue à la place de d'-œ, d-y, d'z, . . . les valeurs tirées des é(|uations (A) et (Bj, et faisant les autres substitutions convenables, je trouve
rf'p i/A + B C A^C B\ 2 ^l \ i\ „ „/ I
OU bien
Supposons, pour mettre nos formules sous une forme plus simple,
r"-hr"' —
II' -h m"— u"-
et l'on aura d'abord, pour la détermination de dp, cette équation (H) ^+Cpq- Bp'q'-\p"q"=o.
On aura ensuite
^v^^-L^P, ,/v'=*!^, dy"=±:z±.
tl (Hl
1)I<:S TROIS COHPS. 239
'^^ = ^T^ + q((lp"-^(^p),
Mais
(lOMC
'^1^'-- ^ri^- +q'i^lp"-d9),
<l\\" -= ■ + v" [dp - dp).
-pr, = jï-q'^ 2 rdr dp' + .///
2/rfr 7.dr
-;jr = -^-q^dp -^dp );
on tr'()iiv('i';i de iiirmc
2 /•' dv' 2 r/r'
'i.r"dr" idr"
q[dp^dp"), q'{dp'-\-dp);
de sorte (|ii'('ii siil)stituant ces valeurs, et l'ais;iiit poiii' plus <le sinipliciic
( dQ = q'dp'— q"dp" - qdp, dQ' =-qdp-\r q"dp' -t- q'dp, dQ"=: — qdp — q'dp' + q'dp,
on ;uir;i
cl (]»' là
,.=.^(Aiti^+^UcQ,
Maintenant on aura
donc, ajoutant ces deux équations, et mettant q" à la place de q — q', on
;uir;i
on li'ouvera de même
idP
2 dt'
d'ir"')
donc, faisant toutes ces substitutions dans les équations (G) ou (Fj des Articles précédents, elles deviendront celles-ci
^) { ^^717^ - ^^^^^^ - B . pq +p"q"+ Q') = o,
^dt. r" -M-pq-p'g'-^Q") = o.
Ainsi l'on pourra, à l'aide de ces trois équations, déterminer les trois rayons* r, r' et r" en t, ce qui donnera pour chaque instant la position relative des Corps entre eux.
Il est bon de remarquer que, si l'un divise la première de ces équations par C, la seconde par B et la troisième par A, et qu'ensuite on les ajoute ensemble, on aura (à cause de dQ -h dQ' -\- dQ" = o , et par conséquent Q -h Q' -h Q" = const.) celle-ci
laquelle pourra tenir lieu d'une quelconque des trois équations (Kj.
On peut encore mettre les mêmes équations (K) sous une autre forme que voici.
Je multiplie la première de ces équations par d{r'^), et je rinlèij;re ensuite pour avoir
A -h R -f- Cj r - C Ç{p'q' - p"q" ; d /') - C fiUi r' -f- L = o,
L étant une constante arbitraire.
Or
mais
dQ = q'dp' — q"dp" - q dp-,
(le plus, à cause de r^ =p' -\- p" , on aura
{p'q'-p"q"}d{r')-r'{q'dp'-q"dp")
= - {p'q'-p"q")(dp'-h dp") -h ip'+p") {q'dp'- q"dp") = q{p"dp'- p'dp");
de sorte que si l'on fait, pour abréger,
dP = q{p"dp' - p'dp" - r'dp),
on aura, en négligeant la constante L qui peut être censée contenue dans P, et divisant toute l'équation par r^,
dP r \i
Faisant de même
dP' = q' p'dp — pdp' -¥- r'^dp),
dP"= q" ( /; dp' - p'dp -+- r"Hlp), VI. 3i
■m ESSAI SUR LE PROKLÉME
on trouvera par des opérations semblables aux précédentes
lit' r" \r'- ^1
clr- r'" \r
Et, si l'on retranche ces équations respectivement des équations (K) trouvées ci-dessus, qu'ensuite on divise les équations restantes par r, r', r", on aura ces trois-ci
dp V- \ r I
,(I'r' A + B+C .Jpq+P'q' , l*'\
Nous avons donc réduit les six écjualions primitives (A), (B^ (|ui rcnlermenl la solution du Problème des trois ('orps pris dans touti' sa généralité à trois autres é([uations entre les trois dislances r, r , r' et le temps /. 11 est vrai (|ue ces réduites l'cnrcrmcnl cbacnnc deux signes d'intégration (ce ([ui est évident en substituant l(>s valcuis de (J. 0 • 0 • ou de P, P', P" et de (h), et (]u'à cet égard cdlcs sont moins simples (|ue les équations primitives; mais, d'un autre côte, elles ont l'avantage de ne renl'ermer aucun radical, ce ([ui nu' paiait d'une grande iniporlance dans ces sortes de ProbUMues.
Supposons donc (|u'on ait dcternrmé pai' les (Mpialions \^\\) ou (M) les ti'ois variables /•, /•', /•"en /; on ne connailra encore pai' l;i (|ne la position relative des ('.or|)s, c'est-;i-dir(\ le triangle (|iu> les lidis Corps loi nuMit ii cba(|Ui' instant; ainsi il reste l\ voir comment on pourra delcrmin(>r ensuite l'orbite mèuu' de clKKjne (loi'ps. c'est-à-dire, les six variables .r. V. z, a-', y\ r.'.
Pour cet oflet, nous remarquerons d'abord qu'en connaissant /•, r' , r" on connaîtra aussi u u\ u" , et (l\, r/V, dN" par les (brniules de l'Ar-
en mettant//' a la place de
Ifi 1 .,'3 u"^\
et ('" à la place de j les dix équations suivantes •
xx' + yy' -\- zz' = p" ,
X dx -\- ydy -h z dz ^= rdr,
x' dx' -+- r'dy' + z' dz' = /■' dr' ,
x' dx -h y' dy -\- z' dz=z d\,
X dx' -h y dy' -\- z dz' =^ d\' ,
dx"" -t- dy"" -+- dz' = lûdP,
dx" -+- dy" + dz" = u" dP,
dx dx' + dy dy' + dz dz' = i>" dV.
Or, en regardant les quantités x,y, s, x' ,y' , z' , dx, dy, dz, dx' , dy\ dz' comme autant d'inconnues, il est clair que les équations précédentes ne sutrisent pas pour les déterminer, puisqu'on aurait douze inconnues, et seulement dix équations; mais, si l'on joint à ces équations les trois équations (D) de l'Article II, on aura alors une équation de plus qu'il n'y a d'inconnues, et la difficulté ne consistera qu'à résoudre ces équations.
J'observe, à l'égard des équations de l'Article précédent, qu'elles ne peuvent tenir lieu que de neuf équations, parce que, en éliminant quel- (jues-unes des inconnues, il arrive que les autres s'en vont d'elles-mêmes,
242 ESSAI SUR LE PROIiLÉME
on trouvera par des opérations seml)lables aux précédentes
dP r"' \r"''
Et, si l'on retranche ces équations respectivement des équations (K) trouvées ci-dessus, qu'ensuite on divise les équations restantes par r, r', r" , on aura ces trois-ci
^îl A 4- B + C
ip "^ r^~^
(M) {-TJT
dr- r"
d^r" A + B+C J-pq-p'q' , 1
dp "^ r"-' \ r" /
Nous avons donc réduit les six équations primitives (A), (B) qui renferment la solution du Problème des trois Corps pris dans toute sa généralité à trois autres équations entre les trois distances r, r-, r" et le temps t. Il est vrai que ces réduites renferment chacune deux signes d'intégration (ce qui est évident en substituant les valeurs de Q, Q', Q", ou de P, P', P" et de dp), et qu'à cet égard elles sont moins simples que les équations primitives; mais, d'un autre côté, elles ont l'avantage de ne renfermer aucun radical, ce qui me parait d'une grande importance dans CCS sortes de Problèmes.
Supposons donc qu'on ait déterminé par les équations (K) ou (M) les trois variables r, r', r" en t; on ne connaîtra encore par là que la position relative des Corps, c'est-à-dire, le triangle que les trois Corps forment à chaque instant; ainsi il reste à voir comment on pourra déterminer ensuite l'orbite même de chaque Corps, c'est-à-dire, les six variables x, y, z, x', y', z'.
DES TllOIS CORPS. ii.J
Pour cet eflbt, nous remarquerons d'abord qu'en connaissant /•, r' , r" on connaîtra aussi a u\ u", et dX, dW d\" par les loriuules de l'Ar-
liclc \ . De sorlc (|u'on aura (en mettant />" à la place de
et V a la place de ^ les dix équations suivantes .
^1 ^ yl -< 2' = /•%
xx' 4- > j' + 22' = />",
^ t/.r -}- y dy -h zdz = r dr,
x' dx' -+- y' dy' -h z' dz' =^ r' dr',
x' dx -h y' dy -{- z' dz = d\,
X dx' -+- y dy' -h z dz' ■= dW ,
dx'' H- dy^"" -f- dz' = lûdP,
dx'- + dy" + dz'^ = u'Hit-,
dx dx' + dy dy' -\- dz dz' = c" dt\
Or, en regardant les quantités x,y, z, x', y', z\ dx, dy, dz, dx' , dy', dz' comme autant d'inconnues, il est clair que les équations précédentes ne suffisent pas pour les déterminer, puisqu'on aurait douze inconnues, et seulement dix équations; mais, si l'on joint à ces équations les trois équations (D) de l'Article 11, on aura alors une équation de plus (ju'il n'y a d'inconnues, et la difliculté ne consistera qu'à résoudre ces équations.
J'observe, à l'égard des équations de TArlicle précédent, qu'elles ne peuvent tenir lieu que de neuf équations, parce que, en éliminant quelques-unes des inconnues, il arrive que les autres s'en vont d'elles-mêmes,
de sorte qu'on tombe par ce moyen dans une équation où il n'entre plus que les quantités ^^ r'% />",.... Pour le prouver de la manière la plus simple qu'il est possible, je prends d'abord les trois équations
xdx ■+- ydj- -\- zdz = rdr, x'dx -^ f'df ■+- z'dz = dY, dx'dx H- dy'df + dz'dz = v"dt\
et j'en tire par les règles ordinaires de l'élimination les valeurs de dx, dy, dz; j'aurai, en faisant, pour abréger,
oc =zy'dz' — z'dy', od = z dy' — ydz' , a." = yz' — y'z, ^=z'dx' — x'dz', ^'z=xdz'—zdx', ^" = zx' — z'x, y=zx'dy' — y'dx', y'=:ydx' — xdy', y"^=^xy' — yx' , 0 z=x{y'dz' ~ z'dy') — y{x' dz' — z'dx' ) + z{x'dy' —y'dx'),
j'aurai, dis-je,
, « rdr -f- a'dY -f- a"v"dP
dx = — ^ 5
, e>rdr-he,'dY-{-ô"v"dP dy=:^ ^ ^ »
dz
y rdr -+-y'dY -\- y"v"df^
Or je remarque que l'on a
a' ■+- (3= ^y^ = {x''-hy''--^z"){dx'^ + dy"+dz'') — {x'dx'-^y'dy'-^z'dz'y = r"u"dP—{r'dr')\
a" 4- ^" -\- y"= {x'-{-y' + z') {dx" -f- dy" -h dz") — {xdx'-hydy' -i- z dz')'- = r'u"dr-—dY'\
a"' -^- ^'" -^y"' = (x' -h y- -h Z-) {x" -h y'^ -h z" ] — [xx' -^ yy' -\- zz'Y = r'r''-^ p"\
a!z'-h^^'-+-yy'={x'dx' + y'dy'-hz'dz'){xdx' -hydy' 4- zdz') — [xx' -hyy' + zz' ) {dx" H- dy" -+- dz") = r'dr'dY' — p"u"dt\
DES TKOIS CORPS. 245
uoc" -f- (i(3" + yy" ={x'(lx'-^y'(ly' 4- z'dz') {xx' -\- yy' -f- zz' )
— {xdx' -4-7^//' -^-zdz') {x"-hx" -f- z") = p"r'dr'— r''dY',
oc'(x"-\- (â'(3" -f- y'y" = ':r c/^' + ydy' H- 2 ^Z^' ) {xx' -+- jj' -f- zz' )
— ( ^-'f/^' H- jV/r' -f- zV/2' ) ( ^' -f- r' + 2' j = /y'<l\'— r'r'dr';
tle sorte que, si l'on carre les trois équations précédentes, et qu'on les ajoute ensuite ensemble, on aura, après avoir multiplié par oS et fiiit les substitutions convenables,
è'(dx'-\- dy'-h dz') = {idry-[r'' u" dP — \ r" dr" )] -h d\'ir'u"dt' — d\") -{- ( v"dPy[r'r'' — p"') + 1 rdrd\{r'dr'd\'—p"u"dt') + 7.rdrv"dtHp"r'di'—r"dV')+o^dWv"df[p"d\'~r'r'dr').
De même, si l'on prend les trois équations
XX H- yy + zz = r%
xdx'-\-ydr'-^zdz'= d\',
et qu'on en tire les valeurs de x,y et z, il est facile de voir (ju'on aura pour 37, y, z les mêmes expressions que l'on a trouvées plus haut pour dx, dy, dz, en y changeant seulement rdren r-, d\ enp" et v"dt'^ en f/V; donc, faisant les mêmes opérations et les mêmes substitutions (jue cidessus, on aura cette autre équation
ovx--f- >-^-|- z') = r'lr'Hi"dt-~ r'dv'y^ -\- p"'[rUi'HlP — d\'^)
-f- dy"{r'r" — p"' ■+- ir'p"\r'dr'(l\' — p"u'UlP)
■+- 7.r^d\'{p"r'di'-r"-dV) 4- ip"dW'{p'd\' - v'r'dr' ,.
Or on a
dx^ 4- dy' -+- dz^ = u^dt\ el x' -h y'^-h Z-= /•-
donc on aura les deux équations suivantes
d'u'dP=rdryii'''u"dr— r"dr") -h d\'(r'u"dP — d\")
-+- ( v" dth'i r' ;•'= — p"') + ■?. r drd\ ( /■' dr' d\' — p" u"dP ;
+ 2rdri'"dP{p"r'dr'—r"d\') -h id\ v" dP{p" d\' - r-r'dr'),
oV^= r^'^r'-u'UlP — r'-dr")+ p"-{r-u''dr — d\''\
H- d\"ir'r" —p"'i -h Q.r'p"{r' dr'dy — p" u"dP
-h 2r'd\'{p"r'dr'—r"dV') + ip" d\' {p" d\' - r'r'dr' .
D'où, chassant â'-, on aura une équation entre les seules quantités connues r^, r'^, ....
Si l'on tire de la dernière équation la valeur de $-, on aura, en réduisant et effaçant ce qui se détruit,
0'= r"ir'u"dP — r'dr'^ — d\") -h ip" r' dr' dV — p"Ui''dP;
et, cette valeur de â- étant substituée dans l'autre équation, on aura
r'Hr^u''dP — r'dr" — dY")u'dP -}- {2p" r' dr' d\' — p'" u" dP)u' dP = (rdr}'{r"u"dP — r"dr") -+- dY\r'u"dP — d\" j
-h{v"dt')'{r'r" —p"') ■+- irdrdV {r' dr' d\' — p" ir-dP)
+ 2 /■ dr ^" dV [p" r' dr' — r" d\' }-h-2dV v" dP{p"dV' — r' r' dr' ) ;
OU bien, en ordonnant les termes,
( r'r" — p"-) ( V? u'- — v"') dV -f- ( /■ dr.r' dr' — dVdV )' [rHr'dr' r- — 2p"r'dr'd\'+ r''-d\'qiûdP
— {^r'^^^rdr)'— ip" rdrdW -f- r^d\']u"'dP
— 2[p" [r dr. r' dr' -\- d\ dY') - r' r' dr' dV — r" r dr d\']i'" dP ^ o.
Or ( Article V)
^^.^dp"-^dp^ et d\'=^Bl:=^:
DES TKOiS COUPS. 2'»7
(le plus on a, par les lonimlcs du iiirme Arlicl»',
ci (le niômc
donc, si l'on fait ces substitutions, et (|u'()n suppose poui' plus de simplicité
- ni-'''^''
- '* \ dt
'-Hm
dt I ^' V dl '' dt dt
l'équation suivante deviendra, après avoir été multipliée par -^,
,v-\ ,w / n I n\, f n i<i\ ,/v ^i • ^ii'i\ fdp djj'-i- d/J d/j'-h d/j' dp"-j- dù'\^
( N ) 1 0 [pp -i- pp -^/Jp ) (w -+- w"-h VV ) — 4{l(>-hl K -h l'v ) -+- I -i-^ '- — '—— — '- — '- — !—£- ) = o.
Il faut donc que cette équation ait lieu en même temps que les trois équations (K) de l'Article V; de sorte que, comme elle ne contient d'ailleurs que les mêmes variables que les équations (Kj, et qu'elle est d'un ordre moins élevé d'une unité que celle-ci, on pourra la regarder comme une intégrale de ces mêmes équations (K), mais intégrale particulière à cause qu'elle ne renferme aucune nouvelle constante; ainsi, si l'on intègre les équations (K) en y ajoutant les constantes nécessaires, ces constantes devront être telles qu'elles satisfassent à l'équation fN). De sorte que, si l'on ne veut pas se servir de cette dernière équation à la place de l'une des équations (K), il faudra néanmoins y avoir égard dans la détermination des constantes; mais pour cela il sulllra d'y supposer partout i = o.
Au reste nous ferons toujours usage de cette équation pour déterminer la constante qui doit entrer dans la valeur de -t-î résullaiite de l'inté- * dt
gration de l'équation (H) de l'Article V.
Reprenons maintenant les équations (D) de l'Article II, et faisant, pour abréger,
3i = y dx-x dy, V = x' dx' — x' dr', l" = f" dx" - x" dy" , i;.z= zdx — xdz, fi' = z' dx' — x' dz' , p." = z" dx" — x" dz", V = z dy - y dz, v' = z' dy' — y' dz', v" = z" dy" - y" dz",
on aura, après avoir multiplié par dt,
Or je trouve, comme plus haut,
}i-\- ij}-{-v-=^{x^-]-y'i-{-z^)(dx''-\-dy''-hdz^) — (xdx ■+■ ydy-h zdzy=.r^ii^dt-— (rdr)-,
et par analogie
>/2 + ^'î -+. v'2 = r" u" df — { r' dr'Y,
>/'j + p." 3 + v"^ = r"' II" 'dP—i r" dr') ' ; je trouve de même
VA'-+-(x^'-i- vv'= (xx'-i-yj'-^zz') {(Ixdx'-hdjdr'-^dzdz')— {x' dx -[- y' dj -^ z' dz) [xdx'-^ydy'-i-zdz')
= p"i,"d('-dYdy'=p"v"d('— (— )'+ (— )'' et par analogie
DKS TKOIS CORPS. 2W
Donc, si l'on l;iil, pour plus de siuiplicité.
Il - /•' lO —
Yi'=r"u" n"=r"'u"'-
rdr (Il
r'dr'V
dl
'^dT
et
en sort»' (juc l'on ait
).= + a^ +v^ =11 dP, l'I" -h iJ.'[j"-hv'v"=m'dt\ >.'= , y/ ^-^y'^ = U'dt\ n" + fj.'/' + vv" = Wdt\ >/'2 ^ y/'2 ^ ,y'i — ïi"Jp, /./.' + y.'j.' -+- vv' =W"dP,
on aura, en carrant les trois équations (0) et les ajoutant ensemble,
équation qui est aussi, comme l'on voit, d'un ordre moins élevé d'un»' unité que les équations (K); et comme elle renferme la constante arbitraire a--\-h--^c- qui ne se trouve point dans les équations (K), on peut la regarder comme une intégrale complète de ces mêmes équations.
On pourrait croire cjuc l'écjuation (E) que nous avons trouvée dans l'Article II pourrait ainsi, en y substituant les valeurs de u, u' et m", donner une nouvelle intégrale, mais il est facile de voir qu'il n'en résulterait VI. 32
(ju'iiiie équation identique, car l'équation dont il s'agit se réduit d'a-
hord a
u'- ti"^ . n n ( '^ ï * \ p
et, mettant pour w, u et u" leurs valeurs tirées des formules f J), on aura, en rejetant ce qui se détruit,
ce qui ne renferme aucune nouvelle condition, car les quantités Q, Q', Q" sont déjà d'elles-mêmes telles que d'Q + JQ -4- r/Q" = o (Article V). Au reste, si l'on combine l'équation
avec les équations (N) et (P), après y avoir substitué les valeurs de u, u' et u", on pourra, par le moyen de ces trois équations, déterminer les trois quantités Q, Q' et Q", lesquelles ne renfermeront par conséquent que les variables finies r, r' , r" et leurs différentielles premières dr, dr\
dr" avec la quantité -j-\ ainsi, substituant ces valeurs dans les équations (K), on aura trois équations du second ordre entre les variables /•, /•' et r\ dans lesquelles il n'y aura plus qu'à substituer la valeur de -j-'
Donc, si à l'aide d'une de ces équations on élimine la quantité — des
deux autres, on aura d'abord deux équations purement du second ordre entre les variables r, /-', r" et t\ ensuite, si l'on différentie la valeur de
^5 et qu'on mette la valeur de-^ dans l'équation (H), on aura une troisième équation entre les mêmes variables, qui ne sera que du troisième ordre. De sorte que l'on aura, par ce moyen, pour la détermination des variables r, r' et r", deux équations différentielles du second ordre et une du troisième; et ces équations suffiront, comme on le verra dans un moment, pour la solution complète du Problème des trois Corps. Nous croyons cependant qu'il est encore plus simple et plus commode
pour le calcul de sul)slituer dans les équations (K) les valeurs de Q, Q' et Q" tirées des équations (J); car, quoique les équations résultantes puissent monter à des ordres plus élevés que le second, elles auroni toujours ce grand avantage que les variables s'y trouveront p(;u mêlées entre elles, et (jue l'analogie (jui y règne facilitera beaucoup leur résolution.
Des dix équations de l'Article VIII il n'en reste donc plus ([ue neuf, et des trois équations (D) de l'Article II, ou (0 j de l'Article XI, il n'en reste plus que deux; de sorte qu'on n'aura en tout que onze équations pour la détermination des six variables a?, j, z, x\y' y z' et de leurs différentiel les f/.r, dy,...', d'où l'on voit qu'il est impossible de déterminer ces variables directement et par les seules opérations de l'Algèbre; mais on pourra en venir à bout au moyen d'une intégration, comme on va le voir.
Je suppose que l'on veuille connaître les valeurs de ^,7, -; on aura d'abord l'équation
Ensuite, multipliant les trois équations (0) de l'Article XI respectivement par)., [J., V, et les ajoutant ensemble, on aura
Cl o A
ou bien, en faisant les substitutions du même Article,
{K ( 77 + -5- H — r 1 ^^' = a{rdx — xdr)-\- b{zdx — xdz)-\- c{zdy — y \ C B A /
dz
Enfin, multipliant les mêmes équations (0) respectivement par z, —y, X, et les ajoutant ensemble, on aura
Iz — f-.r-*- vx K' z — a' y + v' X 1" z — |u"j + v" x
=: (az — h y -h ex i dL
Or il est aisé de voir que l'on a À- — ^jlv -h va? = o, et (pic
2o2 ESSAI SUR LE PROBLÈME
— X's -h ij.'y — v'.r csl la môme (|ii;mlil('' (jiic nous avons (Icsi^iiôc pins liani par o ^Article L\ ) ; donc, puis(jn'on a déjà trouvé ( Aiiiclo X)
on aura, en faisant les subslitutions du niùnic Article X,
{!' z — iJ.\r-{-y
'^y=\{pi>'
+ pp" -\- p' p" u" - ^
dp.
ilr.
et par analoi^ic
{l"z — II" y + v" xy^\ I pp' -f- pp" + // //' ) w"' - -,
De sorte (|ne l'équation ci-dessus deviendra
Ainsi on aura trois é(|uations [Q), (R) et (S), à l'aide desciuelles on pourra déterminer facilement les valeurs de a:, y, z, dès qu'on connaîtra c(dles de /•, /•' et r".
On |)eut trouver de semblables formules pour la détermination de a;', y, s'; et même, sans faii'(> un nouveau calcul, il sullira de cbanger dans les précédentes B en C et C en H, d'accentuer les lettres qui n'ont point d'accent et d'effacer l'accent de celbîs (jui en ont un, sans toucber à celles qui ont deux accents. Il faut seulement observer que la quantité dp ne (bauge point de valeur, mais seulement de signe, lorsqu'on cbange entre elles les masses A, B, C et les lettres accentuées, ce qui se voit clairement par l'équation (H) de l'Article V.
Supposons, pour abréger, Il W ¥'
^/4 ( pp' + pp" + p'p" ) n'-^ ~ 1' y 4 ( pp' + pp" + p'p" ) u"' — T''
cl l'on aura ces trois ù(jualioiis
HZ — h y -f- ex = Z,
a {ydx — X <ly -+- bi z dx — x dz ') + c{z dy — ydz ) ---- T d/ .
(^oinuK' les constantes «, h, c sont ailiitraires (Aiticle II y cl iir dcpcndcîntque de la position du plan de projection des orbites des (j)rps H et C autour du Corps A, il est facile de voir qu'on peut prendre ce plan de manière que l'on ait è=o etc = o; car pour cela il sullira (jirdii ail /; = ()etc=:o au commencement du mouvement, c'est-à-dire, lorsque
Supposant donc h = o et c = o, on aura
az=^Z, a {ydx — xdy) = Tdt;
donc
et, à cause de x- -h y'' -h :=- — /-, on aura
(IdMC
y dx — xdy a T di
(le sorte (|u'en Taisant
on aui'a
cl de là
x^-hy' n''r-—Z^
, a T dt
^=la»g?.
Z / . 7J . / , Z= = —5 >-=i//'- :, smcp, x=i/r^
coso.
Mais si l'on ne veut pas s'astreindre à la supposition de 6=0 et c=o, ce qui oblige de prendre le plan de projection d'une manière déterminée, voici comment on pourra déterminer les quantités ce, y, z avec toute la généralité possible.
Soient
Iz — wî r -+- nx = X, "kz — ij.f 4- v^ = Y,
/, m, n, >., p., V étant des coefficients indéterminés, et X, Y deux nouvelles variables; on aura
V r/ X — X (l V = [m v — n a) [j de — x dy) -+■ [n 1 — h)[zdx — x dz) -+- [Ijj. — m >.) [z dy —y dz] ;
donc, faisant
mv — n/7. = ha, ni — Iv =: hb, ly. — ml ■=. h a,
on aura l'équation (Article XIV)
YdX-XdY = kTclL
Supposons maintenant que l'on ait
/(X' + Y'O -+- gT" =^ X- -^ y-" -1- 2^
substituant les valeurs de X, Y et Z en x^ y et z, et comparant ensuite les termes qui contiennent les mêmes puissances de oc, y et z, on aura ces six équations
/( /^ +V) + ga'=\, f{ Im H- 7//) H- gah = o, /(w^ -I- [j?) -\- gb- = i, f{ In -h Iv) -\- gac = o, /"( n' -+- v^ ) -+- g-c' = I , /( mn -i- //v ) -l- gbc = o,
lesquelles, étant combinées avec les trois précédentes, serviront à déterminer les neuf inconnues /, m, n, )., a, v,/, g, k.
Ola l'ail, on aura donc, à laust; do x- -\- y'' -h z- = r- , l'rqualion
(I ou
donc
YdX-\dY flf'ïdt
Donc, si l'on fait
X'-4-Y^ r'-gZ'
do=fhI^
on aura
Y=:y/^:^^y^sin9, ^=\/^
^r^ COS9.
Ainsi l'on connaîtra les trois quantités X, Y, Z, à l'aide desquelles on pourra déterminer x, y, z.
Pour cela, on prendra les trois équations
Iz — my 4- nx = X, "kz — y.y -+• vx := Y, az — hy -t- ex = Z,
et on les ajoutera ensemble après les avoir multipliées respectivement : T** par//,/)., ga\ 2*^ \i^Y fm, /[j., gb; '5° pary>î,/v, gc; on aura sui-iccliamp, en vertu des écjuations de l'Article précédent,
z=f(l\ + 'kY)-hgaZ, y=-f{ni\+'j.Y.-ghZ, x=f{n\-\-^j\ -hgcZ.
Maintenant, comme on a supposé
^'-<-r'-+--s'=/(X'^-+- Y') -^ gz\
on aura, en substituant les valeurs de x, y, z qu'on vient de li'ouvrr, ri
('()mj);iiaiit les termes lioniogènes,
/(/= H-/??--f- W-) = I, /'/. ^ mu.-h n-j =:ii, fO? -+- u? -f- v^i == I, la -+- mb + ne — o, già' -+- h- -1- C-) = I, /«+ /-'.^ -4- vc = o,
et ces équations devront être identiques avec les six qu'on a trouvées cidessus (Article XV), et pourront par conséquent être employées a la place de celles-là pour la détermination des inconnues /, m,....
Or, comme il faut satisfaire en même temps à ces trois autres é(|uations (Article XV j
ha, n't. — Iv =^ kh, lij — ml^= kc,
je remarque (jue, si l'on ajoute ensemble ces dernières équations après les avoir multipliées respectivement : i"* par /, m, n; 2" par À, ti, v, on aura ces deux-ci
h ( la + mb 4- /?6- 1 =: o, /i ( Àa 4- jt/ /> -f- V c ) ^ o,
lesquelles s'accordent avec la cinquième et la sixième des précédentes; ainsi l'on peut déjà réduire à une seule les trois équations dont il s'agit, et l'on y satisfera par la détermination de l'inconnue /•. Or, si l'on ajoute ensemble les carrés de ces équations, on aura
k- ( a--\- h--\- f' ) = 1 m v — // y. )- + ( /i >, — / v )= + ( lu. — mlY
= il' -+- m- -h n') il- -+- [j:' h- v') —(11 + mu + nv f = y^
en vertu des six équations ci-dessus; de sorte qu'on aura
fs^!a'-hb--h c-
Donc il n'y aura plus qu'à satisfaire aux six équations trouvées plus liaut : c'est ce qu'on pourra exécuter de plusieurs manières à cause qu'il y a plus d'indéterminées que d'équations.
On aura U'abord
ensuitr, si l'on (liasse À des doux équations
Il -f- mu -f- nv - o, la -h [j.h -^ vc — o,
on aura
( am — bl ij. -h [an — cl) v ^= o,
et, chassant a, on aura de même
( bl — am A -h (bn — cm » v = o, d'où je conclus qu'on aura
l = {cm — bn}è, ij.z=[an — cljd, v = [bl — am â,
§ étant une inconnue qu'on déterminera par l'équation
laquelii' donnera
fè''[{cm — bnY -{- [an — cl)- -\- [bl — amf] = i; mais on a [cm—bn^-^ian — cl)''-h{bl—amf=:{à--hb^-\-c^ {l--\- m- -\-n^j—(al -\- bm-i-cn i^ = -p-i
à cause de
a- -h b^ -\- c- = -■) l' H- m- -\- n^ =. -jr ■) al -\- bm -\- cm = o S f
par les équations ci-dessus; donc on auni
g ^s ^a'-hb' + c
