VI
r\ il ne rcsli'i'a qu'à satisfaire à ces deux équations
f l^ + m- -f- «') — 1 , la -h inh -f- ne r - u. Supposons, pour plus de simplicité,
a^^hcosoc, b = hsinacose, c = /i sina sine; on aura
de sorte (|u<'
h-^sja} + b'-^ c\
et la seconde des deux équations précédentes deviendra
/cosa + sina (m coss -t- /isinej = o;
soit donc
/= sina sinv;,
et l'on aura, en faisant pour plus de simplicité/== i,
sin=a sin'-/; + in" -+- ;i2 = i, cosasinvi + mcosj -f- n siiu = o.
m cos£ + «sine = — cosasin/î;
donc
m- -4- «' — (m cos c + n sin zf = (m sin e — n cos £)'
= I — sin^asin'/j — cos=asin'7;= i — s'xn'n — cos-n;
et, liranl la racine carrée,
m sine — n cose = cosy; ;
de sorte qu'on aura
m = sine cos/î — cosa cose sinrî, n = — cos £ cos-/) — cos a sine sin 7; ;
cl (le là on trouvera les valeurs de X, /x, v par les formules précédentes.
DES mois CORPS. 259
On ;iur;i de (('lie iiianiùre
/ =r. sina siii/,,
m = sine cosy; — cosot. cose sinr,, /î = — cos£ cosT) — cusî< sine sin/;, >. = sin a cos/m
|U = — sine sin/) — rosa rose cos/,, V = cose siny; — cosasinc costî.
Si l'on subslilue ces valciiis (l;»ns les expressions de x, jel r de l'Ailicle X\ i, il est l'aeile de voir (jue les (juanlités X, Y et j ne sont aiilre
chose (jue les coordonnées rectangles de la même courbe, (jui est représentée par les coordonnées x,y, z, mais rapportée à un autre plan de projection, dont la position dépend des angles a, s et'/j. En efiét, si l'on considère les deux plans des coordonnées^,/, et des coordonnéesX, Y, l'angle « sera celui de l'inclinaison de ces deux plans, l'angle yj sera celui (jue la ligne d'interjection de ces plans fait avec l'axe des abscisses x, et l'angle i sera celui (|ue l'axe des abscisses X comprend avec la même ligne d'intersection. Or, comme l'expression des coordonnées X, Y et -r est plus simple (jue celle des coordonnées ^,j, z, il est clair (jue le plan de projection auquel appartiennent les coordonnées X, Y et j est i)lus j)ropr('
(|ue tout autre plan pour y rapporter les mouvements des trois Corps, ou plutôt le mouvement relatif de deux de ces Corps autour du troisième.
On voit donc (|ue la position du [)lan de projection n'est point du tout indifférente, et (jue, parmi tous les plans possibles qu'on peut faire passer par le (>)i'ps A, il y en a un (jui doit être choisi de préférence, paice (|ur les mouvements des Corps B et C autour de A sont pai- lapporl ii ce phni les plus simples qu'il est possible.
Cette remarque, qui me parait de quebjue importance dans le Problème des trois Corps, n'avait pas encore été faite, parce que personne, (jue je sache, n'avait juscju'à prés(;nt envisagé ce Problème d'une manière aussi générale que nous venons de le faire.
xvin.
Nous prendrons donc, à la place des coordonnées x,y, 2, celles-ci X,
Y, ^5 pour représenter le mouvement du Corps B autour de A; et comme
l'on a, à cause de /? = ^^ (Article XV), sis
il est clair que o sera l'angle décrit par le Corps B autour de A dans le plan de projection, c'est-à-dire, la longitude du Corps B dans ce même
plan; et que -j- sera le sinus de la latitude. Ainsi on aura '^Article XVI),
à cause de/= i,
Pour le (^orps B :
Rayon rerieur de l'orbiu-, Longitude..
Tdt
Sinus de la latitude -7-
hr
. Pour le Orps C :
Rayon recteur de l'orbite r' ,
Longitude /
Tdt
Sinus de la latitude 7— •
fir
Les valeurs de T et de Z sont données par les formules de l'Article XIV,
ci pour avoir celles de T' et Z' il n'y aura qu'à changer dans celles-là l'acccint zéro en ' et ' en zéro, et ensuite B en C et (] en H.
Quant à la quantité h, c'est une constante arbitraire qui dépend du mouvement initial des Corps; mais il faudra la prendre telle, (|M'(dle s'accorde avec l'équation (P) de l'Article XI, dans laquelle le second membre est
rt' -f- /;' -f- c^ = /t' ;
de sorte qu'il n'y aura qu'à prendre pour h la lacine carrée de l;i valeur du premier membre de cette équation lorsqu'on y fait / = ().
Les formules que nous venons de trouver servent à déterminer i<'s orbites des Corps B et C autour du Corps A par rapport à un plan (ixc passant par ce même Corps; mais il faut voir encore comment on peut déterminer, par leur moyen, la position inuluelle de ces orbites. Pour cela, nous commencerons par remarquer que si l'on considère le triangle formé à chaque instant par les trois Corps A, B, C, et dont les trois côtés sont /% r' et r" , et qu'on nomme Ç, T, 'Ç" les trois angles opposés à ces côtés, on aura, comme on le sait, par la Géométrie élémentaire.
