COS 'C

cosÇ'

rr --■ // '

?.r/- rr'

oos Ç"

•y.rr' rr'

Or on a (Article VIII)

p" := xx' -+- rr' -\- zz'\

donc

,^,, xx' H- rr' 4- zz' ces C = -^, )

Ç" étant l'angle formé au centre du Corps A par les rayons recteui s / ci / des deux autres corps B et C.

Qu'on imagine maintenant deux plans passant, l'un par le Corps A et par les deux points infiniment proches dans lesquels s'est trouvé le Corps B au commencement et à la tin du temps infiniment petit dt, et l'autre par le même Corps A, et par les deux points infiniment proches où le Corps C était au commencement et à la fin du même temps dt; ces deux plans seront ceux des orbites des Corps B et C autour de A, et ils se couperont nécessairement dans une ligne droite passant par le Corps A, laquelle sera donc la ligne des nœuds des deux orbites.

Soit co l'inclinaison de ces deux plans l'un à l'autre, 2 la distance du Corps B à l'intersection des deux plans ou à la ligne des nœuds, c'est-àdire, l'angle compris entre le rayon r et la ligne des nœuds, et l' la distance du Corps C à la même ligne des nœuds, c'est-à-dire, l'angle formé par le rayon r' et la ligne des nœuds; si l'on imagine une sphère décrite autour de A comme centre, et que par les points où les deux rayons r, r' et la ligne des nœuds traversent la surface de cette sphère, dont nous supposerons le rayon égal à i , on mène des arcs de grands cercles, on aura un triangle sphérique dont les trois côtés seront S, |' et Ç", et dont l'angle opposé au côté T' sera ov, de sorte qu'on aura, par les formules

connues,

ces 'Ç" =- ces c cos l' h- sin ç sin l' ces oj ;

donc

xx' -X- Yy' ~i~ zz' cos H ces i'-i- sine sine' ces C) = '-^,

Supposons maintenant que pendant le temps dt le Corps B décrive autour de A l'angle infiniment petit d^, et que le Corps C décrive l'angle d^' , il est clair que, tandis que les lignes oc, y, z, r croissent de leurs différentielles dx, dy, dz, dr, l'angle | croîtra de d^, et l'angle w demeurera le même, parce qu'on suppose que la position des plans des orbites des Corps B et C est la même au commencement et à la fin de l'instant dt-, de même, en faisant croître les lignes x',y' , z' , r' de leurs différentielles ^o:', dy , dz', dr' , il n'y aura que l'angle |' qui variera en croissant de d^'. Or, comme l'équation précédente doit être identique et indépendante de la loi des mouvements des Corps B et C, il est clair qu'on pourra y faire va-

DES TROIS CORPS. ny.i

l'U'V les (juantités x,y, z, r et z (jui ai)|);u'lienn('nl au Corps H indépendamment des (juantités x',y, z' , r' cl Z' qui appartiennent au (^orps (], et vice versa celles-ci indépendauinicnt de eelles-Ià; d'oîi il .suil (pTcii faisant varier d'abord x, y, z, ret c, ensuite x', y\ z', r' et ç', enfin les unes et les autres en même (euips, on tirera de l'équation doni il s'ai^it les trois suivantes

(— sin> ros?'-i-cosfcsni^'cos'»)a0 =^— ^^ ^^^—— 1 s£j^ ,

/•'/• rr'

y . y, .y y, ,., x.x' ^yy' -If zz' ) (1 f' X (I x' -^-y (l)'' -\- Z il z'

(sin $ sin |' ■+- ces l cos ^' coso) ) d6 dô'

( xx' -h yy' -+- zz' ) dr dr' ( x' dx -(- >•' dy H- z' dz ) dv'

( X dx' H- ydy' -f- z dz' \ dr dx dx' + dy dy ' -f- dz dz'

Donc, si l'on fait dans toutes ces équations les substitutions de l'Article VIII, on aura ces quatre-ci

cos£cosH'-+- sin£ sin?'coso) = f—-,-,

— sin £ cos E H- cost sin? cosc) = — -r-r? — '

r^r dO

n'fli-'-^ r'dW

— ces H sin ^' + sin^ cosË' coso) = — ; — j^ ?

rr'dd

. ., . .,, ., ^, p"drdr'—dV.rdr'—d\'.r'dr+rr'v"dP sni^sm^ -^cos4cos^'cosw= ^^ ,,,„„^lQ^l(^f

Or il est facile de concevoir (jiie le carré du petit espace (jue parcoiiri le Corps B dans le temps dt est exprimé également par dx'-ir dy'^-t- dzet par r'-dO'^ -h dr-, de sorte qu'on aura

rde = s/dx^ -+- dy-" -f- dz^ — dr et par conséquent (Articles VIII et XI)

. \ju^dt' — dr^ dt^n r r'

et de même

Ainsi les seconds membres des quatre équations précédentes seront tous donnés, dès qu'on connaîtra r, r' et r" en t (Article cité); de sorte qu'on aura quatre équations entre les trois inconnues 'ê., B' et w, par lesquelles on pourra non-seulement déterminer ces trois inconnues, mais encore avoir une équation entre les quantités r, r', r", u, w',..., et cette équation sera la même que celle qu'on a déjà trouvée plus haut (Article X) par une voie bien différente.

Supposons, pour abréger, que les équations précédentes soient représentées ainsi

cosEcost'-4- sin^ sin^'coso) = À,

sinË cos^' — cos^ sinTcGso) = u, cosË sinH'— sin^ cos^'cosw = V, sinH sinc'-f- cosËcosH'cosco = — CT,

en faisant

p" p"dr-hrd\ p"dr'-hr'd\'

"drdr'^ dV . rdr' + dWr'dr — rr'v'dP

r'r'HlQdB' '

il est facile de réduire ces quatre équations à ces deux-ci

ces ( H ± ^' ) ( I =F CCS (ù)=^l±m, sin ( H ± H' ) ( I =p ces w I = M ± V,

lesquelles, à cause de l'ambiguïté des signes, équivalent réellement à quatre équations. Élevant ces deux équations au carré, et ensuite les ajoutant ensemble, on a

(i=pcosw)' = (À±ro;=-f- i(U=hv)%

«l'oti, à cause de l'ambiguïté des signes, on tire

— COSCi) ■= ?,GT + p.V, I -+- COS-ù) = X- H- p.^ -f- V- 4- !57^ ;

de sorte qu'éliminant cos^ij on aura

I H- ( ?.C7 -4- iJ.y Y = l' -f- p.' + v^ -f- xs\

Si l'on substitue dans cette équation les valeurs de )., /j., y, zs, comme aussi celles de dû et de dO', on aura une équation qui sera la même qu<î l'équation (N) de l'Article X; ce qui peut servir à confirmer la bonté de nos calculs.

L'équation

— CCS 0) = ),m -t- uv

donnera

0OSCO=r^^ —

r'r"d6de'

s/nn'

ce qui fera connaître l'inclinaison oj des deux orbites.

Connaissant w, on connaîtra aisément ^ et ^'; car, en multiplianl le?

deux équations

cos(^ -I- ^')(i — cosw) = l-\-Tiy,

COSiX — ^')(l-+- COSO) =:X — 57

l'une par l'autre, on aura celle-ci

Y (ces 2^ -I- C0S2^')sin'w := l^ — CT" ;

et de même les deux autres équations

sin(^ + ^') (i — cosw) = fjiH- y, sin(^ — ^')(i 4- cosw) — y. — v,

étant multipliées ensemble, donneront

— 7(cos2^ — cos2^') sin^w = p.^~ vS (i'oîi l'on tire

sm'w sm^6)