SOLUTION DU PROBLÈME DES TROIS CORPS DANS DIFFÉRENTS CAS

xxin.

Nous allons examiner dans ce Chapitre quelques cas particuliers, où le Problème des trois Corps se simplifie beaucoup et admet une solution exacte ou presque exacte; quoique ces cas n'aient pas lieu dans le Système du monde, nous croyons cependant qu'ils méritent l'attention des Géomètres, parce qu'il en peut résulter des lumières pour la solution générale du Problème des trois Corps.

Le premier cas qui se présente est celui où les trois distances r, r\ r" seraient constantes, en sorte que le triangle formé par ces Corps demeurât toujours le même et ne fit que changer de position.

On aura dans ce cas

<//•=: G, dr'= 0, dr" =: o, et par conséquent aussi

dp = G, dp' = o, dp" =: G ;

donc les trois équations (K) deviendront

^~^^~^^ -hC(p'q'-p"q"-hQ) =o, {a) { ^^ ' " ' " -f- B (pq -^p"q" + Q' ) = g,

M- pg — p'q'+Q") = o; d'où l'on voit que les ([uantités Q, Q', Q" seront pareillement con-

slyiites, en sorte (lu'oii ;iiir;i

iiHtycuiiaiil (juoi les ('(jualioiis (Ij su rùduironl ;i ccllrs-ci

(J dp = O, (j'drj =: (), (j"(fp = o,

Ies(|uell('s (lomuToiit ou </ = (>, q'zi^o, (y"= o, (»u (lrj^={). I-Aainiiions séparément ces deux cas.

Soit d'abord

donc

de sorte (|U(! h' triangle formé par les trois Corps sera équilatère; les équations (a) donneront donc

et, ces valeurs étant substituées dans les formules (J), on aura

Maintenant on aura

donc

de plus l'équation (H) donnera -^ = o, par conséquent

(z étant une constante arbitiaire qui doit satisfaire \\ l'écjuation (Nj,

Or on trouve

l = l' = l"^r*oi';