VI

(le soi'lc que l'équation dont nous parlons deviendra

9/'^ M* — 6/'-a^a^+ a* =^~ o, c'esl-à-dire,

d'où

Ainsi l'on aura satisfait à toutes les équations du Problème; de sorte (jue la valeur de r demeurera indéterminée; d'où il s'ensuit que le système des trois Corps peut se mouvoir de manière que les trois Corps forment toujours un triangle queleonque équilatéral.

Ayant trouvé

on aura

4P?/^— 2 = 0, 4Pm'^— 2'=o, 4Pa'"-r':=o;

doue

sint]; := o, sin'y=o;

d'où l'on voit (|ue les trois Corps seront toujours nécessairement dans un même plan.

On trouve ensuite

n = ïi' = n' = r'u\

donc, à cause de t|i — o et ^'= o, on aura

r/cp dc(>' / I I }\ II'

u ^ ~jr ^ [c ~^ \ "^ H/ T '■

mais l'équation P) donnera

'''^ih^h-'-T-^xn^jc-^w)'""''

on l)i('ii

fi'= (Tr + -^ + x) '''«'-

|»;ir (■((iis('(jiiriil

donc

</9 d(^ " __ /À -»- B -f- C (Il ~ UT ~ r "^ y r»~

Ainsi les (iorps li cl C ne l'cronl (jlic tourner autour du Corps A ;ivcc une vilcssc angulaire constante et éi^ale à i/ ;^ — -■

(Ir Examinons niainlenant l'autre cas, où -^ = o sans (}ue q, (j \ (f soieni

nuls, et substituons d'abord dans les équations (J) les valeuis de CQ. MQ' et AQ" tirées des é(|uations [a) ci-dessus; on aura

ib) \ u'-— ' ^ — \\\pq -4- p"q" },

-A{-pq-p'q');

d'où l'on voit que les vitesses relatives des Corps seront aussi constantes, mais non pas égales entre elles comme dans le cas précédenC

Or, puisqu'il faut (juc -^ = o, on aura donc aussi -7,7 ~o, »'t re(|uation (H) deviendra

Ensuite ré(|uation (N) deviendra (à cause de dr = o, dr' - o. dr - o. et dp -^ o, dp' — o, dp" — o, dp := o)

i6PU=:o,

savoir

P = o, ou U :^ o ;

ainsi, en combinant l'une ou l'autre de ces équations avec l'équation précédente (c), on pourra, par leur moyen, déterminer deux (luelconques des trois indéterminées r, r' , r" , et le Problème sera résolu. Supposons d'abord P = o, on aura

(r-H r'H- /•")(>+ /•'— r")[r— r' + v" (/■— r' — r" \ — o; donc, puisque r, r' , r" sont supposées positives, on aura ces équations

r -{- r' — /'"=z o, ou /• — r' -^ y" ^=0, ou /■ — /' — /■" = o,

d'où l'on tire

r" = r -\- i'\ ou /•'=/•+/■", ou r = /■' 4- /"" ;

c'est-à-dire, que l'une des trois distances doit être égale à la souiux^ des deux autres, ce qui montre que les trois Corps doivent être toujours rangés dans une même ligne droite.

Imaginons que les trois Corps A, B, C soient rangés de suite dans la même direction, en sorte que l'on ait

et, taisant pour plus de simplicité r'= mr, il n'y aura qu'à substituer dans l'équation [c] mr à la place de r' , et {m~i)r à la place de r"; l'inconnue /' s'en ira, et l'on aura une équation qui servira à déterminer m. On trouvera donc

rri^ -^ m — i )^ — i , , . i) = /'- = ( nv — m ) r\

, ■ i-h(m — if- — m'

i -h m^ — (m — I)' p = ^ i' = mr\

Lm^ (m — i)^J r^ ' m.

cl, («'S .substitutions étant laites dans l'équation (c), clh' deviendra, après avoir (le multipliée par Tn-{m — i f r,

[ (I ^ C ( — 3 «/=-(- 3 «t — I ) -h R m^ ni' 3 m 4- 3 ) — A m — i iM i — m^ = o.

laquelle étant ordonnée par rapport i» m montera au cinijuiènie (icyrr. et aura par eousécjuent toujours une racine réelle.

Il est bon de reniarcjuer ici que, quoique nous ayons supposé r" — / /, la solution n'en renferinera pas moins tous les cas possibles, a cause (jue les distances r, r' , r", étant prises sur une même ligne droite, peuvent être positives ou négatives, suivant la dillerente position des Corps.

Maintenant, a cause de

dr = o, dr' = o, dr" = o, dp = o,

on aura

de sorte que, comme on a déjà P = o, on aura

siin]; = o, sini|;'=o,

ce qui montre que les trois Corps doivent se mouvoir dans un plan ti\(

Supposons maintenant l'autre facteur U égal à zéro, on aura

\] = if^' -h vv" -t- v' v" ^^ U?u'- — l'"' r= O.

Or les équations (/>) donnent

--— = -(A + B + C)y --<p q -}> q -^ ^-, pq ^p q ),

d'où, en multipliant par r'-r'-, et mettant à la place de r^ et r'^ leurs valeurs p' -h p" et p h- p", on aura, à cause de (7' - - q — q\

v'Uû— r'u" = (— Cq + liq' — \q")V -+- iCpq - Bp'q ~ \p' if^p ;

mais

Cpq — B/7'g' — Ap" q" ^= o

|);ir !'(Mjuation (c) ; donc on aura simplement

,'iu' — r^u" = {— Cq -f- B</'— kq')V,

ri l'on ti'ouvera de même par analogie

r"'M' — r^u"^={Cq -+- B^'— Aç")P,

r"'u''—r"u"'={Cq -+- Bq' + \q")P,

d'où il est facile de tirer

et par conséquent

„ p"u'-hCqP __ p" u"- + B^' P

"2 -^ p"'u'ii"+p"^[^q'ii' + ^qu")-^^^qq'^'

et de là, à cause de V — r'^r"^ ~-p^->

= ;:^[("'-C^/>")(""-B^y')-BC;v'^^y'j.

Mais les mêmes équations [h] donnent

donc, en substituant ces valeurs aussi bien que celles de q et q , on aura ■A + B C \ /A-+-C B \

."3 / \ ,,'3 ^ -jrA-^^^'

(Ml Iticii