SUR LA LIHHATION DE LA LUNE

et

TdX dr' cos» P dV sin ?. Q (/Q = o.

Par là on aura

= i^ rD^/(Br"), N = o,

K - {H = - ^ Td J( Ar") - ^^^ Tor/ |{/ - .

Si l'on suppose D = i, on aur;) alors

en prenant A' et B' pour les valeurs de A et B, loi'S(|ue r ~J'. Mais, si l'on veut avoir égard aux conditions de l'équilibre, on aura, par les équations (K), quelle que soit d'ailleurs la densité D,

en mettant r' ^^f. Si l'on supposait de plus la densité constante et ei;ak' à I, on aurait, à cause de L = —y- dans cette hypothèse,

\'f> — T^ — la BV — - = '-^ •

loL-icp"' *^' 2pn5L-2ç/^l 4Lp»

Du reste on remarquera que e(A'-h B') sera dans ce cas l'ellipticile dii premier méridien, et eA' celle du méridien qui est à 90 degrés de là: d'où il suit que les deux demi-axes de l'équateur seronl/(i -heA'-^eB'j et/f I -h eA'), et que son ellipticité sera, à très-'peu près, eB'.

Il reste encore a trouver la valeur des deux termes I -^ et I -j^ de l'équation (A). Pour cela, soient 0 le ravon de l'orhite de la Terre autour de la Lune, i»ioii't«' sur !<• plan

(le l'iM li|)ti(|iir ItiiKiiic: ou, ce (lui reviciil au mémo, le rayon de l'oibiti^ (le la Lune autour de la Terre, réduit a l'écliptique;

•j la longitude de la Terre, vue du centre de la Lune, ce qui est la même chose que la longitude de la Lune vue du centre de la Terre et augmentée de 1 80 degrés:

À la langente de la latitude de la Terre, vue de la J^uiie, et supposée audessus de l'écliptique lunaire, laquelle est égale, mais de signe contraire à celle de la Lune vue de la Terre.

On aura, comme il est très-facile de le concevoir,

X =^[j cosj>, r = p sin v, 2 = pX ;

et, si 'Ç exprime la longitude du nœud ascendant de la Lune et i la tangente de l'inclinaison de r(U'l)ile, la valeur de À sera, suivant les dénominations qu'on vient de poser,

>. = — /sin( u — 180" — Ç) = i sin v — 'C\.

Soient aussi

p' le rayon de l'orbite apparente du Soleil autour de la Terre, •j sa longitude.

11 est visible qu'on aura

x' — ^ = p'C0S!j', y' — !•:= p' siiiu', z'^=-z, savoir

:r'= p'cos^'h- p cosî;, j' = p'siny'-i- psinu, 2'=z = p/..

On fera donc toutes ces substitutions dans l'expression de R et de R' ^Article II), et l'on aura, api'ès quel(|ues réductions fort simples, en substituant pour X, Y, Z leurs valeurs [Article VI, équations fEjj, et réduisant,

R2=p-^(i 4- X'^) — 2p(Xcos-jH- Ysiii-j + Z/. +X--4- Y■-^-Z- = p', I -+- X^) — ^.pA-sin l'[sin J — £ sin--i- À ros- I

— 2 pr cos P sin Q' [sin ly — e) ces 7: — /. sin 7:] — ?.p/' cosP cosQ' ces ( j --- e) -+- /•'.

SUK LA Lin RATION DE LA LUNE.

On ;iur!i de même

H"=p'»-+- 9.p'pcos{v' — v) + pHi -^-l']— ?.p'(XcosLi'-(- Ysiiij'

— 2piXcosu + Ysin;;-l-/J.) -+- \'-hY'-{-Z'

=.p''' -+- 9.p'p cos{v' — v) + p'(n- X-) — 2p'/'siii V sin(y' — e) smitt

— 2p'rrosPsinQ'sin(u' — e) cost:— ?.p'/(usP fusO'cosf v' — e)

— 2prsinP[sin(u — e sin;: -f- X cos-]

— 2 pr cos P sinQ'[sin(u — e) costt — Xsin;:] — ^.o/fosP cos O' cos (u

Suhstituanl au lieu de Q' sa valeur Q-\-'», et l'aisimi, |Mnir ; après avoir développé les sinus et les eosinus de Q -\- w,

r =; siniv — ê) sinTi-f- /. cost:,

A —■ sinw sin()^ — e) eosTr + rosr.) cos, -u — £/ — /. siiKo sin-,

A = coso) siii V — e)C0S7: — sinr.) cos( v — e) — l cos'osin-,

r'=: sin(i;' — e") sinTT,

A'-— sincosin(i;'— e) cosr-t- coso) cos v' — e),

A':^ coso) sin(u' — e) cost: — siiir,) cos( v' — e),

lhn'lJ(•|•

on aura

K'=^P'(H-XM — 2p/sinPxr— 2p/-cosP cosOx A— 2p/(osP siiiOx A-f-/-%

K'-' p''-i-2p'pcos(u'— u) + p'(i 4-X-) — ?./-sinP X (pT + pT

— 2/-cosP c«»sQ X (p'A' + pA — .'. /'rosP sinO x p'A'H- p A ' -+- /•-.

.le (lillerentie maintenant la valeur de R- (ju'on vicnl de iroiiNci . • n faisant varier seulement r.j, s, tt, et en écrivani n ;iu lieu de r/: j";i(ii;ii. en l'ctenant les lettres F, A, A, et divisanl |)ar 2,

KôR= — prlsinPôr-hcosProsQ-^A ^ cosP sin(JoA ,

On a de plus, en négligeant les carrés et les autres puissances de r visà-vis de p,

— = ^ H ^— ^ (TsinP -i- AcosPcosQ -4- AcosPsinQ).

On multipliera donc ensemble ces valeurs de R^R et dt3^^ en ayant attention de rejeter tous les termes qui renfermeraient

rsiiiP, /cosPsinQ, rcosPcosQ, r^ sinPcosP cosQ, r^sinP cosP sinQ,

par la raison que l'intégrale de ces termes, après avoir été multipliés par a, est égale à o [Article V, (B); Article IX, (F)] ; on multipliera ensuite chaque terme du produit par a, et l'on en prendra l'intégrale, en se souvenant que l'on a [Article IX, (G) j

/ a/'cos'P = H, / a/=cos»Pcos2Q — M,

/ a/- sin'P =:K, / a/' cos'P sin2 Q =r N, ce qui donne

r«r'cos^Pcos=Q={(H-4-M), / «r' cos^P sin^Q = ^î H — M), a/-^ cos'P sinQ cosQ = yN.

Par ce moyen, on aura •aôR 3p^

[Krar + |H(AôA + AôA;

-+-|M(AÔA- AÔA) + |N(AÔA -(- AÔA;].

Or on trouve, par la différentiation de T, A, A (Article précédent),

âr = — cos(u — £) sinrôe -i- [sin(u — e) cost: — ?. sinrjôr,

ôA = [cos'^) sinf u — e) cost: — sinw cos(u — e) — Xcosoj sin7:]oo)

— [sino) cos(u — £) cost: — cosco sin(u — e)]Ô£

— [sino) sin(u — ej sinr: -f- ?iSinco costtJôtt;