VI
de vSorte que toutes les quantités précédentes P, ^,. . . seront nulles, et conséqueinment l'équation (N) se trouvera vérifiée d'elle-même.
Maintenant il est clair qu'à cause de a = o et X =o les trois é(juations différentielles de l'Article XXIX se réduiront à celle-ci
en faisant, pour abréger,
Fi=Ah-B+C(i- ij.'jjs' + ij."m" ),
Cette équation étant donc multipliée par d{r-), et ensuite intégrée, donnera
H étant une constante arbitraire; d'où l'on tire
, rdr
dt =
moyennant quoi on déterminera t en r, et par conséquent /• en t.
De plus, si dans les équations (J) de l'Article XXII on substitue les valeurs de Q, Q', Q" de l'Article XXIX, on aura, en vertu des équations du groupe i" du même Article,
donc
De la on trouvera
Il =m*
n"=-ii/^s
à cause de
et par conséquenl
Ij} = rri^n}, fjJ^ = /i% p."- := m^
Doue, si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (P), (die dcviendia
(I ou
d'où l'on voit (jue H doit être une quantité négative.
Or, a cause de P = o et de 2 = o, 1'= o, 1"= o, on aura
sirnl» := o et sin^|;' = o,
ce qui montre (jue les deux Corps B et C doivent se mouvoir dans un même plan fixe passant par le Corps A, et l'on trouvera ensuite pour les angles de rotation
It ~ dt ~ hr' VC "^ B "^ A j "" ~'
292 ESSAI SUK LE PUOBLÈME
Et, si l'on substitue la valeur de dt, trouvée ci-dessus, on aura
, dr
do ■=
équation polaire d'une section conique, rapportée au foyer, dans la- (|U('lle ^ sera le grand axe et — ^ le paramètre.
Nous venons donc de voir que le Problème des trois Corps est résoluble exactement, soit que les' distances entre les trois Corps soient constantes, ou qu'elles gardent seulement entre elles des rapports constants, et cela dans deux cas, savoir : lorsque les trois distances sont égales entre elles, en sorte que les trois Corps forment toujours un triangle équilatère, et lorsque l'une des distances est égale à la somme ou à la différence des deux autres, en sorte que les trois Corps se trouvent toujours rangés en ligne droite.
Or, si Ton suppose que les distances r, /■', /'" soient variables, mais de manière que leurs valeurs ne s'écartent que très-peu de celles qu'elles devraient avoir pour que l'un des cas précédents eût lieu, il est clair (juc le Problème sera résoluble à très-peu près, et par les métbodes connues d'approximation; mais nous n'entrerons pas ici dans ce détail, qui nous écarterait trop de notre objet principal.
J'avoue, au reste, qu'on pourrait résoudre les Problèmes précédents d'une manière plus simple par les formules ordinaires du Problème des trois Corps entre les rayons vecteurs et les angles décrits par ces rayjons, si l'on voulait se borner d'abord à l'hypothèse que les Corps se meuvent dans un même plan fixe; mais il ne serait pas aisé, ce me semble, d'en venir à bout par les mêmes formules, si l'on supposait, comme nous l'avons fait, que les Corps pussent se mouvoir dans des plans dillerents.
DES TKOIS CORPS. 29:{
CHAPIIKl-: III.
MUOI h ICATION UKS K(HV MULES UU CIIAl'ITUK l' Il E M 1 K U , IMJL» L li CAS UL I, (» \
SUPPOSE yuE l'un des tuois coups soit Éloigné ues ueux authes.
Le cas (jue nous allons examiner a lieu dans le Système du uiondc, par rapport à ces trois Planètes, le Soleil, la Terre et la Lune, dont les deux dernières sont beaucoup plus éloignées de la première qu'elles ne le sont l'une de l'autre; mais nous ne considérons ici le cas dont il s'agit (juc d'une manière générale, et seulement pour voir quelles modifications cette supposition doit apporter aux formules générales de l'Article XXll.
Supposons donc que le Corps C soit beaucoup plus éloigné des Corps A
et 13 que ceux-ci ne le sont entre eux, en sorte que les (|uantités /' et r"
soient fort grandes par rapport à la quantité r; pour cela nous prendions
une quantité /, que nous supposerons constante et très-petite, et nous
ferons
en sorte que R et R' soient des (juantités finies et comparables à /■. Or, si l'on nomme, comme dans l'Article XIX, 'Ç" l'angle formé au cenliv du Corps A par les rayons vecteurs r et r' des Corps B et C, on aura
.^„ r= + r" — I-"cosC = -, ?
<i ou
0(1 i)H'll
Donc, si l'on fait
on aura
/•''- = r'= — ■?. r'r eus ^" -f- /■%
z = rcosi;", R'- = R-- -.«/Uz 4- /'/•=:
(loiir
R^ „ R' 2Rz
De là on aura
I i' 3i'{2.Kz — ir-j i5i'{7.Ki — ir'Y , '65i^7.]{i — ir
«3 3i'7. iHi5z' — 3r') /«(35z' — i5zr^)
~ R^ "^ lv~ "^ ^K^^ "^ 2F ^ ■ ■ ■
Donc (Article XXII}
R^ Rz , Rz . „ Rz
3/^z /^(i5z^— 3r^) i«(35z3 — i5zr^)
I i' 3/^z i^{i5z- — 3r-) «"(SSz^ — i5zr'^
et de là
3i^z i^i^ï^ — 3r^) i^(20z^ — i2zr')
PI
Rz I i'z i^3z'—r') i*{i5z'—qr'z) i'{35z*—3oz'r'-h3f")
Rz /-z 77^"^ R^
''^ =-77^-^7-^R^^— Rï— + — nr — -^ ^ ^^••'
Or, comme pq est une quantité très-petite de l'ordre de P, et(jue//7',
/)"q" sont (les (juantités fort grandes de l'ordre de -, il est clair (ju'eii
substituant les valeurs de ees quaiililés dans ré(|uation (H) les Iciiiics (^^pq, ^^p'q\ \p"q" ne pourront être homogènes, ii moins (jue la niasse C
ne soit inlininient grande de Tordre -, vis-à-vis des deux aulies.
Supposons done C= -^^ et l'écjuation ^11) de l'Article XXII dcvicndia, après les substitutions,
d'où l'on voit que la quantité ^ est de l'ordre de -î-, de sorte <|ur la quantité -^ sera aussi du même ordre.
Donc, si l'on fait, pour abréger,
„. ^(7 r(A-i-B)K 3D1 TB 3I)(3z--/^) . rD(ioz^-6z/-) 1
on aura
dp <7
dl i
<'t il faudra pnMidre la valeur de a telle, ([u'elle soit nulle lorscjui' / = o.
qdp q-dp'
6/'z^/R /^[(i5z^— 3/^)^R- 3z</(Rz)]
q"dp"z
d{\\i) idr i'd(Ki) /»[3z^(Rz) — Rc?(r^)]
/^[(i5z' — 3/')fl?(Rz) — 6Rz</(r^)]
/^[(35z3 — i5zr'W(Rz) — (ï5z' — 3r^)R</(/-^)]
c/(Rz) iUljKi) ir' "^ R'
De sorte que les valeurs de dQ, clQ' et dQ" deviendront
.^ 2 dr
d^r') 3z[(/(Rz) — g-c//]] R» "^ R« J
;i5z^— 3r')6?(/-^) (35z^ — i5zr';[c/(Rz) — a ^/^ ]
I ^(/(Rz)^-(7</^l ., r— 6zf/R + (/(Rzi-»- (7(7/ I
^Q"^ 1 M(Hz) + a(//i 26^' ., r
— 6z i/R -h d{ Rz) -i- (j<Jt ~R^
Donc, faisant toutes ces substitutions dans les équations (K), elles deviendront
id'(r') A + R
.dr
'-r' n dit-'] 3z[J(Rz) — <7(//]\ R^ ^j \ R^ "^ R^ /
,5z3 g,.2z /v Szdjr') (i5z'— 3/-^) [</(Rz j — gc//]'
ri5z' — '
35z^— 3oz'/-'-+-3r*
fi5z^— 3r'W/(/'^i (35z^— i5z/\[t/;Rz — o-c//]
r/ fi5z^— 3r'W/(/-^i
=consi.,
d^{K^) dHKz) d'(r'\
d{Rz) -hadtl rA+B
consl.,
T.i^'dt' idP
dp i^R
I TDz , Rz , rd{Ri) + (Tdt~\
D(5z^ — 3zr'^ A + R lïV ~ "^ R~
consl.,
DES ÏHOIS COUPS, dont les (Jeux dernières se réduisent à celles-ci
d'{ W ■?. (Il-
" " Tî
iW
dt
+ ...=: const.,
>7lll
'iM
3z[J(Rz)-7<//| R*
. (5z^--3zr-' /•/ ■izd{r'-) (iSz'-Sr^') [</(Rz) — (Tr//]\ 1 ' I iï^ "^V \ W~^ ^R^ jl"
Ainsi l'on aura, à la place des équations (K) de rArticle XXII, les trois équations (g), (h) et (i), dans lesquelles on n'a négligé que les quantités très-pt;tites de l'ordre de i^ et des ordres suivants, et ces équations serviront à trouver les valeurs de r, R et z en t\ moyennant quoi le Prol)lènH3 sera résolu dans toute sa généralité, puisqu'il ne s'agira plus ensuite ({ue de substituer ces valeurs dans les formules qui donnent les latitudes et les longitudes des Corps B et C (Article XXII). Or, comme l;i supposition de i très-petit simplifie aussi beaucoup les substitutions dont il s'agit, nous allons donner encore les valeurs de sin-i/, sinV et
de -^■> —j--» exprimées en r, R et z; mais nous ne pousserons pas la précision au delà des quantités de l'ordre de i.
Pour cela nous connnencerons par clierclier les valeurs des vitesses a, u\ il"; or, si dans les équations (J) on substitue, à la place des quantités (>Q, BQ', AQ ", leurs valeurs tirées des équations (K), on a, en général.
= const.
d'ir^) -xdv
dHr"' idP
W pcj
^-pq-p'q'
Donc, fiiisant ici les mêmes substitutions que ci-dessus, et supposant, pour abréger,
^ o.dt' "^ r ^ R^
dHKn I)
■?.dP K
J^(Rz) (A-+-B)Rz Dz
on aura
iD(i5z' — 9'''zi
M BR z
M I / BRz ^,
Or on a
donc
Pu'
Pm'
Pu"'z=
P - p/>' + pp" H- /?'/'" ~ pi' -+- p'p"
LR'(r=— zn D(r^— z^)(i5z» — gr'z __ __
MR^(r= — z^) 'B\Vi[r' — 'û\
MR^(r' — z=) BR'z(/-= — z=) l\R^(r'— z-)
De plus, en taisant, pour abréger,
R'[(/(0]' + /-^[(/(Rz)]^ — 2Rz(/(Rz) (/(/•') ^ 2cr[Rz</>r^j-/'^'t/(Rzj]
V H^[fi^(Rz)]*-+-r^[</(R^)]^-2Rzc?(Rz)c/(R=l 2o-[R^ JvRz) -Rz^(H^)J „
Rz I d{\V) d(vj + [^(Rzj]^] - d{\\ z) c/(R'/--^) ^[K. ,/(,.») ,., ^(R.)]
dp
dt
DES TFIOIS COUPS. 2!Mt
on aura
donc, subsliluant ces valeurs dans les expressions de sin f et sin-V ^Article XXII), el faisant encore
on aiiia. aux (juaiilités de l'ordre i- près,
ou bien
. , A^/X + Bv/'X-/> ^ /r(A + B)r
. , , iB Jl — iu.
siu'l — *
^"'" 2/.(A + B)rv/>.
la quantité ^ étant une constante qu'on déterminera par l'écjuation ^P'), comme on le verra ci-dessous.
Ainsi l'on connaîtra par ces formules les latitudes 4- cl ■: des Corps B et G par rapport à un plan fixe passant par A.
On voit par la ({u'on aura à très-peu près
sin4'' iBr Br
"sin^ ^ (A-+-B)R '~ {\'-^'B)r''
ce qui donne un rapport bien simple et très-remarijuabU' cnlie les Inliludes (les Corps B et C.
On (rouvei'a ensuite
n = Lr
o.dt
iD(i5z^ — 9/''z) r-
i* \ o.dt
+ NR' — 2MR1
(/(R^)</(Rz)''
et, a cause de
M I /BRz N^
on aura de même (Article XXII)
^,^r^rNRz
(/(Rz
1 I TBR^z NR= ^,„
:r--(L- A^ 3D(3^.-,-)X N,^^ ,/,lU)rf(.-) I
iTNRz /f/(Rz)\^ a' I i /Jî 3D(3z' — /') \ ^
"iJ'^^Ur- 4K' jR/+....
:dt
Donc, si l'on substitue ces valeurs dans les expressions de -j- et -î^;
et que l'on fasse, pour abréger,
NRz /^/(Rz)\-' 7'
