I -hX) '==1 h

(i+X)-^=,-ÎA^-f-^-....

Di' suite (ju'en substituant ces valeurs dans les etjuatiuns précédentes, et mettant de plus dans les trois dernières la valeur de o" tirée de la première par l'intégration, on aura trois écjuations en x, X, y et /, qui s<'ronl intégrables, du moins par approximation, par les méthodes connues, puisque les variables y seront toutes sous une forme rationnelle et entière.

Ensuite on aura (Article XXXVI)

E = — - + ; I + X) ' - yA-i\^ , + \ ,, ^' (, + X ( I + X M,

N = -^^+v i+x) ^3^-^v'H-X) \ cl (le là

/ = M I-+-X i+Xi— Y^l— yll4-X, -p +5- -f-- V-^ -7- -i-7 — 7 I+X -7—

' 4 v^f ; 2 (Il ^ (h I 4 (/{'

-+- /ca-[v I -I- X) ^^I

-hX)— Y^I+X M,

l)i:S TKOIS CORPS. ;{(M)

iiKjyciiiKinl (|ii()i on aiir;)

l ôa^ [j. \

sin-]; :r- - -^ ^—> v.

('iiliii les roi'imilcs (le l'Arliclc XXXÏX (lomicroiil '

el (juanl à la conslniUe /c, on la déterminera par récjiuuioii

(X) /.*=:M(H- X- 2/a^cY) -¥- /a'€(i + X)[(i + xr'^Y — nJ,

en y faisant t = o.

On se souviendra au reste que les valeurs de x, X et y doivent ètrt;

r/x (/\ </y . , ,, , prises en sorte (|ue -y-? -jy, -j- soient nulles lors(jue t = o, cl que v y\v-

viimne alors

(le plus il faudra aussi que la valeur de cr tirée par l'intégralion de l'c- (juation ip) soit telle, (ju'(dle s'évanouisse lorsque ^ = o.

^11. — De Vititégratioii des ('(luafioits qui donnent les mouvements de la Lune et du Soleil.

Le Problème des mouvements de la lAine et du Soleil se réduit à la reeherehe des quantités x, X et y, lesquelles dépendent de l'intéi^Mation des équations {q), (r), {s} de l'Arliele XLl, à (juoi il faut joindre Trijua-

lion [p] comme subsidiaire. Si les variables x, X, y ne se trouvaient dans les équations que sous la forme linéaire, l'intégration serait facile par les méthodes connues; or il est aisé de voir que les termes où ces variables se trouvent multipliées entre elles sont tous fort petits, à cause que les coefficients or et i sont très-petits et que les variables x et X sont aussi supposées fort petites; ainsi l'on pourra d'abord négliger les termes dont nous venons de parler, pour pouvoir trouver les premières valeurs approchées des variables, et ces valeurs serviront ensuite à en trouver d'autres plus exactes, et ainsi de suite.

Pour donner un essai du calcul qu'il faudra faire pour cet objet, nous rejetterons d'abord dans les équations du paragraphe précédent tous les termes multipliés par i, et qui dépendent de la parallaxe du Soleil; l'erreur sera d'autant plus petite que ces termes sont en même temps multipliés par la quantité très-petite «-.

De cette manière, les équations [p], [q), (r), (s) deviendront

(a) -^ = y(i+xi ' — SaH-fi -4- Xi %

— f(i-h\~Kh -+- 3 Ty 1 + \)~''{d\ -(jdt)\

= consl..

\y) —j- 2a^iH-X) ' = consl.,

-f-Yi'iH-X; ' H- a-'Y(i -l-X) '-i-|fi-l-x) ' (d\ -\- a dt) = consi. , où il n'v aura plus <ju'a réduire en série les puissances de i -hx et i H-X.

DES TKOIS CORPS.

Négligeons encore les produits de deux ou de plusieurs diuieiisions de X et X, on aura, à la plaee des équations précédentes, celles-ci

d(T I 3x oa^XN

[SV (. - ^^-) + ^ + 3 J(i - ^ v(./v - .r/oj =. cunsl.,

~j— + (x^X= const.,

j 4- / ( I ^ j ( r/y + 7 J/ ) = consl. ,

lesquelles, en substituant la valeur de a, se réduisent à ces trois-ci

a^X= const.,

- 3a^r3Y-— (i- 3a-) ( i \dtf-h- i / \dt i \\,/( 1 5 Y' — I ) \ + 5 / X Y f/v ^ i)x' I Y df I \\ dt 1 — 5(1- 3a^) / \\dl f\di

— - coiisl.

, - -i- i 2 -f- a- Y -I- i — ^x' . j dt j Y (/^

YX -^ / X (/y -t- / r// / v\ '// -h ( I — 3 a^ ) / \ (// / V r//

lii' ( \y - 3 ^'.// fyXdf^ =^ coiisi

(^ummc les variables x et X sont supposées tort petites vis-à-vis de la variable y qui est finie, on peut d'abord négliger dans l'équation f/j) les termes qui renferment x et X; on aura ainsi cette première équation approchée

^ + ! 2 -f- cf}) y + (i — Sa-*) / dt / y dt — consl.,

laquelle étant ditï'érentiée deux fois devient

dP ^ ' dt-

qui est intégrable par les méthodes connues.

Pour en trouver l'intégrale, il n'y a qu'à supposer y =/cosi />/-f- «),

ou bien, puisqu'on veut que -^ = o lorsque Z = o, on fera simplement

v=/cos/^/, (4 l'on aura, après les substitutions, cette équation en/>

d'oii l'on tii'e

ou bien, en négligeant les puissances de (/. plus hautes (|ue la seconde,

/>^ = I dz 2 a H

Donc, dénotant \vàv p l'une de ces valeurs et par q l'autre, on aura

Y =fcospt -f- gcosqt,

/"et g étant des constantes indéterminées <}ui doivent être telles, (jue lors(|ue t = o on ait v = Rr = i ; ce qui donne /+ g = i .

DES TIUHS CORPS.

Clïerchons maintenant, d'après cette première valeur approchée de \ , celle de s'm^ par les formules (t) de l'Article XLII; on aura M = a-, en négliijeanl les (juanlilés x et X; donc aussi k'- — v-, t'\ /e — y [équation ^oc ) \\ donc

iii^ ^ vi.

-^ = -pfsinpt-qgsinql,

dt^'L

fsinpi gsinql

donc

<T = '- sinpt

dt P ' q

en négligeant les j)uissances supérieures de a; donc

A = a*[i — fcospt + g-cosgO'— if^^^pf — g^^in*/^'] = a'[i — /- — g^ — ^fgicospt cosqt — sinpf sinqt f] = a-li-f^-g'-2fgcos{p-¥-q)t];

niais donc donc

donc enfin M.

l = -1 y.\fgl\ — cos [pA-qjq = ^x'fg sin' i ^-^ t j ,

siii tj; ^ 2 \jfg sin ( — t

Or, «'oiiime on doit avoir /+ g — i, on peut supposer

cl \\)n aura

iin '\i r= siii / sin ( ~ t j ,

l'angle / étant arbitraire et dépendant de l'inclinaison primitive de l'orl)ite de la Lune ; en effet, il est clair (jue la plus grande valeur de sinvj; sera sin/, de sorte (|ue / exprimera la plus grande latitude, c'est-à-dire, l'inclinaison de l'orbite; donc, puisqu'on sait par les observations que l'inclinaison de l'orbite lunaire est assez petite, et d'environ S'' 8', la constante g sera toujours très-petite et la constante/ presque égale à l'unité; car on aura à peu près

(sin 2" 34')' = environ

DOO

<le sorte que la quantité g est encore plus petite que la quantité i, (]ui exprime le rapport des parallaxes de la Lune et du Soleil; d'où il s'ensuit «jue l'on pourra négliger sans scrupule les termes qui se trouveront multipliés par le carré et les puissances plus liantes de g.

Il est facile de voir, par l'expression de ûwh qu'on vient de trouver,

<jue l'angly ^ ^ t n'est autre chose que la distance de la Lune au nœud,

c'est-à-dire, l'argument de latitude; d'où il s'ensuit que, si l'on retranche cet angle de la longitude de la Lune dans son orbite, on aura la longitude du nœud. Donc, si ht dénote la longitude moyenne de la Lune, on

auî-a \h — ^|/ pour la longitude moyenne du nœud; oi', les longitudes moyennes étant à peu près les mêmes dans les orbites des planètes v\ dans l'éclipticjue, ht sera la valeur moyenne de o, et h sera par consé-

DES TKOIS CORPS. 315

queiit Cigale à ce (|iril doil v avoir de constant dans la valeur de —-• Or les rorinuies de l'Arliele XLil donnent, en rejelanl x et ^j/,

^ = vL = v^'-«^(3v'-i),

et, à <;uisr de y = fco^pt, on aura

/j = i / I— 1-:^ I j a' = I — -^ a peu près.

Mais on a aussi

d'oii l'on voit ([ue la position du nœiui est fixe, du moins par eette première approximation; ce qui ne doit pas paraître surprenant, vu que les valeurs de p et q ne peuvent tout au plus être censées exactes qu'aux quantités de l'ordre de «'- près.

Pour savoir maintenant laquelle des deux valeurs

doit être prise pour/;, on remarquera ([u'en supposant l'inclinaison de

l'orhile nulle on a

Y =fcospt = cos pt;

mais on a (Articles XXXIV et XLIj

Y = Rz = RrcosÇ"= cosC;

donc •

cospt = cost" cl /;/ 3= Ç"= çp — cp',

puisque Ç" n'est autre chose ([ue l'angle compris entre les deux rayons r

cl /■'; donc

en nommant /// cl h' t les valeurs moyennes de 9 et de 9'; or on a dcj;» trouvé h = i — , et, pour avoir A', on prendra la partie constante de -j-->

(jui est ^ ^'M—-a; de sorte que h' = a, et par conséquent

donc

Ainsi il faudra toujours avoir soin dans la suite de prendie poui/-» une valeur telle, que ses deux premiers termes soient i — a, et pour q une valeur dont les deux premiers termes soient i -h «; celle remarque est d'autant plus importante que les quantités/^ et q seront données dorénavant par des équations particulières dont chacune montera cependant au quatrième decfré, comme on le verra ci-après.

Ayant trouvé la première valeur approchée de v, on la substituera dans l'équation (Ç) qui donne la valeur de x, en y négligeant d'ahord les termes où x et y sont mêlés ; ce qui la réduit à celle-ci

-jj -4- (i + 4a') X — a' [9 Y' — '^{Jsdtf] = consl.;

or, puisque

y =if cospt -+- gcosqt,

on aura, eu négligeant les g^,

Y^ :=/' cos-pt ■+ ifgcospt cosqt

• = - /^ ( I + cos 2 pt) -\-fg [ CCS [p -\- q t -\- eus p — q l \,

s\npt g^'vnql ~P V

•-—^wi'piA — î^-5 sin/v/ suit// p^ ' pq ' ^

^, (i-cos2/?/)-^[cos(/>-f-7 /- COS' p-q t]:

floue, sul)stituant ces valeurs, cl rcjclaiil tous les tei'iiics ((nisUnils, a <;iii,s(' (|u'il De (loil y en avoir aucun dans la valcui' de x par I'Iin pollicsc,

on iHira

- -(- (i 4- 4a')x "^^o '- cos?,/^/

\{ipq -H ij cos(^ -\- q)l + { ip<j — I ) cos(/> — q )l] <j-

Ainsi la valeur de x sera de cette t'ornie

x=z a cosmt + oc-f'J cos9.pt -\- a\fg[B coslp -\- q)t -\- B, cos' p — q)t]. et, la substitution faite, on aura a cosmt .{ — m^ -I- I -(- 4a')

-hcx'f'COS7^pt\j(—^p'-hl-h^x'}— 4U)/>^ + i) j

-+- o(}fgcos[p -^ q]t\ Z/ [ — i/> -f-ç/i^-t- I -+- 4a'] —^ ^

-4- x'Jgcosip — q ) t \ B^l — [p ~ q )' -h i -¥- 4^'] ^-^ = «••

Donc, égalant à zéro les coetricients de (diaiiuc cosinus, on ;iur;i les écjuations suivantes

— m' H- I -1- 4a' = o, . J [- /ip^-hi-h 4a^] ^-^-^ = O,

//,[-:7>-gr-M + 4«^]

3 3pq — I ) pi

d'où l'on tire '

A = — -, r^ 7 — — — 2 a peu près,

B ^ ^{-^pq + ^) ,

B = ^i^pq-i) ^ g

' pq[—(p — q?-^i-+-^oc']

La constante a, qui est demeurée indéterminée, dépend de l'excentricité de rorl)ite lunaire, et doit par conséquent être fixée par les observations.

Ainsi l'angle mt représentera l'anomalie moyenne de la Lune, c'està-dire, sa distance à l'apogée; de sorte (jue [h — m)t sera la longitude moyenne de l'apogée, ht étant, comme plus haut, celle du lieu de la Lune ; mais, comme nous avons négligé dans l'équation (Çj des termes où x se trouve multiplié par %'-, on doit s'attendre à ce que la valeur de m ne sera exacte qu'aux quantités de l'ordre de oc- près; c'est pourquoi on aura dans cette première approximation m = i et m — h=.o, en rejetant les a^ ; ce qui donnerait les apsides fixes.

Venons maintenant à l'équation (sj qui donne la valeur de X; et comme cette quantité ne doit contenir aucun terme tout constant, il est clair qu'on aura simplement

et que la valeur de X sera de cette forme

X = 6 cosn/,

d'oii l'on trouvera, par la substitution,

Le coelficient indéterminé b dépend de l'excentricité de l'orbite du Soleil, et nt est par conséquent l'angle de l'anomalie moyenne; de sorte

DKS TIU)IS COHPS. 3i!)

(|IH' ' n — h' 1 1 sev.i l;i loMi-iliidc de rajjogrc du Soleil, (jui est ici iinijc ;, (•;nis<! (ju«'

XLVUI.

Pnis(|ii(' l'on ooiiiiail déjà l:i iovuiç des premiers termes des v;ileiirs v, x t'I X, on pourra aisément trouver les suivaiils e( reelilier en même temps los coellicients de ceux qu'on a déjà trouvés; pour cela, il n'v aura (|u'a substituer dans les termes négligés des équations proposées les valeur- (ju'on vient de trouver, et l'on aura la forme des termes qu'il faudra introduire dans les nouvelles valeurs de y, x et X; on donnera à tous les ternies des eoeiïieients indéterminés, et, la substitution faite, on fera égaux à zéro les termes analogues, e'est-à-dire, ceux qui renferment l<s mêmes eosinus; on aura par là autant d'écjuations (ju'il en faudra pour la (Jétermination de tous les coeiricients.

Ainsi, reprenant l'équation (vj) et substituant dans les termes qui l'enferment X et X les valeurs de x, X et y trouvées ci-dessus, il viendra des termes de; la forme

af ces p ± m ] ty <igcos(g±m) t,

x\f'co^ -ypzhp)/, x\f'gcos{-?.p±q t,

x\pg ros ( /^ ± ^ ±: p t, x\f'gcos [p±q±q)t, hf ces ( pztfDl, hg ces iq±n t;

on supposera donc

Y z=fcospf -^ gco^qi -+- afP ros [p -h m]t -h af r, e..s ( p -~ m t -+- ag (J cos i q -+- m t -+- ag (), ros ( q — m ) / -f- . . . ,

et, prenant pour x et \ les expressions de l'Article XLVIl, on aura Te- ([uation suivante, dans laquelle j'ai négligé les (juantités affectées de cr. de (ta- et de a', à cause (|ue l'on a négligé dans l'équation vj ; les termes

où X se trouvait k la seconde dimension,

r r^/ ^. , 1— 3a^\ 3af f ,j I i — 3a^ \"1 cos(/-'-Kw)^ «/ /• — (/p-4-wV-f-'2-f-a-— 5) r-l H -, Tj ;—

^' L \ [p^"') J 4 V y^'+z" [p-^'f) p(p-^"'}Jj

^' L \ [p—'»YJ 4 \ p->n [p—m) P(P—'")JA

. V ^ ( , V. ■> I — 3a'\ 3^/ir/ V I ,3a' XI

L \ ('7-+-'")/ 4 \ '/+"/ (c/H-/?/|- f/(fj-^"i)/j

On égalera donc à zéro les coefficients de ces différents cosinus, et l'on aura :

equation d'où l'on tirera la même valeur de/? que ci-dessus (Article XL\'),

de sorte qu'on aura

et l'on sera maintenant assuré que cette valeur est exacte jusqu'aux (juantités de l'ordre de a- inclusivement;

or, comme nous négligeons les quantités de l'ordre de «*, on aura (en mettant pour p ei q leurs valeurs approchées)

p- — i -+- 3cc-

DES TROIS COIU'S. 321

(le suilc (jtK', a cause de B = — [\ cl li ^ — G f Ai'liclr M.\ II , rc(|iiarK.ii pnk'cdciilc se rcduiia à

i>ll l>iC||

7 ( - + « 7^ -^ i5/^aM ^--f- I — 3«- ^ — o;

(ri)îi l'on liru d'abord, aux quanlilcs de l'oidie 5<* près, en ayant c^urd a la l'cniarquo de l'Article XL VI,

«' 3a^/^' ^ / iSpa

et de là

on aura donc ici

par conséquent le mouvement moyen du nœud (jui est leprésente par [h - ^^^) t (Article XLVI) sera = - ^^-~- t, ce ([ui s'accorde avec les (djservatioiis:

i-3an 3r

/>-f-m {p-\-in^ p p^m M. 4'

•î-2-2 ESSAI SU H LE PROBLÈME

p—m,'} 4 p—ni {p~mY p'p—m)J

(V()\\ l'on lir<' h [K'ii près

On repassera présentement à l'équation (Ç) pour trouver une valeur <le X plus exacte que celle de l'Article XLVIL

Pour cet effet, on commencera par substituer dans les termes de cette dernière équation qui suivent les deux premiers, à la place de x, X et y, IfMirs valeurs trouvées dans les Articles précédents, et négligeant les (juantités de l'ordre de g-, aussi bien que celles qui seraient affectées de y- multipliée par a-, aa^ b^, ba- et a', à cause que nous avons rejeté dans la même équation les termes de l'ordre c<^ dans lesquels x et X pouvaient former ensemble des produits de deux dimensions, on aura par ces substitutions des termes de la forme

x-f-coso.pt, x-fgcos{ p±(^ t, x'af'cosi pdz mdzp t.

y.-agfcos [ p ± m ± q ) t, x\f'^ cos/{pt, yJf^gcos 3p±q)i,

y.'hf-cosi-^.pdrin l, x-hcosnt, oc-hgfcosp±q±n /:

«■'est poiir(|uoi on supposera

X = (( v()<,ml -T- y. f-i cos2pt

-+- n-fgH ros p -^ q)t + x'/gB, ros p — q)t

-+- yraf-Ccos ■?.p H- m t -+- y. af't\ rosi o.p — ml