L -* -i ' p[p—iii) /i'p—//i){i/j-ni) J
Ainsi il n'y aura plus qu'à égaler à zéro les coefficients de ces dillerents cosinus, pour déterminer les inconnues m, A, B, B , C, , C\
Le eoelticient de cost/z/ donnera la valeur de m exacte juscjuaux quantités de l'ordre de î<- inclusiveuient, et l'on aura, à cause de
P = — J et /^,= 7 (Article précédent^, l'équation
, , Qx-f"^ Za}f'^ qoc-f- Qa*/"*
ou hieii
p(p-hm] 9.
d'où, en mettant [)0[ïv/, p et m leurs valeurs approchées i, on lire
m-=: i — 9.7.^ cl m. =: i — 5c';
de sorte que le mouvement de l'apogée {h — ntj l deviendra -4 /. a
cause de // = i r-
Comme notre dessein n'est point de doinier ici une Tlieoiie complète de la Lune, nous nous contenterons de ce léger essai, (|ui jieul siillire poui- donner une idée de la méthode (ju'il faudra suivre dans l'inlegra-
tion des équations différentielles de l'Article XLÏ, aux(iuelles nous avons réduit le Problème des mouvements de la Lune et du Soleil autour de la Terre.
Quaiul ou aura trouvé les valeurs de x, X et y en t, c'est-à-dire, de r, r' et /'", on aura d'abord les latitudes 'J> et '/ par les formules {t) de l'Article XLII, et ensuite on aura les longitudes 9 et 9' par les formules iii) du mr-me Article; ou bien, comme Y=:RrcosÇ", en connaissant y, r • 'I H, on connaîtra
cos -C" = ^ ;
^(i + x)(n-Xi
or 'Ç est l'angle qui exprime la distance de la Lune au Soleil, de sorte (jue, comme la latitude du Soleil est très-petite et peut par conséquent être négligée, on aura, par la propriété connue des triangles sphériques rectangles, cosÇ"= cos-i cos(© — o'), et par conséquent
cos(9 — 9'
cos^ v/iH- X +X + xX
Ainsi l'on aura par ce moyen la distance 'f — 9' de la Lune au Soleil comptée sur l'écliptique; mais la longitude ç' du Soleil est assez connue par la loi de Kepler, que cet astre suit assez exactement, puisque les dérangements que la Lune pourrait y produire ne seraient que de l'ordre de ïB ou de iyrn, comme on le voit par l'équation (/-) de l'Article XLI; donc, en ajoutant cette longitude à la distance 9 — 9' des deux astres, on ;iura bi longitude 9 de la Lune comptée à l'ordinaire dans l'écliptique.
Le Chapitre promier du Mémoire qu on vient de lire mérite d'être compté parmi les liavaux les plus importants de l'illustre Auteur. Les équations ditférentielk^ du Problème des trois Corps, lorsqu'on ne considère, ce qui est permis, que des mouvements relatifs, constituent un système du douzième ordre, et la solution complète exige, en conséquence, douze intégrations: les seules intégrales connues étaient celle des /o/yy'.v vh'es et les trois que fournit le principe des aires : il en restait donc huit à découvrir. En réduisant à sept le nombre des intégrations nécessaires pour l'achèvement de la solution, Lagrange a fait faire à la question un pas considérable, et les géomètres qui se sont occupés après lui du Problème des trois Corps ne sont pas allés an delà. Leurs efforts, cependant, n'ont |)as été inutiles : des méthodes
DES TROIS COUPS. :J2o
nouvelles ol int,'énieuses ont été proposées, comme, par oxemjile, colle cpio Jacobi a dévelop|»é<' dans son célèbre Mcmoirc sur rcliinindlion des luviuls duns le Prnblf'itw des trois Corps; mais CCS méthodes, comme celle de Lagrange, font déiicndn' la solution du Problème de sept intégrations.
La méthode de Lagrangc est des plus rcmar(|ual)les; elle montre fiue la solution complète du Problème exige seulement (pie l'on connaisse à cliiKpu' instant les côtés du triangle l'orme par les trois Corps; les coordonnées de clia([ue Corps S(! déterminent ellèctivement ensuite sans aucune dilîiculté. Quant à la recherche du triangle des trois Corps, elle dépend de trois é<}uations dillérenlielles, parmi lesquelles deux sont du (Icuxièmc ordre et la troisième du troisième ordre; ces é(piations renfernruint deux constantes arbitraires introduites, l'une par le princi|)e des forces vires, l'autre par celui des nirrs, en sorte (|ue les dislances des Corps sont des fonctions du temps et de wvc/" constant es arbitraires seulement. Parmi les doi/ze arbitraires (pie l'intégration complète doit introduire, il y en a donc trois qui ne figurent pas dans les expressions des distances, circonstimce que l'examen des conditions du Problème |)ermet d'ailleurs de mettre en évidence à priori.
Préoccupé assurément do rap|)lication «pi'il \ oulait faire de sa nouvelle méthode ii la 'J'/ieonr de fa Lune, application (]ui fait l'objet du Chapitre IV de son .Mémoire, Lagr.ii)gc' a néi/lii^^é d'introduire dans ses formules la symétrie que comportait son analyse, symétrie qu'un trèsléger changement dans les notations |)ermet de rétablir. Les masses des trois Corps étant représentées par A, B, C, Lagrange étudie les mouvements relatifs de B et C autour de .\, et il est bientôt amené à introduire en outre, flans ses formules, les quantités qui se rapportent au mouvem(>nt relatif du Corps C autour de B. Une telle direction des calculs est in&mtestableinent défectueuse, au point de vue de l'élégance mathém(iti(iue, en ce sens que les coordonnées des trois orbites relatives considérées ne figurent pas symétriquement dans les formules; mais, pour éviter cet inconvénient, il suffit, comme nous venons de le dire, d'une simple modification dans les notations de l'illustre Auteur, et cette modification revient à introduire, au lieu des mouvements considérés : i" le mouvement relatif du Corps B autour deC; -t." celui de C autour de A; 3" celui de .\ autour de B.
Un habile géomètre allemand, M. Otto Hesse, a repris récemment l'analvse de Lagrange en se plaçant au point de vue que nous venons d'indiquer, et il a publié son travail dans le tome LXXIV du Journal de. Crelle (imprimé à Berlin en 1872). M. liesse ne considère (lue ce qu'il nomme le Problème restreint, c'est-à-dire, celui qui a pour objet de déterminer à chaque instant le triangle des tn>is Corps; c'est à ce Problème restreint que Lajjrange a ramené d'ailleurs, comme nous l'avons dit plus haut, le Problème général. M. Ile-sse, malgré son incontestable talent, n'a pas réussi à perfe(;tionner l'analyse rigoureuse que nous devons à Lagrange, car une inadvertance l'a fait tomber dans une erreur grave, que nous indiquerons plus loin, et (pii infirme absolument sa conclusion. Ajoutons que la notation particulière dont le géomètre allemand fait usage, pour abréger l'écriture des formules, ne paraît pas préférable à celle de son illustre devancier.
Pour justifier les remanpies qui précèdent, il (!st nécessaire d'entier dans quelques détails; nous le ferons d'une manière succincte, en introduisant dans l'analyse de Lagrange les modifications nécessaires pour rétablir la symétrie des formules, et en dégageant la solution de tout ce (pii n'est qu'acces.^oiro.
1. Soient .r, V, 3 les coordonnées rectangles du Corps B par rapport à C; r', > '. s' celles du Corps (; ]iar rapport à .\ ; .r", >■", 2" celles de A par rapport à B ; on aura
Soient aussi
Les équations difîérentielles du mouvement forment (rois groupes dont l'un est
,(l-x' A-)-Bh-C , -r. l X x' x"\
cW
cPx" A + B + C
et dont les deux autres se déduisent du précédent en changeant x en j et en z. A cause des formules (i), les équations de chaque groupe peuvent être réduites à deux distinctes; ces équations coïncideraient avec les équations (A), (B), (C) de Lagrange, si l'on y faisait le simple rliangement de x,y^ z, ^", r", z" en —x", — j", — z", — -r, —y, — z. Du groupe (3) et des deux groupes analogues on déduit
x(Py — yd'x x'd'^y' — y'd'^x * x"d^j" — y"d^x" XdP ^ TTrTP ~ ^ "^CdP ~ "'
équation ijui subsiste quand on exécute la substitution circulaire {x,r, z) et qu'on répète cette sulislilution. On conclut de là les trois intégrales des aires, savoir
/ rdz—zdr y'dz' — z'dr' y"dz" — z'dy" l Xf/f b(/t Cdl
]zdx — xdz z' dx' — x' dz! z"dx"—x"dz" ,
^4) xdt ^—-Wdt -^ cdt = ^^'
I xdy — ydx x'dy' — y'dx' x"dy" — y"dx"
' Xdt ^ Bdt ^ "~Tdi "" ' ■
f/, //, c étant trois constantes arbitraires. Ensuite, si l'on fait
, ,, , dx^ -h dr^ -h dz'^ ,. dx''^-r- dr'^-h dz''^ ,,., dx"'^ ^ dr"'^-t- dz"-
et que l'on ajoute ensemble les équations du groupe (3) et des deux analogues, après avoir m\dtiplié ces équations respectivement par
•idx idx' "xdx" -idr 'i^dy' idy" idz idz' idz" .
T"' ~B~' "(T' ~Jr' ~B~ ~Tr' "X"' IF' TT'
(■('((ui (Idiinc, jiiir rinU''i;riilion, re'([ii;iti()ii des forces vives, Siivoir
//.' If" u"''\ t^x i ' ■ ' ' \ /
ABC/ ^ . - . -; ^ ^^ g^., (.^.„
/'étiinl une conslanle arbilniire.
"2. Posons
(8) .r'.v"-hy'y"-hz'z"= - /k .r".v -hy"f -h z" z ^ —//, .rjr'-t-jj'^- zz' = — //, ou, ee (|ui revient au môme,
un aur.i
(10) /-• = // + //', r" = p\-^jj, ,"' = j)^p'; faisons en outre
ce (jui (lonneia
Si l'on dilTérentie deux fois la première équation (2), après l'avoir éle\ée au carré, on aura I (■/-(/••') / (Px d'y (Pz
2 (W \"^ r/r' '^^' dp ' -^ dp
et celle formule subsiste (juand on y remplace x, y, z, /•, u par .r', 1', z', /'. a' ou par x", y", z", /•", «". Si donc on multiplie les équations (3) par .r, .r', .r" respectivement, et i|u'on ajout*' ensuite chacune des écpiations résultantes avec celles qu'on en dé luit par le chani;ement de / en 1 et en z, on aura, en \erlu de la formule précédente.
I d'jr') A + B + C . , ,,
^ -^jp- H y— -^ A [jj <l-l>'q') - iP = o,
, ON y « 'l'('-") A + B-t-C --, „ „ , ,,
Ces formules (i3) répondent au\ forniides (F) de La.urange, ou. ce qui revicni au niènn'. <nn formules (K), en tenant compte des foiuiules (J) de l'Auteur.
Ajoutons les quatre étiuations {i3) et (7), après avoir divisé les trois premières par A, 15, C respectivement ; on aura
Cetle équation coïncide avec l'éiiuation (L) de Lagrange, quand on y permute les lettres / et /•"; c'est une transformée de l'intégrale des forces vives; elle ne renferme que les seules distances /•, r', r".
;{. Daiuès les formules (i), les trois quantités
{x'd.r"-hr'(/j"-h z'dz") — (,r'V/,r' H- J'"c(f'-H z"f/z' ). ( .x"(U -+- r'dj 4- z"(lz ) - ( .r t/x" + j dr" -+- z dz") . (,r dx' -hy dj' -f- z dz' ) — [x'dx -^y'dr -+- z'dz ]
sont égales entre elles. Si Ton désigne par [jdt leur valeur, on aura, par le moyen des formules (8),
1 x' dx"-f-y-'dy"^ z' dz"= {[ — dp -j-pdt), x" dx' -\- y"dy'-ir z" dz' — i5 ) ', -r'V/x -^r"dY-^z"dz = {[ — dp' ^- odl), x dx" -hydr" -h z dz" = X dx' -hj dr' -^ z dz' = ■l-( — dp"-t- p dt), x' dx -+- r' dj -+- z' dz =
dp — & d( ) .
dp'— u dt ), dp" — ^dt).
\:a quantité auxiliaire p que nous introduisons n'est autre chose que celle qui est désignée
p^u- 1. dans le Mémoire de Lagrange; il est évident que celle quantité peut être exprimée
eu fonction des vitesses «, «', /<", des distances r, r', r" et de leurs différentielles r//-, dr' ^ dr". En effet, considérons quatre directions respectivement parallèles à celles des rayons /■. r' et des vitesses «, «'; soient L, M, N les cosinus des angles formés par la direction de /•' avec les directions de ;/, «', r; L,, M,, N, les cosinus des angles formés par les directions de u' et r, de // et ;■. de u et u' . On aura entre ces six cosinus la relation connue
t I - ( L' ^ M' -+- N- + L^ + MJ + Nî) + ( L^î -^ M'Mî -^ N'Nï)
j + 2 ( L, MN + M, NL ^ N, LM -+- L, M, N, ) - a ( LL, MM, + MM, NN, -f- NN, LL, ) = o.
( tn a d'ailleurs, par les formules précédentes,
^^i^dt-^dp"^ M = -^, N = -^, 2 /• // dt II dt rr
dt — dp" ,. dr „ W -h II
irudt udt 'iii
Faisons, pour abréger, avec Lagrange.
DKS TKOIS roHPS :{-2!»
d'où
(19) II' — c' -+- ('", «" — ('" -♦-(•, //'■■' = {>-{- (/,
l'équation (iG) deviendra, ii])rc's la substitution dos valeurs (17),
c'est précisément l'équation (N) de Las^range. Si l'on supjKjse (jue u\ u'\ u"' y soient remplacées par leurs valeurs tirées des équations (12), la quantité auxiliaire p ne dé|)endra (|ue des distances r, r\ r" et de leurs dillérentielle^s du premier et du deuxième ordre.
i. Puisqut> l'on a
[xcùc' — x'dx] -+- [ydr' — r'àr) -+- [zdz' — z'dz) — odt.
il s'ensuit, par la ditlérenliatioM.
[xd^x' — x'd^x] -^ {rd\y' — y'd-Y) + [zd- z' — z' d'z) ^ df^tt ,
et, si Ion élimine les dillérentielles secondes des coordonnées au moyen dos équati(jns (3) et de celles qui s'en déduisent par le changement de x en r et en z, on aura
( 2-2 ) ^ Jl ^ Àp<i ^ B//y' H- C//'/ ^ 0 ;
cette équation n'est autic (]ui' l'éipiation 11] de Lairianije. en lenant conitilc du chanJiemenl de notation.
5. Hevenijns niainteiiant aux ('M|uations j) : on a identiiiucmciil
{ydz — zdy) [y' dz' — zdx') -f- {zdx — xdz){z'dx' — x'dz' ) -^ [xdy—y dx) [x' df — r'dx') = [xx'-i-Yy'-i-zz') (dxdx'-i-drdy'-^dzdz') — [x dx' -r- \ ih' ^ zdz') [x' dx -^- y' dr -i- z'dz),
el cette formule subsiste quand on écrit ./■', r', z' ou ./•", ,t", z" au lieu de x, > , z, ou bien ./;", r", 2" ou X, Y, z au lieu de x'. r', z'. D'après cela, si Ton fiiil
fi^ -i- b- -h c' = /■■, VT. 42
330 ESSAI SLK KK PHOJJLEME
et qut' Ion ajoute les équations (4 /, après les avoir élevées au carré, on aura, en faisant usasse de la précédente formule, ainsi que des formules [i], (5), (i5) et (i8),
'( -rc[--K;l)>c^["-Kf)>^["--i(f)>''-^
ce ([ui est l'équation (P) de Laii;range.
Si maintenant on suppose que ii^, it'^. u"^ soient remplacés partout par les valeurs tirées des formules (i3), et que, par le moyen de l'équation (21), p soit éliminé des équations (22) et (28), celles-ci ne contiendront plus que les distances /•, /•', /-"; la première sera du troisième ordre et l'autre du deuxième; en les joignant à léquation (14), on obtiendra le système différentiel indiffué par Lagrange. Ce ([ui précède résume la partie essentielle du Mémoire de l'Auteur.
6. Différentions les équations (5) et remplaçons ensuite les différentielles secondes par les valeurs tirées des équations (3) et des analogues : on aura, en faisant usage des formules précédentes,
ip-2(A+B + C)l;:^-^CU-^-V'^Uc/c=o.
dt ^ ' (le Y (It ' rit j ' •
Ces formules coïncident avec les équations (I) de Lagrange, quand on tient compte des équations (J) de l'Auteur. M. Hesse leur substitue les trois combinaisons obtenues quand on les
ajoute entre elles, après les avoir multipliées respectivement par -5 -, -, puis par yts^
rr— 7;) 'n-^i'' 1'^''^ ''"^'" ''^"^ ^^' P' -''"' ^^ i>reiiiière combinaison n'est autre chose que l'équation (6); la deuxième combinaison donne, en se servant des formules (12),
(Ar' dt "^B/-'^ dt ■^C/-"-^ dt
f ( ..dp ,,dp „2dp"\
\ ' fh ' ili ' Il /
enfin la dernière combinaison, (jui seule contient o, est, on faisant usage de i'é(iuation ('/'^),
P^ =/.-A ^ — U,yA ^ — U,y'-^- --j-^ 1
(*6) I 'It 'Il 'Il 'Il
Supposons que l'on différentie l'équation (aSj, ce qui fera disparaître l'arbitraire /, et que
de l'équation résultante on tire la valeur de o l pour la substituer dans l'équation (26). Alors,
commet', K'^ «"' représentent les valeurs fournies par les équations (i3), les équations (6). (aS) et (26), qui sont toutes du troisième ordre et ne renferment aucune arbitraire, constitueront, d'après M. Hesse, le système différentiel duquel dépendent les distances r, /•', /•", quand on ne fait pas intervenir les principes des forces vives et des aires. Enfin, si des mêmes équations (6), (^5) et (2G) on tire les valeurs de d{u''), d{a'''), d[u"^), pour les porter dans l'une des équations (24), celle-ci donnera, d'après le môme géomètre, une valeur de r, qui sera seulement du deuxième ordre; en portant cette valeur dans l'équation (23) et enjoignant ensuite cette équation aux équations (14 ) et (26), on obtiendra un système composé de deux équations du deuxième ordre et d'une du troisième ordre, dans lequel figureront les deux constantes arbitraires /et /.
Telle est la solution que M. Hesse propose dans son Mémoire. Celte solution [)araît, à première vue, beaucoup plus simple que celle de Lagrange, mais il n'est pas difficile de reconnaître l'inexactitude de la conclusion de M. liesse. Effectivement l'équation (-^6), aj)rès qu'on en a éliminé
ù'-^ par l'équation (23) différentiée, n'est pas autre chose que l'équation (6) multipliée par le
r' r'"- /•"'' facteur x "*" r" "^ T~ ' '®^ ^^^^^ équations du troisième ordre qui composent le premier système de M. Hesse ne sont donc pas distinctes. Le deuxième système du même géomètre ne saurait, en conséquence, avoir d'existence réelle, puisque les équations du premier système sont impropres à fournir les valeurs des différentielles du troisième ordre, ou, ce qui revient au môme, les valeurs des différentielles <■/("'), d{n'^), d{u"'). On ne saurait se dispenser, dans la recherche dont nous nous occupons, de tenir compte de l'équation (21), comme Lagrange a eu soin de le faire.
(Note de l'Éditeur.)
