SUR
L'ÉQUATION SÉClLAIItE DE LA LINE,
suit
L'ÉaUAïION SÉCULAllIE DE LA LINE "'.
Nec cum fiducià invcniendi, ncc sine spe. Sesec, Ntit., qua-st. vu, 29.
[Mémoires (lo l' Académie^ Royale dos ScionCi'S de Paris, Savants étrangers, I. Vil; 1773. (Prix pour l'ann(''o 1774-)]
L;i question proposée par l'Académie Royale des Sciences pour le sujet du Prix de Tannée 1774 t3st double et renferme, à proprement parler, deux questions difîerentes.
Dans la première, on demande par quel moyen on peut s'assurer qu'il ne résultera aucune erreur sensible des quantités qu'on aura négligées dans le calcul des mouvements de la Lune.
Et, dans la seconde, on demande si, en ayant égard non-seulement à l'action du Soleil et de la Terre sur la Lune, mais encore, s'il est néces-
( * ) Ce premier essai de Lagrange sur V Equation séculaire de la Lune, qui a obtenu le Prix de l'Académie Royale des Sciences, pour 1774, est antérieur de dix-huit années au Mémoire sur le même sujet que l'Auteur présenta à l'Académie de Berlin [OEiivrcs de Lagrange, t. V, j). G87).
C'est en 1787 (juc La[>laoe fit connaître sa mémorable découverte de la cause qui produit ré(}uation séculaire de la Lime; mais, dès 1783, Lagrange avait reconnu que les moyens mouvements des planètes pouvaient être sujets à des variations séculaires dépendant des excentricités et des inclinaisons; il avait môme fait l'application à Jupiter et à Saturne, ce qui ne lui avait fourni que des variations presque insensibles [OEuvrcs de Lagrange, t. V, p. 38i). Les formules (jui se rapportent aux planètes sont applicables au cas de la Lune ; mais ce ne fut que plus tard, en 1792, (|ue Lagrange s'occupa de c^Ui> im[>orlan(e api)licalion.
{Noir de r Éditeur.)
330 SUn L'EQUATION SÉCULAIRE
saire, à l'action des autres planètes sur ce satellite, et même à la tigure non spliérique de la Lune et de la Terre, on peut expliquer, par la seule Théorie de la gravitation, pourquoi la Lune paraît avoir une équation séculaire, sans que la Terre en ait une sensible.
Le Mémoire suivant est destiné uniquement à répondre à la seconde de ces deux questions. On y verra : i° que l'équation séculaire de la Lune ne saurait être expliquée par la seule Théorie de la gravitation, du moins en prenant cette équation telle que les astronomes l'ont adoptée d'après feu M. Mayer; 2° que les preuves que l'on a de l'existence de cette môme équation ne sont pas, à beaucoup près, aussi solides et aussi convaincantes qu'on pourrait le désirer. Je serai suffisamment récompensé de mon travail si l'illustre Compagnie, à qui j'ai l'honneur de le présenter, daigne l'honorer de quehjue attention, et surtout s'il peut exciter d'autres plus habiles que moi à le pousser plus loin, et à décider irrévocablement l'importante question de l'équation séculaire de la Lune.
Quant à la première question, j'avoue que, après y avoir médité longtemps et avec toute l'attention dont je suis capable, je n'ai rien trouvé qui pût me satisfaire, ou qu'on pût du moins ajouter à ce que M. d'Alembert a déjà dit sur ce sujet dans les derniers volumes de ses Opuscules. J'ai donc cru pouvoir me dispenser de traiter cette question, et je me flatte que l'Académie voudra bien ne pas m'en savoir mauvais gré; en récompense, j'ai tâché de m'étendre d'autant plus sur l'autre question, et d'entrer dans des détails astronomiques que cette illustre Compagnie n'a pas demandés, mais que j'ai crus indispensables dans la matière dont il s'agit.
1. Quoique la Théorie de la gravitation universelle ait jusqu'ici parfaitement rendu raison des inégalités périodiques qu'on observe dans les mouvements des Corps célestes et surtout de la Lune, elle n'a cependant pas encore fourni d'explication de l'équation séculaire de cette planète. M. Halley est le premier qui ait soupçonné une accélération dans le moyen mouvement de la Lune, comme on le voit par ce passage de la seconde édition des Principes mathématiques : Fa collatis quidem ohser-
I)K [. V lAlNE. :j:i7
vationihus eclipsium hahrloniris ctirn ils Alhate^rui cl eu m liodierms, Halleyiis noster niotnni mcdiuni Lhikc curn rnotii (liuriio Teirœ colUitiini j)aul(itim accelerari, primas omnium, (juud scium, deprehendit, page 4^ i . .M;ns, soit que ce grand Astronome n'ait j)as cru |K»iiv()ir entièrement compter sur l'exactitude des observations (jui lui avaient donné l'accélération de la Lune, soit qu'il ait regardé celte accélération comme trop peu sensible pour qu'on dût en tenir compte dans le calcul du lieu de cette planète, il est certain qu'il n'y a eu aiicim égard dans les Tables qu'il en a publiées depuis. Cependant la reiiiar(|tie de M. Halley n'est pas demeurée infructueuse : deux savants Astronomes, .MM. Dunl borne etMayer, ayant entrepris d'examiner de nouveau ce point iuïportant de la Tbéorie de la Lune, ont non-seulement l'cconnu l'existence de l'équation séculaire de cette planète, ils en ont de plus déterminé la quantité : le premier l'a tixée à lo secondes pour le premier siècle, et le second a 7 secondes dans ses premières Tables, et ensuite à 9 secondes dans les dernières; et comme les Tables de la Lune de IM. Maycr ont été généralement adoptées par les Astronomes, l'accélération du mouvement de la Lune est maintenant regardée comme un l'ait dont il semble qu'il ne soit presque pas permis de douter.
31. de la Lande a néanmoins remarqué, dans son Astronomie, qu'il restait encore quelque incertitude sur les observations (jui ont servi à déterminer ce nouvel élément de la Tbéorie de la Lune, et qui se réduisent à deux éclipses de Soleil observées en 977 et 978 près du Caire, par Ibn Jonis, Astronome du calife d'Egypte Aziz; comme ces observations sont les seules que nous ayons pour servir de terme de comparaison entre les anciennes observations des Babyloniens et celles de ces derniers temps, il faut avouer (jue, si l'on était obligé de les rejeter, on perdrait les principales et même les uniques preuves décisives que l'on ait de l'accélération du moyen mouvement de la Lune; car je ne puis croire, avec M. Mayer, que cette question puisse se décider pav la simple comparaison des observations du siècle passé avec celles de ce siècle, les variations qui peuvent se trouver dans le mouvement moyen de la Lune, dans le court espace d'un siècle, étant nécessairement trop petites pour VL 43
pouvoir être attribuées à d'autres causes qu'aux erreurs des observations et à l'incertitude qui a encore lieu dans quelques-unes des équations de la Lune.
Quoi qu'il en soit, en attendant que le temps et les recherches des astronomes nous apportent de nouvelles lumières, la Théorie est, ce me semble, le seul moyen que nous ayons pour décider un point d'Astronomie si important. Il s'agit donc d'examiner, Te plus soigneusement (|u'il est possible, si la gravitation universelle peut produire, dans le mouvement moyen de la Lune, une altération sensible et conforme aux observations; c'est la question que je me propose de traiter dans ces Recherches.
2. Pour que le moyen mouvement de la Lune soit assujetti à une allération croissante comme le carré du temps, ainsi qu'on le suppose dans les Tables, il faut que la formule générale du lieu vrai de cette planète l'enferme, outre le terme Z qui représente le mouvement moyen, encore un terme de la forme «Z^, «étant un coefficient positif et très-petit; ce dernier terme représentera donc l'équation séculaire, qui sera toujours additive au mouvement moyen avant et après l'époque qu'on aura tixée pour le commencement de cette équation, et qui, dans les Tables de Mayer, tombe au commencement de ce siècle. Donc, nommant zs le rapport de la circonférence au rayon, on aura m x 36o° pour la valeur de l'équation dont il s'agit au bout d'une révolution de la Lune; et, nommant ensuite v le rapport du mouvement moyen de la Lune à celui du Soleil, on aura mv- x Sôo*' pour la quantité de la même équation au bout (le la première année après l'époque; enfin, multipliant cette quantité par loooo, on aura la quantité de l'équation pour le premier siècle, la(|iielle étant, suivant M. Mayer, de 9 secondes, on aura cette équation
loooo ixsv"- X 36o" =: y", c'esl-a-rlire, eu réduisant aussi les degrés en secondes,
1 0000 . 36o . 3Goo ; cï y ' =z: c) ;
DE I.A LUNE. :WÎ)
d'où l'on lii'L'
I oooo . 36o . 36oo rn v* ' 01* on a à Irt's-pcii près t^t = (J et v'- = i-yS; donc on aura cnvii'on
I 53'J C)'>.0 ()<)<) OOO
. 3. Telle doit donc être la valeur du coellicienl t de l'équation séculaire, dans riiypothèsc que cette équation soit réelle et croisse constamment comme le carré du leuips; mais, comme il peut se l'aire aussi (ju'ellc ne soit qu'apparente, et que ce ne soit dans le fond qu'une équation périodique, mais dont la période soit très-loni^ue, il est bon de voir en particulier quelle devrait être sa valeur dans ce cas; car, quoique l'eflet de l'équation séculaire puisse être sensiblement le même dans l'un et dans l'autre cas, pendant un intervalle de temps peu considérable, il deviendra cependant fort différent au bout d'un grand espace de temps; de sorte que, si cette équation, au lieu d'être réelle, n'est qu'apparente, elle devra nécessairement avoir une tout autre valeur que celle que nous venons de trouver, pour pouvoir répondre à la fois aux observations babyloniennes et arabes qui ont servi de données dans la détermination de cet élément. Mais pour cela il est nécessaire de commencer par examiner, en peu de mots, comment on peut accorder ces observations par l'introduction d'une équation séculaire réelle; ensuite nous verrons ce qui doit en résulter dans l'hypotbëse que l'équation séculaire ne soit (ju'apparente.
4. Comme les observations les plus distantes entre elles sont celles qui peuvent fournir les déterminations les plus exactes des mouvements moyens des planètes, on a employé dans la détermination de celui de la Lune la plus ancienne éclipse dont la mémoire nous ait été conservée, et qui est celle que Ptolémée rapporte avoir été observée à Babylone le 19 mars 720 avant J.-C. (Almagesle, Livre IV, Cbapitre VI). M. Cassini ayant comparé cette observation avec celle d'une éclipse de l'année 1717,
3i0 SUR L'ÉQUATION SÉCULAIRE
où la Lune s*est trouvée à peu près dans les mêmes circonstances, a trouvé le mouvement séculaire de la Lune de io'^7"49'52"; or, si le mouvement moyen de la Lune était tout à t'ait uniforme, il est clair qu'on devrait toujours trouver le môme résultat en comparant ensemble d'autres observations; mais on a reconnu dans ces derniers temps que les observations arabes, dont on a parlé ci-dessus, comparées avec les observations de ce siècle, donnent environ 2'36"| de plus pour le mouvement séculaire de la Lune. M. de la Lande, dans \es Mémoires de l'Académie, année lySy, trouve qu'en employant le mouvement moyen qui résulte des observations arabes, la longitude de la Lune dans l'éclipsé de 720 avant J.-C. est moindre de 1^27' que l'observation ne l'a donnée; or, comme M. de la Lande suppose le milieu de cette éclipse 4? minutes plus tôt que M. Cassini, il s'ensuit qu'il faut ôter de i''27' le mouvement relatif de la Lune au Soleil pendant 47 minutes, lequel est de 23'52"; ainsi l'on aura l'^S'S", qui, étant partagés en 24^, nombre des siècles écoulés entre l'observation dont il s'agit et 1700, donne 2'36"|, dont le mouvement moyen séculaire est plus grand, parce que, comme en remontant on avance contre l'ordre des signes, une longitude moindre indique un plus grand espace parcouru. C'est ce qui a engagé les Astronomes à appliquer au mouvement moyen une équation séculaire propre à sauver cette différence.
5. En effet, soit œ le mouvement séculaire moyen dont la marcbe est uniforme, et j l'équation séculaire, que nous supposerons d'abord proportionnelle au carré du temps; et, prenant le commencement de ce siècle pour époque, on aura, après m siècles, le mouvement moyen =^mx -{- m'^y, par conséquent, en faisant m négatif, on aura, pour m siècles comptés en arrière, le mouvement moyen = — mx -\-T7ry. Soit maintenant a le mouvement séculaire moyen trouvé par M. Cassini d'après l'éclipsé de 720 avant J.-C. et a -h |3 le mouvement séculaire moyen trouvé d'après les observations arabes de 977 et 978; et comme, entre les années 720 avant J.-C. et 1700, il s'est écoulé ^[\\ siècles, et que, entre les années 978 et 1700, il s'est écoulé environ 7I siècles, on
aura — (24 -g-) a et ~ {'] i) [oc -h p>) pour les mouvements moyens qui se rapportent aux années 720 avant J.-C. et 978 : donc, si l'on veut (jue la l'onnuk' — mx -\- rn^y satisfasse à la fois aux observations de ces années, il n'y aura qu'à supposer successivement m^ i[\\, = 7i» <*' former ensuite les é(jua(ions
c'est-à-dire, d'où l'on tire
Or on a trouvé a = io^7*'49'52" et fj = 2'36"|; donc on aura j=z9",o,, eldclà ^= 10^70 53' 34",64;
ce qui s'accorde à très-peu près avec les éléments que M. Mayer a employés dans ses dernières Tables, où il fait le mouvement séculaire moyen de 10^7*^ 53' 35", et l'équation séculaire de 9 secondes pour le premier siècle, à compter depuis 1700.
6. Supposons maintenant que l'équation séculaire ne soit pas constamment proportionnelle au carré du temps, mais qu'elle dépende du sinus d'un angle qui varie peu, en sorte qu'elle ne suive la loi du carré que pendant un certain espace de temps; soit A + ,aZ cet angle, Z étant, comme ci-dessus, le mouvement moyen de la Lune, et /j. étant un coefficient très-petit, de manière que l'angle /Jt,Z demeure encore très-petit vis-à-vis de l'angle fini; et comptant A au bout d'un grand nombre de révolutions de la Lune, on aura pendant cet intei'valle de temps
sin(A -I- aZ) = sin A -+- u.Z cosA — — — sinA
à très-peu près; d'où l'on tire
„j 2Z cosA 2[sinA — sin(A -t- jtJtZ)]
~~ f/. sinA //' sin A '
342 SUR L'EQUATION SECULAIRE
de sorte que réqualion séculaire apparente tZ^ sera véritablement im'-
2i r^ . sinA — sin(A-f-aZ)
' ZCOSA -^ r /
présentée par la formule
|y. smAL (J-
et par conséquent s'éloignera à la longue de la loi du carré du temps.
7. Voyons donc quelle doit être, dans cette hypothèse, la valeur du coefficient i, pour satisfaire aux mêmes données du n° 4. Soit ô la quantité de l'angle p.Z au bout d'un siècle, on aura au bout de m siècles
^. = mO; donc
mO
ainsi l'équation séculaire sera, pour m siècles,
—-—. — - [m 9 CCS A -+- sin A — sin ( A h- m 6 ) 1 ; p.^'sinA'- ^-^
lorsque 7?z = i, cette quantité devient (à cause de Q très-petit] -y, qui
sera donc la quantité de l'équation séculaire pour le premier siècle. Nommons donc, comme ci-dessus, y cette valeur de l'équation séculaire et oc le mouvement séculaire moyen; on aura, après m siècles, le mouvement moyen égal à
nix -\- . r , Tmô CCS A + sin A — sin (A -f- m 0)1. y^sinA"- -"
Faisant donc successivement m = — i[\\ et = — 7^, pour avoir les mouvements moyens qui répondent aux années 720 avant J.-C. et 978, on formera ces deux équations
- (24ï)^+ gT^^ [- (^4t) 6 ces Ah- sin A- sin [A- (24I) 6]J z= - (24 jj «,
c/ost-à-dire, en changeant les signes,
cotA
I / sin[A-(?.4{)6]
d \ """'' ' (24^ \' sinÀ
e l (7i)(y \ SinA /
d'où l'un tirera aisément x et j (|uaiid on connailia A et 0; ensuite on aura, comme dans le n° 2,
I 0000 / CT v^ X 36o° = j,
d'où l'on tirera
looGorov^X 36o°
8. Supposons, par exemple, que l'angle A-j-aZ soit égal au double de la longitude de l'apogée du Soleil (on verra plus bas, aux n"* 30 et suivants, pourquoi nous choisissons cette hypothèse); on aura donc, en prenant toujours le commencement de ce siècle pour époque, A égal au double de la longitude de l'apogée du Soleil en 1700, et 6 au double du mouvement séculaire de cet apogée; ainsi l'on aura, par les nouvelles Tables de Mayer,
A = 6^ i5°25' 12", el 8 = 3"^o' = (en parties du rayon) 0,063994- Substituant ces valeurs dans les équations précédentes, on aura
ar r ,- -, I / sin73''io'\ I
3°4« L 88" 44 \ s\ni5°'?.yjj
2 >• r ^ ^, I / sinio"5q'\T
X — ^ . , — col I 5° 25' -t- -7. -.y I + -. — ï; ?7 = « + 3>
3*^40' L 2b<'24' \ sini5"257j ^'
c'est-à-dire,
X 7^1 — ( — 3,62636 4- --V^qt;- ) = a,
3i4 SUR L'ÉQUATION SÉCULAIRE
ou bien, en réduisant,
d'où
et, à cause de a = io^7*'49'52" et ^ = 2'32" (n° 5;,
d'où l'on voit que la valeur de y doit être négative et égale à environ deux tiers de la valeur qu'elle doit avoir dans le cas de l'équation constamment proportionnelle au carré du temps; quant au mouvement séculaire moyen, il ne diffère que de i'24" de celui (ju'on a trouvé dans le cas dont nous venons de parler.
Dans l'hypothèse présente, on aurait donc pour l'équation séculaire, qui devra être ajoutée au mouvement moyen au bout de m siècles comptés depuis 1700,
— 3'2r', 775 m cou 5° 25'+ 15,627 I ; — - — -, ^— ^ ;
\ \ sm i5"25 / J
et, pour les siècles qui précèdent 1700, il n'y aura qu'à prendre m négatif.
Et la valeur du coefficient i sera
environ.
1 0000 . 36o . 3600 xnv' 2 3o6 880 000 000
9. On trouverait des résultats différents si l'on adoptait d'autres hypothèses à l'égard de l'angle A-t-jutZ, et il est clair que, tant qu'il ne s'agira que de satisfaire aux données du n° 4, on sera le maître de donner telles valeurs qu'on voudra à A et à p.; de sorte que le Problème de l'équation séculaire de la Lune, envisagé sous ce point de vue, est entiè-
DK LA LUNE. 345
l'ement indéterininr cl ne pciil rtic résolu parle secours des observations seules. Il esl vrai (\\n' les A^tioiioiiics supposent coniiiiunéuient que les équations séculaires tics planètes ne peuvent être que proportionnelles aux carrés des temps; niais il parait (jiic la siinj)licité et la facilité de cette hypothèse sont les seuls molil's (lu'ils ;iiciil de. l'enihrasser.
Ce n'est donc que par la Théorie (ju'on pcul se llallcr de déterminer la Idiiiic de l'équation séculaire des planètes et de la Lune eu particulier; et la question est de savoii' si, parmi les inégalités (jui résultent de l'attraelioii nuiluelle des Corps célestes, il doit yen avoir de l'espèce de celles que nous avons supposées ci-dessus dans le nioiivenieiil de la Lune, et dont l'eflc't ne doit être sensible qu'au bout de plusieurs siècles; or, pour ce (|ui regarde la Lune, quoiqu'il soit démontré que ses inégalités périodiques sont entièrement et uniquement dues à l'action du Soleil combinée avec celle de la Terre, cependant il parait très-dillicile et presque impossible de déduire de la même cause l'inégalité séculaire de cette planète; du moins aucun de ceux (jui ont travaillé jusqu'à présent à la solution du Problème des trois Corps n'a pu trouver dans la formule du lieu de la Lune des termes propres à produire une altération vraie ou même seulement apparente dans son mouvement moyen; sur quoi on peut voir surtout les judicieuses et fines remarques de M. d'Alemberl dans les volumes V et VI de ses Opuscules.
Mais il y a une circonstance à laquelle on n'a point encore fait attention jusqu'ici dans les calculs des mouvements de la Lune : c'est la nonsphéricité de la Terre, laquelle produit une petite altération dans la force (jui pousse la Lune vers la Terre, en sorte qu'il en résulte une nouvelle force perturbatrice de l'orbite de la Lune, laquelle, étant combinée avec celle ([ui vient de l'action du Soleil, pourrait peut-être produire des termes qui donneraient l'équation séculaire de la Lune. Ce point mérite donc d'être discuté soigneusement; c'est ce que nous allons faire avec tout le détail (jue la dilliculté et l'importance de la matière exigent.
10. Soit X le rayon vecteur de l'orbite qu'un Coi'[)s décrit dans un plan fixe en vertu de deux forces, l'une 4' dirigée vers le centre des VI. 44
3i() SUR L'ÉQUATION SÉCULAIRE
rayons vecteurs, et l'autie H toujours perpendiculaire à ces rayons; nommant 9 l'angle parcouru pendant le temps /, on aura, comme l'on sait, les deux équations
dt- La seconde, étant multipliée par 2X'd'Zi et ensuite intégrée, donn»'
x^ do r
k étant la valeur de —jf'> lorsque /a?^n^<p est nul; et de là on tire d'abord
