IV
dt X h'-hifUx'do
Donc, si la force W est composée d'une force — et d'une force pertur-
bati'ice 4>, on aura, en faisant — = u,
ou
TLxdx 2 M
k'-h9.fllx^d<f
I)K I.A LIJNK. 3i7
El, si les forces perturbatrices II cl <!• sont très-petites par rapport à la
forc(î [)rnicipaH! — > on aura a Ircs-pcu près
d'il I /„ <I) o.M r\\(h Wdu\
do' /,' \ II- /r J II' tûd'^l
h II- \ j h'ii^ I
Ces i'orniulcs sont assez coiniues, mais nous avons cru devoir les ra[tpeler ici pour épargner à nos lecteurs la peine de les aller chercher ailleurs.
11. Pour applicjuer maintenant ces formules au mouvement de la Lune, nous supposerons d'abord que cette planète se meuve dans Vi:cliptique, c'est-à-dire, (jue nous ferons abstraction de l'inclinaison de son orbite, qu'on sait toujours être fort petite; il sera ensuite aisé d'y avoir égard si on le juge à propos. Dans cette supposition donc, si l'on nomme a le rayon vecteur de l'orbile du Soleil, S sa masse et (] la distance ou l'élongation de la Lune au Soleil, on trouve que l'action du Soleil sur la Lune produit deux forces perturbatrices, l'une dans la direction du rayon vecteur x de l'orbite de la Lune autour de la Terre, laquelle est
l'autre perpendiculaire au même rayon vecteur, et qui est
S^(^-^)sin-/),
^ étant la distance rectilignc entre la Lune et le Soleil, en sorte que
Or, comme a est environ quatre cents fois plus grand (jue x, on aura, avec une approximation sullisante,
I I 3j;cos7) (3 — iScos'vî )^*
348 SUK L'ÉQUATION SÉCULAIRE
donc, substituant cette valeur, cl faisant attention que
H-cos?.y) , Scosyj H- cos3/)
sins>.-/3 . sin/)+sin37)
cosy)Sin7) = ? cos^T] sinv] = 7 ->
on aura, par l'action du Soleil sur la Lune : Force pevinrhatrice dans la direction du rayon,
iH- 3 cos 2 •/] ^ — ^— ^^ h 1 5 cos 3 ■/! x^ ;
Force perturbatrice perpendiculaire au ray^on,
oc C
— -^ — sin 2/; >c.x — 5— 7 ( 3 sin/) 4- 1 5 sin 3-/) ) x-.
12. A ces forces provenant de l'attraction du Soleil, il faut maintenant ajouter celles qui viennent de l'attraction de la Terre; et comme on veut avoir égard à la non-sphéricité de sa figure, il est nécessaire de considérer en particulier l'attraction de chaque particule de la Terre sur la Lune et d'en chercher les forces résultantes.
Pour faciliter cette recherche, nous commencerons par établir cette proposition préliminaire, qui est assez facile à démontrer et qui peut être aussi utile dnns d'autres occasions :
Si un point A attire un autre point B a^'ec une force quelconque F, et qu'on propose de décomposer cette force suivant trois directions données perpendiculaires entre elles ; soit A la distance entre les deux Corps, et soit d\ l'accroissement de cette distance en supposant que le Corps attiré B patcoure, suivant l'une des directions dont il s'agit, l'espace infiniment petit
dv., on aura — F y- pour la partie de la force F qui agit suivant celte
même direction .
De là il s'ensuit (jue, si l'on détermine la position du ])oinl 1^ par l'apport au point A, par trois variables a, jS, y, dont les différenlielles da,
I)K LA LUNE. 3iy
fip, dy soient dans les diriH-tions suivant lesquelles il s'agit de décomposer la force F, en sorte ([iie l;i dislanee A soit une l'onetion de a, [i>,
. I ' . Ml- clA (/^ (JA , -,.
'/,..., et (ju on dénote, comme a I ordinaire, |)ar ,- » -jz^^ -j- les coelli-
^ (la. ap ay
cients de da, dfi, d/ dans la dillérenlielle de A, on aura
„ dA ^, dA ,, (JA
-^d^' -^'71^' -^di
pour les trois forces résultantes de la force F.
Si F est proportionnelle à ^» ce (jui est le cas de l'attraction céleste,
on aura
r-jK dA ,1
^d^ = -^ = -dp
j)ar conséquent, les trois forces dont il s'agit pourront se représenter pat les coellicients de da. dfi, d/ dans la différentielle de -ri en sorte (|n'il
suffira de trouver la valeur de - et de la différentier par les méthodes
ordinaires.
Si le point B est attiré en même temps vers différents points A, A',
A",..., dont les dislances à B soient A, A', A",.,., et dont les attractions
soient
il est visible (ju'il n'y aura ([u'à chercher la valeur de la quantité
el la différentier suivant a, jS, y; les coefficients de i/a, dp, dy dans cette
différentielle donneront immédiatenKuit les forces cherchées. Donc, en
général, si le point B est attiré par un Corps de figure quelconque et
(loiil la masse soit M, en considérant chaque élément dM de ce Corps
comme un point attirant, il faudra prendre d'ahord la somme de tous
I dM o • . • • .1 ,-. .
les —r-i en taisant varier uni{[uement les (juanlites qui se rapportent aux
éléments dM, et regardant les «, fi, 7 comme constantes; dénotant cette somme par 1, on y fera varier ensuite les quantités «, /3, y relatives à la position du point B, et l'on aura
d2 f/2 dl.
dZ' rt^' Tfi
pour les trois forces suivant da, dfi, dy auxquelles se réduira l'efï'et de rallraclion totale du Corps M sur le point B.
13. Cela posé, pour pouvoir appliquer avec facilité cette méthode à la recherche des forces qui résultent de l'attraction de toutes les parties de la Terre sur la Lune, nous considérerons le centre de la Terre, ainsi que le plan de son équateur, comme fixes; et nous y rapporterons, tant la position de chaque particule dM de la Terre que celle du centre de la Lune, en ayant attention d'employer, pour déterminer la position de ce centre des lignes variables, dont les différentielles aient les mêmes directions qu'on veut donner aux forces résultantes de l'attraction totale de la Terre sur la Lune.
Nous supposerons de plus que l'axe de la Terre soit un de ses trois axes naturels de rotation, et que, par conséquent, les deux autres se trouvent dans le plan de l'équateur; car, quelle que soit la figure de la Terre et la disposition intérieure de ses parties, la rotation constante et uniforme qu'elle a autour de son axe sulRt pour nous convaincre que cet axe est nécessairement un de ses axes naturels de rotation; de sorte que, comme les deux autres doivent être perpendiculaires à celui-là, ils ne peuvent être placés que dans le plan de l'équateur.
Donc, si l'on nomme / la distance d'une particule quelconque dM de la Terre au plan de l'équateur, et7?2, n les distances de cette même particule aux plans des méridiens qui passent par le deuxième et par le troisième axe naturel de rotation de la Terre, on aura d'abord, par les propriétés du centre de gravité,
//f/M = o, lmdM = o, lndM = o,
DE LA LUNE. :}o1
et, par les pi'opi-irtrs des axes naturels de rotation, on aura en même h'iiips
/ Ini f/M = o, / In (IM =0, / nin <l},\ = o.
14. Dans le cas où les deux liéniis[)li(,'res de la Terre sont supposés semblables et de densité uniforme, il est faeib; de voir qu'on aura de plus, en général,
p étant un nombre impair quelconque, et P une fonction quelconque de m et de n; et, si la Terre est un sphéroïde de révolution, on auia
/ /t?Q du = 0, I mm (IM = o,
Q étant une fonction quelconque de / et n, et U une fonction (juclconque de / et m; mais ces quantités ne seront plus nulles dès qu'on voudra abandonner ces hypothèses et regarder la Terre comme ayant une figure quelconcjue.
15. Soient maintenant w l'obliquité de l'écliptique, z la longitude de la Lune comptée depuis l'équinoxe du printemps, et j sa latitude; nommant q son ascension droite et/? sa déclinaison, on aura par la Trigonométrie ces deux équations
cosp cosq = cosy cosz, ainp = coso) sinr-H sinro oos>' sinz,
d'où il est facile de tirer
cosp sinq = — siiu.) siiir-i- cosf.) cosy sinz.
De plus, il est aisé de voir que, si l'on nomme p le rayon de l'orbite lunaire, cl (jui' 1 soit la distance de la Lune au plan de l'équaleur, a sa distance au plan passant par le colure des équinoxes, et v celb' au plan
qui passe par le colure des solstices, il est aisé de voir, dis-je, que l'on
aura
X = psin/7, y.=^ pcosp sïiKj, y =: pcosp cosq,
et par conséquent
}, ^p(cosr,) sin>--4- sinw cosj' sinz), [j.= — p(sin'» sin}- — coso) cosi' sin^i,
V = p C0SJC0S2.
Ainsi l'on connaîtra les coordonnées rectangles X, u., v de la Lune, rapportées au plan de l'équateur.
16. Or il est clair que l'ordonnée X est toujours parallèle à l'ordonnée /, mais les autres ordonnées /x et v ne peuvent être parallèles aux ordonnées m et n, que dans le cas où le deuxième axe de rotation de la Terre passerait par les équinoxes; ainsi il faudra encore changer les coordonnées p. et V en deux autres qui soient toujours parallèles aux coordonnées met n, ou bien on changera ces dernières en deux autres parallèles à celles-là; ce qui est d'ailleurs plus convenable, à cause que la ligne des équinoxes est à peu près fixe, au lieu que le deuxième et le troisième axe naturel de rotation de la Terre changent continuellement de position, à cause de sa révolution diurne autour du premier axe.
Soit donc 'Jj l'angle que le deuxième axe de rotation de la Terre fait avec la ligne des équinoxes, c'est-à-dire, la distance du premier méridien à l'équinoxe, en nommant, ce qui est permis, premier méridien celui qui passe par ce même axe, et qui est, par conséquent, fixe sur la surface de la Terre; on verra aisément que, si l'on désigne par m' et n' les nouvelles coordonnées dont l'une serait perpendiculaire et l'autre parallèle à la ligne des équinoxes dans le plan de l'équateur, on aura
m' = m cos^' + n s\n^, 7i' = n ces 4' — '« sind;.
Et, comme les coordonnées /, m' , n' qui répondent à la particule clM de la Terre sont respectivement parallèles aux coordonnées >., ii, v qui ré-
pondciil :iii cciili'c (le la [jinc, il csl chiir (|ii(' la dislancc A de cette particule il la Lune sera exprimée par la roriimlc
slil — lY + ilx — m'Y-^ {v — n')\
17. Soit, poui' abréger, i^ ^ m- ^ n^ = r"^ (/• étant la distance de la particule ^M au centre de la Terre); on aura aussi P -h m'^ -h n'^ = r- ; et, coiuuie ou a déjà 1^ + ijr -^ v' = p^ , ou aura, eu substituant les valeurs de X, (X, V et développant les ternies,
A''=p^— ?,p/(cos&) sinv" + sinw cosj sinz) -+- 3.pm'(siru.) sinj-— cosw cosj sinz) — ?.p/i' cos>- cosz -+- r\
où l'on reuiai'ciuera que le rayon p de l'orbite de la Lune est infiniment plus grand que les quantités /, m, n, r; en sorte qu'on pourra exprimer
commodément la valeur de -r par une série fort convergente.
Pour cela je suppose
^=z/(cos«sin>-H-sin6)Cosrsinz') — m'(sino)sin)-— cosojcosrsin2)-f-n'cosrros2;
ou bien, en substituant les valeurs de m' et n',
p =1 /(COS&) sinj- -h sino) cos>- sinz )
— m[(sinr.) sin>- — cosco cosj sinz) ces 4" + cosr cosz sini];]
— «[(sinw sin^-— cosw cosr sinz) sint|i — cosr cosz costl»],
en sorte (pie l'on ait
A = y''p^ — 9.PP -\- r- ;
et, regardant les quantités p ei r comme très-petites du même ordre visà-vis de p, on aura
A p ?.p' '^'^ 2.4 p* 2.4.Dp^
c'est-à-dire, en ordonnant les termes par rapport aux puissances de p, «m VL 45
354 SUR L'ÉQUATION SÉCULAÎUE
ne poussant la précision (|U(3 jusqu'aux infiniment petits du troisième ordre,
I p 3p' — r' 5p^— 3pr'
