Faisons encore, pour al)réger
P = cosw sin>' H- sin« cosj- sio/;,
Q=z — (sin63 siii)- — cosw cosj" sinz) ces 4^ — cosj- cosz sirn];,
R:= — (sino3 sin/— coso3 cosj- sinz) sirn]; H- cosj- cosz cos^*,
de manière que la valeur de p soit représentée par /P + mQ -+- /?R, et, substituant cette quantité à la place de p dans l'expression précédente
de "Y 1 on aura, à cause de / - = /'- H- m- 4- n-, 1 I /P-f-///Q + /?R
/'(3P^— i) + /»^(3Q^ - i) -t- /^'(3R' - i) + 6 (//»PQ + //^PR + w«QR) /'(5F-3P)-+-/«^(5Q'-3Q) + «'(5R;^--3R)
2 Cl'
Donc, multipliant cette quantité par dM, et intégrant en ne faisant ai'ier que les quantités /, m, n, on aura la valeur de I — r- ou de i (n" 12); ainsi, en faisant attention que (n° 13)
jldM = o, mdM = o, lndM=io,
I Im d^\ — (.. / In du = o, j uni dM = o,
( ) Lagrangc a omis ici le tormo ^ — ^-~ , qui est du mémo ordre que les derniers
fermes conservés.
[Noie de r Éditeur.)
I)K KA LU. m:. 355
cl suppusanl, pour [iliis de simplicilr,
n'<IM = h'M, I nl'dM = h"M, j nmuni = //"='M,
ou aura
/'(SF- 3Pn-3/"P(5Q^-i) + 3/'"'P(5R'-i) ,, -I ! jyj
^ .ir'(5Q'— 3Q) + 3g-"Q(5P»-i)4-3g-"'Q(5R^-i) \^
19. Or, comme p est la distance du centre de la Lune au centre de la Terre, et que :;, y sont deux angles dont l'un représente la longitude de la Lune sur l'écliptique et l'autre sa latitude, il est clair qu'en l'aisanl varier ces trois quantités à la fois on aura —dp, p cosyHz et ody pour les trois petits espaces que le centre de la Lune parcourra suivant la direction du rayon p et suivant deux autres directions perpendiculaires à celle-ci, dont l'une parallèle au plan de l'écliptique et l'autre daus un plan perp(;ndiculaire à l'écliptique. Ainsi, prenant ces trois quantités pour les diflerences de/., d^j, d-^j (n" 12], on aura
ijl j (jl i dl
dp û ces >• dz p dy '
pour les expressions des forces résuUanles de l'aUraclion de toutes les
parties de la Terre sur la Lune, et dont les directions seront les mêmes ((ue celles des petits espaces —dp, p cos y dz, pdy.
Si, au lieu du rayon p de l'orbite réelle de la Lune, on introduisait le rayon x de son orbite projetée sur l'écliptique, et qu'au lieu de la latitude y on introduisît la distance perpendiculaire de la Lune au plan de Técliptique q, ce qui ne demande que de mettre partout, dans l'expression de 2,
sjx- + q""
à la place de p, et ^ ^ à la place de sin r et cos y, alors, en
faisant varier les trois quantités x, z, q, et prenant — dx, xdz et dq pour da, d^, d-^, on aurait les trois forces
^ 1 ^ "El dx X dz dq
qui seraient équivalentes aux précédentes, mais dont la première agirait suivant la direction du rayon x, la seconde perpendiculairement à ce rayon et parallèlement à l'écliptique, la troisième perpendiculairement à ces deux-là.
Comme cette dernière manière d'envisager les forces qui proviennent (le l'action de la Terre sur la Lune est beaucoup plus convenable, lors- (ju'on ne veut pas considérer l'orbite réelle de la Lune, mais son orbite projetée sur l'écliptique, ainsi (|ue nous l'avons fait plus haut, nous nous V tiendrons dans la recherche présente, et nous remarquerons d'abord qu'on peut faire abstraction de la latitude de la Lune /, qui étant toujours assez petite, et étant d'ailleurs tantôt positive, tantôt négative, ne saurait influer que très-peu sur son mouvement moyen; c'est pourquoi on pourra simplifier nos formules en y supposant d'avance y = o et p =^ X , ce qui donnera
P rz= sino) sin 2,
Q = cos'^.) sinz cos 4^ — cosz sini|,
R = cosco sinz sirn]; + cosz cos^];;
cl l'on n'aura plus qu'à considérer les deux Ibrces
(la: X dz
parallèles à rédipti(|ue el dirigées, la première suivant le rayon x, et la seconde perpendiculairement à ce rayon; do sorte (lue si l'on tait, pour abréger,
1* = SmO) C0S2 =: -;-,
az (J = cosc) cosz cosq; -1- sinz sm'l» == -y^?
i>/ Il ^'^
U = coso) cosz siinp — smz cos^p =; -y-î
on aura, pour la force qui agit suivant la direction du rayon x, cette expression
^ + 3 «'(3P' — i) + 6^(3Q' — 0 + CH3R'- I)
hH5^' -3R)+ 3A'3R(5P'— I) h- 3/t"3R(5Q^- i) „
el, |)our celle qui agit perpendiculairement au rayon, celle-ci
a^PP4-6^QQ^+c^RR'
/n5P'-i)P'+/'»[(5Q^-i)P'+ioPQQ']H-/"'[(5R'-i)P'-t-ioPRR'].,
~H J : aï
o^'(5Q'-0Q' + g-'='[(5P=-i)Q'-f ioQPP']-i-g^"^[(5R»-i)Q' + ioQRR'L,
-t~ 3 1 — - — — — ■ JVl
A^(5R'-i)R'+/i''[(5P'— i)R^-4-ioRPP^] + /r='[(5Q'— OR' + ioRQQ'J
ix^
La première de ces deux forces sera donc celle qui pousse la Lune vers le centre de la Terre, en vertu de l'attraction de toutes les pai'ties
338 SUR L'ÉQUATION SÉCULAIUE
(le la Terre; et il est visible que le premier terme — de l'expression de
cette l'orce représentera l'attraction de la Terre sur la Lune, lorsqu'on n'a point d'égard à sa figure et qu'on la suppose toute concentrée dans un point; de sorte (jue les autres termes de la même formule exprimeront la force perturbatrice de la Lune, dans la direction du rayon vecteur, provenant de la non-spbéricité (h; la Terre; ainsi, joignant cette force à celle (ju'on a trouvée plus haut (n" 11) suivant la même direction, on aura la valeur de la force totale perturbatrice 0 (n*^ 10).
La seconde des forces trouvées ci -dessus, agissant perpendiculairement au rayon vecteur de l'orbite de la Lune, devra être pareillement ajoutée à celle qu'on a trouvée suivant la même direction, en vertu de l'action du Soleil, et l'on aura la valeur de l'autj'e force perturbatrice II (numéros cités).
20. Si la Terre était sphérique et composée de couches concentriques de densité uniforme, il est facile de voir (ju'on aurait nécessairement
a?=b'- = c-, et p=o, f"=o, /"'=<>, 0^=0,...; par conséquent les deux forces ci-dessus se réduiraient à
M , 3 «^ ( P^ + Q^ + R^ — I ) 3t^MPP'+QQ^+RR^J vr .
■ JVj , - M ;
mais on a
P2|0'+R^ = i, PP' + OQ' + RR' = o,
comme on peut s'en convaincre par les valeurs de P, Q, R, P, . . . ; donc la première des deux forces précédentes, celle qui agit dans la direction
du rayon vecteur, se réduira à —•> c'est-a-dire, a ce qu'elle serait si la
Terre était concentrée dans un point; et la seconde deviendra entièrement nulle, ce qui s'accorde avec ce que l'on sait d'ailleurs. Au reste les conditions de
a' = h' = c' el de f = 0, f'^ = o,...
I)i: L V MINE. 350
peuvent avoir lieu (rime infinilé de iii;inii'res diirérenles, cl sans (juc le Corps soit S[)héii<|ii(' et de (Iciisih' iiiiiforinc (l;iiis (Iiikiiic (■oiiclic; iiniis, quoique ces conditions sufliscMit |)()iii' icndic milles les l'oicfs pciliiihatrices que nous venons de trouver, cependant, conniu.' les expressions précédentes ne sont qirap|)rochées, il est clair que les forces perturbatrices ne seront réellement nulles que lorsque tous les autres ternies qu'on a négligés s'évanouiront aussi en même temps. Il n'v a peut-êtie que le seul cas où le Corps est sphériciue, el de densité unilornie dans chaque couche, dans le(]uel les forces perturbatrices soient exacteiix ni et rigoureusement nulles; mais c'est ce qui parait assez dillicile it démontrer.
Si l'on suppose que la Terre soit un solide quelconque de révolution, en sorte que tous ses méridiens aient la même figure, et que de plus toutes les parties de même densité y soient distribuées de manii're qu'elles forment des couches semblables, supposition qui parait la plus naturelle et la plus générale qu'on puisse faire, du moins, en tant qu'on regarde la Terre comme ayant été originairement fluide, on aura, dans cette hypothèse,
6'=c-, /"=/"% et g' = o, g"=o, g"'=o, /i'=o, /i''=n, //"'=o,
comme il est facile de s'en convaincre avec un peu de réflexion: ainsi, à
cause de
P^ + Q= + K^=i, Cl PP' + QQ'-fRR' = o,
les deux forces perturbatrices provenant de la non-spliéricilé de la Terre deviendront
3{a^-h^jPF^ ^ 3(/3-3/3)(5P'-i)F
dont la première agira suivant le rayon vecteur a-, el l'autre perp«'ndiculairement à ce rayon.
En supposant que la Terre soit un sphéroïde elliptique et homogène, on aura, en nommant a le demi-axe et jS le donii-diamètre de l'équateur,
et le rapport de [3 à a est, par la Théorie de la figure de la Terre, égal à
I H — r-5 et par les ohservations éeal à i H ^•
lio *■ "170
En général, quels que soient la figure de la Terre et l'arrangement intérieur de ses parties, pourvu que è^ = c-, on trouve, par la Théorie de la précession des équinoxes, que la précession moyenne annuelle des équinoxes, en vertu de l'action combinée du Soleil et de la Lune, est exprimée par
3(^2 cc-\
.^,, — - (1 + o-v') coso) X mouv. diurne ^,
L\Ky
-7 étant le rapport de la masse de la Lune à celle de la Terre, v le rapport du mouvement de la Lune a celui du Soleil, et w l'obliquité de l'écliptique. Or, par les observations, on sait que la précession moyenne est de 5o"; donc, exprimant aussi en secondes le mouvement diurne du Soleil,
qui est de 5q'8"= 35/i8", on aura, à catise de cosw = cos23°2q'= -=--^
et V- = 178,
donc, si cr est — suivant M. Daniel Bernoulli, on aura
— T. — = 7 QQ / — 7q = — ^ a peu près.
O- 4jOO0274-24o 173
21. Ayant donc trouvé les valeurs des forces perturbatrices <I> et n, tant en vertu de l'action du Soleil que de celle de la Terre regardée comme non sphérique, il ne faudra plus que les substituer dans les équations VI et VII du n° 10, pour pouvoir déterminer les inégalités de
m-: LA LUNE. :jfjl
la Lune, (jui J'('*siiUeiil de rcs deux caiisos; nuiis, coiiimo les cflels de hi première oui déjà été sullisamiTienl eximiinés pîir les géomètres (jui oui (ravaiilé sur la Théorie de l;i Lime, et que noire oljjel n'est (|ue dr reeherelier si la non-spliérieité de la Terre peut servir à explicjuei' l'éij nation- séeulaire de la Lune, il suffira d'avoir égard, dans les équations dont nous venons de parler, aux termes provenant de l'aelion de l:i Terre, soit seule, soit eomhinée avec celle du Soleil, et même, parmi ces termes, à ceux-là seuls (|ui [)aiailront pouvoir produire une altération dans le mouvement moyen. Nous ferons, [)our cet <'(ret, les remar(jues suivantes.
22. Nous avons déjà vu que, pour que la Lune ait une écjuation sécu laire réelle, il faut que l'angle du mouvement vrai ç; renferme, outre l'angle du mouvement moyen Z, qui est proportionnel au temps t, encore le terme iZ- (n° 2); et si l'équation séculaire n'est qu'apparente, alors, au lieu du terme «Z-, il faudra (ju'il y en ait un de cette forme
2 i ( ,. . sin A — si 11 ( A -4- u. Z ' / cos A -{ ^ * — :
fjt sin A
a étant un coefficient très-petit (n° 6); donc on aura dans le jiremier cas, abstraction faite des autres inégalités,
9 = Z -f- /Z-, d'où l'on tire à très-peu près
Z = cp — /o% et, supposant r// = 7^r/Z,
dt
Dans le second cas, on aura
\, . , sinA — sin(A -+-jmZ) I / cos A H ^— ^ ,
d'où l'on lire do même
Z = o '-. — r 9 cos A
^ p. sinA |^
t't (le là
sin — sin(A + |ucp)"
dt V "2.1 cos A — cos^A + f/9,
d(^ L siuA II
Or l'équation VÏI donne
donc on aura dans le premier cas
et, différentiant, on trouvera
n 2 ?iu du
</tp
I — 2 i co ) + 2 m ïf' ;
or, comme -■, rayon vecteur de l'orbite de la Lune, est une (luantité à
très-peu près constante, il s'ensuit que la valeur de — contiendra nécessairement un terme tout constant, qui sera exprimé par 2ink^'/^, -f étant le terme tout constant de la valeur de lî^ . Dans l'autre cas, on aura l'équation
,r ii cosA — cos(A H- acp)"] I rn^/v
""* L' ~ iiïï -^ J - 1 " j 7;^'
d'où l'on lire
n ■y.nuduV 2/ cosA — cos( A -<- fxy) ] . ,, sin(A-+-fjt9)
\^u^ «9 L smA /x J smA
DE LA LUNE. :m
(If sorte (jiiL' dans ce eas il faudra (lue la valeur de — contienne tiii ternie de la l'urnie
2 in h ' y' : — . ^ >
' sinA
[j. étant un eoefïîcient extrêmement petit.
On peut conclure de là, en général, (jue l'équation séculaire de fa
Lune ne peut avoir lieu à moins que la quantité -- ne contienne (mi un
terme tout constant, ou un tenue qui renferme le sinus d'un aui^le (jui varie infiniment peu, et qui soit par conséquent à très-peu près constant, au moins pendant un grand nombre de révolutions; dans le premier cas, l'équation séculaire de la Lune sera réelle et ira en augmentant comme les carrés des temps; dans le second, elle ne sera qu'apparente et ne différera des autres équations du mouvement de la Lune que par la longueur de sa période.
23. Tout se réduit donc à examiner si la quantité — peut contenir
des termes de l'espèce de ceux dont nous venons de parler, et pour cela il n'y aura qu'à considérer les différents angles dont les sinus ou cosinus
entreront dans la valeur de — ? et à voir s'il v a (iiiehiue combinaison
lÛ- .11
de ces angles qui puisse donner un angle constant ou à peu près constant; alors on n'aura égard qu'aux termes qui pourront donner de telles combinaisons dans les équations YI et VII, et il sera facile d'en déduire l'équation séculaire chercbée.
Je remarque donc d'abord que les forces perturbatrices de la Lune, qui dépendent de l'action du Soleil, ne renferment que les sinus ou cosinus de l'angle vj et de ses multiples, avec les deux variables x ou — et 7,
et (jue celles (jui viennent de la non-spbéi'icité de la Terre ne contiennenl que les sinus ou cosinus des angles z ti^ avec la variable x-, car, pour ce (jui regarde l'angle oo, qui exprime l'obliquité de réclipti<|ue, on doit le considérer comme une quantité constante.
Je remarque en second lieu que, 7 étant le rayon vecteur de l'orbite du Soleil, on aura, comme l'on sait,
À étant la distance moyenne, ; l'excentricité et S l'anomalie vraie; de même, x étant le rayon vecteur de l'orbite de la Lune, on aurait, sans les forces perturbatrices,
I I H- e cos^ — =u= ,
l étant la distance moyenne de la Lune, e l'excentricité de son orbite, et s l'anomalie vraie; mais, à cause des forces perturbatrices, on aura
V étant une variable très-petite et dépendant uniquement de ces forces. De là il est facile de conclure que les inégalités du mouvement de la Lune, abstraction faite de l'inclinaison de l'orbite, mais en ayant égard à la non-spbéricité de la Terre, ne pourront dépendre que de ces cin([ angles S, s, r,y z et 'b; et il est facile de se convaincre, en particulier, que
la valeur de — se réduira à une suite de termes de la forme
A sin ( m t + ns + pn -\- qz -^ r^ j,
m, n, p, qy r étant des coefficients indéterminés exprimés par des nombres entiers positifs ou négatifs, en y comprenant zéro et l'unité; or, si l'on se rappelle que l'on a
^ z= anomalie du Soleil,
s = anomalie de la Lune,
•// = dislance de la Lune au Soleil,
z = longitude de la Lune comptée depuis l'équinoxe,
4> = distance du premier méridien de la Terre au colure des équinoxes,
et (ju'on examine les rapports de ces angles entre eux, lesquels sont à
I)K LA LUNK. ;]0o
très-pou pri's connus par les observations, on verra aisément (ju'il n'v a 4|ue cette combinaison :; — 2 — y? et ses multiples qui puissent lonner des angles presque constants; en ellet, il est clair que s - ^ sera égal à la longitude de la Lune moins c(dle du Soleil, plus la longitude de l'apogée <lu Soleil, c'est-à-dire, égal à la distance de la Lune au Soleil plus la longitude de l'apogée du Soleil; par conséquent, nommant a la longitude de l'apogée du Soleil, on aura
2 — ^ = 7! H- a ; <lonr
2 — ^ — yj = a.
Or on sait que a est une quantité presque constante, qui ne varie que de i*^5o' par siècle, suivant les Tables de Mayer, de sorte (jue l'angle 3 — 2 — ï5 et ses multiples seront dans le cas dont il s'agit; ainsi, dans la recherche de l'équation séculaire de la Lune, il suffira de tenir compte des termes qui renfermeront les trois angles z, |, yj; d'où je conclus d'abord que, dans les expressions des forces perturhatrices provenant de la non-sphéricité de la Terre, on pourra rejeter les termes qui contiendront les sinus ou cosinus de l'angle cp; ce qui servira beaucoup à simpliTier ces expressions.
24. De cette manière on aura donc, d'après les formules du n" 19. pj sin'o)(i — cos2^)
, r)2 1)2 ^- — sin'^d — C0S2Z)
D3 sin^6)(3sin-z — sinSz) F- 4 .
PQ, pj|j (4 — 3sin'o))sinwsin2 -t-sin'wsinSz cl iMiites les autres quantités Q% QP-,... seront iiuilcs.
ma SUR L EQUATION SECULAIRE
Et comme
dz^ dz^ dz^
on aura, par la différentiation»
