De plus on aura, à cause de /= 1 (n
Il = i -{- e C0S.S -f- e,
et il faudra que la quantité vue contienne ni aucun terme tout constant, ni aucun terme affecté de cos5; ainsi, après avoir substitué cette valeur dans l'équation précédente, on y fera disparaître tous les termes qui renfermeront cos,y, ainsi (|ue ceux. (|ui ne contiendront aucun sinus ou cosinus; ce ({ui donnera deux équations dont l'une servira à déterminer
cls le rapport -r- qui est supposé constant, et l'autre servira à déterminer la
constante k; mais, comme l'écjuation VU n'est pas exacte, à cause des différents termes qu'on y a négligés comme inutiles dans la recherche de l'équation séculaire, on ne pourra déterminer de cette manière les deux quantités dont il s'agit; ainsi l'on se contentera de rejeter les teiines en question sans faire attention aux conditions nécessaires pour la destruction rigoureuse de ces termes, et l'on pourra prendre, sans erreur sensible, pour A* sa valeur approchée i, et pour -y- sa valeur donnée par les observations.
Supposons donc -7- =0, et soient de idus =.rr,, -^ =({, ensor e
quep — i désigne le rapport du mouvement de l'apogée de la Lune à son mouvement moyen en longitude, or — i le rapport du mouvement de l'apogée du Soleil au mouvement moyen de la Lune, elq—i le rapport du mouvement des points écjuinoxiaux à ce môme mouvement moyen (n° 23); il est facile de voir que l'équation VII deviendra de cette forme
où
et Q, sera composée de différents termes de la forme Acos(<2 -+- a(p); et l'on sait que chacun de ces termes donnera dans la valeur de v le terme
correspondant — ^ cos(a H- «9); de sorte qu'on aura facilement par
ce moyen la valeur complète de v.
28. Pour avoir les termes qui doivent composer la valeur de Ù, il n'y aura qu'à substituer dans les termes de l'équation VII, qui sont affectés de quelques sinus ou cosinus, i + ecos^ à la place de u, parce qu'on peut négliger dans la première approximation la quantité très-petite v; on pourrait même négliger aussi le terme ecos5, qui est fort petit visà-vis de r , la valeur de e étant environ ■^; mais comme on sait que, dans la Théorie de la Lune, il se rencontre des termes qui augmentent beaucoup par l'intégration, il faut voir si de pareils termes ne peuvent pas venir du terme ecos^; or, comme les coefficients /?, z;^, q et n dilTèrent peu de l'unité, il est d'abord clair que les deux termes qui contiennent
sin(?-f--/3) et sinz sous le signe / 5 étant multipliés par cos^, en donneront deux autres qui contiendront sin(^ -i--n — s) et sin(z — ■^)» ^t qui, étant multipliés par dcp et intégrés ensuite, se trouveront augmentés
dans les raisons de i à ■ — et de i à ; ainsi il sera bon de conser-
ver ces termes.
De plus, les termes qui contiennent des sinus ou cosinus de 2(^-+- vj) et de iz, étant multiplies par cos^, en donneront d'autres qui contiendront des sinus ou cosinus de 2 ''ç +- yj) — s et de 2:^ — ^; et ces sortes de termes augmenteront beaucoup dans la valeur de v, puisqu'ils devront être divisés par les quantités très-petites [izs—pY — ri^ et {:iq—pf — n'^\ il faudra donc aussi avoir recours aux termes de cette espèce.
A l'exception des termes dont nous venons de parler, on pourra mettre partout ailleurs 1 \\ la place de m, et l'on trouvera, toutes réductions faites,
ii= Lcos2(H4-r))-(-Mcos(^-(-yî) -i-Ncos3(EH-r}) -f-Pcosaz-hQsinz 4-Rsin33 -t-Scos[2(Ç-H»3) — a]-i-Tcos(Ç4- yj— .v) -1- Vcos(2z — .v)-t-Xsin(z — .y),
OÙ les coefficients L, M,... auront les valeurs suivantes T 9e' , 9£'
8vVi-^ 8v=/.-*
Cî
ik"^ k*g 2I) D
g ^ ^7£'g 9flf__ ^ 9^'^P
T - ''K""t)^ /iv'k*l{rD—p)'
3 Ce Ce Cpe
~~ U^ " k*{'2.q — p) ~ Tk^"*
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^=-'k^-:rf)'
372 SUIl L'ÉQUATION SÉCULAIRE
Et (le là on trouvera
Lcos2(^ -i-yî) Mcos(^ + -/3) N cos3( H -f- y))
Pros?.2 Qsin2 RslnS^ S CGsT^-fH H- "/! ) — .^1 .\q^ — n'^ q- — n^ ()q^ — n- (aro — pY — n^
TcosiçH-y) — S) Vcos(2z — s) Xsin(z — s) {rs — pf — w' {y.q — pY — "' iq — p? — n}
29. II ne s'agit plus maintenant que de substituer à la place de u sa valeur i -+- eeos^ + r, dans la quantité — -i c'est-à-dire fn° 25 i, dans celle-ci [x étant = -
— irT~, sin 2 ( H -^ •/) ) , ,. ^ ' sin ( Ë + ■/)
sin3(E -+-•/)) + Cm sin?. z cosz «^cosSz,
et de tenir compte uniquement des termes qui contiendront des sinus ou cosinus de l'angle | + vj — s ou de ses multiples quelconques (n"23j; nous allons pour cela examiner séparément chacun des termes de la quantité dont il s'agit, et nous supposerons, pour abréger, l'angle ^ + rj — égal à a, ainsi qu'on l'a déjà fait plus haut. Et : i*' Il est clair que le terme
— tfi-7 sin2(^ + -/3)
pourra donner un terme de la forme sin2«, pourvu que la quantité — en contienne un de la forme cosa^; or
— = I — 4(ecos^ + V) H- io(e cosi ->t- vf — . . .;
ainsi l'on aura d'abord dans la valeur de —•> en vertu du terme — A^',
celui-ci
ensuite on trouviira, en xmIu du terme 10.2e cos^.ç', cet autre-ci
loe V
