I)K L \ MI M-:. :5S

34. Apri's avoir ('xainiiir rcllcl de l'adioii de la Terre stii' la f.iiiie, eu égai'd à la ii()ii-s|»lieri(il('; (I(î la Teiie, il convieiKlrail aiissi (l'eiili-er dans im j)aieil examen, rcdalivenienl ;i la lii^iire non s|)liéri(|iie de la Lune; car il esl clair (ju'il doit résulter aussi de celte circonstance de nouvelles forces perturoatrices de l'orhile de la Lune, et il pourrait arriver que ces forces, couihinées avec celles (jui vieuuenl de l'action du Soleil, pussent servir a exprupier l'équation sé('ulair<*. Aussi T Académie demande-t-elk; expresséinenl, dans son Programme, (|n'(!n ail éi;ard ;i la fliijure non sphérique tant de la Terre que de la Lniie. D'ailleur- l'examen dont il s'agit ne peut avoir de difiiculté après ce (]ne nims avons démontré jusqu'ici, puisqu'il doit être aisé (l'appliquera la i.une les formules que nous avons ti'ouvées pour la Terre; mais il ne sera pas même nécessaire d'entreprendre un nouveau calcul sur cet objet, pour décider la question de l'équation séculaii'e, et l'on pourra s'en dispenser par les considérations suivantes.

Il est clair que, pour avoir les forces perturbatrices de l'orbite de la Lune, provenant de la non-sphéricité de cette planète, il n'y aura qu'à prendre les formules des n"' 19 et suivants en sens contraire, en appliquant à la Lune les quantités qui, dans ces formules, se rapportent à la Terre.

Ainsi 0) sera l'inclinaison de l'équateur lunaire sur l'écliptique, laquelle est d'environ 2 degrés; z sera la longitude de la Terre vue de la Lune, et comptée depuis le nœud de son équateui'; de sorte (|ue, comme on sait par les observations que les nœuds de l'équateur lunaii-e coïncident toujours, du moins à très-peu près, avec ceux de l'orbite de la Lune, l'angle :; sera égal à la distance de la Lune au nœud de son orbite, angle que nous avons déjà nommé Ç ci-dessus (n" 33); 'i> sera la distance du premier méridien de la Lune au nœud de son é<juateur; el pnisijue la Lune présente toujours à la Tenc la même l'ace, à la libiation piès, qui est très-petite et périodique, si l'on prend, ce qui est |iermis, pour premier méridien celui qui est dirigé vers le centre de la Terre, lorsque la libration est nulle, et qu'on nomme A l'angle de la libralion. on aura d' = Ç-i-A. Enfin la quantité j exprimera la latitude de la Terie

vue de la Lune, et aura par conséquent la même valeur que dans les formules citées, où elle dénote la latitude de la Lune vue de la Terre; de sorte qu'on aura, en nommant / l'inclinaison de l'orbite lunaire, tangj = lang;( sinÇ, ou, à très-peu près, à cause de y^ très-petit, v = /sinÇ, Quant à la quantité A, qui exprime la lihration de la Lune, elle doit être proportionnelle à l'équation du centre de la Lune ou, plus exactement, à la somme de toutes les équations qui affectent le mouvement moyen de cette planète; il pourrait, à la vérité, s'y joindre encore une équation provenant de la lihration physique, supposé qu'elle ait véritahlement lieu: mais, comme il n'y a encore rien de hien constaté sur ce point, ni par la Thé.orie, ni par les observations, on pourra se dispenser d'y avoir égard; et d'ailleurs, quand on en voudrait tenir compte, on trouverait aisément qu'il n'en pourrait rien résulter pour l'équation séculaire de la Lune, à moins de faire des suppositions trop forcées et trop peu admissibles sur la figure de cette planète.

On voit donc par là que l'expression des forces perturbatrices de la Lune, provenant de la non-sphéricité de sa figure, ne pourra renfermer que les mêmes angles qui composent les arguments des inégalités de la Lune, produites pai' l'action du Soleil, c'est-à-dire, les angles 'E, s, r}, 'Ç (n"' 23 et 33); or il n'y a aucune combinaison de ces angles ni de leurs multiples qui puisse donner un angle constant, ou à très-peu près constant, à moins d'admettre des multiples fort grands, auquel cas le coefficient, qui affecterait le sinus ou le cosinus d'un tel angle, serait d'autant plus petit, et par conséquent insuffisant pour l'explication de l'équation séculaire (sur quoi voii' le VP volume des Opuscules de M. d'Alembert) ; ainsi on peut être assuré d'avance que la nonsphéri(;iié de la Lune ne peut être d'aucune utilité dans la recherche de cette équation.

35. Je n'entreprendrai pas maintenant d'examiner si l'éijuation séculaire de la Lune peut être l'effet de l'aclion des autres planètes : cette discussion nous mènerait trop loin et demanderait même un Ouvrage particulier, auquel le défaut de temps et mes occupations actuelles

DE LA LUNE. :î85

m'eiiipêrhent do inc livror; iii;iis il ne partit |);is impossible i\v pouvoir décider la (jiicstioii à priori, par des considérations analofçues à celles du numéro prcccdcnl. l-ji ('(Ici, il csl Facile de voir (jue les ex|)i'essioiis des forces j)crturl)a(iices de la Lune, produites par l'acliou d'une [)laiii'le queiconcjue, ne peuvenl dépendre (jue des angles s, n, 'Ç r(dalirs ii la Lune, et des angles analogues/, yj', Ç' relatifs à la planète {s' étant l'anomalie de la planète, -/j' son élongation à la Terre, et Ç' sa distance au nœud); de sorte que ces expressions ne renfermeront (jue des sinus ou cosinus d'angles formés par la combinaison de ceux-ci et de leurs multiples; et l'on prouvera aisément que la (juantité — ne pourra être formée

que de pareils sinus ou cosinus; et si l'on veut avoir égard en même temps à l'action du Soleil, il se joindra encore à ces six angles celui de l'anomalie du Soleil, qu'on a nommé ci-dessus ^. Tout se réduira donc à examiner si l'on peut trouver une combinaison des sept angles 5, n, 'Ç, s', '(]' , Ç', 5 et de leurs multiples, laquelle donne un angle tout à fait, ou du moins à très-peu près, constant; or, d'après les valeurs connues des rapports de ces angles, on pourra s'assurer aisément qu'il n'est guère possible de former de telles combinaisons, sans employer des multiples assez grands; d'où l'on peut conclure que les termes qui pourront produire une équation séculaire ne se présenteront qu'après plusieurs corrections de l'orbite, et seront par conséquent d'un ordre beaucoup trop petit pour pouvoir donner une équation sensible et conforme aux observations.

36. Puis donc que ré(jualiou séculaire de la Lune, telle que les Tables de Mayer la donnent, ne peut être l'effet de la non-spbéricité de la Terre, ni de celle de la Lune, ni de l'action dc^ autres planètes sur la Lune, et par conséquent ne saurait être expliquée par le secours de la gravitation seule, il faut que, si cette équation est réelle, elle provienne de quelque autre cause, comme de la résistance que la Lune éprouverait de la part de quelque fluide très-rare, dans lequel elle serait mue; mais comme, d'un autre côté, l'bypotbèse d'un fluide très-subtil, dont la résistance altérerait sensiblement le mouvement des Corps célestes, n'est pas encore Vl. 4y

bien confirmée par les observations des autres planètes, que même elle paraît être contredite par celles de Saturne, dont le mouvement va en se ralentissant au lieu de s'accélérer, comme cela devrait être en vertu de la résistance de l'étber, il me semble qu'on ne doit pas admettre cette hypotlièse uniquement dans la vue d'expliquer par son moyen l'équation séculaire dont il s'afifit.

Je dis : si cette équation est réelle; car il me parait (jue les preuves (jue l'on en a jusqu'à présent ne sont pas bien décisives, puisqu'elles sont fondées uniquement sur quelques observations faites dans des siècles fort éloignés, et sur l'exactitude desquelles on ne saurait guère compter.

37. M. Dunthorn, le premier après M. Halley qui ait adopté l'bypothèse de l'accélération de la Lune, et le seul, ce me semble, qui soit entré là-dessus dans quelques détails, ne s'en est pas tenu à la simple comparaison des observations des années 720 avant J.-C. et 977, 978 après J.-C. avec les modernes, pour prouver la nécessité de cette accélération; il a aussi discuté, dans le même objet, quelques autres observations faites dans les siècles intermédiaires [voir le volume XLVI des Transactions philosophiques)', mais, quoique ces observations paraissent confirmer en gros l'accélération du mouvement moyen de la Lune, elles ne s'accordent cependant pas entre elles, à beaucoup près, ni sur la (juantité de l'accélération séculaire, ni même sur la loi de cette accélération; c'est ce que je vais faire voir en empruntant les résultats des calculs de ce savant Astronome.

Les observations qu'il a examinées sont, en les rangeant par ordre cbronologique :

i*^ Une éclipse de Lune observée à Babylone le 9 mars 720 avant J.-(]. et rapportée par Ptolémée dans le IV Livre de son Almageste, (Chapitre VL On ne sait d'autres circonstances de cette éclipse, sinon qu'elle a commencé plus d'une heure après le lever de la Lune, et qu'elle a été totale. M. Dunthorn, ayant fait à cette observation les réductions convenables, a trouvé que le commencement a dii être à 6^4^'"? ensuite, l'ayant calculée par ses propres Tables, qui n'ont jamais été publiées,

que je saclie, il ;i lioiiv»' (|ii(' le ((niiiiiciicciiiciil ;uir:iil dû ôlrc ii H'' 32'"; ce qui donne une anliciiKilion de i ''/|(>"' •'<' r()l)s<'rv;irK»n sur les Tables, et par conséquent une ciiciir de .Vj miiiiilcs sur l;i loni^iludc calculée.

2" Uni! éclipse de Lune observée à liabylone le ai décembre 382 avant ].-(]. (il faut i'emai'(juer que ÎNI. Duutliorn rapporte l'aussement cette éclipse à l'année 3[2j. La coinmencenient en a été ol)servé, au rapport de Plob';mée, une denii-beure avant la tin de la nuit; d'où M. Duntborn dit <jue ce coiniucnccnicnt a été ;i 6''/|2"' du matin, tandis que les Tables ne le lui donnent qu'à 8''i5'"; ce (]ni l'ait une anticipation de i''33'", et par conséijucnl une erreur de 47' i5" sur la longitude calculée.

3" Une éclipse de Lune observée à Alexandrie le 22 septembre 200 avant J.-{'., et rapportée par Ptolémée d'après Ilipparcjue. Cette éclipse a dû commencer une demi-beure avant le lever de la Lune, ce qui revient, suivant M. Duntborn, à 5^32'", tandis que les Tables ne lui donnent que G^ [ 2'"; ce (jui l'ait une anticipation de J\o minutes, et par conséquent une erreur de •io'so" sur la longitude calculée.

4" Une éclipse de Soleil observée parTbéon, à Alexandrie, le 16 juin 364 après J.-C, et rapportée dans son ('ommentaire sur VAlmageste. Le commencement en a été à 3^i8"'; d'où JM. Duntborn conclut la distance de la Lune au Soleil de 39'4i", tandis que les Tables ne la lui donnent que de 35'25"; ce qui fait une diiïérence de 4' 16", qui est l'erreur des Tables au temps de l'observation.

5° Une éclipse de Soleil observée au Caire le i3 décembre 977, et dont le commencement est arrivé Iors(|ue le Soleil était baut de i5''4^'> et la tin lorsque la bauleur du Soleil était de 33^ degrés. .M. Duntborn conclut de là (juc le commen(;ement de cette éclipse a dû être à 8^21'", et la lin à i()''4 >'" <lu matin; cl il trouve (juc l'erreur de ses Tables sur la longitude de Va Lune est de 7' 36", dont la Lune s'est trouvée plus avancée.

<6° Une éclipse de Soleil observée dans le même endroit le 8 juin 978, et <|ui a commencé lorsque le Soleil était haut de 56 degrés, et tini lorsqu'il était haut de -26 degrés. M. Duntborn trouve que le commen-

:îs8 sur L'équation séculaire

cément de cette éclipse a dû être à a''3i™, et la fin à /j'^So'"; d'où il conclut l'erreur de ses Tables sur la longitude de 8'45" dont la Lune était plus avancée.

Ces deux observations se trouvent dans VHistoire céleste de Tyclio et sont tirées d'un manuscrit arabe, qui renferme les observations de Ibn Jouis et qui se trouve dans la Bibliothè(iue de Leyde; ce sont celles dont nous avons parlé au commencement de ces Recherches.

Enfin une- éclipse de Soleil observée à Nuremberg par Walter, le 29 juillet 147H» laquelle donne une erreur de 10 minutes sur la longitude calculée; mais, comme il en résulte aussi une erreur en latitude de 9' 12", M. Dunthorn croit cette observation trop inexacte pour qu'on puisse s'y fixer.

Rassemblant maintenant ces résultats, on aura les éléments suivants ;