i^z oc = K 02 -)- L —y
les quantités A', B', C',... étant des fonctions rationnelles de A, B, C,... ..(de^,^,---.
28. Quoique la détermination de ces quantités A', B',... ne soit pas difficile, elle pourrait néanmoins entraîner dans des calculs très-longs, si on l'entreprenait par la méthode ordinaire; voici un moyen de la simplitier beaucoup.
Ce moven consiste a chercher d'abord les valeurs des constantes a, b,
^ . , dx dy dz y . • ^ o ^^
c, /, g, i, enx,y, z, i, et en -r-» -j--'> -jj-i a quoi on parviendra tacilement
par le moyen des formules du n'' 14; ensuite à diiïérentier ces valeurs relativement à la caractéristique â, c'est-à-dire, en faisant varier seule-
///y* (l'y* fi Z
ment les constantes dont il s'agit et les indéterminées oc, y, z, -j--, -~, -j-,
et marquant les variations par â; et comme les di(Térentiations relatives aux deux caractéristiques différentes d ei ^ sont totalement indépendantes entre elles, on voit aisément (|ue (îJsera la même chose que d^, de sorte qu'on aura ainsi directeuK'nt les valeurs de ^a, âh, r^c,... en r^œ, d ox ^
-dF'^y
Nous allons donner ici les résultais de ce calcul, parce (ju'ils nous seront utiles dans la suite.
29. On voit d'abord (n'' 14) que l'équation (Bj donnera la valeur de a, et que l'équation (D) donnera celle de h-, ensuite l'équation finie (E), combinée avec sa différentielle, donnera les valeurs de/et g; et de même l'équation (A), combinée avec sa différentielle, donnera celhî de h ete;
•'iifin ['(''(juation (Fj donnera la valcnr de i\ on aura donc d'abord
I I dx"* ->r (If^ -\- dz^ r' idr^Y
a r o.{i-i-m dp a S(i + m)dr'
ensuite on trouvera
y. (2 A — r)dy-\-rdr ^ {^y.h — r)dx -h x dr X dy—ydx ' *^ ~ ydx — x dy '
, ^ z dr — r dz z dx — x dz
xdy — ydx ydx — xdy'
or, si dans la valeur de // on substitue celle de -> et (ju'on y nielle
•?.{œdx ->r ydy ->r zdz) à la place de dr- , on a
. r' ( dx- -\- dy + dz^) — [xdx-i- y dy -t- z dzY ~ a(n- m)</<» '
ce (jui, à cause de r^ =x'^ 4-7- -h 5^ peut se réduire à cette forme
h — [^ dy — T dx)'^ -^ ( ^ dy — y dzf -h {xdz — z dx )' ~ 2(1-4- m ) di' '
mais on vient de trouver
z dy — ydz — b(xdy — ydx „ x dz -- z dx = c{x dy — y dx) ;
donc, faisant ces substitutions, extrayant la racine carrée et supposant, pour al)réger,
on aura
^ xdy — ydx
dt V 2 1-4- m )
el l('s autres formules deviendront, étant multipliées par K,
„ [ili — r)dy -f- )• dr ,^ 2/1 — r, dx -+- x dr
dtsjiii -\- m) fi?/ y/2 (iH- m
z dy — y dz __ z dx — x dz
dt\/9Ai-\- m, r// y 2 ( I -4- m )
Entin on aura fformule ¥),
liw -I-
/ = — ?. M / -, 1- arf^ sin
sja — ^li ^Ja
30. lui différentiant ces équations par rapport à la caractéristique ^, et changeant partout §6? en d^, on trouvera les formules suivantes
, or dx dox -'r d)d è) -+- dz de: da =a'' — - H
ÔK =
</r èx — dt ày -\- X d èy — y d àx
dt sj i\\ -\- m)
df{ 2 àh — èr) ■+- dr ày + {ih— r)d oy + J d or /oK ~ Kf//v?(i -+- "t) ^
dx{i èh — or) + dr ox -\- [-2 II — r) d àx -\- x dèr g ÔK Oê= ■ ^
àb =
oc
}Ldt\j iy + m) dy èz — dzèy -^- z d oy — y d dz h ôK
dx àz — dzàx-\-zdèx^xd dz c èK
Kdtsj7.[i-h m) ^
§h =2(1 + 6=^ + c') KôK + iK'{bdb + cèc),
dans lesquelles il faudra substituer pour $r sa valeur
X §x -h T §r -h z èz
et pour d(^r
xdox -{- rdo}^-+- z doz jJc 1 y -^ ,2 ^
\- d- dx + d ^ dr-\- d- oz.
Quant à la valeur de ^i, pour la trouver plus aisément, on supposei'a
r h 2 i/f — t'- — n ., - = v, -=in, -^ — = V,
DES PEKÏUH BATIONS DES COMÈTES. V:u»
ce qui l'fMluira la valeur de /à rcHc Ioiiiil'
1 = — 7.t 1/ h arr siii V — V y-i — 4«;
(le sorte (ju'on aura, en (liHereiiliaiil suivaiil o el laisaiil loul varier, excepLé /,
di=: it 1/ 1 — — J i — ^n o\ — \ o\ii — in\
V a' a ji V2 V T Y -T
donc, sul)stituanl celle valeur, ainsi que celles de V et de oV, el réduisant, il viendra
