on
IV ôe -\ -j— {v — 2/1)
.. , ^ 1 1\\-\- m) on I — 4« â/ = • / \ ■ \ -
r h OÙ il n'y aura plus (lu'à remettre pour (^ et n leurs valeurs -, -, et par ' ' ' a a '
N ^ ^ ■ ^. , aor — rôa aoh — hoa conséquent pour 0^ et o/? les (luantites 5 ;
Après avoir trouvé cette expression de ^i, j'ai remarqué qu'elle avait l'inconvénient de contenir au dénominateur le radical \v — v- — n, savoir
le(juel, comme on l'a vu dans le n" 17, devient nul dans les deux apsides de l'orbite; de sorte que, comme ^i ne saurait devenir infini, il faut nécessairement que le numérateur soit alors pareillement nul; d'où il s'ensuit (jue la formule sera en défaut dans ces deux points.
Pour éviter cet inconvénient, il faut tâcher de donner une autre forme à la valeur de m, et qui soit telle, (|u'il n'y ail aucune fonction des variables au dénominateur; voici comment je suis paivenu à ce but.
Je considère (jiic la quantité
ÔV
est la même chose que celle-ci
y I — V^ôV — V Ôy I — V% et qu'ainsi on peut réduire la première expression de ^i a celle-ci
/ 2 i + m) èa f ; ^T-^ 7—^ -VI- ir'v/ , v^ . , 7~ ]
r = 3/ 1/ \- {Ji—Y-—ifï — /in)ô\ —\oi^n—\'-^^'i— ^n);
mais
zi/r—- h
-. ay/i- — c^ — n V a
et, par le n" 16 et à cause de A = na.
rt y 1 — 4 ^ V ^ ( ' + ^^ "*" ^^ ) V ' — 4 ^
par conséquent (n'^ 14)
y/l ~ V^— y/l — 4Ai
^'i — ^n ayi — /\n a\^/i — ^n
donc, faisant ces substitutions dans l'équation précédente, et effaçant les termes qui viendront de la différentiation de la quantité
laquelle divise/? et q, parce que ces termes se détruisent mutuellement, on aura
+ ,, ^ , \pd î =â=={èp-2aèn)]
a'{i—/\n)l' ^n{i-hb-'-\-c') ^/n{i -h b' -+- c') J
Oc les formules (G) (In ii" 15 (loiinent
donc, siihstiluaiU ces valeurs, on aura pour 0/ une expression loute rationnelle et enlii'i'c, el (|ui ne scia par c(uisc(jiicnt sujcllc ;i aucun iuc()nvénicnt.
On reuianjucra encore, à l'ci^nrd de o/", ?ig, nh, oc, (iii'oii peut aussi les expi'inu'i' d'une uianii-re [)lus simple et [)lus commode a (jnelcj-ues égards, eu les déduisant directement des é(|ualions (A) et (E), diiïérenliées d'abord rcialiveuH'ut à la caractéiislique fî, et ensuite j)ar rapjjoil à la caractéristique ordiiuiire d; ce qui, dans le fond, revient au même que si on les difFéi-entie d'ahord par rapport à cette dernière caractéristique, et ensuite par rapport h la première, ainsi (|ue nous en avons usé plus haut.
De cette manière, l'équation (Ej donnera ces deux-ci
oèh— or = X §f-h r êg -h f§x -h g ôy, — (ldr = dxdf-hdrog-\-fddx -hgddy; d'où l'on liie, en mettant pour oody — vdx sa valeur Kdt \j2{i -\- m) ,
„,. dr{i6/i — dr) -+- ydàr —fidy^àx — ydàx) — gid^èy — ydèy)
K dt v/2 ( 1 + m )
. dx 9.0/1 — dr)->r X (làr — f[dxox — xdox) — g[dxdf — xdôy)
Kdt^2.[i-\- m)
De même l'équation l'A; donnera ces deux-ci
dz = xdb -h roc -h b ox -h c ô, , ddz -:^ dx db -+- djèc -+- bd ox ■+- cd ôyi
d'où l'on lire
èb =
drôz — ydôz — b{dyàx — ydèx) — c{dyèy' — Jf/âj)
Kdl v'-ï-fi -4- m)
dxdz — xi/dz—b{dxdx — xdàx) — c{dxày' — xdôy)^
Kdt y/ad-h/n) VI. 56
ce sont les formules que nous emploierons dans la suite, [)ar prérércncc aux autres trouvées ci-dessus.
VaiWu ou observera que, comme /i = -, on aura, i)ar la l'orniule Hj du n" 10,
de sorte que, en différentiant suivant â, on aura la valeur de on exprimée à volonlé par oh et ^«, ou par ^/, (ig, oh, f)c.
31. Les formules précédentes ont toute la généralité possible; mais, pour les appliquer à notre cas, il y faut supposer (n" 25)
ce qui donne [équation (G)J
par conséquent
X [x dy — y dx \y- .y x dy — y dx)x
donc
xèx-^r^r ,-. X dèx -\-ydày i x èy — yèx){x dy — y dx\
de plus on aura
donc, faisant ces différentes réductions dans les formules ci-dessus, elles deviendront
^ , , dy hx — dx hy -t- x dèy — >• dèx
Ùll =^ ?, // -: '■ ?
dtsJihii-[- m )
X ox ■+- y^y dx dôx -f- dy doy
oa — a' l — i — Htt^
/•' (I + m) dp
dj:s pKirruiujATioNS des cometks.
X \ dy ox — ydhx (Il y'2 /i ( I + m ) o.dyoli
àf-=^^^àr-rox)- {.[+";)
y dyoy — rddy
'' dt)Jili{i + m) dt ^2/1(1 -h m)
5, ^ . ^ ^ f „ x\ dx dx — xdôx
ôg=.---\xox-yox-i- /-+-
oh
ôc=^
'' 1 dt yj.}.h[\->r m.
y dx (5)' — X doy ?. dx oli
'' dt\l'>.li[i-\- m) dt'^ili{i->r ni)
dy oz — }-ddz
dt sj 'ili{i -\- m]
— dx oz + X d oz
dt \j 1 li{i -Jt- m) /o.{i -[- ni) oa "^.(pàq — ç op) q[p—^an)Qn
iiiiiis, à cause de /> = o, c=:o, ^ = 0, on aura
/; =z y j; , ^ =: f) ; oj) =: y àx + ^ r]/' + ) • ô o-, ^q - f ô y ■ 4 j • ,5y ^- ^ „•
de plu;
f) oij — q dp =,/"' ; X èy — y dx) — [x'' -h y^ \fàg ,
donc la dernière l'orniule deviendra
Ùl
^ r'oîj
. ■?. [xoy^ — 7' ûx ^
m) on , \. ■ f
la' h
yifx — ^h of 2 Jal}^
VA I on reniar(|uera (iiie, a cause ne n— - el de on — — -^^^ < on aura encore cette équation entre qci, 0// et ùj\ savoir
<t o/i — // oa H := O,
liiquelle pourra Icnii' lieu d'uuc (|U('k'ou(jue des trois premières formules.
Telles sont doue les valeurs des quantités 5A, ^a, ^f, ^g, ^h. ^c, f^i
^ ^ . doû: dèv dèz , . • r .1 f
eu 0^, oy, âz, —j—-, —r—-, —~\ par eousequeut, si 1 ou met dans ees tor-
inules les valeurs de x, v, dx, dy et dt eu u et du, savoir
et (n^'âl)
^ = -{cos« — / ), r'=-vi — f-cosu,
(/t z=: i/ rdu=z- v/ f I — fcosii) du,
il eause de e=/, elles doivent devenir ideulicjues avec celles du n" 27; de sorte qu'on pourra ti'ouver, par la compaiaison des coefficients de ox, fîy, oz, d^x, . . . dans les expressions de (^a, (^f. . . . , les valeurs des (juantités A', B', C',... des formules de ce numéro; lesquelles valeurs seront nécessairemenl les mêmes que si on les avait déduites des formules du n" 26, au moyeu de l'élimination.
32. Revenons mainlenaiit aux expressions de t^.r, rîj, rîr-, trouvées dans le numéro que nous venons de citer; comme ces expressions satisfont aux équations différentielles du n"^ 23, les quantités ^«, (ÎZ>, ^c, ^f, ^g, ^i demeurant constantes et indéterminées, il s'ensuit que, par la substitution de ces valeurs de ^x, ây, ^z dans les mêmes équations, tous les termes doivent se détruire d'eux-mêmes, indépendamment des (juantités ^a, âb,...; donc, en général, les termes qui renfermeront les quantités finies ^a, ^6,... se détruiront toujours dans les équations dont il s'agit, soit que ces quantités soient constantes ou non.
Donc, si l'on suppose, ce qui est permis, que les mêmes expressions de ^x, ^y, (iz satisfassent aux é(jualions du u*^' 22 (lesquelles ne diffèrent, comme l'on voit, de celles du n*^ 23 (jue par les termes — p.X, — [j-Y, — fxZ ajoutés à leurs seconds membres), mais en y regardant les six quantités (^a, (^h, ^c, ^/, âg, ^i comme des variables indéterminées, et (ju'on en fasse la substitution, il est visible (jue les termes qui
DES l'KUrUnMVTIONS DKS COMKTES. V45
renfermeront ces variables finies s'iii iionl aussi, cl (|uc les ('(jiialions rcsullanlcs seront ( n" 26)
Kd'oa-hUd'èf-hCU'dfr 4- \)d'ài dAdoa-hiiUddf-h dCdog-h dDddi ^
dp dp
V:d'oa-^Yd'èf+{^d^Qir-{-\\d'èi d\idda-hd¥dâf-h dGdàg-hdliddi ^
dr dp
K d'ob + L d' oc -+- ?. {d K dob -i-dL doc) dp
33. (]()innu' il v a ici six variables indéternûnécs, cl (]u'il n'y a (jiic trois équations pour la dcterniination de ces variables, il est claii* (ju'oii peul supposer à v<donlc trois aulres équations entre ces mêmes variables, et il sera à propos de prendre ces écjuations en sorte que les diflérences secondes des variables âa, ^h,... disparaissent d'elles-mêmes: c'est de (|Uoi on viendra à bout en supposant
A dèa -+- B dèf-h C dèff + D ddi
dt Edàa-hFdèf-hGdèg-hHdèi
dt ~ '
Kddh -\- L doc
car, en retrancbant respectivement des écjuations précédentes les dillereiices de celles-ci, on aura
dA dèa -h dli dèf-h dC dèg + d\) ddi __
dp ~ '^' '
dE^dda -h d V d of-^ ,/(Ul og -hdUddi y
dP
dKdèb + dLdôc
= — uZ.
dP Avant ainsi six équations entre les six (juantités '
do/i dof dog ddi dob doc ~dr' Hf Ift ' ~dT' ~dT^ "df
on (létorminern, par réliniination, la valeur de. chacune de ces quanlités; ensuite il n'y aura plus qu'à niulliplier ces diirérentes valeurs par dt, et les intégrer; on aura de celle manière les valeurs des variables S'a, ùh, f}c, âf, àg, ^«qu'il faudra substituer dans les expressions de ^x, oy, r)z; et les équations du n° 22, qui expriment les perturbations de la coniète, seront résolues.
'M. Il est important de remar(juer que, si l'on difTérentie les expressions de ^x, QY, d'z, on aura, en vertu des équations supposées ci-dessus,
dox = d\ ôa-¥- d\iof-\- dC ôi,>- -h dD ôi, doy := f/E oa -\- d¥ of + dG og + dU di, ddz = dKob -+- dL oc,
précisément comme si les quantités oa, r}f, r)g, S'i, âb, oc étaient constantes, parce que les termes dépendant des variations de ces quantités sont précisément ceux qui forment les équations supposées. D'où il est facile de conclure que, si les équations ditrérentielles du n° 22 contenaient aussi les différences premières de ^x, rîy, â'z, elles s'intégreraient également par la méthode du numéro précédent, et l'on parviendrait aux mènii's résultats.
Il y a plus, et c'est ici le point essentiel, dans l'orbite non altérée on a pour coordonnées x, y, z, fonctions du temps t et des six constantes arbitraires a, f, g, i, h, c, lesquelles déterminent les six éléments de l'orbite, savoir, le grand axe, l'excentricité, la position du périhélie, l'époque du passage par le périhélie, le lieu du nœud et l'inclinaison ( n"^ 17, 19, 20j. Dans l'orbite troublée, les coordonnées sont x -h ^x, y -h oy, z -h 03, les (juantités àx, ^y, rîs n'étant autre chose que les variations de X, y, z provenant <les variations âa, âf, ^g, <^«, ob, (fc des six constantes a, /, g, i, b, c, comme on l'a vu ci-dessus. Ainsi, dans l'orbite troub'éc, les coordonnées sont exprimées de la même manière (jue dans l'orbite non troublée, c'est-à-dire, qu'elles sont les mêmes fonctions de / et de a -+- o«, /+ of, g -h og, i + ai, b + (jb, c -+- âc.
DES PEHTUinmiONS DES COMÈTES. \hl
qu'elles h* siml de /, (i, /, ^, /, h, c dans l'(»i'l)itt' non troublée. P;ir toiisé(|UL'iit on peiil ;» cIiikiih; iiislanl rui-arder rorbile troublée coniiiie étant (le l.n inèinc l'ornic (|ue l'orhile non Irouhlée, mais dont les éléments dépendent des (juantilés a -k- 'Ja, f -\- of, g -h âg, i -h oi, h -\- nh, c -h r)c, i('s(ju(dles étant variables, il s'ensuit que les élénjents de l'orbite troublée seront variables aussi, et (|ue les^quantilés o«, o/, ùg, ai, ^b, &c serviront à délerniiner leurs variations. Or, eoniine nous venons de voir que les valeurs de ces quantités sont telles, (|ue les dillérences p rem ères de î^jc, oy, nz sont les mêmes (|ue si ces (juantités étaient constantes, il est aisé d'eu eonelure (jue les éléments de l'orbite troublée, (juoique essentielleujent variables, peuvent néanmoins être regardés et traités comme constants pendant un instant, et (ju'ainsi non-seulement le lieu de la comète dans l'orbite troublée, mais encore son mouvement instantané, c'est-à-dire, sa vitesse et sa direction, seront dans ebaque instant les mêmes que l'on trouverait en les déterminant a l'ordinaire dans une orbite tixe dont les éléments seraient ceux qui répondent à ce même instant.
3.'). La diiriciillé est donc réduite à déterminer les valeurs des quaiitile.s oci, o/. og, <h\ (^h, lic au moyen des six équations du n*^ 33.
Or, en examinant ces équations et en les comparant avec les formules
• I I 1 1 ^ ^ -N II }• 11" <i o.r d C)'
qui donnent l(!s valeurs de o.r, oy, oz et de leurs dillérences—- — -— '
^ -^ (Il (Il
-7-^ fn"'* 26, 27), il est aisé de voir qu'elles sont semblables, et (|u'( Iles
peuvent se déduiie de ces mêmes formules en y cbangeant seulenienl les
. ^ ^ .^^ ^ I i-ff dàa dof do£r
quantités oa, <)/, ng, ... en leurs dillérences -j--, -.y j —r—- ■ ■ ■ •> et en \
supposant en même (em|!s
dox (/oy doz
fiX = O, àr = O, 03 = O, ;-- = — 'J. A, —j-~ = — U.\ , —r— = — u/.
al at (it
Donc, en faisant ces mêmes snp|)ositions dans les expressions de oa, o/,
.V .V dnr ^ III 1(1' doa
0 o-, . . . en o^r, -• ov on aura les valeurs des dillérences —r •
» (Il ■ (It
^",...; ainsi l'on aura (n°23j dt
"^"'^ — - a(C"X + D"Y), i^ = - p.(G"XH-H"Y),
(It '■' lit
(lob ,,^, dèi
dôb . , d àc ,,
36. En général, il est visible que les équations du n** 33 ne sont autre chose que les différentielles de celles qui donnent les valeurs de qx,
—j—1 ^j,... en (^a, ^f, o^, ...» en y faisant varier seulement ces dernières
quantités, ainsi que les différences premières —jr'> —fr-' ~~jj--> et met-
, , , 1 i-iv 1 tP^x d-oy d'dz , .^,
tant a la place des dinerences secondes -ttt' "777"' ~j7r '^^ quantités
— aX, — /aY, — p-Z; de sorte qu'en faisant les mêmes opérations sur
les équations qui donnent directement les valeurs de oa, «î/, . . . en àx,
ddx ^ 1111 I 1 ' j ^^« (l^f
-1—5 dy,..., on aura sur-le-champ les valeurs cherchées de-y— » -j^-,
*" V- C'est ce qu'on peut aussi démontrer à priori par le raisonnement
dt
suivant.
Soit, en général,
une quelconque des équations dont il s'agit, A étant une des six constantes arbitraires ^a, ^/, ^g, ai, fî/^ âc, et 0 la l'onction de t et de àx,
^ . dèx- dày ddz ... . , , ., . , . ,, , ..
ny, âz, —T—-, —j—1 -j- qui lui est égale, il est clair que cette équation
considérée en elle-même n'est autre chose qu'une intégrale première, ou du premier ordre, des équations du n° 23, dans laquelle A est la constante arbitraire introduite par l'intégration; donc, en différentiant, on aura cette équation du second ordre
DES PEKTURBATIONS DKS COMÈTES. Uî>
laquelle, ne contenant plus de constantes arbitraires, devra être identique, c'esl-'i-dire, iivoir lieu eu inèuic teuijis (|ue les é(ju;il!ous dn uuméro cité; de sorte (|ue la dillereiilielle (hV devra èlre telle que, si l'on
y substilu." à la place des dillércnces secondes ^, ^, ^;^^ leurs
dp dp df
valeurs données par ces uièmes équations, tous ses termes se détruisent fi eux-mêmes; c'est aussi de (juoi on pourra se convaincre à posteriori par le calcul.
Or, comme les équations du n*' 22 ne diiïèrent de celles du n" 23 que parce (jue les valeurs fie ^^j ^. -'^ ont les termes — ,'j.X, — aV, — ixZ de plus, il s'ensuit (jue si, au lieu de substituer dans l'expression de rfO les valeurs de -^^, ~^, -^, déduites des équations du n° 23,
on y substituait les valeurs de ces mêmes quantités, déduites des équations du n° 22, on aurait nécessairement le même résultat que si l'on y
substituait simplement — u.X, — /xY, — aZ à la j.lace de ^^, ^',
-^, et qu on y ellacat en même temps tous les autres termes. Soit r/A
ce que devient alors la valeur de d<[^ (A étant ici regardée comme variable); on aura donc, pour les équations du n° 22,
d^ = </A, et de là ^l) ~ ^,
comme pour celles du n" 23, mais avec cette difrérence, (jue A ne sera plus ici constante, mais une fonction donnée de t; et cette équation 4> = A sera par conséquent aussi une intégrale première des équations du n*' 22.
D'où il est aisé de conclure, en général, «pie, pour trouver les intégrales de ces dernières équations, qui sont proprement celles qui déterminent les perturbations de la comète, il n'y aura qu'à dilTérentier chacune des lormules A = <!> trouvées plus haut (n"* 30, 31), en n'y faisant
varier (lue la constante A et les différences premières — r-? —%■> ^-r^» ' ^ dt di dt
d'^ùx d^oy d^dz et y substituer ensuite a la place de -yrr' ~T/T"' ~nr les quantités — a\,
