VI

— aY, — /xZ; on aura par ce moyen la valeur de û?A, dont l'intégrale

sera celle de A.

Ayant déterminé ainsi les valeurs des dilTérentes quantités A qui

étaient auparavant constantes, et (jui sont devenues maintenant des

fonctions de /, on aura des intégrales premières de la même forme

(ju'auparavant ; par conséquent les intégrales secondes ou finies qui

résulteront de celles-là par l'élimination des différences premières

(IS.v ddr dSz ^ , , . „ 1» < -1 » w

—rr-i —j—') —j— seront encore de la même lorme; d ou il s ensuit que

tant ces difTérences que les variables finies ^x, $j, ^z seront aussi de la même forme, c'est-à-dire, les mêmes fonctions de t et des diflerentes quantités A que dans le cas où ces quantités seraient constantes.

Et il est facile de se convaincre qu'il n'est pas nécessaire, pour l'exactitude de cette méthode, que les différentes constantes A soient dégagées tout à t'ait (les variables dans les intégrales premières des équations du 11° 23, ainsi que nous l'avons supposé : il suffit de les imaginer dégagées, ce qui est toujouîs possible, et de les traiter comme toutes variables à la fois dans la différentiation des mêmes équations intégrales; on éliminera ensuite successivement les différentielles de ces différentes quantités A, pour avoir la valeur de chacune de ces différentielles.

Voilà, comme l'on voit, un moyen aussi simple que direct pour déduire les intégrales des équations du n*' 22 de celles des équations plus simples du n° 23, et, en général, pour intégrer toutes sortes d'équations linéaires, en supposant qu'on sache déjà intégrer ces mêmes équations dans le cas où elles ne contiendraient aucun terme tout connu.

37. Qu'on différentie donc, d'après la méthode précédente, les formules du n" 31, en y faisant varier seulement les quantités ^h, âa, ^/,

ffg, 01, nh, oc, ainsi que les trois dillerences premières -j—, —j^^ —j—,

et qu'on y mette ensuite, à la place des différences secondes ^--^ ——•>

T^t les quantités — p.X, — aY, — p.Z, c'est-à-dire, —iJ.Xdt, —u.Mdi,

DES PEFIÏUKHATIONS DES COMÈTES. kiii

/or • </d)- j (loz (It dl dt

..1 j, u \^ I 1 jdor j doy ,ddz . , .

~[j.Lat a la place de « 77-' " TT' ^^ /"*' *^" ''^^'''' '*'^ ('quations sui

vantes

dè/i = -,x^!^{xY-r\)di, dda = ^- (û{\dx 4- \dr].

m) ?.r/^ de II

\l'o.li[i + m)\ y '' J r ] dt^h.hi

s/ih'i-hm)lV rj /• J dt^o.liix^m]

dèb= ^--^ Zdt, #

dèc = ~-=^^=Zdi,

doi =3/1 /^^^-tJ^ ^11^ ?!^^% . riJ^^zAIllAÈf-

et l'équation entre âa, âh, âf, étant (lifï'érentiée aussi, donnera

a dàh — h dàa H î-L^ = o,

qui servira à déterminer, si l'on veut, do/, en connaissant dâh et f/cî'a. Or je remarque qu'on a cette combinaison

,^/. , ,^ xdr — rdx

X doj -\- ydog = 2 — doli = 2 JôA ;

dt \j'i.li{i -\- m)

de sorte qu'on aura

,» 7.dèh — xdàf d ûs =^ ;

ainsi, comme

,^„ o.ihdha — adSfi)

on aura

dès; = —^ \ (af-\- x) ddh — xli »

valeurs que l'on pourra employer à la place des précédentes.

io2 RECHERCHES SUR LA THEORIE

Telles sont les formules par riiitégration desquelles il faudra déterminer les valeurs des quantités ^h, âa, âb, ^c, âf, âg, ai; et il est visible que ces intégrations ne demandent que de simples quadratures, puisque les quantités x, y et X, Y, Z sont censées données en t d'après les mouvements supposés connus de la comète dans l'orbite non altérée, et de la planète perturbatrice dans son orbite.

38. Connaissant ces différentes quantités, on aura les éléments de l'orbite troublée, au moyen desquels on pourra calculer, par les métbodes ordinaires, tant le lieu que la vitesse et la direction de la comète dans un instant quelconque, ainsi que nous l'avons démontré plus haut (n'' 34).

Pour cet effet, on se ressouviendra que a est le grand axe de l'orbite

non altérée, /\h le paramètre du grand axe, et e = w i — — l'excentricité (n° 17).

Ainsi a -h ^a sera le grand axe de l'orbite troublée, l[h -h 4o^ le pa-

, , , ., , . , j. hàa — noli » • •. '

rametre de cette orbite, et e + cfe = e -h 2 son excentricité.

ea-

Ensuite, en différentiant suivant 0 les valeurs de 6 et de c de ce même

11'' 17, et faisant, suivant l'hypothèse du n° 25, ^]> = o, on aura

ô6 = — sino)ô^];, oc = cosc:) ôJ; ;

ainsi 0^ sera l'inclinaison du plan de l'orbite troublée sur le plan de l'orbite non troublée, et co sera l'angle que la ligne des nœuds de ces deux plans fait avec l'axe des x, lequel est en même temps le grand axe de l'orbite non altérée (n° 25); de sorte que o) sera proprement la longitude du nœud ascendant de l'orbite troublée, comptée sur le plan de l'orbite non troublée depuis le périhélie de cette dernière orbite.

En différentiant de même les valeurs de/et de ^ du n" 17, et faisant, d'après le n° 25, '|/ = o et s = o, on aura

q/*= ôe, «3g- = e oe ; et il est clair, par les dénominations du n° 13, (jue 90° -^ âî sera la Ion-

gitude du point de l'orhite troublée qui est à 90 degrés du périhélie, comptée sur le plan de l'orbite non tionblée, depuis le périhélie de eelle-ei; mais, à cause que ces deux orbites uv t'ont entre elles (ju'un très-petit angle ^(j/, et que nous négligeons ici les fî(j>% il est très-facile de prouver que rîô sera la longitude même du périhélie de l'orbite troublée, la projection d'un arc de 90 degrés ne pouvant dillérer de 90 degrés (|ue p;ir des (jiiaiilités de l'ordre de o^}^. Ainsi le petit angle os exprimera proprement le mouvement du périliélie en longitude, en vertu des perturbations.

Enfin on se rappellera que / est l'époque de l'anomalie moyenne dans l'orbite non troublée, c'est-à-dire, la valeur de cette anomalie lorsque t = o (n*'20;; doncf-+- c?f sera aussi l'époque de la même anomalie dans l'orbite troublée; en sorte qu'ajoutant à cette époque le mouvement moyen pendant le temps t, dans une orbite dont le grand axe serait a-{- âa, on aura l'anomalie moyenne qui servira à déterminer le lieu de la comète dans l'orbite troublée.

Ainsi

étant (numéro cité) l'anomalie moyenne dans l'orbite non troublée, on aura © 4- 55 pour l'anomalie moyenne dans l'orbite troublée, et l'on trouvera la valeur de ^0 par la dilTérentiation de l'équation précédente, en y faisant varier a et «seulement, en sorte qu'on aura

oO = — àl i/ -^ — ^. \- di.

Comme àa et (^i sont ici des quantités variables, si l'on dilférentie à 'ordinaire cette valeur de 0^, on aura

et substituant pour d^)i sa valeur trouvée dans le numéro précédent,

on aura

j^û 1.1,./-^- ■ "" ^^ -irUlèg ^ x{xf—^h)dàf

(^ f\a^li isjah^

lont l'intégrale donnera directement la valeur de $5, qui est l'altération le l'anomalie moyenne causée par les perturbations.

39. Nous avons donné, dans la première Section (n"* 10, 11), une manière de transformer les équations générales des perturbations, en sorte que les forces perturbatrices deviennent très-petites lorsque la comète est à une cfrantle distance du Soleil; comme cette transformation est d'une grande utilité pour le calcul des perturbations dans la partie supérieure de l'orbite, il faut voir maintenant comment elle peut s'appliquer aussi aux formules que nous venons de trouver.

La transformation dont il s'agit consiste en ce que, si l'on fait

ÙX = U 7i r H + OX' ,

èz = u. { v-^ : H ^— ) + àz',

et de plus

^,n^"iï) y,^liiii), z- '"'(§- -s

dx dj' az

on aura entre ^x\ ^y' , ^z' et X', Y', Z' les mêmes équations qu'entre àx, ^y, ^z etX, Y, Z, c'est-à-dire, des équations de la même forme que celles du n° 22, en y marquant seulement les (quantités (^x, fy, ^z, X, Y, Z, chacune d'un trait.

On peut donc appliquer à ces équations les mêmes raisonnements et les mêmes opérations que nous venons de faire dans cette Section sur les équations du n" 22, et en tirer des conclusions semblables. Ainsi, si l'on dénote par f}a', cî^', oc', 5/', ^g', ^h', ^i' des quantités analogues aux quantités àa, ^b, èc,..., on aura des formules semblables à celles des

n*** 31 et 37 ci-dessus, en y iii;ii(|ii;iiil (riiii li;iil les (jiianlités oa, ob, rîc, ^/, ^g, ^h, §i, fiop, ^y, (^z, X, Y, Z. I*:ii' les premières, on aura les valeurs

(le na\ fî/>',... (^n ^x' , —7^-^ '1)" '•••» ^l p="' ^'"^ autres les valeurs de r/^a' r^^Z/',. . eu X', V, Z'.

Supposous uiaiiileuanl (in'uii siihsiiltic dans les formules du n" 31 les valeurs précédentes de o.r, oy, oz; il est aisé de voir (à cause que ces quantités n'entrent dans les mêmes formules que sous une. forme linéaire) que l(ïs valeurs d(!s (juanlilés âh, oa. S'/,... deviendront

àh = (j. M -f- dh' , ôa = y.X -+- oa' , of=iJ.¥ -hof,

(5A = fzB -I- 06',

oc = fxC -+- èc' , di z= p.I -f- di',

en dénotant par aH, aA, (iF,... les valeurs de ^k, ^a, ^/,... provenaiil

d(î la simple substitution de u. ( ot— — : H — ) à la place de ^x\ de

/^ (^-— ; H r ) ^ '^ P'=^^6 <^6 "Ik. et de tx (tt—^ — r ^ ^ — 1 « '»

place de ^z.

De sorte qu'en faisant

dz 2 = 0, -T— = o, dt

et mettant à la place de xdy—ydx sa valeur dt\/2h(i-hm) ( n***29. 31 on aura

2 A ^ d[} • — yj r/j; -+- .r dv} — y di,

3(1-1- m) I-^y. dtsj-y.h'i-^m)

. <3t' / ^ r/^' -f- </;■• \ a- ix\ -hyri dx d'E,.-h dy dn \

~" 3(1 -1- m) \/' {i-hm)dl') i ■+■ [J-X r» (i ■+- m)'di~ 1

3 ( iH- //i ;

[\ -\- ix) dt \J 1 h[i -{- m)

\f-\ ) (Xdx — xdc,)+ — {ridx — xdn]

(i H- ij.)dtsj''2.hii +m)

dtsj7.h{i-h m] lUdx

dty/7./i(i-\- m)

(i H- ij.)dtsjili[i -h m) X d'C — t dx

(i H- ij.)dt\jih{i -\-m)

3/ /ad -+-

•ryj — r^ /-'G

m)\ i + f/ f ) , X[fx — ^h)¥

De plus on aura, par les formules du n^ 37, en y marquant d'un trait les quantités èh, âa,..., X, Y, Z,

doh' = -u.^^ {xY'-rX')dt,

^ \ -h PL -^

dôa'= ^— a^X'dx-hY'dr),

dàf' = --

yrdt

dôg' =

dèb'

d de' =

(jLX dt \j7.h{i + m)

fJ.X

sj'2.li[i -\~ ni

(/+f)x'+fv']

2 dy de II'

dt sjilid -+- m

/•+ ^\ X' + I Y' I - '^^^^^^'^' ''/ r J dts^ih[\+m

Tdl,

Z'dt,

ddi' = 3t

-\- m) d èa' ir^ d og' y [ fx — ^li)d of

Donc, si l'on ditTérenlie les valeurs de oh, ^a,... données ci-dessus, el

DES PFJ{TUIU{\TIONS DES COMETES. 457

qu'on y substitue ensuite les valeurs précédentes de doh', dna',..., il viendra

(l è/i = u du - a -^^-^ ( ^ V - r X' j di,

dèa=ud\ — a'i\'dsc-h\'dr),

yrdl r f f -^A Y' ■' v I 7.dy'doli'

■ dof^udF--J^^££=\lf-^^X'+^r\

\J'?.h[i-it- m)L\ '' J '' J dl\Jili i -{- m)

[xxdt [ / /• •^\ \/ T v I o-dxdèli'

y,'"2/r I -4- /;n I \ '" y '■ J dt\l7.li{i-\-m

dèb = ij. c/B + ^''^' T dt,

doc =: a dC ' " — Z' dt,

\l'2.li[\ -f- m )

dôi = a d\ ^ 3/ y A" -^ " ' ^ - ''"'!^' + rif-^-^à^AÈL,

formules qu'on pourra employer a la place de celles du n° 37, avec lesquelles elles sont identiques dans le fond.

40. En comparant les formules précédentes avec celles du n" 37, il est aisé d'en tirer cette conclusion générale, qu'il est permis de changer dans ces dernières les quantités X, Y, Z en X', Y', Z', pourvu qu'on ajoute en môme temps aux valeurs de dâh, d^a, dâ/,... les quantités fjLÉ^H, ad\, txdF, —

De là il s'ensuit que, soit, par exemple, alT dt la valeur de d&h dans les formules du n'' 37, on aura, en intégrant.

= j y.ndt,

cette intégrale étant supposée commencer au point où (^h = o. Supposons maintenant qu'à commencer d'un point donné de l'orbite on veuille employer les quantités X', Y', Z' à la place des X, Y, Z, et qu'on dénote VI. 58

par 0^' la valeur de 5A pour ce point, c'est-à-dire, la valeur de l'intégrale / fj/ll dl étendue jusqu'à ce point; soit TT ce que devient FI en y

cliangeantX, Y, Z en X', Y', Z' : on aura, en général, par les lornuiles du numéro précédent,

donc, intégrant,

= y. îl + / u.W (h + const.

Soit H' la valeur de H dans le même point de l'orbite, et supposons que l'intégrale / ixU'dt commence aussi à ce point dans lequel on a supposé

que finit l'intégrale / ijJldt; on aura donc dans ce point

oh' = y. ir+ consl., donc const. = oA' - a H' ; donc on aura, en général,

d/l := uU - uH' + oA' + / jH (II,

savoir

dl.

oh = y H - y. W + TyH <lt -f- / y H'

Supposons ensuite que, dans un autre point quelconque de l'orbite, on veuille cbanger de nouveau les quantités X', Y', Z' en X, Y, Z, et soient dénotées par ^h" et par H" les valeurs de f)h et de H pour ce second point; on aura donc dans ce point

èh" = y H" - y H' + Ty n (/f -^ j y W dt,

l'intégrale / (xWdt étant supposée étendue jusqu'à ce second point. Or, lorsqu'on emploie les quantités X, Y', Z, on a, en général,

dôh = y n dl, donc oh = / fj-lldi ■+- consl. ;

I)K> l'Kirn 1! 1{\'I IONS DES COMÈTES. i59

sii[)|»()S(»iis (|iir riiilciiiîilc I ail <'// (•oiiiiiicncc à ce second point dans Ir- (ju(d r)li dcviciil ù/i", cl l'on aura oA" = cunsL; donc, en généra),

oh = / ail (Il -+- oh" ,

l'I, snl»slilii;iiit la valeur de oV/',

fili = [j. H" - y. W'-h f y. H (/l -f 1^ uW (Il + r y. Il <ll :

dans c<'U(' roniinlr, la j)irniière intégrale 1 u.Yl dt est supposée commencer au point de l'orbite où âh est nul el s'étendre seulement jusqu'au point où les (juantilés X, V, Z se changent en X', Y', Z'; la seconde intégrale / 'j.W'dt est supposée commencer à ce point et s'étendre jusqu'à l'autre point où les (juantités X', Y', Z' redeviennent X, Y, Z; entin la troisième intégrale / y. 11 dt commence à ce dernier point et s'étend indé-

tiniment; de sorte que ces différentes intégrales ne forment proprement qu'une seule intégrale, qui commence au point où oV* est nul et (jni s'étend indéfiniment, mais avec cette condition que la quantité H se chaniçe en FI' dans une certaine étendue.

On voit pai- la (jue, dans l'intégration de la valeur de dâh du n" 37, on peut changer à volonté les quantités X, \, Z en leurs analogues X', V, Z', el rétablir ensuite celles-là à la place de celles-ci, pourvu qu'on ajoute en même temps à la valeur finie de âh la quantité |J-H" — /jlH'. (fiii est la différence des deux valeurs de ,aH, dont l'une rj-H'.se rapporte au point où X, Y, Z se changent en X', Y', Z', el Jonl l'autre ;;.H" se rapporte au point où X', Y', Z' redeviennent X, Y, Z.

On fera le même raisonnement sur chacune des autres t'ornuilcs du u" 37, el l'on tirera des conclusions semblables. Ainsi, dans l'intégratidii de la valeur de d o(i, on pourra, pour un certain espace à volonté, clianger X, Y, Z en X', V. Z'. poiiivu qu'on ajoute ensuite à la valeur tini(>

(le ^a l'excès de la valeur de ;xA qui répond à la lin de cet espace sur la valeur de a.A qui répond au commencement du même espace, etc.

Et, si l'on voulait substituer à plusieurs reprises les (juantités X', y, Z' à la place de X, Y, Z, on ferait la même opération pour chaque nouvelle substitution.

41. Une des déterminations les plus importantes de la Théorie des perturbations des comètes est celle de l'altération du temps périodique. Rien n'est plus facile que de trouver cette altération par le moyen de la formule que nous avons donnée (n" 38) pour l'anomalie moyenne dans l'orbite troublée. En elfet, d exprimant, en général, l'anomalie moyenne dans l'orbite non altérée, et 0 +■ (^0 l'anomalie moyenne qui a lieu en même temps dans l'orbite troublée, on aura, pour l'instant du périhélie dans l'orbite troublée, 0-+-âO = o; d'où 5 = — ^5, ou fce qui revient au même), 0 = 36o"— fî5. D'où l'on voit que, lorsque la comète passera au périhélie dans son orbite troublée, une comète tictive, qu'on supposerait se mouvoir dans l'orbite non altérée, serait encore éloignée di; son |)éiihélie de la quantité qui répond à l'anomalie moyenne oO dans cette même orbite. Donc, comme on a, en général (n° 20),

i étant une. constante dans l'orbite non altérée, si l'on dénote par o/ le temps qui répond à l'anomalie âô dans cette orbite, on aura

donc

c'est le temps dont le passage au périhélie de l'orbite troublée précédera le passage au périhélie de l'orbite non altérée, ce temps étant exprimé parle mouvement moyen du Soleil qui y répond (numéro cité).

DES PEKTUKBATIONS DES COMETES. 'i(il

Dénotons par oO' et c?5" les valeurs de o5 (jui répondeul à deux périhélies conséeulirs, et |)ar oV, ot" les valeurs correspondantes de ol , <ii sorte (|U(^ l'on ait

soient de plus /' et t" les temps des j)assaij;es par les deux pcrilirlies consécutifs dans l'orhile non altérée : on aura, pour les tein|is de ces passades dans l'orbite troublée, t'—ot', f"—âl"; donc la dillcrcncc de («îs temps, e'est-à-dire, l'intervalle de temps entre deux passages consécutifs au périhélie de l'orbite troublée, sera t" — /'-h c?/'— ot", où /"— /' est le même intervalle pour l'orbite non altérée. D'où il s'ensuit (|ue hi durée de la révolution anomalistique dans l'orbite troublée surpassera la uiéuH' durée, dans l'orbite non altérée, du temps exprimé par

et' - 01% 011 pai'

'èB'-oe");

c'est l'altération produite par les perturbations.

Il faut remarciuer (jue, pour avoir les valeurs de âO' et cî$", il faudrait à la rigueur suj)poser, dans ^0, t = t' — ^t', t = t" — ùi"\ mais, connue nous négligeons les carrés et les produits des forces perturbatrices, et par conséquent aussi de toutes les quantités résultant de ces forces, il suffira d'y faire / = i' et / = t" .

Nous venons de déterminer l'altération de la révolution aiioinalistique de la comète; si l'on voulait avoir l'altération de sa reviduliou périodique, il faudrait défalquer de l'altération précédente le temps dû au changement du périhélie. Or nous avons vu ^n" 38) que le "|)éi'ihélie de l'orbite troublée est plus avancé que celui de l'orbite non altérée de

l'angle 5e = -^: donc, si l'on dénote par 5c' et os" les valeurs de ni (|ui

répondent à / = /' et t = t\ on aura ùi" — 5ê' pour l'angle dont le périhéru^ de l'orbite troublée aura avancé pendant um' révolution: ainsi la

kii-l KECHEUCHES SUR LA THÉORIE

qiKuititf' h 'léfalquei' de raltération de la révolution anomalistique, pour avoir celle de la révolution pcriodifiuc, sera le temps qui lépond h l'anfifle ou a l'anomalie vraie âz" — r);'.

Pour trouver ce temps, on pourra employer la lormule dilléreiitielle (n"21;

y aAi I + m)

en taisant f/9 = âe' — cîs' et r égal a la distance [)érihélie dans Torhite non altérée, laquelle est

a — ne a a\ i — e- 1 ■?. h

de sorte qu'on aura, pour le temps cherché, la quantité

ôe" - ai'

Donc la durée de la révolution périodi(|ue de la comète dans l'orhite troublée, c'est-à-dire, le temps qu'elle metti'a à faire une révolution entière depuis son départ du périhélie jus(ju'a ce qu'elle revienne sur la ligne du même périhélie, surpassera le temps de la révolution entière, dans l'orbite non altérée, de la quantité

laquelle, en substituant pour âO' et f^B" leurs valeurs déduites de la formule du n"" 38, et dénotant pai' S'a , ai' et par ou", r^i" les valeurs de oa, ^i, qui répondent à / = /' et / = /' , se réduit a celle-ci

3 ( t" oa" — i' èa' ) / a' ... I "xli \' de" — ôe'

DES PKRTUHBATIONS DES COMETES. 'Mi:i

SECTION QUATHIÈMK.

APPLICATION DES TIlÉOniES IMlÉcÉD E .\T KS AU CALCIJI, DES l> E HT U n n \T I (» VS DES COMÈTES, ET EN P A RTI CU I, I EH AU CALCUL DES P E UTU U B A T I O \ S DE LA COMÈTE DE l532 ET DE I ()() I .

42. Celte application se présente d'elle-même; il ne s'agit (jnede trouver les valeurs des (|uanlilés o/t, oa, ^f, (^g, oA, oc, oV, |)ar l'iulégialiou des formules du n" 37, el l'on aui*a immédialement les altérations des éléments de l'orbilc de la couièle dues aux perturhations ('n"38j; mais la graîidc dinicuilc consiste dans ces intét»rations, les(|uelles, ii cause de la grande excentricité de l'orbite des comètes, ne peuvent s'exécuter, en général, par aucune méthode connue et demandent uécessairenHiil des (juadralures dt; courbes mécaniques.

Nous allons pioposer les moyens (jui nous paraissent les plus propres pour arriver à ce but.

Je commence par substituei', dans les équations du n*' 37, les valeurs de X, Y, Z (n" 22), lesquelles, en effectuant les dilTerentiations indiquées, deviennent

X^i-4--""l v—l^LuA 7-i^lZli.

je substitue de plus, à la place des quantités œ, y, z, r, dt, leurs valeuis exprimées par l'anomalie excentrique //, jiarce (jue l'emploi de cette anomalie rend tout à la fois les formules plus simples el j)lus faciles ii calculer; ces valeurs sont 'en faisant h = o, c = o, /= e, g = o, par riiypollièse du n" 25^

et ,. y

X=-{COSU~J;, )■=: y/rt/j SlilM, Z^O O" it) ,

r = -(ï ~ fcosu), </t=\/ ~ if/u in°**20,-21.

(]es substitutions fiites, si l'on suppose, pour |)lus de simplicité,

kQï RECHERCUES SUR LA THÉORIE

on aura des équations de la forme suivante

dàn ^=

dèg = dàb = ddc := ddi =

;cA)n -+-(

:(F)rn-(

jDn +(

(fi lUJ^ du, {a] rn] du, {f]xn}du, {g)ij5'}du, ( 6) m] du, (c) Clj] du, ii) ct] du,

dans lesquelles on aura les valeurs suivantes des quantités (H), (h), (A), (a),...

A ) = aM - H sin u — i^ali yj cos u\, {a) = —

rsmu,

(F) — — i/ ~[{fr -h x)^^ rr,]f -h y. s^'a/i [xl — x-n) cosu, (/) = — ^'a/i rr, (G)= K/tj [(,fr-hx)l + rri'\x -haixl — XYi)sïnu, {g) = sjalirx.

'"> (Aj ^-^'(G)^ r(A-4/0(p^^

fsja^h i\Jali^

f \J à^ Il isjuli^

DES PEHTUUBATIONS DES COMÈTES. Wo

Dans CCS expressions, j'ai conservé, ponr plus de simplicité, les lettres 00; y, /■ à la place de leurs valenrs en sinw et costi; il est facile de les y snhstilMer si on le jni;-e ii j)i'opos.

43. Il est visil)le, pai' les formules précédentes, (jue les (jnaiitih's ' H j, (h), fA), (a),... sont toutes exprimées par des fonctions ralionneiles et entières de s\nu, vosii, c, rj, ^; de sorte que, si l'on pouvait exprinn'r

de même les (lunntités ^, rj, 'Ç, — et 77: par des fonctions rationnelles et

entières de sinw et cosw, l'intégration des équations dillerentielles dont il s'agit n'aurait aucune dilïiculté. Voyons quels sont les obstacles (|ui s'opposent à cette réduction dans la Théorie des comètes.

On se rappellera d'abord que les quantités ^, yj, 'Ç sont les trois coordonnées rectangles du lieu de la planète perturbatrice, dont la masse est (j., que p est son rayon vecteur, et R la distance rectiligne entre le lieu de la planète et le lieu de la comète dans l'orbite non altérée (n"®2, 7); on se rappellera ensuite (jue nous prenons pour le plan de projection celui de l'orbite non altérée de la comète, et pour l'axe des abscisses la ligne du périhélie de cette orbite (n° 25).

Nonnnons ^F l'inclinaison du plan de l'orbite de la planète sur le plan de l'orbite non altérée de la comète, et il la longitude du nœud ascendant de l'orbite de la planète, comptée sur le plan de l'oibite de la comète depuis le périhélie de cette orbite.

Soii, de plus, X l'argument de latitude de la planète, c'est-à-dire, la longitude dans son orbite, moins la longitude de son nœud avec l'orbite de la comète.

Il est facile de comprendre (jue l'on aura pour |, yj, ^ des expressions semblables à celles de oc^, y, ^ du n" 19, en y changeant r en p, w en 42, 0 en ^F et o — y. en ). ; on aura donc ainsi

\ = p(cosi2 ces/. — sinû cosM'sinX),

■ri = p {s'mQ. ces/ -+- cosl2 citsTsin/).

'Ç = p siii 4 sin>., VI 59

466 HECHEUCIIES SUR LA ÏHEOHIE

Or on sait quo dans les orbites des planètes, à cause de la petitesse de leur excentricité, on peut exprimer tant l'équation du centre que le rayon vecteur par des suites très-convergentes, qui procèdent suivant les sinus et cosinus de l'anomalie moyenne et de ses multiples (on trouve ces suites développées d'après les principales Tables astronomiques , dans le premier volume du Recueil des Tables, publié par l'Académie de Berlin); on pourra donc représenter par de semblables séries les valeurs

de ^, yj, Ç et de — pour cha(jue planète, et il n'y aura plus qu'à expri-

mer l'anomalie moyenne de la planète par l'anomalie excentrique u de la comète.

Pour faire cette réduction, soient a le grand axe de l'orbite de la planète, et M son anomalie moyenne comptée à l'ordinaire depuis l'aphélie; soit, de plus, T la valeur de l'anomalie moyenne 0 de la comète pour l'instant du passage de la planète par l'aphélie; il est visible que M et ^ — T seront les anomalies contemporaines de la planète et de la comète, lesquelles doivent être entre elles en raison réciproque de la durée de leurs révolutions, et par conséquent, par les Théorèmes connus, en raison de \ja^ : \j oâ ; d'où il suit qu'on aura

'Vï

où il n'y aura plus qu'à substituer pour 9 sa valeur m — esinw (n"^ 20). Comme, dans l'orbite des comètes, l'excentricité e est peu diflerente de l'unité, il est clair que les sinus et cosinus de M et de ses multiples ne sauraient s'exprimer par de simples sinus et cosinus de u et de ses multiples; par conséquent, il est impossible d'exprimer, en général, ^, yj, Ç

et — par des ibnctions rationnelles et entières de sinw et de cos/f. C'est

la première difficulté qui s'oppose à l'intégration des équations du numéro précédent.

La seconde difficulté vient du dénominateur irrationnel R^; en effet il est d'abord impossible, par la raison précédente, de réduire l'expression

DES PKKTUUIIA'HONS DKS comètes. V()7

rationnelle (le R-, I;m|iicII(' est fn" 2j, z étant = o,

à imc foiHiioii ralioiiiicllc de siiiw cl cosii; à plus forte raison le scia-l-ii d'v réduire l;i (luanlilé irrationnelle et rompue t—-

44. On est doue t'oreé, dans la Théorie des eomètes, de renoncer à l'avantage d(! pai'venir à des l'oi-mules analytiques (jni cxprinicnl les inégalités de leur mouvement pour un temps quelconque, telles que celles que l'on trouve pour 4es inégalités des planètes, et la seule ressource (jui reste est de déterminer ces inégalités par parties, en partageant l'orbite de la comète en différentes portions, et calculant séparément l'efTet des perturbations pour chacune de ces portions.

En effet, tant (|ue l'angle ^ \/ — ne sera pas trop grand, on pourra

exprimer son sinus et son cosinus par les séries connues qui procèdent suivant les puissances de l'arc, et par là on remédiera au premier inconvénient.

Ensuite on observera que, tant que le rayon r de la comète sera beaucoup moindre que le rayon p de la planète perturbatrice, et que, par conséquent, x ety seront moindres que p, on pourra réduire la quantité -j- en une série convergente, en prenant — pour le premier terme.

De cette manière, on pourra donc intégrer les valeurs de d^h, doa — du n"^ 42, depuis le périhélie de l'orbite de la comète jus(ju'à un point

de cette orbite dans lequel ^ i/ — t't - soient des (juantités encore

assez petites.

Soit maintenante' l'anomalie excentri(jue qui répond à ce point; on fera, en général, u = u'-h'J, et, tant que l'angle v sera assez petit, on pourra mettre les quantités à intégrer sous la forme rationnelle

tes RECHEUCHES SUR LA THÉORIE

on intégrera donc derechef depuis /^ = w' jusqu'à u = u'\ en supposant l'arc u" — u' assez petit, et ainsi de suite.

45. On peut faciliter beaucoup ce calcul par la méthode connue des courbes paraboliques; mais, pour pouvoir employer cette niélliode en toule sûreté, il faut ([ue les quantités qu'on veut exprimer par des formules par;iboli(|ues ne souffrent pas de trop grandes ni de trop l"ré- (jiu'.'iles irrégularités; autrement il arriverait (}ue, parmi les coeilicients de la série parai)olique, il s'en trouverait de très-grands, ce qui diminuerait la convergence de la série et obligerait à la pousser a un grand nombre de termes. Il est donc nécessaire d'examiner à priori la nature des qua:itités ;iuxquelles on veut appliquer la méthode des courbes paraboliques.

De ce que naus avons dit dans le n° 43, il s'ensuit que les différentes

(juantités (H), (li)y (Aj, (a),..., ainsi que les quantités — etR-, peuvent

elle exprimées par des fonctions rationnelles et entières de sinus et de cosinus des angles u et 0 y —•, c'est-à-dire, de l'anomalie excentrique

de la comète et du mouvement moyen correspondant de la planète; donc, si l'on suppose que ces deux angles varient en même temps des angles contemporains [-j et 7, chacune des quantités dont il s'agit pourra être représentée, pendant ces viiriations, par une formule algébrique de la forme

dans laquelle les quantités L, M, N,... seront toutes aussi des fonctions rationnelles et entières de sinw, cosw, sin$ i/ — 5 cos5 i/ — • Or

0 ■= U — e sinw; donc, faisant croître u de /3 et 5 de 7 W —^5 on aura

Si donc on substitue cette valeur de 7 dans la formule précédente, elle

prendra cottt' ionnc plus simple

L + M p -f- N p-' + . . . , dans la(ju(dle les ([uantités L, .M, N,... seront pareillement des fonctions tont(;s rationnelles et entières de sin«, cosw, s'inOi/—^^ cos^t/-^^-.

en sorte (jue ees (jnanlités ne pourront jamais aui^menler au delà d'un eertain ternie. El il est clair qu(! la formule précédente, n'étant poussée que jusqu'au second degré, sera exacte, aux quantités près des ordres de ,S^ et de 7'.

il semble qu'il faudrait faire une exception à l'égard des quantités (Ij et (i) (|ui contiennent des termes multipliés par t, et qui par conséquent

ne sont pas uniquement des fonctions de sinus et cosinus de a et de 0 \/— ,'

mais renferment aussi l'angle même u; mais il est facile de se convaincre que cette circonstance ne peut apporter aucun changement à la conclusion pi'écédente.

Si (loin- on dénote, en général, par V une quelconque des quantités dont il s'agit, et que Vo, V,, Vj soient les valeurs de V qui répondent à

u = Uo, H =: Ut ^ Uo + j3, n = U2 = U, -¥- (3,

il résulte de ce que nous venons de démontrer que, pour m = w, -i- n^ {n étant un nombre quelconque compris entre zéro et i), on aura, aux quantités près des ordres de |S'' et de 7"^,

formule qui pourra servir aussi par la même raison, en faisant n négatif depuis zéro jusqu'à — 1 .

Or, comme V = V„ lors([ue n = — i, et ¥=¥.> lorsque n = i, on aura

d'où l'on tire

46. Gela posé, séparons, dans les équations différentielles du n" 42,

les termes divisés par R' des autres, et représentons, en général, chacune de ces équations par

R étant égal à R-, A étant une des quantités ^h, oa,..., V étant respectivement ^, ^'•••' et U étant [h] - (H), [a) — (A),....

Qu'on calcule les valeurs des quantités V, U et /? pour trois anomalies excentriques w = u^, u,, Uo, dont la commune différence soit ]S, et qu'on marque ces valeurs respectivement par Vo, Uo, i?o; V,, U,, /?,; ¥2,1)2» ^2; qu'on en déduise ensuite, par les dernières formules du numéro précédent, les valeurs de V, , Y", , ainsi que celles de U'i , U", , R\ , R\ , et qu'on substitue partout dans l'équation précédente z/, -f- ^n à la place de u, on aura donc, en regardant maintenant n comme variai)le, la transformée

V {R, + R^,n + R'\nr-J

qui, étant intégrée depuis n = — i jusqu'à n = j , donnera, aux quantités près de l'ordre de p./3' et de ij.^ , la valeur de A ou plutôt l'accroissement de A, depuis l'anomalie excentrique Uq jus(ju'à l'anomalie M2 = W(, + 2p; en sorte que, désignant par Ao et Aj les valeurs de A qui répondent à ces deux anomalies, on aura Ao — Aq égale à l'intégrale du second membre de cette équation, prise depuis n=— i jusqu'à n = i . L'intégration de la partie

(V, + V',/i + V",n'K/« n'a aucune difficulté, et l'on trouve sur-le-champ pour l'intégrale totale

A l'égard de l'autre partie

U, + IJ> -I- U", n' , j dn.

elle dépend de la (juadraturo de l'hypi rbole ou du cercle, suivant que Pl\ est une quantité positive ou négative.

Pour en trouver rintéi^raic, on supposera celte diirér(!ntielle égale ;i

sJH, -+- H',n-\- H'\ le s. I<s + K, n -f- H!\ n'

et l'on trouvera par la comparaison des termes, après avoir réduit au même dénominateur.

2 Ul 11

• "''" ' zR"

-iU',/J',-U".(/?.

fi': \ ^■Ji:)

or l'intégrale de la première partie est évidemment

K + Lai

s/H, -hR\n-h R'\ n'

et celle de la seconde est, en faisant, pour abréger, — —-nr ^^— — = N,

M , I 4- N v/^ft^ — ^^ log -5^^»

si If^ est positif; mais si /?", est négatif, cett(; intégrale devient

arciang^N V— /^, ).

On fera maintenant dans ces formules n = i et w = — i , et l'on retranchera la seconde valeur de la première pour avoir l'intégrale complète; or, en faisant /? = i , la quantité sous le signe \f devient i?, -h 7?', -f- Iï\ = R^, et, en faisant ti=— i, elle devient R^—I{^-^If^= R^. Donc la valeur

complète de rintégrale de la ditférentielle dont il s'agit sera représentée

par-

K+L K-L INI

en faisant

P = \0S ' ^ - — lOi' - — ! ' ^ — -^-^1

si R\ est positif, ou bien

si -/f- est néi'atif.

Donc entin on aura, aux quantités près des ordres de p-jS'' et 1^.7^, ^-(^ /.v . .."^ K + L K-L , MP

A, - Ao = -^'^ 2V' + n" + — =^ - -

^ + 'n\ ^R, ^R, isJ±R\

47. Il n'y a que deux cas où la formule précédente ne puisse pas servi)- : l'un est celui de Ri\ = o, et l'autre celui de Ril^^ — ji?',- = o. Soit : i" i?"j = o; on aura à intégrer cette différentielle

{R,-^R,nf

et, supposant son intégrale de la forme

sjR^ + R!,n on trouvera par la différentiation et par la comparaison des termes

aU':

(Complétant donc cette intégrale de la manière que nous l'avons dit,

DES PEin UKirVTIONS DES COMÈTES. 473

on aura, à la place do la dcrnicTO équalioii du miniéro |)r(''('édc'nl, celle-ci

Soit : 2" 7î, /f"j — \li\- = o; dans ce cas, la (|iianlilé //, -h If^n 4- //"//-

deviendra ^ ' ' — '—, cl l'on aura à intégrer cette dillérentielle rationnelle

<|u'on supj)osera égale à

ce qui donnera, en réduisant au même dénominateur et comparant les termes,

Intégrant donc et complétant dûment l'intégrale, on trouvera, pour le cas dont il s'agit, l'équation

4-8. Ayant trouvé ainsi la valeur de A2 — Ao pour une portion d'anomalie excentrique u^ — «o» on trouvera de même la valeur de A^ — Ao pour une portion suivante d'anomalie w, — Mo, et ainsi de suite; et ces différentes valeurs seront exactes, aux quantités près de l'ordre de u.fî^

et fjt.7', [•!> étant = — — — \ — -% • • • » et 7 étant la partie correspondante de l'anomalie moyenne de la planète. Ajoutant donc successive- VI. 60

ment ces valeurs ensemble, on aura la valeur totale de ^^ — A„ répondant à une anomalie excentrique quelconque u^— Uç,\ et, faisant uy — Uo = .'^Go*», on aura la valeur de Aç — A», c'esl-à-dire, l'accroissement de la quantité A pour une révolution entière de la comète.

Au reste il est bon de remarquer que les formules précédentes ne doivent proprement être employées que pour les parties de l'anomalie excentrique relativement auxquelles la quantité R sera assez petite et du même ordre que les différences finies R', R", ce qui arrivera vers les minimum de distance entre la comète et la planète; dans ces cas, les formules dont il s'agit ne sont sujettes à aucun inconvénient, et résolvent le Problème avec toute l'exactitude qu'on peut désirer; au lieu que la méthode ordinaire des quadratures par les lignes paraboliques serait

trop inexacte, a cause que les valeurs de — ^ seront fort grandes et que

R' leurs différences seront fort inégales.

Dans tout autre cas, c'est-à-dire, lorsque la distance entre la comète

et la planète sera assez grande et que les variations de cette distance

seront fort régulières, on emploiera avec succès la méthode ordinaire,

tant j)Our intégrer la partie Ydu. que pour intégrer l'autre partie — j- -,

et, comme celte méthode est très-connue et très en usage parmi les

Géomètres, nous ne croyons pas devoir nous arrêter ici à l'expliquer;

les Ouvrages de Cotes et de Stirling renferment tout ce que l'on peut

désirer sur ce sujet.

49. Quoiqu'on puisse, au moyen de ces différentes méthodes, calculer les variations des quantités A pour telles portions de l'orbite qu'on voudra, il ne sera cependant nécessaire de les employer que pour la partie inférieure de l'orbite, dans laquelle la distance de la comète au Soleil sera moindre ou ne sera pas beaucoup plus grande que la distance de la planète au Soleil; car pour la partie supérieure de l'orbite, dans laquelle la distance de la comète au Soleil surpassera de beaucoup la distance de la planète au Soleil, il sera bien plus avantageux d'employer la méthode

(les n*'* 30 et suiv;iii(s, l:i(|iirll(' nhrci^c et simplilic considérablement le calcul (les perlurbalioiis dans celle parlie.

Pour faire nsajj;e de celle rnélhode, il ne s'ai^it que de subsliluer dans les équations du n" 37, à la place des valeurs de X, Y, Z (|u'on a employées dans le n" 42, celles de X', Y', Z' fn" 39 j; or nous avons déjà

remai'(jué dans le n" 13 (jue la <]ii;iiilité - n'est autre (liose (jue les deux premiers termes de la quantité — réduite en série ascendante par rapport aux quantités ^, yj, Ç; donc, comme (n" 2)

ï\' = r-— '2.[xl -ir yn H- z'C,) -i-p%

Ç)"^ étant égal à ^" + yj- -!- 'Ç- , on aura, par la formule connue,

3(.rg+jy;-t-3-0» 3(.rg + r/i + 3i;)p^ 5[xl+yn + z^y

'ir

donc

xl +x'^ ^-

et par conséquent

I 1 çj- "^[xt-A- yn + z'^f 3(a:^-t- jy3H-zi;)p' 5(a:^+j-/îH-zÇ)^

S 11 ir^ 9.1'^ ar^ 2 r'

On différentiera maintenant cette quantité en faisant varier seulement ^»7,r, z, et les coefFicients de dx, dy, dz seront les valeurs de X , Y', Z'; donc, en supposant, pour abréger,

, 3r? i5{x'^ -[-rr,-\-z'Çr i5{xl-hyr,-h zÇ\p^ 35{xl-\-yn -\- z'Çy 2, .5 y pi -2.r'' ir^

__ Z{x\-\- y-r\ -\- z'Q 3p' \5\,xi-\- yr, ->r z'QY y. 5 2/-* 2r'

on trouvera

\'=Wl-^Ts' X, Y' = n'-/5 +nî'.)-. 7J = TV''Ç^m'z.

(io.

En comparant ces expressions de X', Y', Z' avec celles de X, Y, Z du n" 42, il est visible qu'elles n'en diffèrent qu'en ce (jue les quantités H et zs se trouvent changées en W et zy'. D'où il est aisé de conclure que, par la substitution dont il s'agit, on aura les mêmes équations ditférentielles que dans le n" 42, en y changeant seulement II et sr en Y\' et rs' . Il n'y aura donc qu'à employer dans les équations du n*^ 42, à la place de n et z5y les quantités W et t?'; et l'on pourra continuer à les employer pour telle portion de l'orbite qu'on voudra et reprendre ensuite les premières quantités, pourvu qu'on ajoute aux valeurs totales de fîA, ^a,... les quantités respectives p.(H"— H'), |jl(A"— A'),...; H', A',... étant les valeurs de H, A,... du n° 39 qui répondent au point de l'orbite où l'on change Tl, zs en II', zs'\ et H", A", . . . étant les valeurs des mêmes quantités pour le point où l'on reprendra n et w à la place de H' et tô' (n^ 40).

50. Le grand avantage de la transformation précédente consiste en ce que les quantités n' et v;' , qu'on substitue à la place de II et w, deviennent très-petites lorsque la distance r de la comète au Soleil est beaucoup plus grande que la distance p de la planète au Soleil, ce qui est visible par les expressions des quantités H' et zs' (numéro- précédent); tandis que la valeur de II (n*" 42) demeure toujours finie, quel que soit

l'éloignement de la comète, à cause du terme —•, qui ne dépend que de

la distance de la planète au Soleil, et qui est l'effet de l'action de la planète sur le Soleil.

Or, si l'on considère que l'on a, en général,

et que, par conséquent, x%, + yr; -h zÇ est toujours nécessairement renfermé entre -l- rp et — rp, on verra que le premier terme de la quantité n' sera de l'ordre de —^^ et les deux autres de l'ordre de — ; et que

les deux premiers termes de zô' seront de l'ordre de ^^? et les deux sui-

vants de l'ordre de ^, et ainsi de sn;«- ^one, lorsque r est assez grand

vis-à-vio <ic p, en sorte que -r- dillère peu de — ■> le rapport de 11' à FI sera

de l'ordre de •^^ et ('(dui de w' à rs de l'ordri; de — ,? la quantité rs étant /•' r^ ^

déjà elle-même très-petite de l'ordre de — •

Donc, lorsque ^ sera devenu ^ ou -? on pourra, du moins dans la

première approximation, négliger les quantités II' et w' comme nulles; ou, si l'on veut absolument y avoir égard, il suffira d'y tenir compte des premiers termes. Dans ce cas, on pourra en toute sûreté employer la méthode ordinaire des ([uadratures mécaniques pour intégrer les quantités dèh,d^a,...\ mais on pourra aussi les intégrer analytiquement, du moins par approximation; c'est ce que nous allons faire voir.

51. Pour cet effet, on commencera par remettre dans les expressions des quantités (H), (A), (A), («),... du n° 42, à la place de cosw et sinw, leurs valeurs en x et j, savoir

cosM=: h f, sinw=-=:

moyennant quoi ces quantités deviendront des fonctions rationnelles el entières de x,y, r et de ^, vj, Ç, dans lesquelles les quantités x, y, r ne passeront pas la seconde dimension, excepté les expressions de (I) et de {i), où ces quantités monteront à la quatrième dimension; mais je remarque, a l'égard de l'expression de(I), qu'on y peut réduire les dimensions de x,y, rà la troisième. En effet il est visible que les termes qui, dans cette expression, peuvent donner des dimensions de x. y, rplus hautes que la troisième, sont ceux-ci

autant que les valeurs de (F) et (G) contiennent x , y, r, élevées à la

*/o RECHERCHES SUR LA THÉORIE

seconde dimension. Or, en ic.Uont. pour un moment,

,y [(/a- + x) H -H jvî)] = s, fl — x-n = Y,

on a

(F) = -Zr +

(4^ J'^^ + \fsjali^ r, (G) = 'Ex+ y/^^ rT;

donc les termes en question seront

ir''x fr-x\^ I ir^y 7.frx'\

Maintenant, à cause que nous prenons le grand axe de l'orbite pour celui des abscisses^, et que e=/(n'' 25), on aura (n° 18)

donc, substituant cette valeur de y dans le coefficient de S, il deviendra

r' .\ ix{r — II)

f^a'li f\ùih \ « / fs/a/i

et, substituant la valeur de oc^ dans le coefficient de Y, il deviendra

?. r' r 2 /'^ r 8 ( A — r ) r 8 , // — r)r fa/i fali fil fti

Donc, puisque S et T ne contiennent que la première dimension de oc, y, r, il s'ensuit que les termes dont il s'agit de l'expression de (I), lesquels paraissent, au premier aspect, devoir contenir la quatrième dimension de ces quantités, n'en contiendront réellement que la troisième.

Cela supposé, on mettra, tant clans les expressions de (H), (h), (A), («),... du numéro cité que dans celles de II' et w' du n°48, à la place de a? et j. les valeurs rcoso, rsino (n'' 18), 9 étant l'anomalie vraie de la comète dans son orbite non altérée; on verra :

I" Que les expressions de (H), [h), (Aj, {a),... deviendront des fonc-

DES PEHTUKHATIONS DES COMÈTES. V7î)

lions rationnelles et entiî'res de S, y;, 'Ç et de sin'^, cosfp et r, dans lesqiHilles r n(î montera an pins (jn'au second degré, à l'exception des ([nantîtes flj (ît (/), dont la prcinii;re eontitsndra r% et dont la seconde conti<'n(lra /•';

"?." One les expicssions de 11' et rz' deviendront, à cause de :; = o,

„, 3(^C0S'j^ -+-r! sinv) 3rj'— ^(iCOSo -)-rj sin»)'

On substituera maintenant ces valeurs de (H), {h), (A), (a),... dans les expressions des (liU'éi'entielles doh, d<^a, dâf,... du n" 42, et l'on y mettra, à la place de FI et 77, les valeurs précédentes de FI' et zs' \ enfin on

mettra pour du sa valeur -=^ déduite de l'équation (n'' 21 j

dt = • =z — \/ —, : r du.

52. 11 est aisé de voir que, par ces différentes substitutions, les valeurs des difrérentielles dîlh, d^a, dâf,... du n'' 42 se tronver.ont composées de ditTérents termes de la forme

2 cos'"9 sin"cp d(û

m, n, p étant des nombres entiers positifs ou zéro, et 1 étant une fonction rationnelle et entière de H, yj, Ç; j'en excepte seulement les termes de la valeur de d^i, qui seront multipliés pai- l'angle /, et que nous examinerons plus bas. Et il n'est pas difficile de prouver que m-^ n -hp ne sera pas > 5 pour les premiers termes de zs' et fl', ni > 7 pour les termes suivants, et ainsi dn reste.

Or fnM8)