Le bras de cet Onglet sur l'axe

Car, pour le premier point, la somme des ordonnées estant connue, l'espace du Triligne sera aussi connu, puis qu'il luy est égal.

Pour le deuxième, soit le Triligne BAC (^g. 1 1 .), dont AB soit Taxe et AC la base ; DF les ordonnées à l'axe, dont on connoisse la simple somme, la

somme des quarrez, et les autres clioses qiiî ont esté supposées : soient EG les ordonnées à la base ; et soit

Y le centre de gravité du triligne, et soient les deux bras YD, YE sur Taxe et sur la base :

Je dis que le bras YD sur l'axe sera connu.

Car, puis que la somme des DF quarré est connue par l'hypothèse, la somme triangulaire des ordonnées EG, à commencer par A, le sera aussi (puis qu'elle en est la moitié, par le CoroU. de la 2. prop.). Et par conséquent le bras YD sera aussi connu, puis qu'il a esté monstre par la lettre que cette somme triangulaire des ordonnées EG (laquelle est connue) est égale au solide fait du Triligne ABC, multiplié par son bras YD sur AB, lequel solide sera par conséquent connu. Mais l'espace du Triligne ABC est connu par le premier article. Donc aussi YD sera connu.

TRAITÉ DBS TRIUOKIS EBGTANGLBS S»

Pour le 3., sçavoir que le bras YE du Triligne sur la base sera connu, cela est visible, puisque la somme triangulaire des ordonnées FD (qui est connue par riiyp.) est égale au solide fait du Triligne, multiplie par son bras YE; lequel solide sera par conséquent connu ; mais Tespace du Triligne est connu (par le i . art.). Donc aussi le bras YE sera connu.

Pour le /|. je dis que le contenu du double Onglet de la base sera connu.

Car le contenu de ce double Onglet est composé de deux fois la somme des rectangles FD en DA, ou de tous les EG quarré, comme cela a esté assez monstre dans la 5. proposition, où Ton a fait voir que, si on entend que le double Onglet soit coupé par un ordre de plans perpendiculaires à celuy du Triligne, passans par les ordonnées FD, et s'estendans infmiment de part et d'autre, leurs sections dans le double Onglet seront des rectangles, dont chacun sera double de chaque rectangle AD en DF; et qu'en coupant ce mesme double Onglet par un autre ordre de plans perpendiculaires, passans par toutes les droites EG, leurs sections dans le double Onglet seront des triangles rectangles, dont chacun sera égal au quarré de chaque ordonnée EG.

Donc, si la somme des EG quarré est connue, le contenu du double Onglet le sera aussi. Or la somme, tant de ces quarrez EG que de deux fois la somme

de ces rectangles FD en DA, est connue, puisque (par le Corol. de la a.) c'est la mesme chose que deux fois la somme triangulaire des ordonnées DF, à commencer par A (qui est donnée par l'hyp.).

D'oij il s'ensuit que le contenu du double Onglet est aussi connu.

Pour le 5. soit maintenant Y le centre de gravité du double Onglet de la base. Je dis que son bras YE sur la base sera connu ; et que le double Onglet, multiplié par le bras YE, est égal à quatre fois la somme pyramidale des ordonnées DF, à commencer par A, ou, ce qui est la mesme chose (comme on l'a veu dans la lettre) à deux fois la somme de tous les AD quarré en DF ; ce qui [se] demonstrera ainsi.

La somme de tous les AD quarré en DF est la mesme chose que la somme de tous les rectangles AD en DF, multipliez chacun par son costé AD, c'est à dire (puisque le premier AD est i , le second 2. etc.) la somme triangulaire de tous les AD en DF, à commencer par A. Donc aussi le double de la somme des AD quarré en DF sera la mesme chose que la somme triangulaire de deux fois tous les AD en DF, c'est à dire la somme triangulaire des rectangles ou sections formées dans le double Onglet par les plans perpendiculaires passans par DF ; mais la somme triangulaire de ces sections du double Onglet, à commencer du costé de AG, est

TRAITÉ DES TRILIGNES RECTAN0LI8 SI

égale (par la méthode générale des centres de gravité) au double Onglet multiplie par son bras YE sur AC. Donc aussi le double de la somme des AD quarrë en DP est égal au double Onglet multiplié par YE. Mais deux fois la somme des AD quan^é en DF, ou quatre fois la somme pyramidale des ordonnées DF. est connue par l'byp.

Donc ce produit du double Onglet, multiplié par YE, est aussi connu; mais on connoist le contenu du double Onglet : donc on connoistra aussi le bras YE.

Pour le sixième, je dis que le bras YD sur l'axe sera aussi connu, et que le double Onglet, multiplié par le bras YD, estesgal à la somme triangulaire des EG quarré à commencer par A, ou, ce qui est la mesme chose, à la somme triangulaire des FD quarré, à commencer tousjours par A : ce qui sera monstre ainsi.

Si on entend que le double onglet soit coupé par des plans perpendiculaires à celuy du Iriligne, passans par les ordonnées EG, ils y formeront pour sections des triangles rectangles et isosceles, csgaux chacun à EG quarré (comme il a esté dit). Or, par la méthode générale des centres de gra>nté, la somme triangulaire de ces sections ou des quarrez EG, à commencer par A, est esgale au double onglet multiplié par son bras YD : mais la somme triangulaire des EG quarré est connue, puis que la somme trian-

gulaire des DF quarré est connue par l'hypothèse : donc le produit du double onglet, multiplié par YD, est connu : mais le contenu du double onglet est connu ; donc YD est connu.

Pour le septième, je dis que le contenu du double onglet sera connu.

Car, puis que la somme des DF quarré est connue par l'hypothèse, le double onglet de l'axe l'est aussi, puis qu'il en est composé.

Pour le huictiéme et neufviéme : soit maintenant Y le centre de gravité du double onglet de l'axe : je dis que ses deux bras YE, YD sur la base et sur l'axe seront connus.

Car, puis que tous les AE quarré en EG sont connus, estant esgaux par la troisième au tiers de tous les DF cube, dont la somme est connue par l'hypothèse, on en conclura que le bras YD sera connu : et de mesme, puis que la somme triangulaire de» DF quarré est connue par l'hypothèse, on en conclura que le bras YE sera aussi connu, de la mesme sorte qu'on l'a conclu des deux bras du double onglet de la base dans les art. 5. et 6. par le moyen des donnez semblables à l'esgard de ce double onglet de la base.

Corollaire.