I . Vide tupra p. 36 iqq

de gravité de celle surface courbe, c'est à dire le bras de cette surface sur la base, et le bras de cette mesme surface sur Taxe.

Car (fig. 8.) si la courbe AYC est divisée en un nombre indefiny de parties égales aux points Y, d'où soient menez les sinus sur l'axe, et que, comme il a esté dit vers la fin de la lettre \ des plans soient entendus élevez perpendiculairement au plan du triligno, passans par chacun des sinus YZ : les sections qu'ils donneront dans la surface du double onglet seront des droites perpendiculaires au plan du Iriligne, qui seront doubles chacune de chaque sinus YZ ; comme il a esté monstre dans la lettre.

Or il est visible que la somme de ces perpendiculaires formées dans cette double surface composent la surface courbe, estans perpendiculaires à la courbe AYC. Donc, si on connoist la somme de ces perpendiculaires, c'est à dire le double de la somme des sinus ZY, et qu'on connoisse aussi la grandeur de la ligne courbe, on connoistra aussi la surface courbe : ce qu'il faloit premièrement demonstrer.

Je dis maintenant que, si on connoist la somme

I. Voir la Lettre à Monsieur de Carcavy, supra T. VIII, p. 872,

TRAITÉ DES TRILIGNBS RBCTANGLES 39

(les rectangles FZ en ZY, compris de chaque sinus et de sa distance de la base« on connoistra aussi le bras TF ou HK. le |K)int H estant pris pour le cenho de gravité de la surface courbe du double onglet; Et que la somme des sinus ZY, estant multipliée par le bras TF, est égale à la somme de tous les rectangles YZ en ZF.

Car il est visible que le mesme bras TF, qui mesure la distance d'entre le centre de gravité H de la surface courbe du double onglet et la base FA, mesurera aussi la distance qui est entre le centre de gravité commun de tous les sinus ZY, placez comme ils se trouvent, et la mesme base AF : d'autant que chaque sinus ZY est éloigné de la base AF de la mt î;me distance que chacune des perpendiculaires au plan du triligne, passans par les points Y, et que chaque sinus est à chaque perpendiculaire tousjours en mesme raison, sçavoir comme i. à 2.

Or il sera monstre incontinent que la somme des rectangles ZY en ZF, compris de chaque YZ et de sa dislance du point F, estegale à la somme des mesmes YZ, multipliée par la distance d'entre la base et le centre de gravité commun de toutes les ZY, placées comme elles se trouvent. Mais la somme des rectangles YZ en ZF est donnée par l'hyp. Donc la somme des sinus, multipliée par la distance entre leur centre de gravité commun el la base, sera aussi donnée ; mais la somme des sinus est aussi donnée par Thypothcse. Donc la distance

entre leur centre de gravité commun et la base sera aussi donnée ;

Et par conséquent aussi la distance entre la base et le centre de gravité de la surface courbe du double Onglet, puisqu'elle est la mesme.

Maintenant on monstrera le Lemme qui a esté supposé, en cette sorte :

Soit, fig. 7-, FG une balance horizontale divisée

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comme on voudra en parties égales ou inégales aux points Z, où pendent pour poids des droites perpendiculaires ZY, de telle longueur qu'on voudra. Soit enfin le centre de gravité commun de toutes au point T, auquel la balance soit suspendue en équilibre

Je dis que la somme des rectangles YZ en ZF, compris de chaque perpendiculaire YZ et de sa distance de l'extrémité de la balance F, est égale à la somme des rectangles compris du bras TF et de chacune des perpendiculaires ZY.

Car, en prenant la droite X si petite que le rectangle compris de cette droite X et de la plus grande des droites Z Y soit moindre qu'aucun espace donné, et divisant cette droite X en parties égales qui soient en plus grand nombre que la multitude des droites

TRAITS DES TRII.ir.NES RECTANGLES U

ZY : il est visible que la somme des rectangles compris de chaque ZY el de chacune des petites portions de X sera moindre qu'aucun espace donii(^, puis que, par la construction, le rectangle compris delà plus grande des ZY et de l'entière X est moindre qu'aucun espace donné.

Maintenant soit divisée la balance entière FC en parties égales, chacune à chacune, des petites parties de X. Donc les points Z se rencontreront aux points de ces divisions (ou la différence n'altérera point l'égalité qui est proposée, puis que la somme de toutes les ZY, multipliées chacune par une de ces petites parties de la balance, sont moindres qu'aucun espace donné).

Et par conséquent FG sera une balance divisée en parties égales, et aux points de division pendent des poids : sçavoir aux uns les perpendiculaires ZY, et aux autres pendent pour poids des Zéro : et le centre de gra>ité commun de tous ces poids est au point T. Donc (par ce qui a esté demonslré dans la lettre), la somme de tous les poids multipliez par le bras FT (c'est à dire la somme des rectangles compris des FT et de chacune des ZY) est égale à la somme triangulaire de tous les poids, à commencer par F. Or, en prenant cette somme triangulaire, il est visible qu'on prendra la première ZY. ou VY, autant de fois qu'il y a de parties dans la distance FV, et qu'on prendra de mesme la seconde ZY, ou HY, autant de fois qu'il y a de parties dans la distance FH ; et ainsi tousjours. Donc la somme

triangulaire de ces poids» à commencer par F, n'est autre chose que la somme des produits des poids, multipliez chacun par son propre bras sur FY, c'est à dire la somme des rectangles FZ en ZY, qui seront partant égaux à la somme des rectangles compris de chaque ZY et du bras commun TF.

Avertissement.

De là paroist la démonstration de cette méthode assez connue, que la somme des poids, multipliée par le bras commun de tous ensemble y est égale à la somme des produits de chaque poids, multiplié par son propre bras à Vesgardd'un mesme axe de balancement.

Je ne m'arreste pas à l'expliquer davantage, parce que je ne m'en sers point: ce n'est pas que je n'eusse pu demonstrer par cette méthode les propositions 5. i3. i4. i5. Mais, ma méthode m'ayanl suffi partout, j'ay mieux aimé n'en employer point d'autre.

Je dis maintenant que, si on connoist (fig. 8.') la somme des quarrez, on connoistra aussi le bras HT ou KF, c'est à dire la distance entre l'axe CF et le centre de gravité H de la surface courbe du double Onglet ;

Et que la somme des sinus ZY, estant multipliée parle bras KF, sera égale à la somme des quarrez des mesmes sinus ZY.

Car, en menant de tous les points Y les perpendiculaires YQ sur la base AF, et en les prolongeant de l'autre costé de la base jusques en B, en sorte que