I. L'édiiioo de i658 donne : [OD], faute manifeste

5t OEUVRES

quarré, par l'hyp. Donc la somme des OD quarré est donnée. Ce qui est le premier article.

Maintenant chaque OD cube estant égal à trois fois on quarré en HD, plus trois fois OH en HD quarré, plus OH cube, plus HD cube, il s'ensuit que la somme des OD cube sera donnée si trois fois la somme des OH quarré en HD est donnée, plus trois fois la somme des HO en HD quarré, plus la somme des HO cube, plus la somme des HD cube. Or, puis que HO quarré est donnée, et aussi la somme des HD, la somme des HO quarré en HD sera aussi donnée ; et partant aussi le triple de cette somme. De mesme, puis que HO est donnée, et aussi la somme des HD quarré, la somme des OH en HD quarré sera aussi donnée, et partant aussi le triple de cette somme. Mais tous les OH cubes sont encore donnez, et tous les HD cubes sont aussi donnez par l'hypothèse. Donc la somme des OD cube sera donnée, ce qui est le 2 . art.

Enfin, pour monstrer que la somme des RO en OD quarré est donnée, il faut monstrer que la somme des RO en OH quarré est donnée, plus la somme des RO en HD quarré, plus la somme des RO en OH en HD. Or la somme des RO ou AH en HD quarré est donnée par l'hyp. Et, puis que HO quarré est donné, et aussi la somme de tous les RO, il s'ensuit que la somme de tous les RO en OH quarré est donnée. Et de mesme, puis que HO

PROPRIfiTfiS DBS 80MMI8 nS

t'sl tliiDFioe. et aussi tous les AH en HD par l li}i>., tous les Ail en HD en HO le seront aussi; ou tous les I\0 en OH en HD : et partant aussi le double de cette somme. Donc tous les RO en ODquarré <ont aussi donnez, ce qui est le dernier art.

TV. pKOplUETé.

Les mcsiiics (liu-,^ estant posées:

Si on applique à cliacune des lignes proposées une ligne quelconque, comme DN, qui sera appellée sa Coëjieiente, et que chaque Coëficiente DN ait telle raison qu'on voudra avec sa ligne DH, soit que ces raisons soient partout les mesmes, ou qu'elles soient dilTorenles ; et qu'on connoisse la simple somme des coëBcientes DN ; et la simple somme de leurs quarrez; et la somme triangulaire des droittes DN, ou, ce qui est la mesme chose, la somme des RO en DN :

Je dis 1 . que si la somme des IID en DN est donnée, c est à dire la somme des rectangles compris de chaque ligne et de sa coëficiente, aussi la somme des OD en DN sera donnée, c'est à dire la somme des rectangles compris de chaque augmentée et de sa coëficiente.

Car tous les OD en DN sont égaux à tous les HD en DN (qui sont donnez par l'hyp.), plus tous les OH en DN, qui sont donnez, puis que OH est donné, et aussi la somme des DN par l'hypothèse.

I. Appliquer deax lignes (deux segmenlH) l'iinc sur l'autre signifie ici : former an recUn^'Ic avant pour dimeiKions les Avwx segments.

Je dis 3. que, si la somme des HD en DN quarré est donnée, la somme des OD en DN quarré sera aussi donnée.

Car la somme des OH en DN quarré est aussi donnée, puisque OH est donnée, et aussi la somme des DN quarré par 1 hyp.

Je dis 3., que si la somme des HD quarré en DN est donnée, et aussi la somme des HD en DN, la somme des OD quarré en DN sera aussi donnée.

Car la somme des HD quarré en DN est donnée par riiyp. ; et la somme des HO quarré en DN est aussi donnée (puis que HO quarré est donné, et aussi la somme des DN), et la somme des OH en HD en DN est aussi donnée, puis que OH est donnée, et aussi la somme des HD en DN par Thyp., et partant aussi le double de cette somme.

Je dis 4. que si la somme triangulaire des rectangles HD en DN est donnée, ou, ce qui est la mesme chose, si la somme des AH en HD en DN est donnée, ou des RO en HD en DN, la somme triangulaire des OD en DN sera aussi donnée, ou, ce qui est la mesme chose, la somme des RO en OD en DN.

Car la somme des RO en OH en DN est aussi donnée, puis que OH est donnée, et aussi la somme des RO en DN par l'hyp.

AVERTISSEMENT

Si au lieu d'adjouster la grandeur commune E, ou HO, à chacune des grandeurs proposées DH, comme

PROPRIÉTÉS DBS SOMMES 5S

on a fail icy, pour en former les loulcs OD, on osle au contraire de chacune des grandeurs UD la grandeur commune HI, on conclurra des restes DI tout ce qui a estt^ conclu des entières OD. Et si on prend au contraire une grandeur quelconque HG, de laquelle on oste chacune des grandeurs proposées HD. on conclurra encore des restes GD les mesmes choses : et de mesme si on prend AX (égale à la plus grande des grandeurs proposées) pour la grandeur commune, de laquelle on oste chacune des autres HD, on conclurra lousjours la mesme chose des restes DX. Car il n*y a de différence, en tous ces cas, que dans les signes de plus et de moins. Et la démonstration en sera semblable, et n'aura nulle difficulté, principalement après les lemmes marquez dans l'Avertissement devant la première de ces proprietez.

D'où il paroistque, s'il y a une ligne quelconque droitteou courbe*, donnée de grandeur RS, coupée comme on voudra aux points T, en parties égales ou inégales, et qu'elle soit prolongée du costé de S jusqu'en P, et du costé de R jusqu'en Q, et que les hgnes adjoustées SP, QR, soient données de grandeur: si on connoist toutes ces choses, sçavoir: la somme de leurs quarrez ; la somme de leurs cubes ; la somme triangulaire des mesmes lignes TP ; la somme pyramidale des mesmes lignes ; et la somme triangulaire de leurs quarrez, à commencer tousjours

I. pMcal t'eil diipoofé de faire U figure, à l'abseooe de ItquoUo il est en effet ûêè de rappléer.

du coslé de R : il arrivera aussi que les mesmes choses seront données à Tégard des lignes TQ ; c'est à dire la somme des lignes TQ ; la somme de leurs quarrez ; la somme de leurs cubes, la somme triangulaire des mesmes lignes TQ ; leur somme pyramidale, et la somme triangulaire de leurs quarrez, à commencer maintenant du costé de S.

Car en prenant les droittes HD de la grandeur des droittesPT c'est à dire que la première PT, ou PR, soit ëgale à la première HD, c'est à dire à la plus proche du point A, et que la seconde PT soit égale à la seconde HD, etc., et, prenant HG égale à PQ, il est visible, puis que toutes les sommes supposées sont données à l'esgard des droites TP, à commencer par la grande RP, [que] les mesmes sommes seront données dans les droittes HD qui leur sont esgales, à commencer du costé de la grande HD, ou du costé du point A. Et par conséquent les mesmes sommes seront données à l'esgard des mesmes HD, à commencer du côté de F (par la première de ces proprietez). Et partant les mesmes sommes seront données à l'égard des restes GD, à commencer du costé de F ' . ; c'est à dire que les mesmes choses seront données à l'esgard des droites TQ, à commencer du costé de S ; puis que chaque TQ est esgal à chaque DG, des choses esgales estant ostées de choses esgales.