TRAITE DES SINUS DU QUART DE CERCLE
Lemme, fig. 26,
Soit* ABC un quart de cercle, dont le rayon AB soit considéré comme axe, et le rayon perpendicu-
1. Le triangle EEK de la figure 26, supposé infiniment petit, a été appelé par Leibniz triangle caractéristique ; et c'est la considération de ce triangle, sur laquelle son attention fut attirée par la lecture de Pascal, qui conduisit la géomètre de Hanovre à la conception précise des différentielles (ou accroissements infiniment petits) des coordonnées des points d'une courbe.
Dans une lettre écrite à son ami Tschirnhaus en décembre 1679, Leibniz raconte comment Huygens lui donna, lors de son séjour à Paris, à lire les lettres de Dettonville ; et il relate ainsi l'histoire de sa découverte :
« Dicam — écrit-il (Leibniz, Briefwechsel m. Mathematikern, édition Gerhardt, p. ^07 sqq.) — quomodo inciderim methodum trianguli characteristici. Forte Pascalius demonstrabat ex Archimede supcrficiei sphaericae dimensionem seu momentum curvaB circularis ex axe, ostendebatque radium axi applicatum dare hoc momentum. Ego demonstrationem attentius rimatus animadverti ope trianguli characteristici infinité pani demonstrari posse hanc propositionem gcneralem proqualibet curva: Sit curva quœcunque AP, ad cujus tangentem PT ducatur perpendicularis BP axi occurrens in B; sit ordinata PC, applicetur axi AG in puncto G recta perpendicularis GD aequalis ipsi PB. Quod si jam curva ducatur per omnia puncta D, ea figuram faciet cujus area erit momentum superficiei curvae ex axe, seu ostendet modum superficiei curvae circa axem rota tas exhibendi circulum aequalem. Et quoniam in circulo recta PB semper est eadem ubicunque in cun'a sumatur punctum P, hinc figura illa ex pcrpendicularibus axi applicatis nata est rectangulum, ac proinde facillimum est superficicm sphasricam redigere in planum. Gum ergo hoc modo methodum generalem reperissem pro superficierum dimensionibus,
TRAITS DBS SINUS
et
laire AC comme base ; soit D un point quelconque dans Tare, duquel soit mené le sinus DI sur le rayon AC; et la touchante DE.
dans laquelle soient pris les points E où l'on voudra, d'où soient menées les perpendiculaires EU sur le rayon AC :
Je dis que le rectangle compris du sinus DI et de la touchante EE, est égal au rectangle compris de la portion de la base (enfermée entre les parallèles) et le rayon AB.
Car le rayon AD est au sinus DI comme EE à RR ou h EK : ce qui paroist clairement à cause des triangles rectangles et semblables DIA, EKE, l'angle EEK ou EDI estant égal à l'angle DAI.
Proposition' I.
La* somme des sinus d'un arc quelconque du quart
sutim etmatiuli Hugenio; ii miratus et subridcns fassus est se cadom plaoe methodo usum ad invenicndam superficicm conoidis paraboHci circa axem » (cf. infra p. 177 et 181 «qq.)- — Cf. uue lettre de L»Mbnix au marquU de l'Hospital (169^). et divers fragments cités par Gerfaardt : Leibniz und Pascal, apud Comptes Rendus de TAcadémio de Berlin, 1891, T. II, p. io57-iof)5.
I . Sur U définition des sommes de sinus, vide supra T. VIII, p. 354- 3. Appelons R le rayon du cercle, <f l'angle DAI; le sinus DI a valeur R sin ^ et la proposition I exprime que la somme des sinus /Rsinf.d(R?) aux valeurs de 9 comprises entre deux valeurs données, 9q
de cercle est égale à la portion de la base comprise entre les sinus extrêmes, multipliée par le rayon.
Prop. il
La somme des quarrez de ces sinus est égale à la somme des ordonnées au quart de cercle, qui seroient comprises entre les sinus extrêmes, multipliées par le rayon '.
Prop. IIL
La somme des cubes des mesmes sinus est égale à la somme des quarrez des mesmes ordonnées comprises entre les sinus extrêmes, multipliées par le rayon.
Prop. IV.
La somme des quarré-quarrez des mesmes sinus est égale à la somme des cubes des mesmes ordonnées comprises entre les sinus extrêmes, multipliées par le mesme rayon.
Et ainsi à Tinfiny.
et 9i est égale àR(R cos ç-o — R cos <pi). Cette proposition fait connaître la surface engendrée par un arc de la circonférence tournant autour de l'axe: c'est à cette application que Leibniz fait allusion dans la lettre à Tschirnhaus que nous avons citée ci-dessus.
