I. La somme de ces ordonnées est 1 ^^Rsinç.dCRcosï») ou, au

signe près, | * * R^ sin^ <fdf. La proposition II exprime que cette

dernière intégrale est égale à R / ^* (R sin cp)2(i(R o). Le même

« changement de variable » permet à Pascal de calculer l'intégrale d'une puissance quelconque du sinus (propositions III et IV).

TlAITt DBS SINUS

Préparation à la démonstration.

Soit un arc quelconque BP, divisé en un nombre îndeBny de parties aux points D, d'où soient menez

les sinus PO, DI. etc. : soit prise dans l'autre quart de cercle la droite' AQ, égale à AO (qui mesure la distance entre les sinus extrêmes de l'arc BAPO) : soit AQ divisée en un nombre indeûny de parties égales aux points H, d'où soient menées les ordonnées HL.

I. Le point Q, qui n'est pas indiqué sur la figure 3a, se trouve entra A et M, k une distance de A égale à AO.

Démonstration de la proposition 1.

Je dis que la somme des sinus DI (multipliez chacun par un des arcs égaux DD, comme cela s'entend de 8oy-mesme) est égale à la droite AO multipliée par le rayon AB.

Car en menant de tous les points D les touchantes DE, dont chacune coupe sa voisine aux points E, et ramenant les perpendiculaires ER, il est visible que chaque sinus DI, multiplié par la touchante EE, est égal à chaque distance RR multipliée par le rayon AB. Donc tous les rectangles ensemble des sinus DI, multipliez chacun par sa touchante EE (lesquelles sont toutes égales entr'elles) sont égaux à tous les rectangles ensemble faits de toutes les portions RR avec le rayon AB ; c'est à dire (puis qu'une des touchantes EE multiplie chacun des sinus, et que le rayon AB multiplie chacune des distances) que la somme des sinus DI, multipliez chacun par une des touchantes EE, est égale à la somme des distances RR, ou à AO multipliée par AB. Mais chaque touchante EE est égale à chacun des arc& égaux DD. Donc la somme des sinus multipliez par un des petits arcs égaux est égale à la distance AO, multipUée parle rayon.

Avertissement.

Quand fay dit que toutes les distances ensemble RR sont égales à AO, et de mesme que chaque touchante

TRAITt DBS SINUS 65

EE est égale à chacun des petits arcs DD, on n'a pas deu en estre surpris, puis (pi*on sçail assez qu encore que cette égalité ne soit pas véritable quand la multitude des sinus est Jtnie, neantmoins Vegalité est vcritalile quand la multitude est indéfinie: parce qualors la somme de toutes les touchantes égales cntr elles , EE, ne diffère de rare entier BP. ou de la somme de tous les arcs égaux DD, que d*une quantité moindre qu'aucune donnée : non plus que la somme des \\\\ de r entière AO.

l)i ninristrallon de la proposition II.

Je dis (juc la somme des DI quarré (multipliez chacun par un des petits arcs égaux DD) est égale à la somme des HL, ou à l'espace BHQL, multiplié par le rayon AB.

Car. en prolongeant, tant les sinus DI, que les ordonnées HL, de l'autre costé de la base, jusques à la circonférence de Taulre part de la base qui les coupe aux points G et N, il est visible que chaque DI sera égal à chaque IG, et HN à HL.

Maintenant, pour monstrer ce qui est proposé, que tous les DI quarré en DD sont égaux à tous les HL en AB, il suffit de monstrer que la somme de tous les HL en AB, ou tous les HN en AB, ou l'espace QNN, multiplié par AB, est égal à tous les GI en ID en EE, ou à tous les GI en RR en AB (puis que ID en EE est égal à chaque RR en AB). Donc, en ostant la grandeur commune AB, il faudra monstrer

2* slrie. VI 5

que l'espace AQNN est égal à la somme des rectangles GI en RR : ce qui est visible, puis que la somme des rectangles compris de chaque GI et de chaque RR ne diffère que d'une grandeur moindre qu'aucune donnée de l'espace AOGN, qui est égal à l'espace AQNN, puis que la droite AQ est prise égale à la droite AO : ce qu'il faloit demonstrer.

Démonstration de la proposition III.

Je dis que la somme des DI cube est égale à la somme des HL quarré, multipliée par le rayon AB.

Car soit décrite la ligne CGNNM de telle nature que, quelque perpendiculaire qu'on mené à la base, comme DIG, ou LHN, il arrive tousjours que chaque DI quarré soit égal à IG en AB, et la démonstration sera pareille à la précédente, en cette sorte.

Il est proposé de monstrer que la somme des HL quarré en AB, ou des HN en AB quarré, ou de l'espace AQNN multiplié par AB quarré, est égale à la somme des DI cubes, multipliez par chaque arc DD, ou à la somme des DI quarré en DI en EE, ou des GI en AB en RR en AB, ou des AB quarré en GI en RR. Donc en ostant de part et d'autre le multiplicateur commun AB quarré, il faudra monstrer que l'espace AQNN est égal à la somme des rectangles GI en RR : ce qui est visible par la mesme raison qu'en la précédente.